專(zhuān)題1.5圖形的性質(zhì)（2）（上海中考17個(gè)考點(diǎn)真題訓(xùn)練）中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專(zhuān)用）（解析版）

一．垂徑定理（共5小題）1．（2013?上海）在⊙O中，已知半徑長(zhǎng)為3，弦AB長(zhǎng)為4，那么圓心O到AB的距離為．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，由垂徑定理可得出BD的長(zhǎng)，在Rt△OBD中，利用勾股定理及可求出OD的長(zhǎng)．【解答】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵AB＝4，∴BD＝AB＝×4＝2，在Rt△OBD中，∵OB＝3cm，BD＝2cm，∴OD＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．2．（2009?上海）在圓O中，弦AB的長(zhǎng)為6，它所對(duì)應(yīng)的弦心距為4，那么半徑OA＝5．【分析】作出圖形，先求出弦的一半的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：作OC⊥AB，垂足為C，可得：OC＝4，AC＝AB＝3，根據(jù)勾股定理可得：OA＝＝＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題難度中等，考查根據(jù)垂徑定理求圓的半徑．3．（2008?上海）在△ABC中，AB＝AC＝5，（如圖）．如果圓O的半徑為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，那么線(xiàn)段AO的長(zhǎng)等于3或5．【分析】分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，由AB＝AC，OB＝OC，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，由AD+DO即可求出AO的長(zhǎng)；（ii）同理由AD﹣OD即可求出AO的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意的AO的長(zhǎng)．【解答】解：分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝，∴BD＝3，根據(jù)勾股定理得：AD＝＝4，在Rt△BDO中，OB＝，BD＝3，根據(jù)勾股定理得：OD＝＝1，則AO＝AD+OD＝4+1＝5；（ii）如圖2所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OD⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝，∴BD＝3，根據(jù)勾股定理得：AD＝＝4，在Rt△BDO中，OB＝，BD＝3，根據(jù)勾股定理得：OD＝＝1，則OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，綜上，OA的長(zhǎng)為3或5．故答案為：3或5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2012?上海）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當(dāng)BC＝1時(shí)，求線(xiàn)段OD的長(zhǎng)；（2）在△DOE中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)BD＝x，△DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域．【分析】（1）根據(jù)OD⊥BC可得出BD＝BC＝，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng)；（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)D和E是中點(diǎn)可得出DE＝；（3）由BD＝x，可知OD＝，由于∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2+∠3＝45°，過(guò)D作DF⊥OE，DF＝，EF＝x即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝，∴OD＝＝；（2）如圖（2），存在，DE是不變的．連接AB，則AB＝＝2，∵D和E分別是線(xiàn)段BC和AC的中點(diǎn)，∴DE＝AB＝；（3）如圖（3），連接OC，∵BD＝x，∴OD＝，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝45°，過(guò)D作DF⊥OE，∴DF＝＝，由（2）已知DE＝，∴在Rt△DEF中，EF＝＝，∴OE＝OF+EF＝+＝∴y＝DF?OE＝??＝（0＜x＜）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．5．（2011?上海）如圖，點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于A(yíng)B，并與弧AB相交于點(diǎn)M、N．（1）求線(xiàn)段OD的長(zhǎng)；（2）若tan∠C＝，求弦MN的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出OD的長(zhǎng)；（2）過(guò)O作OE⊥CD，連接OM，由垂徑定理可知ME＝MN，再根據(jù)tan∠C＝可求出OE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出ME的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案．【解答】解：（1）∵CD∥AB，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴＝，即＝，又OA＝3，AC＝2，∴OB＝3，∴＝，∴OD＝5；（2）過(guò)O作OE⊥CD，連接OM，則ME＝MN，∵tan∠C＝，即＝，∴設(shè)OE＝x，則CE＝2x，在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，即52＝x2+（2x）2，解得x＝，在Rt△OME中，OM2＝OE2+ME2，即32＝（）2+ME2，解得ME＝2．∴MN＝4，答：弦MN的長(zhǎng)為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．二．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）6．（2006?上海）本市新建的滴水湖是圓形人工湖．為測(cè)量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測(cè)得BC長(zhǎng)為240米，A到BC的距離為5米，如圖所示，請(qǐng)你幫他們求出滴水湖的半徑．【分析】根據(jù)等弦對(duì)等弧，知點(diǎn)A即是弧BC的中點(diǎn)．結(jié)合垂徑定理的推論，知OA垂直平分弦，設(shè)圓的半徑，結(jié)合垂徑定理和勾股定理列出關(guān)于半徑的方程，即可求得圓的半徑．【解答】解：設(shè)圓心為點(diǎn)O，連接OB，OA，OA交線(xiàn)段BC于點(diǎn)D∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，且BD＝DC＝BC＝120米，由題意，DA＝5米，在Rt△BDO中，OB2＝OD2+BD2設(shè)OB＝x米則x2＝（x﹣5）2+1202解得x＝1442.5．答：滴水湖的半徑為1442.5米．