2021-2022學年高二年級上冊數(shù)學人教A版選擇性必修第一冊14課時 空間向量的應用 課時練習 【含答案】

2021-2022學年高二數(shù)學(人教A版選擇性必修一)

1.4課時空間向量的應用

一、單選題。本大題共8小題，每小題只有一個選項符合題意。

1.已知向量方=(2,—3,1),b=(―3,2,x),且0_1_否，則x的值為

A.-14B.10C.12D.14

2.若4(一1,0,2),3(1,4/0)在直線/上，則直線/的一個方向向量為()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)

3.在平行六面體458—48cA中，若Q而+2/)1萬+3c4］，則"c的值等于()

1571

A.-B.-C.-D.一一

6666

4.若向量標為兩個非零向量，且|￡卜同=|￡一加，則向量￡+石與［的夾角為

7tn2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

5.平面。的一個法向量為X=(1,2,1),平面月的一個法向量名=-(2,4,2),則平面。與平面夕()

A.平行B.垂直C.相交D.不能確定

6.若平面月的法向量分別為2=(卜1,3)［=(-1,2,-6),則()

A.alipB.a與夕相交但不垂直

C.al/?D.a///或a與4重合

7.如圖，設P是正方形48。所在平面外一點，且尸4_1_平面力8c。，則平面尸48與平面P8C、平面

尸/。所在平面的位置關系是()

A.平面尸與平面08C、平面尸都垂直

B.它們兩兩垂直

C.平面尸48與平面P3C垂直，與平面尸4。不垂直

D.平面與平面P8C、平面。/I。都不垂直

8.在長方體48。。一4名。。|中，E,F.G分別為楂N4，CQ,。。的中點，AB=AAX=2AD,

則異面直線跖與5G所成角的大小為()

A.30°B.60°C.90°D.120°

二、多選題。本大題共4小題，每小題有兩項或以上符合題意。

9.已知力，B,C三點不共線，。為平面力8c外的任一點，則“點M與點/,B,C共面”的充分條件的是

()

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=-OA^OB-OC

___一1一1一___1一1一1一

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

10.正方體48cdi的棱長為1,E,F,G分別為BC,CCi，的中點.則()

A.直線與直線力尸垂克B.直線小G與平面力M平行

9

C.平面力E尸截正方體所得的截面面積為一D.點C與點G到平面/E/的距離相等

8

7T

11.三棱錐4—8C。中，平面480與平面的法向量分別為4,月，若<%,%>=§，則二面角

4-8O-C的大小可能為()

12.將正方形488沿對角線8。折成直二面角4—8Q—C,有如下四個結論：①4CJ.BD；②

AACD是等邊三角形；③48與平面58所成的角為60°：④/3與CQ所成的角為60°.其中正確的

結論有()

A.①B.②C.③D.@

三、填空題。本大題共4小題。

13.如圖所示，為邊長等于1的正方體，若P點在正方體的內部且滿足

一3一1—2一

AP=-AB+-4D+-AE,則尸點到直線48的距離為

423

14.將邊長為1,4=60。的菱形力友)C沿對角線8c折成直二面角，則二面角A8Q-C的正弦值為.

15.已知萬二(0,U),b=(1,1,0),己二(1,0,1)分別是平面a，4，y的法向量，則a,0,7三個平面中互相垂

直的有對.

16.已知直線/與平面a垂直，直線/的一個方向向量為M=(l,—3,z),向量力=(3,—2,1)與平面a平

行，則立=.

四、解答題。本大題共6小題，解答過程必修有必要的文字說明，公式和解題過程。

17.在多面體43coE/中，正方形48CZ)和矩形3OE尸互相垂直，G、H分別是OE和3c的中點,

AB=BF=2.

(1)求證：ABCD.

(2)在邊所在的直線上存在一點P,使得尸P〃平面力G”,求尸尸的長;

18.如圖所示，平面C〃M_L平面力8C。，且四邊形48C。為平行四邊形，ND48=45。，四邊形CZ)E尸

為直角梯形，EF//DC,ED±CD,AB=3EF=3,ED=a,AD=&

(1)求證：ADLBF,

CM

(2)若線段C尸上存在一點M,滿足4E〃平面8DW,求一的值;

CF

19.如圖，在四棱錐S-4BCZ)中，已知4B〃OC,ABVAD.△SXO是正三角形，旦平面S4)_L平面力BCD,

AD=AB=2DC=2,F為SB的中點

s

（1）求異面直線S4與尸。所成角的大小:

（2）在棱S8上是否存在點0,使平面S/C與平面"C所成的銳二面角為（？若存在，求出黑的大小;

若不存在，請說明理由.

