中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題12 三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題 解析版

二輪復(fù)習(xí)2023-2024年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題12——三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題（重慶專用）1．（2023上·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在公園里，同一平面內(nèi)的五處景點(diǎn)的道路分布如圖所示，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)D、E均在點(diǎn)C的正北方向且CE=900米，點(diǎn)B在點(diǎn)C的正西方向，且BC=3003米，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東60°方向且AB=600米，點(diǎn)D在點(diǎn)A的東北方向．（參考數(shù)據(jù)：2(1)求道路AD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)若甲從A點(diǎn)出發(fā)沿A?D?E的路徑去點(diǎn)E，與此同時(shí)乙從點(diǎn)B出發(fā)，沿B?A?E的路徑去點(diǎn)E，在兩人速度相同的情況下誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)E？（結(jié)果精確到十分位）【答案】(1)道路AD的長(zhǎng)度約為6006(2)乙先到達(dá)點(diǎn)E【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC，垂足為G，根據(jù)題意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF，BF的長(zhǎng)，從而求出CF的長(zhǎng)，再在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出（2）利用（1）的結(jié)論可求出EG的長(zhǎng)，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，然后在Rt△ADG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC，垂足為G，如圖所示：由題意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=600∴AF=AB?cos60°=600×1BF=AB?sin60°=600×3∴CG=AF=300米，∵BC=3003∴CF=BF+BC=3003+3003∴AG=CF=6003在Rt△ADG中，∠DAG=90°?45°=45°∴AD=AGcos45°∴道路AD的長(zhǎng)度約為6006（2）解：∵CE=900米，CG=300米，∴EG=CE?CG=600（米)，在Rt△AGE中，AG=600∴AE=AG2在Rt△ADG中，∠DAG=45°∴DG=AG?tan45°=6003∴甲的路程=AD+DE=AD+DG?EG=6006乙的路程=AB+AE=600+1200=1800（米)，∵1908.6>1800，兩人速度相同，∴乙先到達(dá)點(diǎn)E．2．（2023上·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期末）在公園里，同一平面內(nèi)的五處景點(diǎn)的道路分布如圖所示，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)D、E均在點(diǎn)C的正北方向且CE=600米，點(diǎn)B在點(diǎn)C的正西方向，且BC=2003米，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東60°方向且AB=400米，點(diǎn)D在點(diǎn)A的東北方向．(參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732(1)求道路AD的長(zhǎng)度(精確到個(gè)位)；(2)若甲從A點(diǎn)出發(fā)沿A—D—E的路徑去點(diǎn)E，與此同時(shí)乙從點(diǎn)B出發(fā)，沿B—A—E的路徑去點(diǎn)E，其速度為40米/分鐘．若兩人同時(shí)到達(dá)點(diǎn)E，請(qǐng)比較誰(shuí)的速度更快？快多少？(精確到十分位)【答案】(1)980米；(2)甲的速度更快，快2.4米/分鐘．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用；（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC，垂足為G，根據(jù)題意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF，BF的長(zhǎng)，從而求出CF的長(zhǎng)，再在Rt△（2）利用（1）的結(jié)論可求出EG的長(zhǎng)，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，然后在Rt△【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC，垂足為G，由題意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=400∴AF=AB?cosBF=AB?sin∴CG=AF=200米，∵BC=2003∴CF=BF+BC=2003∴AG=CF=4003在Rt△ADG中，∠DAG=90°?45°=45°∴AD=AG∴道路AD的長(zhǎng)度約為980米；（2）∵CE=600米，CG=200米，∴EG=CE?CG=400（米），在Rt△AGE中，AG=400∴AE=A在Rt△ADG中，∠DAG=45°∴DG=AG?tan∴甲的路程=AD+DE=AD+DG?EG=(4006乙的路程=AB+AE=400+800=1200（米），∵乙的速度為40米/分鐘，∴乙所用的時(shí)間=1200∴甲所用的時(shí)間也是30分鐘，∴甲的速度=4006+400∴42.4?40=2.4（米/分鐘），∴若兩人同時(shí)到達(dá)點(diǎn)E，甲的速度更快，快2.4米/分鐘．3．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，甲、乙兩隊(duì)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，相約去河對(duì)面的公園D游玩．甲隊(duì)選擇的線路為A→B→C→D，其中在BC段劃船過(guò)河；乙隊(duì)選擇的線路為A→F→E→D，其中在FE段乘坐游船過(guò)河．已知四邊形BCEF為矩形，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，AB長(zhǎng)為600米，∠AFB=37°，CD⊥DE，∠CED=30°．(1)求D到CE的距離；（結(jié)果精確到個(gè)位）(2)甲、乙兩隊(duì)在陸地上都是步行，且步行速度均為50m/min．已知甲隊(duì)劃船的速度為120m/min，乙隊(duì)游船的速度為360m/min，若BC長(zhǎng)為1800米，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪一隊(duì)先到達(dá)公園D？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos【答案】(1)346m(2)甲隊(duì)先到達(dá)公園D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，利用銳角三角函數(shù)，分別求得BF=CE=800m，DE=32CE=4003m，（2）由（1）可知AB=600m，AF=1000m，CD=400m【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，∵四邊形BCEF為矩形，∴∠CBF=90°，BF=CE，BC=FE，∴∠ABF=90°，∵∠AFB=37°，AB=600m∴BF=ABtan37°∴CE=800m∵CD⊥DE，∠CED=30°，∴DE=cos30°?CE=3∵DH⊥CE，∴DH=sin即D到CE的距離346m（2）解：BC=1800m∴FE=1800m由（1）可知，AB=600m，AF=1000m，CD=400m∵甲、乙兩隊(duì)在陸地上都是步行，且步行速度均為50m/min．甲隊(duì)劃船的速度為120m∴甲隊(duì)所用時(shí)間=600÷50+1800÷120+400÷50=35min乙隊(duì)所用時(shí)間=1000÷50+1800÷360+4003∵35<38.9，∴甲隊(duì)先到達(dá)公園D．4．