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了等弦對(duì)等弧、垂徑定理的推論、勾股定理．三．相交弦定理（共1小題）7．（2001?上海）一個(gè)圓弧形門(mén)拱的拱高為1米，跨度為4米，那么這個(gè)門(mén)拱的半徑為米．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用勾股定理和相交弦定理解答．【解答】解：設(shè)半徑為x，則根據(jù)相交弦定理可知：2×2＝1×（2x﹣1），解得x＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要是根據(jù)相交弦定理來(lái)求半徑．四．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）8．（2011?上海）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）A．點(diǎn)B、C均在圓P外 B．點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi) C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外 D．點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)【分析】根據(jù)BP＝3AP和AB的長(zhǎng)度求得AP的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓P的半徑PD的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)B、C到P點(diǎn)的距離判斷點(diǎn)B、點(diǎn)C與圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵AB＝8，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，∴AP＝2，∴r＝PD＝＝7，PC＝＝＝9，∵PB＝6＜7，PC＝9＞7∴點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關(guān)系作出判斷即可．五．確定圓的條件（共1小題）9．（2007?上海）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來(lái)大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（）A．第①塊 B．第②塊 C．第③塊 D．第④塊【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第②塊可確定半徑的大小．【解答】解：第②塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線(xiàn)，就交于了圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為該圓的圓心．六．三角形的外接圓與外心（共2小題）10．（2004?上海）已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為6cm和8cm，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑為5cm．【分析】首先根據(jù)勾股定理，得斜邊是10cm，再根據(jù)其外接圓的半徑是斜邊的一半，得出其外接圓的半徑．【解答】解：∵直角邊長(zhǎng)分別為6cm和8cm，∴斜邊是10cm，∴這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑為5cm．【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形的未知邊．注意：直角三角形的外接圓的半徑是其斜邊的一半．11．（2016?上海）已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，＝，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，AE＝BD．（1）求證：AD＝CE；（2）如果點(diǎn)G在線(xiàn)段DC上（不與點(diǎn)D重合），且AG＝AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得出∠B＝∠ACB，再根據(jù)全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD＝CE；（2）連接AO并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出AH⊥BC，再由垂徑定理得BH＝CH，得出CG與AE平行且相等．【解答】證明：（1）在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD＝CE；（2）連接AO并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)H，∵＝，OA為半徑，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四邊形AGCE是平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心以及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，把這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．七．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（共2小題）12．（2020?上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)O在對(duì)角線(xiàn)AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線(xiàn)段AO長(zhǎng)的取值范圍是＜AO＜．【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，則OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴＝，∴AO＝，如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，則OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴OC＝，∴AO＝，∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線(xiàn)段AO長(zhǎng)的取值范圍是＜AO＜，故答案為：＜AO＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．13．（2007?上海）已知：∠MAN＝60°，點(diǎn)B在射線(xiàn)AM上，AB＝4（如圖）．P為直線(xiàn)AN上一動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點(diǎn)B，P，Q按順時(shí)針排列），O是△BPQ的外心．（1）當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)O在∠MAN的平分線(xiàn)上；（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AN上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合）時(shí)，AO與BP交于點(diǎn)C，設(shè)AP＝x，AC?AO＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）若點(diǎn)D在射線(xiàn)AN上，AD＝2，圓I為△ABD的內(nèi)切圓．