高中數(shù)學(xué)50個解題捷徑次次出現(xiàn)務(wù)必掌握

高中數(shù)學(xué)50個解題捷徑，考前必會，沖刺高分1.適用條件[直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注：上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內(nèi)分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。2.函數(shù)的周期性問題(記憶三個)(1)若f(x)=-f(x+k)，則T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。注意點：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。3.關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下(1)若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖像關(guān)于(a，b)中心對稱4.函數(shù)奇偶性(1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;(2)對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方項(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空5

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數(shù)列爆強定律(1)等差數(shù)列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標);(2)等差數(shù)列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比數(shù)列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立(4)等比數(shù)列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q6.數(shù)列的終極利器，特征根方程首先介紹公式：對于an+1=pan+q(n+1為下角標，n為下角標)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，則數(shù)列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時加數(shù))7.函數(shù)詳解補充1、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減3、重點知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0，根x即為中心橫坐標，縱坐標可以用x帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。8.常用數(shù)列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法前面減去一個1，后面加一個，再整體加一個29.適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。10.強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[這個條件為了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!11.經(jīng)典中的經(jīng)典相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔!12

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爆強△面積公式S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題13.

你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯(1)空間中不同三點確定一個平面(2)垂直同一直線的兩直線平行(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面(5)有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱(6)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對初中生不適用。14.一個小知識點所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數(shù))的最小值答案為：當n為奇數(shù)，最小值為(n2-1)/4，在x=(n+1)/2時取到;當n為偶數(shù)時，最小值為n2/4，在x=n/2或n/2+1時取到。16.√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數(shù)，是統(tǒng)一定義域)

17.橢圓中焦點三角形面積公式S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)

說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。18.爆強定理空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的?！料蛄縝的模](1)A為線線夾角(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，派/2]。19.爆強公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)220.爆強切線方程記憶方法寫成對稱形式，換一個x，換一個y舉例說明：對于y2=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo+px21.

爆強定理(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數(shù)為：Cn+22，n+2在下，2在上22.

轉(zhuǎn)化思想切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。23.對于y2=2px過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。爆強定理的證明：對于y2=2px，設(shè)過焦點的弦傾斜角為A那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2]所以求和再據(jù)三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)24.關(guān)于一個重要絕對值不等式的介紹爆強∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣25.關(guān)于解決證明含ln的不等式的一種思路舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn，那么只需證an>bn即可，根據(jù)定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。26.爆強簡潔公式向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數(shù)量積〕/[向量b的模]。記憶方法：在哪投影除以哪個的模27.

說明一個易錯點若f(x+a)[a任意]為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記28.離心率爆強公式e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N29.橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!30.僅供有能力的童鞋參考的爆強公式和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/231

.爆強定理直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。32.三角形垂心爆強定理(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心，H為垂心)(2)若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=1/x的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。33.維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂))正三角形內(nèi)(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。34.爆強思路如果出現(xiàn)兩根之積x1x2=m，兩根之和x1+x2=n我們應(yīng)當形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù)再利用△大于等于0，可以得到m、n范圍。35.常用結(jié)論過(2p，0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。O為原點，連接AO.BO。必有角AOB=90度36.爆強公式ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。舉例說明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)證明如下：令x=1/(n2)，根據(jù)ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢!37.函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)在(0，派)上它單調(diào)遞減，(-派，0)上單調(diào)遞增。利用上述性質(zhì)可以比較大小。38.函數(shù)y=(lnx)/x在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+無窮)上單調(diào)遞減。另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。39.幾個數(shù)學(xué)易錯點(1)f`(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件(2)研究函數(shù)奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關(guān)于原點對稱(3)不等式的運用過程中，千萬要考慮"="號是否取到(4)研究數(shù)列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通項公式，所以應(yīng)當極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項!40.提高計算能力五步曲(1)扔掉計算器(2)仔細審題(提倡看題慢，解題快)，要知道沒有看清楚題目，你算多少都沒用(3)熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技(4)加強心算、估算能力(5)檢驗41.一個美妙的公式已知三角形中AB=a，AC=b，O為三角形的外心，則向量AO×向量BC(即數(shù)量積)=(1/2)[b2-a2]證明：過O作BC垂線，轉(zhuǎn)化到已知邊上42.函數(shù)①函數(shù)單調(diào)性的含義：大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)，則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還不是很清楚，若函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續(xù).還有，如果函數(shù)在D上單調(diào)，則函數(shù)在D上y與x一一對應(yīng).這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了②函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達的周期設(shè)f(x)為R上的函數(shù)，對任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值，下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)設(shè)T≠0，有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數(shù)的周期為243.奇偶函數(shù)概念的推廣(1)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a，使得f(a-x)=f(a+x)，則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數(shù)，且當有兩個相異實數(shù)a，b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)(2)若f(a-x)=-f(a+x)，則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數(shù)，當有兩個相異實數(shù)a，b滿足時，f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)(3)有兩個實數(shù)a，b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時，就稱f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇，偶函數(shù).且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數(shù)，那么當f在[a+b/2，∞)上為增函數(shù)時，有f(x1)<f(x2)等價于絕對值x1-(a+bp=""<=""2)<絕對值x2-(a+b)="">44.函數(shù)對稱性(1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2，c/2)成中心對稱(2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對稱柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調(diào)(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y)，則f(x)=kx45.與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本的圖形就是三角形①正切定理(我自己取的，因為不知道名字)：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA③任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積)，外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧④梅涅勞斯定理：設(shè)A1,B1，C1分別是△ABC三邊BC，CA，AB所在直線的上的點，則A1，B1，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=144.易錯點(1)函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運用不靈活，比如奇偶性與單調(diào)性常用來配合解決抽象函數(shù)不等式問題;(2)三角函數(shù)恒等變換不清楚，誘導(dǎo)公式不迅捷。45.易錯點