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，一貨船從港口A出發(fā)，以40海里/小時(shí)的速度向正北方向航行，經(jīng)過(guò)1小時(shí)到達(dá)B處，測(cè)得小島C在B的東北方向，且在點(diǎn)A的北偏東30°方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin(1)求BC的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)由于貨船在B處突發(fā)故障，于是立即以30海里/小時(shí)的速度沿BC趕往小島C維修，同時(shí)向維修站D發(fā)出信號(hào)，在D處的維修船接到通知后立即準(zhǔn)備維修材料，之后以50海里/小時(shí)的速度沿DC前往小島C，已知D在A的正東方向上，C在D的北偏西37°方向，通知時(shí)間和維修船準(zhǔn)備材料時(shí)間一共6分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明維修船能否在貨船之前到達(dá)小島C．【答案】(1)BC的距離為77海里(2)維修船能在貨船之前到達(dá)小島C【分析】（1）過(guò)C作CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M，由題意可得MC=MB，設(shè)MC=MB=x，則MA=x+40，通過(guò)勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行列方程求解即可；（2）結(jié)合三角函數(shù)和平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解并比較即可得到解答．【詳解】（1）過(guò)C作CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M，由題意得，AB=40×1=40海里，由題意得，在Rt△BCM中，∠CBM=45°∴MC=MB，設(shè)MC=MB=x，則MA=x+40，在Rt△ACM中，tan∴xx+40解得x=203∴MB=MC=20在Rt△MBC中，M∴BC=M（2）∵CM=20∴AH=CM=20∵AM∥∴∠1=∠CAM=30°，∴tan∠1=∴CH=3∵CH∥DN，∴∠2=∠NDC=37°，∴cos∠2=∴CD=CH貨船從B到C用時(shí)：77÷30=77∵6分鐘=1∴7730∴3715∵CD=75+253∴能在貨船之前到達(dá)小島C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的綜合、勾股定理的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用和平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶一中校考期中）為了方便市民出行，建委決定對(duì)某街道一條斜坡進(jìn)行改造，計(jì)劃將原斜坡坡角為45°的BC改造為坡角為30°的AC，已知BC=102米，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)(1)求AB的距離；(結(jié)果保留根號(hào))(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高EF為3米，EF⊥AC，若CF=16米，求此時(shí)貨車頂端E到水平線CD的距離DE．(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【答案】(1)10(2)5.4米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題；（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在Rt△BCG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG和BG的長(zhǎng)，然后在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出（2）延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：DC∥AG，DE⊥CD，從而可得∠CDH=90°，∠A=∠DCA=30°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠DHC=60°，再根據(jù)垂直定義可得∠EFA=90°，從而在Rt△EFH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH和EH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CH的長(zhǎng)，最后在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在Rt△BCG中，BC=102米，∠CBG=45°∴CG=BC?sin45°=102×22=10(BG=BC?cos45°=102×22=10(在Rt△ACG中，∠CAG=30°∴AG=3CG=103(米)，∴AB=AG?BG=(103?10)米，∴AB的距離為(103?10)米；（2）延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)H，由題意得：DC∥AG，∴∠CDH=90°，∵DC∥AG，∴∠A=∠DCA=30°，∴∠DHC=90°?∠DCA=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFA=90°，在Rt△EFH中，EF=3∴FH=EFtan60°=33EH=EFsin60°=33∵CF=16米，∴CH=CF+FH=(16+3)米，在Rt△CDH中，∠DCA=30°∴DH=12∴DE=DH?EH=8+32?23=8?3∴此時(shí)貨車頂端E到水平線CD的距離DE約為5.4米．6．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D為挖掘機(jī)某工作時(shí)刻的示意圖，挖掘機(jī)的底座高AB=1米，大臂由BC和CD兩部分構(gòu)成，其中BC=3米，CD=4米，BC與CD的固定夾角，∠BCD=140°，此時(shí)測(cè)得大臂的前部BC與AB的夾角∠ABC=140°，小臂DE與地面AM的夾角∠DEA=45°．（參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，sin40°≈0.64(1)求點(diǎn)C到地面AM的距離．（結(jié)果精確到0.1米）(2)已知挖掘機(jī)A正前方10米外為禁止施工路段，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)控掘機(jī)挖掘的地方是否為禁止施工路段？（結(jié)果精確到0.1米）【答案】(1)3.3米(2)不是【分析】（1）本題考查解直角三角形的應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)C，D分別作CF⊥AE，DM⊥AE，F(xiàn)，M分別為垂足，再過(guò)點(diǎn)B，C分別作BN⊥CF，CH⊥DM，N，H為垂足，根據(jù)平行線得到∠BCF=40°，結(jié)合三角函數(shù)求解即可得到答案（2）本題考查解直角三角形的應(yīng)用與等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正余弦得到DH、CH，再證出△DMC為等腰直角三角形即可得到答案；【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C，D分別作CF⊥AE，DM⊥AE，F(xiàn)，M分別為垂足，再過(guò)點(diǎn)B，C分別作BN⊥CF，CH⊥DM，N，H為垂足，如圖所示：∵AB⊥AE，CF⊥AE，∴AB∥CF，∴∠ABC+∠BCF=180°，∵∠ABC=140°，∴∠BCF=40°，在Rt△BCN中，cos∠BCF=CN∴BN=BC?sinCN=BC?cos∴CF=CN+NF=CN+AB≈2.31+1≈3.3（米），∴點(diǎn)C到地面AM的距離3.3米；（2）解：∵CF⊥AE，DM⊥AE，CH⊥DM，∴CF=MH，CH=FM，CH∥FM，∵∠BCD=140°，∠BCF=40°，∠FCH=90°，∴∠DCH=10°，在Rt△CHD中，CD=4sin∠DCH=DHCD∴CH=CD?cosDH=CD?sin∴DM=DH+HM=DH+CF≈0.68+3.3=3.98（米），∵∠DEA=45°，DM⊥AE，∴△DMC為等腰直角三角形，∴EM=DM≈3.98（米），∴AE=AF+FM+ME=BN+CH+DM≈1.92+3.92+3.98=9.82≈9.8（米），∵9.8<10，∴控掘機(jī)挖掘的地方不是禁止施工路段．7．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谥校┬c期間，小南同學(xué)從天津到北關(guān)中學(xué)瞻仰張伯苓校長(zhǎng)的雕塑，聆聽(tīng)學(xué)校的辦校故事．他從沙坪壩火車站出站后，導(dǎo)航給出兩條線路，如圖：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)A的北偏西45°方向4002米處，點(diǎn)D在點(diǎn)E的正北方向200米處，點(diǎn)M在點(diǎn)D的正東方向250米處，點(diǎn)B在點(diǎn)E的正東方向，且在點(diǎn)A的北偏東30°方向，點(diǎn)C在點(diǎn)D的正東方向，且在點(diǎn)B的北偏西37°

