2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.3-平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.3-平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用-專項(xiàng)訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．已知向量a，b的夾角為π6，且|a|＝2，|b|＝1，則a·(b－aA．3－4 B．33－4C．－2 D．12．已知向量a，b滿足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，則|a|2－|b|2＝()A．－2 B．－1C．0 D．13．已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k)，若a與b垂直，則a與a＋b夾角的余弦值為()A．55 B．3C．23 D．4．已知非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a－b在b上的投影向量為()A．－a B．－bC．a(chǎn) D．b5．如圖，在菱形ABCD中，若AC＝4，則CA·ABA．8 B．－8C．4 D．－46．兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為sA＝(4，3)，sB＝(－2，6)，則sB在sA上的投影向量的長(zhǎng)度為()A．10 B．102C．1010 7．(2024·重慶模擬)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(22，1)，則|3a＋b|＝()A．22 B．15C．32 D．58．已知向量a＝(2，m)，b＝(3，1)，若向量a，b的夾角是銳角，則m的取值范圍是()A．(－6，＋∞)B．?C．?6D．?6二、多項(xiàng)選擇題9．設(shè)a，b，c是三個(gè)非零向量，且相互不共線，則下列說(shuō)法正確的是()A．若|a＋b|＝|a－b|，則a⊥bB．若|a|＝|b|，則(a＋b)⊥(a－b)C．若a·c＝b·c，則a－b不與c垂直D．(b·c)a－(a·c)b不與c垂直10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，則()A．|OP1|＝|B．|AP1|＝|C．OA·OD．OA·O三、填空題11．已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥OA，且m與OB的夾角為鈍角，寫出一個(gè)滿足條件的m的坐標(biāo)：________．12．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，則a·b＋b·c＋c·a＝________．13．已知非零向量AB，AC滿足AB·BCAB＝AC·CBACA．鈍角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形14．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示的是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心O，圓O的半徑為1，點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)，則PE·已知△ABC的面積S滿足3≤2S≤3，且AB·BC＝3，AB與BC的夾角為θ，則AB與參考答案1．A[a·(b－a)＝a·b－a2＝2×1×cosπ6－22＝32．B[向量a，b滿足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故選B.]3．A[根據(jù)題意，設(shè)a與a＋b夾角為θ，因?yàn)閍與b垂直，所以a·b＝1×4＋2k＝0，解得k＝－2，則b＝(4，－2)，a＋b＝(5，0)，則cosθ＝a·a+ba4．B[∵|a＋b|＝|a－b|，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，可得a·b＝0，∴a－b在b上的投影向量為b·a?bb·b5．B[法一：CA·AB＝－AC·AB＝－AC·ABcos∠CAB，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以ABcos∠CAB＝法二：建系如圖所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，設(shè)B(0，－b)，則CA＝(－4，0)，AB＝(2，－b)，∴CA·]6．D[設(shè)sB與sA的夾角為θ，則cosθ＝sB·sA|所以sB在sA上的投影向量的長(zhǎng)度為||sB|cosθ|＝210×1010＝2.故選7．D[因?yàn)閨a＋b|＝222+12＝3，即|a＋b|＝|a|＋|b|，則a，b同向，所以|3a＋b8．C[因?yàn)閍＝(2，m)，b＝(3，1)，所以a·b＝6＋m.因?yàn)橄蛄縜，b的夾角是銳角，所以a解得m>－6，且m≠23所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?6，9．AB[∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，解得a·b＝0，故a⊥b，故A正確；∵|a|＝|b|,∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，故由向量垂直的性質(zhì)可知，(a＋b)⊥(a－b)，故B正確；∵a·c＝b·c，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝0，∴a－b與c垂直，故C錯(cuò)誤；∵[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，∴根據(jù)向量垂直的性質(zhì)可知，(b·c)a－(a·c)b與c垂直，故D錯(cuò)誤．故選AB.]10．AC[由題可知，|OP1|＝cos2α+sin2α＝1，|OP取α＝π4，則P122，22則P2?22，22，則|AP1因?yàn)镺A·OP3＝cos(α＋β)，OP1·OP2＝cosαcosβ－sinαsinβ因?yàn)镺A·OP1＝cosα，OP2·OP3＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(α＋2則OA·OP1＝22，OP2·11．(－1，－2)(答案不唯一)[根據(jù)題意可得：OA＝(1，2)，OB＝(3，－1)，設(shè)m＝(x，y)，因?yàn)橄蛄縨∥OA，且m與OB的夾角為鈍角，所以1·y=2·x，3·12．－92[法一：由a＋b＋c＝0?(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c∴a·b＋b·c＋a·c＝－92法二：由a＋b＝－c?a2＋b2＋2a·b＝c2?a·b＝－12由a＋c＝－b?a2＋c2＋2a·c＝b2?a·c＝－12由b＋c＝－a?b2＋c2＋2b·c＝a2?b·c＝－72∴a·b＋b·c＋c·a＝－9213．D[∵AB·BCAB＝AC·CBAC，∴AB·BCAB∴∠B＝∠C，∴△ABC為等腰三角形，又∵ABAB·ACAC＝12，∴cos〈AB，AC〉＝12，∴cosA＝12，又A∈14．2[如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BE所在直線為x軸，BE的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，由題意知，E(2，0)，O(0，0)，則PE＝(2－cosθ，－sinθ)，OE＝(2，0)，所以PE·OE＝4－2cos