2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.1-分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.1-分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．若一個(gè)三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個(gè)數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重?cái)?shù)”．例如：232,114等，則不超過(guò)200的“單重?cái)?shù)”中，從小到大排列第22個(gè)“單重?cái)?shù)”是()A．166 B．171C．181 D．1882．7名旅客分別從3個(gè)不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是()A．343 B．2187C．210 D．353．已知集合P＝{1,2,3,4,5}，若A，B是P的兩個(gè)非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為()A．49 B．48C．47 D．464．幾只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；(2)乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；(3)丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝G，A，C；(4)丁在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝B，D，H；(5)戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝I，C，E，則這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有()A．23種 B．24種C．32種 D．33種5．將編號(hào)1,2,3,4的小球放入編號(hào)為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號(hào)不能相同，則不同的放球方法有()A．16種 B．12種C．9種 D．6種6．李雷和韓亮兩人都計(jì)劃在國(guó)慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都——泉州”“兩日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有()A．16種 B．18種C．20種 D．24種7.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有()A．192種 B．336種C．600種 D．624種8．(多選題)某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)n(n≥4)封不同的電子郵件，則對(duì)滿足n≥4的任意n值，不同的發(fā)送方法可能有()A．64種 B．81種C．243種 D．730種二、填空題9．由數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的偶數(shù)共有個(gè)．10．現(xiàn)用4種不同的顏色為一行字“嚴(yán)勤活實(shí)”涂顏色，要求相鄰的兩個(gè)字涂色不同，則不同的涂色種數(shù)為.11．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案有種；若在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)3個(gè)，則該外商不同的投資方案有種．三、解答題12．某學(xué)校高二年級(jí)有12名語(yǔ)文教師、13名數(shù)學(xué)教師、15名英語(yǔ)教師，市教育局?jǐn)M召開(kāi)一個(gè)新課程研討會(huì)．(1)若選派1名教師參會(huì)，有多少種派法？(2)若三個(gè)學(xué)科各派1名教師參會(huì)，有多少種派法？(3)若選派2名不同學(xué)科的教師參會(huì)，有多少種派法？13．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)擬開(kāi)設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《微積分先修課程》、《數(shù)學(xué)探究》、《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)打算在上述四門課程中隨機(jī)選擇一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的．(1)求三位同學(xué)選擇的課程互不相同的選課種數(shù)；(2)若甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)；(3)若至少有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)．14．(多選題)下列求解方法只需要使用“分步乘法計(jì)數(shù)原理”的有()A．某同學(xué)逛書(shū)店，發(fā)現(xiàn)三本喜歡的書(shū)，決定至少買其中的兩本，求購(gòu)買方案種數(shù)B．若x∈{2,3,5}，y∈{6,7,8}，求xy的不同值個(gè)數(shù)C．已知兩條異面直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和7個(gè)點(diǎn)，求這11個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)D．某體育館有8個(gè)門供球迷出入，某球迷從其中一門進(jìn)入，另一門走出，求不同的進(jìn)出方法種數(shù)15．如圖，現(xiàn)有4種不同顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色，要求任意兩個(gè)相鄰區(qū)域不同色，共有種不同涂色方法；若要求4種顏色都用上且任意兩個(gè)相鄰區(qū)域不同色，共有種不同涂色方法．(用數(shù)字作答)16．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，則：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)？2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.1-分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】時(shí)間：45分鐘一、選擇題1．若一個(gè)三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個(gè)數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重?cái)?shù)”．例如：232,114等，則不超過(guò)200的“單重?cái)?shù)”中，從小到大排列第22個(gè)“單重?cái)?shù)”是(B)A．166 B．171C．181 D．188解析：由題意可得，不超過(guò)200的數(shù)，兩個(gè)數(shù)字一樣同為0時(shí)，有100,200,有2個(gè)，兩個(gè)數(shù)字一樣同為1時(shí)，有110,101,112,121,113,131，…，119,191，共18個(gè)，兩個(gè)數(shù)字一樣同為2時(shí)，有122，有1個(gè)，同理，兩個(gè)數(shù)字一樣同為3,4,5,6,7,8,9時(shí)各1個(gè)，綜上，不超過(guò)200的“單重?cái)?shù)”共有2＋18＋8＝28個(gè)，其中最大的是200，較小的依次為199,191,188,181,177,171，故第22個(gè)“單重?cái)?shù)”為171，故選B.2．