(1)求EB的長(zhǎng)度；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)由于時(shí)間原因，小南決定選擇一條較短路線到達(dá)張伯苓校長(zhǎng)的雕塑前，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？（參考數(shù)據(jù)2≈1.41，3≈1.73，sin37°≈0.6，cos【答案】(1)400(2)應(yīng)該選擇線路②，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用．(1)過(guò)點(diǎn)C做CH⊥BH交于點(diǎn)H，做AG⊥BE交于點(diǎn)G，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)解題即可．(2)利用解直角三角形和線段之間的關(guān)系解題即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BH交于點(diǎn)H，做AG⊥BE交于點(diǎn)G，如下圖：

∵在等腰Rt△AEG中，AE=400∴EG=AG=A∵在Rt△ABG中，AG=400∴BG=AG?tan∴BE=BG+EG=400（2）根據(jù)題1的詳解，則AB=AG在Rt△BHC中，BH=DE=200∴CH=BH?∴BC=C∴MC=DH?DM?CH=400+400線路①：AE+DE+DM=4002線路②：AB+BC+CM=800故線路②距離較短．8．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線．已知甲山上A點(diǎn)到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比為4:3，乙山上B點(diǎn)到河邊D的距離BD=650米，從B處看A處的俯角為25°．（A、B、C、D在同一平面內(nèi)，參考值：sin25°≈0.423,(1)求乙山B處到河邊CD的垂直距離；(2)求河CD的寬度（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】(1)乙山B處到河邊CD的垂直距離為520米(2)河CD的寬度約為468米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題．（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，根據(jù)已知可設(shè)BE=4k米，則DE=3k米，然后在Rt△BDE（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE，垂足為F，根據(jù)題意可得：AF=CE，AC=EF=120米，BG∥AF，從而可得∠ABG=∠BAF=25°，再利用（1）的結(jié)論可得BF=400米，然后在Rt△ABF【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，∵乙山BD的坡比為4：∴BEDE∴設(shè)BE=4k米，則DE=3k米，在Rt△BDE中，BD=∵BD=650米，∴5k=650，∴k=130，∴BE=520米，DE=390米，∴乙山B處到河邊CD的垂直距離為520米；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE，垂足為F，由題意得：AF=CE，AC=EF=120米，∴∠ABG=∠BAF=25°，∵BE=520米，∴BF=BE?EF=520?120=400（米），在Rt△ABF中，AF=∴CE=AF=858.4米，∴CD=CE?DE=858.4?390≈468（米），∴河CD的寬度約為468米．9．（2023上·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)校考期中）周末，小明和小紅相約爬山到山頂點(diǎn)C處觀景（山腳處的點(diǎn)A、B在同一水平線上），小明在A點(diǎn)處測(cè)得山頂點(diǎn)C的仰角為37°，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC爬山到達(dá)山頂C．小紅從點(diǎn)B出發(fā)，先爬長(zhǎng)為260米的山坡BD到達(dá)點(diǎn)D，BD的坡度為2.4：1，然后沿水平觀景步道DE走了450米到達(dá)點(diǎn)E，此時(shí)山頂C正好在點(diǎn)E距離900米且仰角30°處，最后爬山坡EC到達(dá)山頂C（點(diǎn)A、(1)求山頂C到AB的距離；(2)若小明和小紅分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，小明的爬山速度為50米/分，小紅的爬山速度為58米/分（小紅在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小紅的平路速度為90米/分，請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)山頂C處？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】(1)山頂C到AB的距離為450(2)小紅先到山頂，理由見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查仰俯角、勾股定理與行程問(wèn)題，三角函數(shù)的計(jì)算的綜合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作MG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CH于點(diǎn)N，由坡比可算出DF,EG,NH的值，在Rt△AEN中，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出CN（2）根據(jù)行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系分別算出小明，小紅的時(shí)間，進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作MG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CH于點(diǎn)N，根據(jù)題意可得，BD=260m，且BD的坡度為2.4：1∴在Rt△BDF中，B∴BF解得，BF=100m∴DF=2.4BF=240m根據(jù)題意可得，DF=EG=NH=240m∵點(diǎn)E的仰角為30°，即∠CEM=30°，∴∠CEN=60°，CE=900m∴在Rt△AEN中，∠ECN=30°∴EN=12CE=∴CH=CN+NH=450∴山頂C到AB的距離為4503（2）解：小紅先到山頂，理由如下，根據(jù)題意可得，在Rt△ACH中，∠A=37°∴sin37°=∴AC=CH∵小明的爬山速度為50米/分，∴小明在A點(diǎn)處測(cè)得山頂點(diǎn)C的時(shí)間為：1675÷50=33.5（分鐘），根據(jù)題意，BD+EC=260+900=1160m，小紅的爬山速度為58∴小紅上坡的時(shí)間為：1160÷58=20（分鐘），∵DE=450m，小紅的平路速度為90∴小紅平路的時(shí)間為：450÷90=5（分鐘），∴小紅從B→C的時(shí)間為：20+5=25（分鐘），∵25<33.5，∴小紅先到山頂．10．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，海面上有A，B兩個(gè)小島，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為30海里．(1)求小島A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)漁船在P處發(fā)生故障，在原地等待救援．一艘救援船以每小時(shí)45海里的速度從A地出發(fā)先沿正西方向前往B點(diǎn)去取修理的材料（取材料的時(shí)間忽略不計(jì)），再沿射線BP方向以相同的速度前往P點(diǎn)進(jìn)行救援．救援船從A點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從C點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)30海里的速度沿射線CP方向前往P點(diǎn)，已知A，P，C三點(diǎn)在同一直線上，從B測(cè)得C在B的北偏西15°方向．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明救援船能否在補(bǔ)給船到達(dá)P點(diǎn)后的40分鐘之內(nèi)趕到P點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，【答案】(1)(152(2)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD，DP的長(zhǎng)，再在Rt△PAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求出BF，證明△BCF是等腰直角三角形，求出CF，利用勾股定理求出PF，得到CP，再分別算出兩艘船分別到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間，根據(jù)差值判斷即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠BDP=∠ADP=90°，在Rt△PBD中，∠PBD=45°，BP=30∴DP=BP?sinBD=BP?cos在Rt△PAD中，∠PAD=90°?60°=30°∴AD=DP∴AB=BD+AD=(152∴小島A，B之間的距離為(152（2）不能，理由是：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB=∠CFB=90°，由題意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°?60°=30°，∴∠C=180°?∠ABC?∠PAD=45°，∴△BCF是等腰直角三角形，在Rt△ABF中，∠BAF=30°∴BF=12AB=(∴CF=BF=15∴PF=B∴PC=CF+PF=156∴補(bǔ)給船到達(dá)P點(diǎn)所用時(shí)間為：CP30=救援船到達(dá)P點(diǎn)所用時(shí)間為：AB+BP45∵1.95?1.23×60=43.2∴救援船不能在補(bǔ)給船到達(dá)P點(diǎn)后的40分鐘之內(nèi)趕到P點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，某校無(wú)人機(jī)興趣小組為測(cè)量教學(xué)樓的高度，在操場(chǎng)上展開(kāi)活動(dòng)．此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30m的D處，操控者從A處觀測(cè)無(wú)人機(jī)D的仰角為30°，無(wú)人機(jī)D測(cè)得教學(xué)樓BC頂端點(diǎn)C處的俯角為37°，又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量測(cè)得操控者A和教學(xué)樓BC之間的距離AB為60m，點(diǎn)A，B，C，(1)求此時(shí)無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)求教學(xué)樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80【答案】(1)60?30(2)24【分析】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意建立直角三角形是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，在Rt△ADE（2）在Rt△DCF中求出DF【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，如圖所示：由題意得：CF=BE，BC=EF，AB=60m，DE=30m，∠DAE=30°，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=30∴AE=DE∴CF=BE=AB?AE=故：無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度是60?303（2）解：在Rt△DCF中，∠DCF=37°∴DF=CF×tan∴BC=EF=DE?DF=30?45?故：教學(xué)樓BC的高度為24m12．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，AB表示一個(gè)窗戶的高，AM和BN表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到地面的距離BC=1m，已知某一時(shí)刻BC在地面的影長(zhǎng)CN=1.5m，AC在地面的影長(zhǎng)（2）如圖2，小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過(guò)竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.6m，竹桿頂端離地面2.4m，小明到竹桿的距離DF=2m

【答案】（1）窗戶的高度AB為2m；（2）古塔的高度是15.6【分析】（1）由題意可得BN∥AM，根據(jù)平行線分線段成比例列式求出AC，然后可得窗戶（2）證明四邊形EFDG和四邊形GDBH是矩形，可得BH=DG=EF=1.6m，EG=DF=2m，GH=DB=33m，然后證明△EGC∽△EHA【詳解】（1）解：由題意可得BN∥根據(jù)平行線分線段成比例可得：CNCM=CB∴AC=3m∴AB=AC?BC=3?1=2m答：窗戶的高度AB為2m（2）如圖，CD與EH交于點(diǎn)G，