當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離．【分析】（1）證O在∠MAN的平分線(xiàn)上，可證O到角兩邊的距離相等，分兩種情況：①OB不與AM垂直，過(guò)O作OT⊥AN，OH⊥AM，可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解．連接OB，OP，則OB＝OP，只需證明△OHB與△OTP全等即可．這兩個(gè)三角形中，已知的條件有OB＝OP，一組直角．只需再證得一組角對(duì)應(yīng)相等即可，∠HOT和∠BOP都等于120°，因此∠BOH＝∠TOP，則兩三角形全等，OT＝OH．由此得證．②當(dāng)OB⊥AM時(shí)，由于OB＝OP，只需證明OP⊥AN即可．由于∠BOP＝120°，而∠ABO＝90°，∠MAN＝60°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，即可求得OP⊥AN，由此可得證．（2）本題要通過(guò)相似三角形ACP和ABO來(lái)求解．這兩個(gè)三角形中，已知了∠BAO＝∠CAP（在1題中已經(jīng)證得）．只需再找出一組對(duì)應(yīng)角相等即可，在△ACP和△OBC中，∠CAP＝∠OBC＝30°，∠ACP＝∠BCO，因此∠APC＝∠AOB，由此證得兩三角形相似，可得出關(guān)于A(yíng)B，AC，AO，AP的比例關(guān)系式，據(jù)此可求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．（3）本題分三種情況：①圓I在△BPQ外，且與BP邊相切，此時(shí)D、P重合，AD＝AP＝2，AB＝4，∠MAN＝60°，因此△ABP為直角三角形，不難得出△ABO也是直角三角形，因此可得出△ABO≌△APB，AO＝BP＝2；②圓I在△BPQ內(nèi)，與BP，PQ邊相切時(shí)，此時(shí)P與A重合，可在直角三角形ODA中，根據(jù)AD＝2，∠DAO＝30°，求得AO＝；③圓I在△BPQ內(nèi)，與BQ邊相切時(shí)，A，O重合，因此AO＝0．【解答】（1）證明：如圖1，連接OB，OP．∵O是等邊三角形BPQ的外心，∴圓心角∠BOP＝＝120°．當(dāng)∠MAN＝60°，不垂直于A(yíng)M時(shí)，作OT⊥AN，則OB＝OP．由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO＝360°，且∠A＝60°，∠AHO＝∠ATO＝90°，∴∠HOT＝120度．∴∠BOH＝∠POT．∴Rt△BOH≌Rt△POT．∴OH＝OT．∴點(diǎn)O在∠MAN的平分線(xiàn)上．當(dāng)OB⊥AM時(shí)，∠APO＝360°﹣∠A﹣∠BOP﹣∠OBA＝90°．即OP⊥AN，∴點(diǎn)O在圓I的平分線(xiàn)上．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O在∠MAN的平分線(xiàn)上．（2）解：如圖2，∵AO平分∠MAN，且∠MAN＝60°，∴∠BAO＝∠PAO＝30°．由（1）知，OB＝OP，∠BOP＝120°，∴∠CBO＝30°，∴∠CBO＝∠PAC．∵∠BCO＝∠PCA，∴∠AOB＝∠APC．∴△ABO∽△ACP．∴．∴AC?AO＝AB?AP．∴y＝4x．定義域?yàn)椋簒＞0．（3）解：①如圖3，當(dāng)BP與圓I相切時(shí)，AO＝2；②如圖4，當(dāng)BP與圓I相切時(shí)，AO＝；③如圖5，當(dāng)BQ與圓I相切時(shí)，AO＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形、全等三角形、角平分線(xiàn)定理、等邊三角形的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．本題考點(diǎn)較多，難度較大．八．切線(xiàn)的性質(zhì)（共9小題）14．（2006?上海）已知圓O的半徑為1，點(diǎn)P到圓心O的距離為2，過(guò)點(diǎn)P引圓O的切線(xiàn)，那么切線(xiàn)長(zhǎng)是．【分析】由圓切線(xiàn)的性質(zhì)可知OA⊥PA，再根據(jù)勾股定理即可求得PA的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，∵PA是⊙O的切線(xiàn)，連接OA，∴OA⊥PA，∵OP＝2，OA＝1，∴PA＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是運(yùn)用切線(xiàn)長(zhǎng)的性質(zhì)得出OA⊥AP從而求解．15．（2002?上海）兩個(gè)以點(diǎn)O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切，如果AB的長(zhǎng)為24，大圓的半徑OA為13，那么小圓的半徑為5．【分析】連接過(guò)切點(diǎn)的半徑，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)定理和垂徑定理得半弦是12，再根據(jù)勾股定理得小圓的半徑是5．【解答】解：∵AB＝24，OB＝OA＝13，∴BC＝12；在RT△OCB中，∴OC＝＝5．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了切線(xiàn)的性質(zhì)定理、垂徑定理和勾股定理．16．（2009?上海）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），直線(xiàn)CM∥x軸（如圖所示）．點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)y＝x+b（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線(xiàn)CM相交于點(diǎn)D，連接OD．（1）求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，若△POD是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓P與圓O外切，求圓O的半徑．【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b的值；點(diǎn)D在直線(xiàn)CM上，其縱坐標(biāo)為4，利用求得的解析式確定該點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可；（2）△POD為等腰三角形，有三種情況：PO＝OD，PO＝PD，DO＝DP，故需分情況討論，要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離即可；（3）結(jié)合（2），可知⊙O的半徑也需根據(jù)點(diǎn)P的不同位置進(jìn)行分類(lèi)討論．【解答】解：（1）∵B與A（1，0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)∴B（﹣1，0）∵y＝x+b過(guò)點(diǎn)B∴﹣1+b＝0，b＝1∴y＝x+1當(dāng)y＝4時(shí)，x+1＝4，x＝3∴D（3，4）；（2）作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則OE＝3，DE＝4，∴OD＝．若△POD為等腰三角形，則有以下三種情況：①以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交x軸的正半軸于點(diǎn)P1，則OP1＝OD＝5，∴P1（5，0）．