20.如圖所示，在直三棱柱月8c-4SG中，ABtBC,AB=BC=2,BB、=T,E為的中點，證明:

平面.4EG_L平面441GC.

21.如圖，在四棱錐尸一X8CO中，PD1底面48CO,底面力8c。為正方形，PD=DC,E,/分別是

P8的中點.

p

(1)求證：EF1.CD；

(2)在平面為。內求一點G,使GFJL平面PC8,并證明你的結論.

22.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD,ABEF的邊長都是1,且它們所在的平面互相垂直.活

動彈子N分別在正方形對角線4C和8萬上移動，且CM和8V的長度保持相等，記

CM=BN=a(0<a<6).

c

(1)求MN的長；

(2)4為何值時，MN的長最??？

(3)當?shù)拈L最小時求平面4與平面夾角的余弦值.

答案

1.c

由題意，向量々=(2,—3,1),6=(—3,2/),且31否，

則①5=2x(—3)+(—3)x2+lxx=0,解得x=12,故選C.

則x的值為()

2.A

由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),

故選項力中的向量與方共線，是直線/的一個方向向量.

故選：4

3.A

可知在平行六面體48CQ—481GA中，JC=AD,CCl=AAX,

,/AC}=AB+BC+CC}=AB+AD+A}A,

又4C1=aN6+2b+3c*/，

a=1

:<2b=l,即a=lb=Lc=L

23

3c=1

/.ab,c1=—.

6

故選：A.

4.A

作刃=￡,歷=坂，以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,

則面二￡一瓦花=￡+加NAOC為向量"與7+石的夾角.

因為|a|=|51=|a-51，

所以40AB是等邊三角形，平行四邊形OACB是菱形，

所以N/0B=壬,N40C=L/40B=￡.選A.

326

5.A

解：因為平面a的一個法向量為稔=(121),平面戶的一個法向量云=-(2,4,2),

所以為=-2匕，所以4〃%

所以a〃夕.

故選：A

6.D

由題意，向量Z=(g,T3)3=(—l,2,—6),可得慮=一夕，

所以平面a,0的法向量共線，故?！ㄏ?。與￡重合.

故選：D.

7.A

???4_1平面力8。，BC^^ABCD,：.PALBC.

又?：BCiAB,04n48=4,??.8CJ_平面尸48.

TBCu平面P8C,平面08C_L平面P4B.

VADPA,AD"AB,PAQAB=4,二4D_L平面尸48.

???40(=平面40，???平面產力0_1平面43.

由已知易得平面P8C與平面產力。不垂直，故選A.

8.C

以。為坐標原點，分別以次，反，函的方向為x軸、歹軸、

z軸的正方向建立空間直角坐標系。-孫z,如圖

設4)=1,M￡(1,0,1),產(0,1,2),G(0,0,l),設1,2,0),

所以前二(T1,1),5G=(-1,-2,1),=

所以即_L豆G，所以異面直線EF與BG所成角的大小為90°，

故選：C

9.BD

當應4=加必8+〃而C時,可知點A/與點4,3,C共面,

所以質+工5=加（汨+55）+〃（而+而），

所以（工+歹—1）兩=一方+X麗+歹的，

所以說=—°A+m°B+“℃=一_麗+」一反,

fn+n-1/n+w-1tn+n-\m+n-\

不妨令-----5--=x,—^—=y,—J=z,且此時x+N+z=l,

加+〃-1〃7+〃-1

因為2+(-1)+(-1)=0/1,1+1+(-1)=1,l+g+"=，wl—+-+—=1

236

由上可知：BD滿足要求.

故選：BD.

10.BC

根據(jù)題意,假設直線。I。與直線力"垂直,又DR工4E,4EC4尸=44E,.4Fu平面4EF,所以DR1

TT

平面4EF,所以DD】_LEF,又D'〃Cq,所以CCJEF,與NEFC=一矛盾,所以直線。。與直線力尸

4

不垂直，所以選項A錯誤；

因為.49〃。尸，4GQ平面力￡7%h，RFu平面AEFDi,所以4G〃平面4E/V)i,故選項B正確.