∵小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EH∥∴∠EFD=∠FDG=∠DGE=∠HGD=∠GDB=∠DBH=90°，∴四邊形EFDG和四邊形GDBH是矩形，∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF=2m，∵竹桿頂端離地面2.4m，即CD=2.4∴CG=CD?DG=0.8m∵CD∥∴△EGC∽∴EGEH=CG解得AH=14m∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m答：古塔的高度是15.6米．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·重慶·九年級(jí)字水中學(xué)校考期中）3月份，長(zhǎng)江重慶段開(kāi)始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開(kāi)始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開(kāi)展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過(guò)往船舶有危險(xiǎn)．(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒(méi)有被影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，7【答案】(1)265米(2)會(huì)影響，長(zhǎng)度為100米，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分別為D,E，根據(jù)方位角求得∠BAC=60°，解Rt△ABE,（2）根據(jù)題意，設(shè)BF=150，勾股定理求得FD，即可求解．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分別為D,E，根據(jù)題意可得∠BPA=45°,∠PAC=15°，∴∠BAE=60°，Rt△ABE中，AB=200∴BE=AB?sin60°=200×3∵AC=300米，∴EC=AC?AE=200米，Rt△BCE中，BC=（2）會(huì)影響，長(zhǎng)度為100米，理由如下，∵AB=200米，Rt△ABD中，BD=AB?∵141<150，∴該條航道被這片淺灘區(qū)域影響，根據(jù)題意，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，設(shè)BF=150米，Rt△BFD中，F(xiàn)D=根據(jù)對(duì)稱性，可得被影響的航道長(zhǎng)度為100米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，理解題意構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谥校┤鐖D，光明中學(xué)一教學(xué)樓頂上豎有一塊高為AB的宣傳牌，點(diǎn)E和點(diǎn)D分別是教學(xué)樓底部和外墻上的一點(diǎn)（A，B，D，E在同一直線上），小紅同學(xué)在距E點(diǎn)9米的C處測(cè)得宣傳牌底部點(diǎn)B的仰角為67°，同時(shí)測(cè)得教學(xué)樓外墻外點(diǎn)D的仰角為30°，從點(diǎn)C沿坡度為1:3的斜坡向上走到點(diǎn)F時(shí)，DF正好與水平線CE(1)求點(diǎn)F到直線CE的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)若在點(diǎn)F處測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為45°，求出宣傳牌AB的高度（結(jié)果精確到0.01）．（注：sin67°≈0.92,【答案】(1)33(2)1.95米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CE于H，可得四邊形FHED是矩形，從而得到FH=DE，在Rt△CDE（2）根據(jù)CF的坡度為1:3，可得CH=3FH=9（米），從而得到EH=DF=18（米），在Rt【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CE于H，∵FD∥CE，∵FH∥DE,DF∥HE,∠FHE=90°，∴∠FHE=∠DEH=∠FDE=90°，∴四邊形FHED是矩形，∴FH=DE，在Rt△CDE中，DE=CE?∴FH=DE=33答：點(diǎn)F到CE的距離為33（2）解：∵CF的坡度為1:3∴在Rt△FCH中，CH=在Rt△DCE中，∠DCE=30°∴CE=DE∴EH=DF=18（米），∵∠AFD=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AD=DF=18米，在Rt△BCE中，BE=CE?∴AB=AD+DE?BE=18+33答：宣傳牌AB的高度約為1.95米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中校考期中）如圖，某工廠準(zhǔn)備開(kāi)發(fā)一塊四邊形ABCD的空地，點(diǎn)C在點(diǎn)D的南偏東45°方向上，點(diǎn)A在點(diǎn)D的北偏東60°方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正南方向．已知AB=2千米，CD=52千米．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，

(1)如果要在空地四周建立防護(hù)欄，需要多少千米的防護(hù)欄？（精確到0.1千米）(2)該工廠計(jì)劃用380萬(wàn)元改造該地塊，如果每平方千米的改造費(fèi)用為20萬(wàn)元，通過(guò)計(jì)算，判斷改造費(fèi)用是否充足？【答案】(1)需要19.3千米的防護(hù)欄(2)改造費(fèi)用充足，計(jì)算見(jiàn)詳解【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線段，交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作DF的垂線段，交DF于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得∠FDC=45°,∠ADE=90°?60°=30°，解直角三角形求出AD,BC的值，即可解答；（2）根據(jù)（1）求得數(shù)據(jù)，求出四邊形ABCD的面積，即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線段，交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作DF的垂線段，交DF于點(diǎn)E，

據(jù)題意可得∠FDC=45°,∠ADE=90°?60°=30°，∴sin∴FC=DF=2∵∠AEF=∠EFB=∠B=90°，∴四邊形AEFB為矩形，∴EF=AB=2千米，∴DE=DF?EF=3千米，∴cos∴AD=DE∴BF=AE=1∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BF+FC+CD+DA=7+52答：需要19.3千米的防護(hù)欄；（2）解：四邊形ABCD的面積=S∵18.562×20=371.24<380，∴判斷改造費(fèi)用充足．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練畫(huà)出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中校考期中）如圖，筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B、P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．(1)求觀測(cè)站A、B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【答案】(1)觀測(cè)站A、B之間的距離為102(2)補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD，DP的長(zhǎng)，再在Rt△PAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，根據(jù)題意得：∠ABC=105°，∠PAD=30°，從而求出∠C=45°，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長(zhǎng)，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠BDP=∠ADP=90°，在Rt△PBD中，∠PBD=90°?45°=45°，BP=20∴DP=BP·sin45°=102在Rt△PAD中，∠PAD=90°?60°=30°∴AD=DP∴AB=BD+AD=10∴觀測(cè)站A，B之間的距離為102（2）補(bǔ)給船能在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB=∠CFB=90°，由題意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°?60°=30°，∴∠C=180°?∠ABC?∠PAD=45°，在Rt△ABF中，∠BAF=30°∴BF=1在Rt△BCF中，∠C=45°∴BC=BF∴補(bǔ)給船從B到C處的航行時(shí)間=10+10320∴補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023上·重慶江北·九年級(jí)重慶十八中?？计谥校┘?、乙兩旅游愛(ài)好者從點(diǎn)B出發(fā)到點(diǎn)D，甲沿B?C?D的路線，乙沿B?A?D的路線．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的北偏西60°，點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東45°，AB=7000米，CD=20003

(1)求點(diǎn)D到直線BC的距離；(2)為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對(duì)講機(jī)，對(duì)講機(jī)信號(hào)覆蓋半徑是6000米，當(dāng)甲在點(diǎn)D，乙在點(diǎn)A時(shí)，乙能否收到甲的呼叫信號(hào)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【答案】(1)3000米(2)乙能收到甲的呼叫信號(hào)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在Rt△CDE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，在等腰直角三角形ADF中利用銳角三角函數(shù)或者勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)，比較即可解答．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