②以D為圓心，DO為半徑作弧交x軸的正半軸于點(diǎn)P2，則DP2＝DO＝5，∵DE⊥OP2∴P2E＝OE＝3，∴OP2＝6，∴P2（6，0）．③取OD的中點(diǎn)N，過(guò)N作OD的垂線(xiàn)交x軸的正半軸于點(diǎn)P3，則OP3＝DP3，易知△ONP3∽△DCO．∴＝．∴＝，OP3＝．∴P3（，0）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．（3）①當(dāng)P1（5，0）時(shí)，P1E＝OP1﹣OE＝5﹣3＝2，OP1＝5，∴P1D＝＝＝2．∴⊙P的半徑為．∵⊙O與⊙P外切，∴⊙O的半徑為5﹣2．②當(dāng)P2（6，0）時(shí)，P2D＝DO＝5，OP2＝6，∴⊙P的半徑為5．∵⊙O與⊙P外切，∴⊙O的半徑為1．③當(dāng)P3（，0）時(shí)，P3D＝OP3＝，∴⊙P的半徑為．∵⊙O與⊙P外切，∴⊙O的半徑為0，即此圓不存在．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意到分情況討論是解決本題的關(guān)鍵．17．（2008?上海）已知AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC（如圖），E是射線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），M是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)．（1）設(shè)BE＝x，△ABM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）如果以線(xiàn)段AB為直徑的圓與以線(xiàn)段DE為直徑的圓外切，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)；（3）連接BD，交線(xiàn)段AM于點(diǎn)N，如果以A，N，D為頂點(diǎn)的三角形與△BME相似，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．【分析】（1）△ABM中，已知了AB的長(zhǎng)，要求面積就必須求出M到AB的距離，如果連接AB的中點(diǎn)和M，那么這條線(xiàn)就是直角梯形的中位線(xiàn)也是三角形ABM的高，那么AB邊上的高就是（AD+BE）的一半，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)以AB，DE為直徑的圓外切，那么可得出的是AD+BC＝AB+DE，那么可根據(jù)BE，AD的差和AB的長(zhǎng)，用勾股定理來(lái)表示出DE，然后根據(jù)上面分析的等量關(guān)系得出關(guān)于x的方程，即可求出x的值，即BE的長(zhǎng)；（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因?yàn)锳D∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠ADN＝∠BME時(shí)，∠DBE＝∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關(guān)于DE，BE，EM的比例關(guān)系式，即可求出x的值．②當(dāng)∠AND＝∠BEM時(shí)，∠ADB＝∠BEM，可根據(jù)這兩個(gè)角的正切值求出x的值．【解答】解：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接MH，∵M(jìn)是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)∴MH＝（BE+AD），MH∥AD，∵∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，∴MH⊥AB，∴S△ABM＝AB?MH得y＝x+2；（x＞0）（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交于F，由圖形可得DE＝，又∵M(jìn)H＝AD+BE＝（AD+BE），即（x+4）＝[2+]．解得x＝．即線(xiàn)段BE的長(zhǎng)為．（3）因?yàn)槿绻切蜛DN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因?yàn)锳D∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)∠ADN＝∠BEM時(shí)，那么∠ADB＝∠BEM，作DF⊥BE，垂足為F，tan∠ADB＝tan∠BEM．AB：AD＝DF：FE＝AB：（BE﹣AD）．即2：4＝2：（x﹣4）．解得x＝8．即BE＝8．②當(dāng)∠ADB＝∠BME，而∠ADB＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BME，∵∠E是公共角，∴△BED∽△MEB，∵，即BE2＝DE?EM，∴BE2＝DE2，∴x2＝[22+（x﹣4）2]，∴x1＝2，x2＝﹣10（舍去），∴BE＝2．綜上所述線(xiàn)段BE為8或2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，中位線(xiàn)定理以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（3）中要根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)角相等來(lái)分情況討論，不要漏解．18．（2005?上海）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作半圓，與邊AB相切于點(diǎn)D，交線(xiàn)段OC于點(diǎn)E，作EP⊥ED，交射線(xiàn)AB于點(diǎn)P，交射線(xiàn)CB于點(diǎn)F．（1）如圖，求證：△ADE∽△AEP；（2）設(shè)OA＝x，AP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（3）當(dāng)BF＝1時(shí)，求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)．【分析】（1）證△ADE∽△AEP，需找出兩組對(duì)應(yīng)相等的角．連接OD，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，可得出∠ODA＝90°，而∠ODE＝∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一個(gè)等角，因此∠AEP＝∠ADE；再加上兩三角形的公共角∠A，即可證得兩三角形相似；（2）由△AOD∽△ACB，可得OD＝OA，AD＝OA；又由△ADE∽△AEP，可得y＝x；（3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得；再將y＝，BP＝4﹣AP＝4﹣代入，即可求得AP的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，∵AP切半圓于D，∠ODA＝∠PED＝90°，又∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠ADE＝∠ODE+∠ODA，∠AEP＝∠OED+∠PED，∴∠ADE＝∠AEP，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEP；（2）解：∵△AOD∽△ACB，∴，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根據(jù)勾股定理，得AC＝＝5，∴OD＝OA，AD＝OA，∵△ADE∽△AEP，∴＝，∵AP＝y(tǒng)，OA＝x，AE＝OE+OA＝OD+OA＝OA，∴＝＝，則y＝x（0＜x≤）；（3）解：情況1：y＝x，BP＝4﹣AP＝4﹣，∵△PBF∽△PED，∴，又∵△ADE∽△AEP，∴，∴，∴，解得：x＝，∴AP＝．