平面.4E/截正方體所得截面為等腰梯形,4EF。，由題得該等腰梯形的上底￡尸二立，下底4。=J5,腰

2

R9

長為空，所以梯形面積為一，故選項C正確;

28

假設C與G到平面/EF的距離相等，即平面NKF將CG平分，則平面4必必過CG的中點，連接CG交

EFqH,而〃不是CG中點，則假設不成立，故選項D錯誤.

故選：BC.

11.BC

???二面角的大小與法向量的夾角相等或互補，

二面角A—BD—C的大小可能為一或乃---=—.

333

故選：BC.

12.ABD

解：取8。中點O,由正方形的性質得：AOLBD,COLBD,

所以44OC為二面角Z-4。-C的平面角，

因為二面角力—BO—C是直二面角4—BO—C,

所以如圖所示，建立空間直角坐標系Oxjz,

設正方形ABCD的邊長為V2，

則0(1,0,0),5(-1,0,0),C(0,0,1),4(0,1,0)

—>—>—?—>—?

所以4。=(0,—1,1),50=(2,0,0)，8=0,0,—1)，1,0)，AB=(-\,

因為，1.應)=0=0,故4CJ_BD,①正確.

又z"=拒，CD=y[2,AD=V2,

所以A4CQ為等邊三角形，②正確.

對于③，&為平面的一個法向量，=(0,1,0)

cos(04,48OAAB_-1_y/l

OA-AB收21

因為直線與平面所成的角的取值范圍是［0°,901,

所以48與平面8co所成的角為45°，故③錯誤.

—>—>

CDAB

又cos(CZ),48)=

CD?5,

因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以43與C。所成的角為60°，故④正確.

故選：ABD

解析：過戶作PMJ"平面4BCD于〃，過〃作于N,連接尸N,則PN即為所求，如圖所示.

因為淳=3標+,而+2運，

423

312

所以AN=—,NM=—,PM=一,

423

所以PNuJPM^+MN?={'；）+，苫）=|

即0點到直線45的距離為*.

故答案為.2

6

14.遺

5

取4C中點O,連接力O,D0,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則彳(0,0,也)，5(0,-1,0),。(也,0,0).

所以。4=(0,0,工-)，84=(0,g,-^)，8O=(V，；，0)?

由于厲=(0,0,^-)為平面BCD的一個法向量,

設平面的一個法向量7=(X,y,z),

行.

[-y1-l--z=O,

萬?8力=0,“

則—所以

n-BD=0,氏」

-x+-y=^n

取x=1,則y=--y/3?z=1?

所以3=(1,-JJ,1)是平面/夕。的一個法向量,

____①

所以COSG，O4)=J：普=—"不=恪，

'1H-N國昱5

2

所以二面角A-BD-C的正弦值為述.

5

15.0

因為萬石=(0,1,1)(1,1,0)=1*0,

5c=(0,l,l)(L0,l)=1^0,

所以ZB,己中任意兩個向量都小垂直，即。，B，了中任意兩個平面都小垂直?

故0.

16.-9

因為！_La,所以丘J■方，所以(1,—3,z),(3,—2,1)=0?即3+6+z=0,所以z=-9.

故一9

17.(1)證明見解析；(2)25/5.

(I)因為四邊形戶為矩形，則

因為平面60瓦'_L平面48CO,平面BDEFc平面4BCD=BD,EDu平面BDEF，

所以，ED工平面4BCD；

(2)因為瓦51平面488,四邊形4BCQ為正方形，

以點。為坐標原點，DA、DC、。后所在直線分別為X、＞、z軸建立空間直角坐標系。一平,

則4(2,0,0)、G(O,O,l)、"(1,2,0)、R(2,2,2),設點尸(〃,2,0),

麗=(〃-2,0,-2),^(7=(-2,0,1),=(-1,2,0),

設平面AGH的法向量為n=(x,y,z)，

\n-AG=—2x+z=0

由《,令x=2,可得3=(2,1,4),

[n-AH=-x+2y=0

要使得FP〃平面4G”,則即_L[,所以，而i=2(。-2)-8=0,解得。=6,

則方=(4,0,-2),此時，|fp|=^42+02+(-2)2=2y/5.