在Rt△CDE∵∠DCE=60°，CD=20003∴sin即sin60°=解得：DE=3000米∴點(diǎn)D到BC的距離為3000米；（2）乙能收到甲的呼叫信號(hào)，理由如下：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∵四邊形BEDF是矩形，∴BF=DE=3000米，∴AF=AB?BF=7000?3000=4000米，∵∠DAF=45°，∴在等腰直角△DAF中，AF=DF=4000米，sin∠DAF=即sin45°=解得：AD=20002∵5656<6000，5656<6000，∴乙能收到甲的呼叫信號(hào)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方位角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．18．（2023上·重慶·九年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D，在河流EF兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線，已知甲山AF與地面CD的夾角∠AFC=60°，乙山BE的坡比為1:1，甲山上A點(diǎn)的高度AC=600米，從A處看B處的俯角為15°．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414，(1)若AB之間電線的長(zhǎng)度為900米，求河寬EF的長(zhǎng)度：（結(jié)果精確到1米）(2)若在河邊點(diǎn)F處有一個(gè)信號(hào)接收站，信號(hào)站附近480米內(nèi)有電流會(huì)影響信號(hào)接收，請(qǐng)問(wèn)電線安裝完成后，是否會(huì)影響信號(hào)接收站的正常工作，并說(shuō)明理由．【答案】(1)161米(2)不會(huì)影響信號(hào)接收站的正常工作，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)及矩形的性質(zhì)得出CF=2003，DH=600，確定BH=234，AH=873，再由坡度確定DE=BD=366（2）過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)E，連接FB，利用三角形等面積法求解即可．【詳解】（1）：根據(jù)題意得四邊形ACDH為矩形，∵∠AFC=60°，AC=600，∴CF=ACtan60°∵AB=900，∠HAB=15°，∴BH=sin15°?AB=234，∴BD=600?234=366，CD=AH=873，∵乙山BE的坡比為1:1，∴DE=BD=366，∴EF=873?366?2003（2）解：過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)E，∵AH∥BC，∠AFC=60°，∴∠FAH=∠AFC=60°．∵∠BAH=15°，∴∠BAF=∠FAH?∠BAH=45°．在Rt△ACF中，tan∴CF=AC∴AF=2CF=4003在Rt△AGF中，sin∴FG=AFsin45°=4003×2∴不會(huì)影響信號(hào)接收站的正常工作．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中校考期中）如圖，一條自西向東的道路上有兩個(gè)公交站點(diǎn)，分別是B和C，在B的北偏東60°方向上有另一公交站點(diǎn)A．經(jīng)測(cè)量，A在C的北偏西30°方向上，一輛公交車從B出發(fā)，沿BC行駛15003?1500米到達(dá)D處，此時(shí)D在A的西南方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414(1)求CD的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)該公交車原計(jì)劃由D→C行駛，其平均速度為400米/分，但當(dāng)行駛到D點(diǎn)時(shí)，接到通知，DC段道路正在維修，需要沿D→A→C繞道行駛，為了盡快到達(dá)C站點(diǎn)，繞道時(shí)其平均速度提升到500米/分．那么原計(jì)劃所用時(shí)間和實(shí)際所用時(shí)間相比，哪個(gè)更少？請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果保留1位小數(shù)）【答案】(1)1500+5003(2)原計(jì)劃所用時(shí)間較少，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A，作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，求得BD=3?1AE，進(jìn)而得出AE=1500（2）根據(jù)題意，求得AD+AC，然后根據(jù)路程除以速度，比較兩段時(shí)間，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A，作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，在Rt△ABE中，BE=在Rt△ADE中，AE=DE在Rt△AEC中，EC=∵BD=BE?DE=33?1∴AE=1500，∴CD=DE+EC=AE+3（2）解：DA+AC=2=15002D→C行駛所需時(shí)間為：1500+5003沿D→A→C繞道行駛所需時(shí)間為：15002∵7.7>5.9，∴原計(jì)劃所用時(shí)間較少．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方位角問(wèn)題，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2022上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谥校榱顺浞掷媒淌依锏臅?shū)架，培養(yǎng)同學(xué)們養(yǎng)成收集和整理的好習(xí)慣，張老師為每個(gè)學(xué)習(xí)小組購(gòu)買(mǎi)了同一規(guī)格的矩形資料盒．如圖所示，右邊10個(gè)資料盒沿書(shū)架內(nèi)側(cè)依次豎直放置，最左邊一個(gè)資料盒自然斜放，A、D、E分別是資料盒與書(shū)架內(nèi)側(cè)、書(shū)架底面、另一資料盒側(cè)面的接觸點(diǎn)（A、B、C、D，E，F(xiàn)、H在同一平面內(nèi)）．已知書(shū)架內(nèi)側(cè)長(zhǎng)BC=90cm，資料盒AD=EF=18

(1)求△ABD的周長(zhǎng)；（結(jié)果精確到十分位）(2)若每4人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，張老師班上共有56人，請(qǐng)問(wèn)該書(shū)架能放下全班的資料盒嗎？【答案】(1)73.8(2)該書(shū)架能放下全班的資料盒【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AB=12AD=9（2）設(shè)每個(gè)資料盒厚xcm，則DE=xcm，證出∠DEH=∠ADB=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DH=12DE=【詳解】（1）解：在Rt△ABD中，∠BDA=30°，AD=18∴AB=12AD=9∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD=93（2）解：設(shè)每個(gè)資料盒厚xcm，則DE=x∵∠EDH+∠DEH=90°，∠EDH+∠ADB=90°，∴∠DEH=∠ADB=30°，∴DH=1由圖可得：BD+DH+CH=BC，∴27+1解得：x=6，∴每個(gè)資料盒厚6cm∵56÷4=14，∴14×6=84<90，∴該書(shū)架能放下全班的資料盒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．21．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）周末，小明和小紅相約爬山到山頂點(diǎn)C處觀景（山腳處的點(diǎn)A、B在同一水平線上）．小明在A點(diǎn)處測(cè)得山頂點(diǎn)C的仰角為30°，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC爬山到達(dá)山頂C．小紅從點(diǎn)B出發(fā)，先爬長(zhǎng)為4003米的山坡BD到達(dá)點(diǎn)D，BD的坡度為3:1，然后沿水平觀景步道DE走了900米到達(dá)點(diǎn)E，此時(shí)山頂C正好在點(diǎn)E的東北方向1800米處，最后爬山坡EC到達(dá)山頂C（點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，小明、小紅的身高忽略不計(jì)）．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414(1)求山頂C到AB的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)若小明和小紅分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，小明的爬山速度為70米/分，小紅的爬山速度為60米/分（小紅在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小紅的平路速度為90米/分，請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)山頂C處？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】(1)山頂C到AB的距離約為1873米(2)小紅先到達(dá)山頂C處，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)K．由BD的坡度為3:1，得到∠B=60°，在Rt△DBH和Rt△ECK中，利用特殊三角函數(shù)值分別求出DH（2）在Rt△ACM中，∠CAM=30°，得到AC=2CM=1200+1800【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)K．由題意得，DH=KM，CK⊥EK，∵BD的坡度為3:1∴∠B=60在Rt△DBH中，sinB=DH∴DH=BD?sin在Rt△ECK中，∠CEK=45°，EC=1800∴CK=sin∴CM=KM+CK=DH+CK=600+9002答：山頂C到AB的距離約為1873米．（2）解：小紅先到達(dá)山頂C處，理由如下：由題意得，在Rt△ACM中，∠CAM=30°∴AC=2CM=1200+18002∴小明到達(dá)山頂所需時(shí)間為：1200+1800270≈53.5∵53.5>51.5，∴小紅先到達(dá)山頂C處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）某城區(qū)正在創(chuàng)建文明城市，政府在一塊形如Rt△ABC的草坪旁邊修建一條四邊形人行跑道BCED．如圖，點(diǎn)A、B、D在同一直線上，∠BAC=90°，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向200米處，點(diǎn)E在點(diǎn)C的正北方向，BD長(zhǎng)為180米，點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏西45°方向，點(diǎn)D在點(diǎn)E

(1)求跑道DE的長(zhǎng)度；(2)點(diǎn)D處有一個(gè)自動(dòng)售貨機(jī)，小才從點(diǎn)C出發(fā)沿人行跑道去自動(dòng)售貨機(jī)買(mǎi)水，可以經(jīng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明小才走哪條路較近．（結(jié)果精確到個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80,【答案】(1)300米(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由三角函數(shù)求出DE即可．（2）由點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏西45°方向，可得到Rt△ABC是等腰三角形，即可求出BC的值，可求出總路程，由（1）可知DE【詳解】（1）解：由題意知BE=AC=200，∵點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏西53°方向，∴∠BDE=53°，cos53°=解得DE=300．（2）解：∵點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏西45°方向，∴Rt△ABC∴AC=AB=200，∴BC=A∵2∴BC=282，故從點(diǎn)C出發(fā)沿人行跑道去自動(dòng)售貨機(jī)買(mǎi)水，可以經(jīng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D的路程=BC+DB=462，經(jīng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D的路程=EC+ED=200+300=500，∵462<500，故從點(diǎn)C出發(fā)沿人行跑道去自動(dòng)售貨機(jī)買(mǎi)水，可以經(jīng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D比較近．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．23．（2023上·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）五一假期期間，小育和小才約定一同去某公園游玩，如圖，該公園有A、B兩個(gè)門(mén)．經(jīng)測(cè)量，東門(mén)A在西門(mén)B的正東方向，AB＝400米．小育自公園東門(mén)A處出發(fā)，沿北偏西45°方向前往游樂(lè)場(chǎng)D處；小才自西門(mén)B處出發(fā)，沿正北方向行走一段距離到達(dá)C處后，然后沿北偏東60°方向行走200米到達(dá)游樂(lè)場(chǎng)