情況2：如圖，半圓O的半徑R較大時(shí)，EP交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，P在B上方；交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)在BC之間：CF＝BC﹣BF＝3﹣1＝2，∵∠FED＝∠FBD＝90°，∴FBDE構(gòu)成直徑為FD的圓內(nèi)接四邊形，∴∠EFC＝∠BDE．連接OD，∠ODA＝90°，∠ODE＝∠OED，∴∠EDA＝∠FEA．∵∠FEC＝180﹣∠FEA，∠BDE＝180﹣∠EDA，∴∠FEC＝∠BDE＝∠EFC∴CF＝CE＝2過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，則△CGE∽△CBA，則＝＝＝，解得，EG＝，CG＝，F(xiàn)G＝FC﹣CG＝2﹣＝，PB：EG＝FB：FG，PB＝÷＝2，AP＝AB+PB＝4+2＝6．故線(xiàn)段AP的長(zhǎng)為2或6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，圓的切線(xiàn)性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用，以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想；其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．注意：求相似比不僅要認(rèn)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序．此題還是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問(wèn)題的能力．19．（2004?上海）附加題：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，⊙A的半徑為1，如圖所示．若點(diǎn)O在BC上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)BO＝x，△AOC的面積為y．（1）求關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）以點(diǎn)O為圓心，BO長(zhǎng)為半徑作⊙O，求當(dāng)⊙O與⊙A相外切時(shí)，△AOC的面積．【分析】（1）作AD⊥BC．根據(jù)y＝S△ABC﹣S△ABO，建立y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）作AD⊥BC．根據(jù)兩圓外切的定義，AO＝2+x，應(yīng)用勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出x的值，進(jìn)而可得△AOC的面積．【解答】解：（1）作AD⊥BC．∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴AD＝2sin45°＝2．∴y＝S△ABC﹣S△ABO＝×2×2﹣×2x＝4﹣x（0＜x＜4）；（2）當(dāng)⊙O與⊙A相外切時(shí)，在等腰Rt△ABC中，AD＝2，BD＝2，則OD＝2﹣x．在Rt△AOD中，（x+1）2＝22+（2﹣x）2，解得x＝，則△AOC的面積為OC?AD＝×（OD+DC）×AD＝×（2+2﹣）×2＝．【點(diǎn)評(píng)】此題結(jié)合圓的相關(guān)概念，考查了利用面積關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式的能力．此類(lèi)題目主要運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想．20．（2003?上海）如圖1所示，在正方形ABCD中，AB＝1，是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作AC所在圓的切線(xiàn)，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)．（1）當(dāng)∠DEF＝45°時(shí)，求證：點(diǎn)G為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)；（2）設(shè)AE＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（3）圖2所示，將△DEF沿直線(xiàn)EF翻折后得△D1EF，當(dāng)EF＝時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫(xiě)出結(jié)論，不要求寫(xiě)出理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一進(jìn)行證明，能夠熟練運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理發(fā)現(xiàn)G為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)；（2）根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理、正方形的性質(zhì)得到有關(guān)的線(xiàn)段用x，y表示，再根據(jù)勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式．（3）結(jié)合（2）中的函數(shù)關(guān)系式，求得x的值．分兩種情況分別分析，根據(jù)翻折的性質(zhì)，得到平行，從而證明三角形相似．【解答】（1）證明：∵∠DEF＝45°，∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝45°．∴∠DFE＝∠DEF．∴DE＝DF．又∵AD＝DC，∴AE＝FC．∵AB是圓B的半徑，AD⊥AB，∴AD切圓B于點(diǎn)A．同理：CD切圓B于點(diǎn)C．又∵EF切圓B于點(diǎn)G，∴AE＝EG，F(xiàn)C＝FG．∴EG＝FG，即G為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)．（2）解：根據(jù)（1）中的線(xiàn)段之間的關(guān)系，得EF＝x+y，DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，根據(jù)勾股定理，得：（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2∴y＝（0＜x＜1）．（3）解：當(dāng)EF＝時(shí)，由（2）得EF＝EG+FG＝AE+FC，即x+＝，解得x1＝，x2＝．經(jīng)檢驗(yàn)x1＝，x2＝是原方程的解．①當(dāng)AE＝時(shí)，設(shè)直線(xiàn)EF交線(xiàn)段DD1于點(diǎn)H，由題意，得：ED1＝ED，DH＝D1H，∠D1EF＝∠DEF，∠ED1F＝∠EDF＝90°．∴EH⊥DD1．∵AE＝ED＝，DH＝D1H，∴EH∥AD1，∴∠AD1D＝∠EHD＝90°，∠D1AD＝∠DEF＝∠D1EF．又∵∠ED1F＝∠EDF＝90°，∴∠ED1F＝∠AD1D，∴△ED1F∽△AD1D．②當(dāng)AE＝時(shí)，＝，，∴，∴EH不平行于A(yíng)D1，∴∠AD1D≠90°，∠ADD1≠90°，∴△ED1F與△AD1D不相似．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了切線(xiàn)長(zhǎng)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠發(fā)現(xiàn)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行分析證明．