「\￡2

18.(1)證明見解析；(2)—=-

CF5

(1)???面COE尸_L面48CO,EDLCD,EDu面COE產，面CDEFCl面4BCD=CD,

???EQ_L面/3CO,4。u面488,即EO_L/Q,

過尸作/G_LQC于G,過G作GH//4D交4B于H，

?；CDEF為直角梯形,AB=3EF=3,

:,EDUFG,即bGJ.4。，則/G_L”G,且HG=y[i,HB=2,ZGHB=45。,

ABG2=HG2+HB2-2HGHB-cosZGHB?得3G?=2,即HG?+BG?=HB?,

:?HG工BG,而BGD/GnG,即"G_L面必G,又BFu面FBG,

:?HG上BF,故

(2)以。為原點，過點。垂直于。C的直線為x軸，0c所在直線為歹軸，所在直線為z軸，建立空

間直角坐標系，如下圖示：

???4(1,T,0),8(L2,0),C(0,3c,若尸(0,1,。),則而=(0,—2,a),

設而=/l而=〃0,—2,a)=(0,—2；l,a%),則

DM=5C+CM=(0,3,0)+(0,-24,a4)=(0,3-2A,aA)，

_n-DB=x,+2y.=0

設平面8DW的法向量為〃=(x，必/J,則｛一、，取加=2,則

1l

''wDM=(3-22)^1+^i=(

一(.,3-2浦

〃=2,-1,-----,

1J

若NE〃平面8OA/,則?萬=(一1,l,a)*2,-1,--------=-2-1H-------=0,解得2=2,

\Cl/cy5

3

，線段C尸上存在一點加，滿足4E〃平面8OM,此時上一二一.

CF5

19.(1)90°；(2)存在，—=1-—.

SB5

解：(1)二?在四棱錐S-/18CO中，己知49〃OC,ABA.AD,△S/O是正三角形，

平面平面48cZ),AD=AB=2DC=2,F為SB的中點,

???以.4為原點，48為x軸，為y軸，過力作平面48CO的垂線為z軸，建立空間直角坐標系,

則/(0,0,0),S(0,1,VJ),C(L2,0),B(2,0,0),F(1,-I,—),

22

SA=(0’■1,—^3)，F(xiàn)C=(0'—，—,

22

設異面直線SX與尸。所成角為0(00<0<90°),

悶.雨

則cos0=?阿—一園[=0?.*.0=90°.

，異面直線SA與FC所成角的大小為90°；

(2)假設在棱S8上存在點0(mb,c),螺=3(OS芯1),使平面S4C與平面0/C所成的銳二面角為

SB

71

一,

3

則漏二2而，即(a,b-1,c-y/j)=X(2,-1,S’解得a=21，b=\-K,c=6一&,

:.Q6,1-X，也一6九)，而=(2X,1-X,百一向)，AC=(1，2,0),AS=(0,1,6)，

設平面/C0的法向量]=a，y,z),

n-AC=x+2y=0得葺~

則《取x=2,

萬而=2&+（1_物+（庠聞）2=0

設平面4SC的法向量五=S，q，力，

in-AC=p+2q=0_I出）

則｛一廠，取p=2,得加=（2,

m-AS=［十<3r—03

???平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為y,

整理得以2?10九+4=0,解得>=1_@或丸=1+且(舍去).

55

故在棱S5上存在點2,使平面S4c與平面Q4C所成的銳二面角為?，此時醬=1一咚.

20.證明見解析

由題意得力8,BC,亂8兩兩垂直.以8為原點，BA,BC,分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系.

2,ObG(0,2,1),E00,g),

則4(2,0,0),4(2,0,1),C(0,

__________UUUL

則44=(0,0.1),JC=(-2,2.0),AC,=(-2,2,1),AE=(-2,0,-).

設平面44iGC的??個法向量為〃[=8,y\yzi).

K，Z?=0fz.=0,

人k=01-2$+2必=0

令xi=l,得yi=L；?％=(1,1,0).

UI

設平面ZEG的一個法向量為〃2=(X2,%Z2).

-2X+2y4-z=0,

n->.AC=0,222

則〈_2___=>

-2X2+^Z2=0,

n2.AE-0

LU

令Z2=4,得X2=l，及=-l.；?〃2=(1，—1，4).

ULU

nxn2=1x1+1x(—1)+0><4=0.

:."J_%，,平面/EC」平面441cle

21.(1)證明見解析；(2)