(1)求公園東門(mén)A與游樂(lè)場(chǎng)D之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)若小育和小才兩人分別從A，B兩門(mén)同時(shí)出發(fā)，假設(shè)兩人前往游樂(lè)場(chǎng)D的速度相同．請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明小育和小才誰(shuí)先到達(dá)游樂(lè)場(chǎng)D？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3【答案】(1)4002(2)小育先到達(dá)游樂(lè)場(chǎng)，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)即可解答；（2）根據(jù)等腰直角三角形及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E，∵∠CBH=90°，∴四邊形CEHB是矩形，∵CD=200米，∠DCE=30°，∠DAH=45°，∴CE=cos∠DCE?CD=1003∴CE=BH=1003∵AB=400米，∴AH=AB?BH=400?1003∴AD=AH即公園東門(mén)A與游樂(lè)場(chǎng)D之間的距離4002（2）解：∵∠DAH=45°，AH=AB?BH=400?100∴AH=DH=400?100∴BC=HE=DH?DE=400?1003∴BC+CD=300?1003∵AD=4002∴AD<BC+CD，∴小育先到達(dá)游樂(lè)場(chǎng)，【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵．24．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）某長(zhǎng)500米的水庫(kù)大壩的橫截面是的四邊形ABCD，壩頂CD與壩底BA平行，已知壩高24米，背水坡AD的坡度i=1:0.5．為提高大壩防洪能力，現(xiàn)需要在大壩的背水坡填筑土石方加固，加固后壩頂加寬6米（即DF=6米），∠AEF=60°．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732

(1)求壩底加寬的寬度AE；（保留根號(hào)）(2)據(jù)相關(guān)部門(mén)統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)有填筑土石方83130立方米，請(qǐng)問(wèn)是否足夠加固大壩所需？【答案】(1)8(2)現(xiàn)有填筑土石方83130立方米，不夠加固大壩所需【分析】（1）過(guò)點(diǎn)F作FH∥DA交BE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，則FG=24m，證明四邊形DAHF是平行四邊形，可得DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB，從而可得tan∠FHA=tan∠DAB=2，由題意可得，tan（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，由題意可得，DM=24m，tan∠DAB=2，解直角三角形求得AM=12m，從而求得ME=83+6m【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)F作FH∥DA交BE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)則FG=24m∵FH∥DA，∴四邊形DAHF是平行四邊形，∴DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB由題意可得，tan∠FHA=tan∠DAB=在Rt△FGH中，tan∠FHA=FG∴GH=12m在Rt△FGE中，tan∴GE=83∴HE=GE?GH=8∴AE=AH+HE=6+83

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，由題意可得，DM=24m，tan在Rt△DMA中，tan∴AM=12m∴ME=AM+AE=12+83∴S四邊形∴加固大壩的體積為963答：現(xiàn)有填筑土石方83130立方米，不夠加固大壩所需．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、平行四邊形的判定與性質(zhì)，理解題意，正確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？级＃┠硠?dòng)物園熊貓基地D新誕生了一只小熊貓，吸引了大批游客前往觀看．由于A、B之間的道路正在進(jìn)行維護(hù)，暫時(shí)不能通行．游客由入口A進(jìn)入園區(qū)之后可步行到達(dá)點(diǎn)C，然后可以選擇乘坐空中纜車從C→D，也可選擇乘坐觀光車從C→B→D．已知點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向300米處，點(diǎn)D在點(diǎn)B的北偏東60°方向上，且BD=400米．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，

(1)求CD的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；(2)已知空中纜車的速度是每分鐘200米，觀光車的速度是每分鐘320米，若游客想盡快到達(dá)熊貓基地D，應(yīng)選擇乘坐空中纜車還是觀光車？【答案】(1)CD≈446米；(2)應(yīng)選擇乘坐觀光車．【分析】（1）作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，推出四邊形MBNC是矩形，得到CM=BN，CN=MB，求出BN=12BD=12×400=200（米），由銳角的正切定義求出（2）分別求出乘坐空中纜車，觀光車所用的時(shí)間，即可判斷．【詳解】（1）解：作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，

∵AB∥∴四邊形MBNC是矩形，∴CM=BN，∵∠DBN=60°，∴BN=1∵tan∠NBD=∴DN=2003∵∠CAM=45°，∴△AMC是等腰直角三角形，∴AM=CM=200（米），∴MB=AB?AM=100（米），∴CD=CN+ND=100+2003（2）解：由勾股定理得到BC=M∴BC+BD=400+1005∴乘坐觀光車的時(shí)間是623.6÷320≈1.95（分鐘），乘坐空中纜車的時(shí)間是446÷200=2.23（分鐘），∴應(yīng)選擇乘坐觀光車．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，勾股定理，關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)定義來(lái)解決問(wèn)題．26．（2023下·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁．一艘貨輪由西向東航行，開(kāi)始在A島西偏南30.96°的B處，即∠ABD＝30.96°，往東行駛10海里后到達(dá)該島西南方向的C處，即∠ACD＝45°．貨輪繼續(xù)向東航行是否有觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：sin30.96≈0.51，cos30.96°≈0.86，【答案】沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)【分析】設(shè)AD＝x海里，通過(guò)解直角三角形求出BD、CD，再根據(jù)BC＝BD－CD，得到53x－x＝10，解方程即可求出AD【詳解】解：設(shè)AD＝x海里．在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠ABD＝xtan30.96在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝xtan∵BC＝BD－CD，∴53x－x＝10．解得，x∴AD=15＞10．答：貨輪繼續(xù)向東航行沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，明確題意得到方程53x－x27．（重慶市云陽(yáng)縣第一初級(jí)中學(xué)教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在公園里，同一平面內(nèi)的五處景點(diǎn)的道路分布如圖所示，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)D、E均在點(diǎn)C的正北方向且CE=600米，點(diǎn)B在點(diǎn)C的正西方向，且BC=2003米，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東60°方向且AB=400米，點(diǎn)D在點(diǎn)A的東北方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732(1)求道路AD的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；(2)若甲從A點(diǎn)出發(fā)沿A?D?E的路徑去點(diǎn)E，與此同時(shí)乙從點(diǎn)B出發(fā)，沿B?A?E的路徑去點(diǎn)E，其速度為40米/分鐘．若兩人同時(shí)到達(dá)點(diǎn)E，請(qǐng)比較誰(shuí)的速度更快？快多少？（精確到十分位）【答案】(1)AD的長(zhǎng)度為980米(2)甲比乙快，快2.4米/分鐘【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC，垂足為G，根據(jù)題意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF，BF的長(zhǎng)，從而求出CF的長(zhǎng)，再在Rt△（2）利用（1）的結(jié)論可求出EG的長(zhǎng)，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，然后在Rt△【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC，垂足為G，由題意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，∴AF=AB?cos60°=400×1BF=AB?sin60°=400×3∴CG=AF=200米，∵BC=2003∴CF=BF+BC=2003+2003∴AG=CF=4003在Rt△ADG中，∴AD=AGcos45°∴道路AD的長(zhǎng)度約為980米；（2）∵CE=600米，CG=200米，∴EG=CE?CG=400（米)，在Rt△AGE中，∴AE=AG2在Rt△ADG中，∴DG=AG?tan45°=4003∴甲的路程=AD+DE=AD+DG?EG=(4006乙的路程=AB+AE=400+800=1200（米)，∵乙的速度為40米/分鐘，∴乙所用的時(shí)間=1200∴甲所用的時(shí)間也是30分鐘，∴甲的速度=4006+400∴42.4?40=2.4（米/分鐘），∴若兩人同時(shí)到達(dá)點(diǎn)E，甲的速度更快，快2.4米/分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．28．（2023下·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谥校┬∶魅ヂ糜?，在某地有A，B，C，D，4個(gè)景點(diǎn)．如圖，C在A的東北方向，C和D分別在B的北偏東30°和北偏東75°處，C在D的西北方向，B在A的正東方向600米處．