21．（2002?上海）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，直線(xiàn)CM、DN分別切半圓于點(diǎn)C、D，且分別和直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M、N．（1）求證：MO＝NO；（2）設(shè)∠M＝30°，求證：MN＝4CD．【分析】（1）連接CO、DO，則有OC＝OD，且OC⊥CM，OD⊥DN，易證△MCO≌△NDO，故MO＝NO；（2）先證△OCD為等邊三角形，CD＝OC，Rt△MCO中，OC＝OA，∠M＝30°，故MA＝AO＝OC，同理可得NB＝OB＝OC，故MN＝4CD．【解答】證明：（1）連接CO、DO，則有OC＝OD，且OC⊥CM，OD⊥DN，∴∠ODC＝∠OCD，∠MCO＝∠NDO＝90°．又∵CD∥AB，∴∠OCD＝∠MOC，∠ODC＝∠NOD．∴△MCO≌△NDO．∴MO＝NO．（2）∵∠M＝30°，∴∠AOC＝60°．又∵AB∥CD，∴∠OCD＝60°．∴△OCD為等邊三角形．∴CD＝OC．又∵Rt△MCO中，OC＝OA，∠M＝30°，∴MA＝AO＝OC．同理可得NB＝OB＝OC，∴MN＝4CD．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)．解答這類(lèi)題一些學(xué)生不會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題，不知從何處入手造成錯(cuò)解．22．（2000?上海）已知：如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)B作圓O的切線(xiàn)BM，M為切點(diǎn)，BO交圓O于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作BO的垂線(xiàn)，交BM于點(diǎn)P，BO＝3，圓O的半徑為1．求MP的長(zhǎng)．【分析】連接OM，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到直角三角形，根據(jù)勾股定理求得BM的長(zhǎng)．再根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理和勾股定理列方程求得MP的長(zhǎng)．【解答】解：連接OM，則OM⊥BM，在Rt△BOM中，OM＝1，BO＝3，根據(jù)勾股定理，得BM＝2；∵AP⊥OB，∴AP是圓的切線(xiàn)，又PM是圓的切線(xiàn)，∴AP＝MP；在Rt△APB中，設(shè)AP＝x，AB＝3﹣1＝2，BP＝2﹣x；根據(jù)勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+4x＝．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了勾股定理和切線(xiàn)的判定以及切線(xiàn)長(zhǎng)的定理．九．切線(xiàn)的判定（共1小題）23．（2001?上海）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分線(xiàn)交BC于D，E為AB上一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，以DB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓．求證：（1）AC是⊙D的切線(xiàn)；（2）AB+EB＝AC．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線(xiàn)．（2）先證明△BDE≌△FCD（HL），根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等及切線(xiàn)的性質(zhì)得AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】證明：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F；（1分）∵AB為⊙D的切線(xiàn)，AD平分∠BAC，∴BD＝DF，（3分）∴AC為⊙D的切線(xiàn)．（4分）（2）∵AC為⊙D的切線(xiàn)，∴∠DFC＝∠B＝90°，在Rt△BDE和Rt△FCD中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），（6分）∴EB＝FC．（8分）∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC．（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；及全等三角形的判斷，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．一十．弦切角定理（共1小題）24．（1998?上海）已知一個(gè)圓的弦切角等于40°，那么這個(gè)弦切角所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)是80°．【分析】根據(jù)：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由弦切角定理可得：這個(gè)弦切角所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)＝2×弦切角的度數(shù)＝80°．故答案為：80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弦切角定理，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．一十一．切線(xiàn)長(zhǎng)定理（共1小題）25．（2008?上海）如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長(zhǎng)是（）A．4 B．8 C． D．【分析】根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理知PA＝PB，而∠P＝60°，所以△PAB是等邊三角形，由此求得弦AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切線(xiàn)，∴PA＝PB，又∵∠P＝60°，∴△PAB是等邊三角形，即AB＝PA＝8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及等邊三角形的判定．一十二．圓與圓的位置關(guān)系（共13小題）26．（2021?上海）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圓B半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C、D與圓A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外 C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【分析】?jī)蓤A內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值，得圓A的半徑等于5，由勾股定理得AC＝5，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得結(jié)論．