7名旅客分別從3個(gè)不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是(B)A．343 B．2187C．210 D．35解析：由題意，每名旅客可選擇方案有3種，因此7名旅客分別從3個(gè)不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是3×3×3×3×3×3×3＝2187.故選B.3．已知集合P＝{1,2,3,4,5}，若A，B是P的兩個(gè)非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為(A)A．49 B．48C．47 D．46解析：由集合P＝{1,2,3,4,5}知：①若A中的最大數(shù)為1時(shí)，B中只要不含1即可：A的集合為{1}，而B(niǎo)有24－1＝15種集合，集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為15；②若A中的最大數(shù)為2時(shí)，B中只要不含1、2即可：A的集合為{2}，{1,2}，而B(niǎo)有23－1＝7種，集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為2×7＝14；③若A中的最大數(shù)為3時(shí)，B中只要不含1、2、3即可：A的集合為{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，而B(niǎo)有22－1＝3種，集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為4×3＝12；④若A中的最大數(shù)為4時(shí)，B中只要不含1、2、3、4即可：A的集合為{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2，3,4}，{1,2,3,4}，而B(niǎo)有21－1＝1種，集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù)為8×1＝8.∴一共有15＋14＋12＋8＝49個(gè)，故選A.4．幾只猴子在一棵枯樹(shù)上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；(2)乙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；(3)丙在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝G，A，C；(4)丁在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝B，D，H；(5)戊在下落的過(guò)程中依次撞擊到樹(shù)枝I，C，E，則這九根樹(shù)枝從高到低不同的順序共有(D)A．23種 B．24種C．32種 D．33種解析：不妨設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I代表樹(shù)枝的高度，九根樹(shù)枝從上至下共九個(gè)位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹(shù)枝A，B，C；乙依次撞擊到樹(shù)枝D，E，F(xiàn)；丙依次撞擊到樹(shù)枝G，A，C；丁依次撞擊到樹(shù)枝B，D，H；戊依次撞擊到樹(shù)枝I，C，E可得G>A>B，在前四個(gè)位置，C>E>F，D>E>F，且E，F(xiàn)一定排在后四個(gè)位置，(1)若I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C，則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有4×(3＋4)＝28種排法；(2)若I不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則G，A，B，D按順序排在前四個(gè)位置，由于I>C>E>F，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若I不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，這9根樹(shù)枝從高到低不同的次序有28＋5＝33種．故選D.5．將編號(hào)1,2,3,4的小球放入編號(hào)為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號(hào)不能相同，則不同的放球方法有(B)A．16種 B．12種C．9種 D．6種解析：由題意可知，這四個(gè)小球有兩個(gè)小球放在一個(gè)盒子中，當(dāng)四個(gè)小球分組為如下情況時(shí)，放球方法有：當(dāng)1與2號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)1與3號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)1與4號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)2與3號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)2與4號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)3與4號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法，因此，不同的放球方法有12種．故選B.6．李雷和韓亮兩人都計(jì)劃在國(guó)慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都——泉州”“兩日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有(C)A．16種 B．18種C．20種 D．24種解析：任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷選①②或⑥⑦，則韓亮有4種選擇，若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則韓亮有3種選擇，所以他們出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20種，故選C.7.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有(C)A．192種 B．336種C．600種 D．624種解析：由題意，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別有4,3,2種涂法，(1)當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)D有3種涂色方法；②若C與F不同，則C有1種涂色方法，D有2種涂色方法．故此時(shí)共有4×3×2×1×2×(1×3＋1×2)＝240種涂色方法．(2)當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種涂色方法，①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，D有2種涂色方法；②若C與F不同，則C有2種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，D有1種涂色方法．故此時(shí)共有4×3×2×1×(1×2×2＋2×2×1)＝192種涂色方法．(3)當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種涂色方法．