(1)求BC的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)由于參觀D處的人較少，景點(diǎn)負(fù)責(zé)人決定分別從C、B處修建一條筆直的小路，為人們參觀D提供方便．現(xiàn)有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)，已知甲工程隊(duì)的工作效率為50米/天，甲修建好CD的同時(shí)，乙工程隊(duì)剛好修建好BD，請(qǐng)求出乙工程隊(duì)的工作效率．（結(jié)果精確到個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：3=1.732【答案】(1)BC的長(zhǎng)度為(6003(2)乙工程隊(duì)的工作效率約為68米/天【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)BE=x，表示出CE，BC，AE，根據(jù)AB=600求出x，即可得到BC；（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD，交BD于點(diǎn)F，設(shè)DF=a，表示出相應(yīng)線段，根據(jù)BC=6003+600求出a值，得到CD，【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由題知：∠CAB=45°，∠CBE=60°，設(shè)BE=x，在Rt△BCE中，∠CBE=60°∴CE=3BE=3在Rt△ACE中，∠CAB=45°∴AE=CE=3∴AB=AE?BE=3∴x=3003∴BC=2x=6003答：BC的長(zhǎng)度為(6003（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD，交BD于點(diǎn)F，由題知：∠CBD=45°，∠CDB=60°，設(shè)DF=a，在Rt△CDF中，∠CDF=60°∴CF=3DF=3在Rt△BCF中，∠CBF=45°∴BF=CF=3a，∴a=3002∴DC=2a=6002+2006∵甲修CD，乙修BD，且同時(shí)修好，∴DCv甲=∴v乙答：乙工程隊(duì)的工作效率約為68米/天．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析，將角的度數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊三角形的性質(zhì)．29．（2023年重慶市第一中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試題）五一節(jié)日到來(lái)，重慶又一次成為全國(guó)火熱城市，小明和小亮兩人相約去觀賞洪崖洞夜景，小明從A地出發(fā)，小亮從B地出發(fā)，相約到C地觀景．在A處測(cè)得C在A的北偏東45°方向上，在B處測(cè)得C在B的正北方向上，且B在A的北偏東75°方向上．小明小亮同時(shí)分別從A、B兩地出發(fā)，他們約定先在AC上的D處匯合，小明沿著AC方向慢跑，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了2分鐘到達(dá)D（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，

(1)求AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)他們?cè)贒處匯合的時(shí)間恰好為18：58，若他們匯合之后立即沿DC方向同行的速度為200m/min（匯合時(shí)間忽略不計(jì)）則他們能在19：00【答案】(1)1502+150(2)能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)題意得出∠CAE=45°,∠DAB=75°?45°=30°，∠BAE=90°?75°=15°，∠DBF=45°，得出BF=DF=22DB=1502m，在Rt△DAF（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，得出CD=2DG，Rt△BDG中，得出DG=1503，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)，依題意，【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，

∵在A的北偏東45°方向上，在B處測(cè)得C在B的正北方向上，且B在A的北偏東75°方向上．∴∠CAE=45°,∠DAB=75°?45°=30°，∠BAE=90°?75°=15°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°?∠BAE=90°?15°=75°∵小亮從B地出發(fā)，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了∴BD=150×2=300m，∠CBD=60°，∴∠DBF=45°，∴BF=DF=22DB=150在Rt△DAF中，AF=∴AB=AF+FB=1502+150（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，

∵∠EAC=45°，∠E=90°，∴∠C=45°，∴CD=2∵Rt△BDG中，∴CD=2DG=1506∵200×2=400>367.5，∴他們能在19：00之前到達(dá)C地．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．30．（2023年重慶市渝中區(qū)巴蜀中學(xué)校中考三模數(shù)學(xué)試題）如圖為某體育公園部分示意圖，C為公園大門(mén)，A、B、D分別為公園廣場(chǎng)、健身器材區(qū)域、兒童樂(lè)園．經(jīng)測(cè)量：A、B、C在同一直線上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，點(diǎn)D在點(diǎn)B的南偏東75°方向，在點(diǎn)A的東南方向．

(1)求B、D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1m(2)大門(mén)C在兒童樂(lè)園D的南偏西60°方向，由于安全需要，現(xiàn)準(zhǔn)備從兒童樂(lè)園D牽一條筆直的數(shù)據(jù)線到大門(mén)C的控制室，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明公園管理部門(mén)采購(gòu)的380米數(shù)據(jù)線是否夠用（接頭忽略不計(jì)）．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414,【答案】(1)B、D兩地的距離為339.4(2)公園管理部門(mén)采購(gòu)的380米數(shù)據(jù)線夠用【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AD于點(diǎn)P，在Rt△ABP中，解直角三角形求出BP，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)即可求出BD（2）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，在Rt△BDN和Rt△BCM中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出BD，BM，DM，CM，繼而求出【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AD于點(diǎn)P，

由題意知∠BAD=45°，∠CBD=75°，∴∠ADB=30°，∠ABP=45°=∠A，∴BD=2BP，AP=BP，在Rt△ABP中，AB=240∴AP=BP=AB∴BD=2BP=2402答：B、D兩地的距離約為339.4m；（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，

由（1）得BD=2BP=2402∵∠CDB=180°?60°?75°=45°，∠CBD=75°，∠DCB=60°，∴∠DBM=45°=∠CDB，∴BM=DM，在Rt△BDN中，BD=2402，∴BM=DM=BD?sin在Rt△BCM中，∠CBM=75°?45°=30°∴CM=BM?tan∴DC=DM+CM=240+803∵380>378.56，答：公園管理部門(mén)采購(gòu)的380米數(shù)據(jù)線夠用．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．31．（2023年重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考三模數(shù)學(xué)試題）五一假期，不少人選擇乘坐飛機(jī)出游．?huà)寢尯托∶鲝暮秸緲侨肟邳c(diǎn)B處前往登機(jī)口點(diǎn)A處登機(jī)．已知點(diǎn)A位于點(diǎn)B東北方向且AB=100米．點(diǎn)B的正東方向有另一入口點(diǎn)C，商店D位于點(diǎn)C的正北方向，同時(shí)位于點(diǎn)A的南偏東60°，AD=40米．

(1)求兩個(gè)入口BC的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)媽媽和小明到達(dá)航站樓時(shí)間為上午9：00，登機(jī)時(shí)間為9：30.媽媽見(jiàn)時(shí)間尚早，決定和小明一起先去商店D處逛逛，他們沿B→C→D→A路線行走，步行速度為60米/分，在商店D處逗留25分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明媽媽和小明是否能準(zhǔn)時(shí)登機(jī)？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【答案】(1)502(2)能【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，則四邊形CDFE是矩形，CE=DF，解Rt△AEB、Rt△AFD求得BE、（2）通過(guò)解Rt△AEB，Rt△AFD求得AE、AF，進(jìn)而求得CD，根據(jù)“時(shí)間=路程【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，