【解答】解：兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值，設(shè)圓A的半徑為R，則：AB＝R﹣1，∵AB＝4，圓B半徑為1，∴R＝5，即圓A的半徑等于5，∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，∴點(diǎn)C在圓上，點(diǎn)D在圓內(nèi)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)圖形確定圓的位置．27．（2019?上海）已知⊙A與⊙B外切，⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半徑長(zhǎng)是（）A．11 B．10 C．9 D．8【分析】如圖，設(shè)⊙A，⊙B，⊙C的半徑為x，y，z．構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，設(shè)⊙A，⊙B，⊙C的半徑為x，y，z．由題意：，解得，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．28．（2018?上海）如圖，已知∠POQ＝30°，點(diǎn)A、B在射線(xiàn)OQ上（點(diǎn)A在點(diǎn)O、B之間），半徑長(zhǎng)為2的⊙A與直線(xiàn)OP相切，半徑長(zhǎng)為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半徑AD，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：OA＝4，再確認(rèn)⊙B與⊙A相切時(shí)，OB的長(zhǎng)，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)⊙A與直線(xiàn)OP相切時(shí)切點(diǎn)為D，連接AD，∴AD⊥OP，∵∠O＝30°，AD＝2，∴OA＝4，當(dāng)⊙B與⊙A相內(nèi)切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，如圖1，∵BC＝3，∴OB＝OA+AB＝4+3﹣2＝5；當(dāng)⊙A與⊙B相外切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，如圖2，∴OB＝OA+AB＝4+2+3＝9，∴半徑長(zhǎng)為3的⊙B與⊙A相交，那么OB的取值范圍是：5＜OB＜9，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓和圓的位置關(guān)系、切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握?qǐng)A和圓相交和相切的關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)圖形確定OB的取值范圍．29．（2016?上海）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝3，⊙A的半徑長(zhǎng)為3，⊙D與⊙A相交，且點(diǎn)B在⊙D外，那么⊙D的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【分析】連接AD，根據(jù)勾股定理得到AD＝5，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到r＞5﹣3＝2，由點(diǎn)B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴AD＝5，∵⊙A的半徑長(zhǎng)為3，⊙D與⊙A相交，∴r＞5﹣3＝2，∵BC＝7，∴BD＝4，∵點(diǎn)B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是2＜r＜4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，則當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．30．（2012?上海）如果兩圓的半徑長(zhǎng)分別為6和2，圓心距為3，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相切 C．相交 D．內(nèi)含【分析】由兩個(gè)圓的半徑分別為6和2，圓心距為3，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系．【解答】解：∵兩個(gè)圓的半徑分別為6和2，圓心距為3，又∵6﹣2＝4，4＞3，∴這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是內(nèi)含．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系．31．（2010?上海）已知圓O1、圓O2的半徑不相等，圓O1的半徑長(zhǎng)為3，若圓O2上的點(diǎn)A滿(mǎn)足AO1＝3，則圓O1與圓O2的位置關(guān)系是（）A．相交或相切 B．相切或相離 C．相交或內(nèi)含 D．相切或內(nèi)含【分析】根據(jù)圓與圓的五種位置關(guān)系，分類(lèi)討論．【解答】解：當(dāng)兩圓外切時(shí)，切點(diǎn)A能滿(mǎn)足AO1＝3，當(dāng)兩圓相交時(shí)，交點(diǎn)A能滿(mǎn)足AO1＝3，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，切點(diǎn)A能滿(mǎn)足AO1＝3，所以，兩圓相交或相切．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷兩圓位置關(guān)系的方法．32．（2003?上海）下列命題中正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．兩個(gè)等圓不可能內(nèi)切 C．一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓 D．一個(gè)圓有且只有一個(gè)外切三角形【分析】根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)分析每個(gè)選項(xiàng)，然后作出判斷．【解答】解：A、不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤．B、兩個(gè)等圓內(nèi)切，圓心距為零，故錯(cuò)誤．C、正確．D、一個(gè)外切圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形，故錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有圓與圓的位置關(guān)系，確定圓的條件，三角形的內(nèi)切圓、外切圓等，不是很難，但是分析的時(shí)候要細(xì)心．33．（2017?上海）如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分別以點(diǎn)A、B為圓心畫(huà)圓．如果點(diǎn)C在⊙A內(nèi)，點(diǎn)B在⊙A外，且⊙B與⊙A內(nèi)切，那么⊙B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是8＜r＜10．【分析】先計(jì)算兩個(gè)分界處r的值：即當(dāng)C在⊙A上和當(dāng)B在⊙A上，再根據(jù)圖形確定r的取值．【解答】解：如圖1，當(dāng)C在⊙A上，⊙B與⊙A內(nèi)切時(shí)，⊙A的半徑為：AC＝AD＝3，⊙B的半徑為：r＝AB+AD＝5+3＝8；如圖2，當(dāng)B在⊙A上，⊙B與⊙A內(nèi)切時(shí)，⊙A的半徑為：AB＝AD＝5，⊙B的半徑為：r＝2AB＝10；∴⊙B的半徑長(zhǎng)r的取值范圍是：8＜r＜10．