①若B與F相同，則C與A相同時(shí)，D有2種涂色方法，C與A不同時(shí)，C和D均只有1種涂色方法；②若B與F不同，則B有1種涂色方法，(ⅰ)若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)D有2種涂色方法；(ⅱ)若C與F不同，則必與A相同，C有1種涂色方法，此時(shí)D有2種涂色方法．故此時(shí)共有4×3×2×1×[1×(1×2＋1×1)＋1×(1×2＋1×2)]＝168種涂色方法．綜上，共有240＋192＋168＝600種涂色方法．故選C.8．(多選題)某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)n(n≥4)封不同的電子郵件，則對(duì)滿足n≥4的任意n值，不同的發(fā)送方法可能有(BC)A．64種 B．81種C．243種 D．730種解析：∵每個(gè)郵件選擇發(fā)的方式有3種不同的情況，所以要發(fā)n(n≥4)個(gè)電子郵件，發(fā)送的方法的種數(shù)有3n種．因?yàn)閚≥4，所以3n≥81.但730≠3n,64≠3n，故選BC.二、填空題9．由數(shù)字1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的偶數(shù)共有36個(gè)．解析：分3種情況討論：①當(dāng)其個(gè)位為2時(shí)，十位數(shù)字只能是1，百位數(shù)字有4種情況，此時(shí)有4個(gè)符合題意的三位數(shù)；②當(dāng)其個(gè)位為4時(shí)，十位數(shù)字可以是1,2,3，百位數(shù)字有4種情況，此時(shí)有3×4＝12個(gè)符合題意的三位數(shù)；③當(dāng)其個(gè)位為6時(shí)，十位數(shù)字可以是1,2,3,4,5，百位數(shù)字有4種情況，此時(shí)有5×4＝20個(gè)符合題意的三位數(shù)，則共有4＋12＋20＝36個(gè)符合題意的三位數(shù)．10．現(xiàn)用4種不同的顏色為一行字“嚴(yán)勤活實(shí)”涂顏色，要求相鄰的兩個(gè)字涂色不同，則不同的涂色種數(shù)為108.解析：給“嚴(yán)”字涂色的方法有4種，再給“勤”字涂色的方法有3種，再給“活”字涂色的方法有3種，最后給“實(shí)”字涂色的方法有3種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有4×3×3×3＝108種．11．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該外商不同的投資方案有60種；若在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)3個(gè)，則該外商不同的投資方案有64種．解析：分兩種情況：①在一個(gè)城市投資兩個(gè)項(xiàng)目，在另一城市投資一個(gè)項(xiàng)目，將項(xiàng)目分成兩個(gè)與一個(gè)，有3種分法；在四個(gè)城市當(dāng)中，選擇兩個(gè)城市作為投資對(duì)象，有4×3＝12種，這種情況有3×12＝36種；②有三個(gè)城市各獲得一個(gè)投資的項(xiàng)目，選擇沒(méi)有獲得投資項(xiàng)目的城市，4種；安排項(xiàng)目與城市對(duì)應(yīng)，有3×2×1＝6種，這種情況有4×6＝24種．綜合兩種情況，有36＋24＝60種方案設(shè)置投資項(xiàng)目．若在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)3個(gè)，還有第三種情況：③在一個(gè)城市投資三個(gè)項(xiàng)目，即從四個(gè)候選城市中隨機(jī)選擇一個(gè)城市投資，有4種．故該外商不同的投資方案有36＋24＋4＝64種．三、解答題12．某學(xué)校高二年級(jí)有12名語(yǔ)文教師、13名數(shù)學(xué)教師、15名英語(yǔ)教師，市教育局?jǐn)M召開(kāi)一個(gè)新課程研討會(huì)．(1)若選派1名教師參會(huì)，有多少種派法？(2)若三個(gè)學(xué)科各派1名教師參會(huì)，有多少種派法？(3)若選派2名不同學(xué)科的教師參會(huì)，有多少種派法？解：(1)分三類：第一類選語(yǔ)文老師，有12種不同選法；第二類選數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法；第三類選英語(yǔ)老師，有15種不同選法，共有12＋13＋15＝40種不同的選法．(2)分三步：第一步選語(yǔ)文老師，有12種不同選法；第二步選數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法；第三步選英語(yǔ)老師，有15種不同選法，共有12×13×15＝2340種不同的選法．(3)分三類：第一類選一位語(yǔ)文老師和一位數(shù)學(xué)老師共有12×13種不同的選法；第二類選一位語(yǔ)文老師和一位英語(yǔ)老師共有12×15種不同的選法；第三類選一位英語(yǔ)老師和一位數(shù)學(xué)老師共有15×13種不同的選法，共有12×13＋12×15＋13×15＝531種不同的選法．13．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)擬開(kāi)設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《微積分先修課程》、《數(shù)學(xué)探究》、《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)打算在上述四門課程中隨機(jī)選擇一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的．(1)求三位同學(xué)選擇的課程互不相同的選課種數(shù)；(2)若甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)；(3)若至少有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)．解：(1)三位同學(xué)選擇的課程互不相同共有4×3×2＝24種選課種數(shù)．(2)甲、乙兩位同學(xué)不選擇同一門課程共有4×3＝12種情況，丙有4種不同的選擇．所以甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程共有12×4＝48種不同的選課種數(shù)．(3)分兩種情況討論：①有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》，有甲乙、甲丙、乙丙3種情況，剩下一位同學(xué)從剩余三門課程中選一門有3種選法，共有3×3＝9種不同情況，②有三位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》共有1種情況．綜上所述，總共有9＋1＝10種不同的選課種數(shù)．14．(多選題)下列求解方法只需要使用“分步乘法計(jì)數(shù)原理”的有(BD)A．某同學(xué)逛書(shū)店，發(fā)現(xiàn)三本喜歡的書(shū)，決定至少買其中的兩本，求購(gòu)買方案種數(shù)B．若x∈{2,3,5}，y∈{6,7,8}，求xy的不同值個(gè)數(shù)C．已知兩條異面直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和7個(gè)點(diǎn)，求這11個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)D．某體育館有8個(gè)門供球迷出入，某球迷從其中一門進(jìn)入，另一門走出，求不同的進(jìn)出方法種數(shù)解析：A中，買兩本，有3種方案；買三本有1種方案，因此共有方案：3＋1＝4種，需要使用“分類加法計(jì)數(shù)原理”；B中，分步計(jì)算，x有3種不同的取值，y有3種不同的取值，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，xy有3×3＝9種不同的值，只需要使用“分步乘法計(jì)數(shù)原理”；C中，