∴四邊形CDFE是矩形，∴CE=DF，∵在Rt△AEB中，AB=100，∠ABE=45°∴BE=cos∵在Rt△AFD中，AD=40，∠FAD=60°∴DF=sin∴BC=BE+CE=502答：兩個(gè)入口BC的距離為502（2）解：∵在Rt△AFD中，AD=40，∠FAD=60°∴AF=cos∵在Rt△AEB中，AB=100，∠ABE=45°∴AE=sin∵四邊形CDFE是矩形，∴CD=EF=AE?EF=70.5?20=50.5（米），∴BC+CD+DA=502∵195.6÷60+25=28.26<30，∴媽媽和小明可以能準(zhǔn)時(shí)登機(jī)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方位角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．32．（2023年重慶市南開(kāi)中學(xué)校中考二模數(shù)學(xué)試題）想了一百種初夏的文案，也不及一場(chǎng)露營(yíng)的美好，歡歡和樂(lè)樂(lè)兩家人周末自駕去草原營(yíng)地C露營(yíng)，如圖，兩家人同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，歡歡駕駛?cè)加蛙囎晕飨驏|行駛到點(diǎn)B，再沿北偏東60°方向行駛到營(yíng)地C．由于樂(lè)樂(lè)駕駛電動(dòng)汽車，需先到位于點(diǎn)A東北方向的充電站D充電，充電時(shí)間為30分鐘，完成充電后立即從點(diǎn)D出發(fā)，前往位于點(diǎn)D正東方向的營(yíng)地C．已知AD=60千米，CD=90千米．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41,

(1)求BC的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)歡歡到達(dá)營(yíng)地C后立即開(kāi)始搭帳篷，搭建過(guò)程需1個(gè)小時(shí)．已知?dú)g歡駕駛?cè)加蛙嚨乃俣葹?0千米/時(shí)，樂(lè)樂(lè)駕駛電動(dòng)汽車的速度為75千米/時(shí)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明歡歡能否在樂(lè)樂(lè)到達(dá)營(yíng)地C前搭完帳篷．【答案】(1)BC的長(zhǎng)度為602(2)歡歡不能在樂(lè)樂(lè)到達(dá)營(yíng)地C時(shí)搭完帳篷【分析】（1）過(guò)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，作BM⊥CD于點(diǎn)M，解Rt△ADN求出DN=302千米，再證明四邊形DNBM為矩形，得出BM=DN=302（2）分別求出兩人所需時(shí)間，再進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）過(guò)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，作BM⊥CD于點(diǎn)M，如圖，

由題得：∠DAN=45°,∠CBM=60°,AD=60千米，在Rt△ADN中，∠DNA=90°∴DN=ADsin∵∠DNB=∠NBM=∠BMD=90°，∴四邊形DNBM為矩形，∴BM=DN=302在Rt△CBM中，∠BMC=90°,BC=答：BC的長(zhǎng)度為602（2）在Rt△CBM中，∠BMC=90°CM=BCsin∵CD=90千米，∴DM=CD?CM=90?30∵四邊形DNBM是矩形，∴BN=DM=90?30在Rt△ADN中，∠DNA=90°∴AN=ADcos∴AB=AN+BN=90?30∴AB+BC=90?30∴t歡∵AD+CD=60+90=150千米∴t樂(lè)∴t∴歡歡不能在樂(lè)樂(lè)到達(dá)營(yíng)地C時(shí)搭完帳篷．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，從題目中提取數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．33．（2023年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)中考二模數(shù)學(xué)試題）“輕軌飛梭幻影重，上天入地駛樓中”，8D魔幻城市重慶吸引了全國(guó)各她的游客，而李子壩的“輕軌穿樓”成了游客們爭(zhēng)相打卡的熱門(mén)景點(diǎn)．如圖，已知斜坡CD底端C距離輕軌所穿樓棟AB底端A處30米遠(yuǎn)，斜坡CD長(zhǎng)為42米，坡角為30°，DE⊥CE，為了方便游客拍照，現(xiàn)需在距斜坡底端C處12米的M處挖去部分坡體修建一個(gè)平行于水平線CE的觀景平臺(tái)MN和一條新的坡角為45°的斜坡DN．

(1)求觀景平臺(tái)MN的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）(2)小青在N處測(cè)得輕軌所穿樓棟AB頂端B的仰角為30°，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且AB⊥AE，求輕軌所穿樓棟AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，2≈1.414，3【答案】(1)觀景臺(tái)MN的長(zhǎng)為153(2)輕軌所穿樓棟AB的高度為35.7米【分析】（1）由題意可得：∠ECD=30°，∠DNF=45°，CM=12，CD=42，則DM=CD?CM=30，延長(zhǎng)MN交DE于點(diǎn)F，在（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AE于點(diǎn)H，MG⊥AB于點(diǎn)G，則四邊形AGMH為矩形，從而可得到AG=MH=6，MG=AH=AC+CH=30+63，則NG=MG+MN，在Rt△BNG中，【詳解】（1）解：由題意可得：∠ECD=30°，∴DM=CD?CM=30，延長(zhǎng)MN交DE于點(diǎn)F，

，∵M(jìn)N∥CE，∴∠DMF=30°，在Rt△DMF中，∠DMF=30°∴DF=1在Rt△DNF中，∠DNF=45°∴FN=DF=15，∴MN=FM?FN=153答：觀景臺(tái)MN的長(zhǎng)為153（2）解：在Rt△MCH中，∠MCH=30°∴MH=12CM=6過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AE于點(diǎn)H，MG⊥AB于點(diǎn)G，如圖所示，

，則四邊形AGMH為矩形，∴AG=MH=6，∴NG=MG+MN=30+63在Rt△BNG中，∠BNG=30°∴BG=NG?tan∴AB=BG+AG=53答：輕軌所穿樓棟AB的高度為35.7米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，正確的進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．34．（2023年重慶市巴蜀中學(xué)校中考二模數(shù)學(xué)試題）五一節(jié)期間，小墩和小融相約去動(dòng)物園A游玩，小融家C在小墩家B正北方向，動(dòng)物園A在小墩家B的北偏西30°方向上、在小融家C的北偏西75°方向上，已知小墩家B與小融家C距離為1600米．

(1)求動(dòng)物園A與小墩家B距離為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）(2)在小墩家的正西方向有一個(gè)路口D恰好位于AB的中點(diǎn)M的正南方向，出發(fā)當(dāng)天路段BM因施工無(wú)法通行，小墩到動(dòng)物園A可以走路線1：B→C→A，也可以走路線2；B→D→M→A，請(qǐng)經(jīng)過(guò)計(jì)算說(shuō)明他走哪一條路線較近？（參考數(shù)據(jù)：3=1.73，2【答案】(1)800+8003(2)走路線2：B→D→M→A較近【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于N，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠A=45°，則AN=CN，在Rt△BNC中求出CN和BN（2）根據(jù)AB的值確定BN的值，解直角三角形求出BD、DM，分別求出路線B→C→A，路線B→D→M→A，比較即可得出答案．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB于N，

∵∠ABC=30°∴∠A=75°?30°=45°∴CN=BC·BN=BC?∵∠A=45°，CN⊥AB∴AN=CN=800m，∴AB=AN+BN=800+800答：動(dòng)物園A與小融家C距離為800+8003（2）∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)∴AM=BM=400+400∵BC∴∠BMD=∠ABC=30°∵∠D=90°∴BD=DM=∵AN=CN=800m，∴AC=∴路線1：B→C→A為BC+AC=800路線2：B→D→M→A為BD+DM+AM=1200+800∵2584<2728∴走路線2：B→D→M→A較近．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，等腰直角三角形的判定和三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．35．