故答案為：8＜r＜10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和勾股定理，明確兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓的圓心連線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)，注意當(dāng)C在⊙A上時(shí)，半徑為3，所以當(dāng)⊙A半徑大于3時(shí)，C在⊙A內(nèi)；當(dāng)B在⊙A上時(shí)，半徑為5，所以當(dāng)⊙A半徑小于5時(shí)，B在⊙A外．34．（2015?上海）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，點(diǎn)A在⊙B上，如果⊙D與⊙B相交，且點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，那么⊙D的半徑長(zhǎng)可以等于14（答案不唯一）．（只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的數(shù)）【分析】首先求得矩形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)A在⊙B上得到⊙B的半徑為5，再根據(jù)⊙D與⊙B相交，得到⊙D的半徑R滿(mǎn)足8＜R＜18，在此范圍內(nèi)找到一個(gè)值即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，∴AC＝BD＝13，∵點(diǎn)A在⊙B上，∴⊙B的半徑為5，∵如果⊙D與⊙B相交，∴⊙D的半徑R滿(mǎn)足8＜R＜18，∵點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案為：14（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是首先確定⊙B的半徑，然后確定⊙D的半徑的取值范圍，難度不大．35．（2007?上海）如果兩個(gè)圓的一條外公切線(xiàn)長(zhǎng)等于5，另一條外公切線(xiàn)長(zhǎng)等于2a+3，那么a＝1．【分析】根據(jù)圓的軸對(duì)稱(chēng)性，知同一個(gè)圓的兩條外公切線(xiàn)長(zhǎng)相等，可列方程求解．【解答】解：根據(jù)兩條外公切線(xiàn)長(zhǎng)是相等的，∴可知2a+3＝5，解得a＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩圓外公切線(xiàn)的長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系．36．（2005?威海）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，若分別以點(diǎn)A，C為圓心的兩圓相切，點(diǎn)D在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外，則⊙A的半徑r的取值范圍是18＜r＜25或1＜r＜8．【分析】首先根據(jù)點(diǎn)D在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外，求得⊙C的半徑是大于5而小于12；再根據(jù)勾股定理求得AC＝13，最后根據(jù)兩圓的位置關(guān)系得到其數(shù)量關(guān)系．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，∴AC＝＝13，∵點(diǎn)D在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外，∴⊙C的半徑R的取值范圍為：5＜R＜12，∴當(dāng)⊙A和⊙C內(nèi)切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之差，則r的取值范圍是18＜r＜25；當(dāng)⊙A和⊙C外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑之和是13，設(shè)⊙C的半徑是Rc，即Rc+r＝13，又∵5＜Rc＜12，則r的取值范圍是1＜r＜8．所以半徑r的取值范圍是18＜r＜25或1＜r＜8．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系以及兩圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系．同時(shí)注意勾股定理的運(yùn)用．特別注意兩圓相切，可能內(nèi)切或外切．37．（2005?上海）如果半徑分別為2和3的兩個(gè)圓外切，那么這兩個(gè)圓的圓心距是5．【分析】設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為d：外離，則d＞R+r；外切，則d＝R+r；相交，則R﹣r＜d＜R+r；內(nèi)切，則d＝R﹣r；內(nèi)含，則d＜R﹣r．【解答】解：∵這兩圓的位置關(guān)系是外切，∴這兩個(gè)圓的圓心距d＝2+3＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由兩圓位置關(guān)系來(lái)判斷半徑和圓心距之間數(shù)量關(guān)系的方法．38．（2006?上海）已知點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)O在線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上．以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作圓，點(diǎn)C是圓O上的一點(diǎn)．（1）如圖，如果AP＝2PB，PB＝BO．求證：△CAO∽△BCO；（2）如果AP＝m（m是常數(shù)，且m＞1），BP＝1，OP是OA，OB的比例中項(xiàng)．當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AC：BC的值（結(jié)果用含m的式子表示）；（3）在（2）的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關(guān)系，并寫(xiě)出相應(yīng)m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例可證（2）OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，OC＝OP，△CAO∽△BCO可得．（3）討論相交，內(nèi)切，內(nèi)含與⊙B與⊙C的圓心距的關(guān)系．【解答】（1）證明：∵AP＝2PB＝PB+BO＝PO，∴AO＝2PO．∴＝2．（2分）∵PO＝CO，（1分）∴．∵∠COA＝∠BOC，∴△CAO∽△BCO．（1分）（2）解：設(shè)OP＝x，則OB＝x﹣1，OA＝x+m，∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，∴x2＝（x﹣1）（x+m）．（1分）∴x＝．即OP＝．（1分）∴OB＝．（1分）∵OP是OA，OB的比例中項(xiàng)，即，∵OP＝OC，∴．（1分）設(shè)⊙O與線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P，點(diǎn)Q不重合時(shí)，∵∠AOC＝∠COB，∴△CAO∽△BCO．（1分）∴．（1分）∴．當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P或點(diǎn)Q重合時(shí)，可得，∴當(dāng)點(diǎn)C在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC：BC＝m．（1分）（3）解：由（2）得，AC＞BC，且AC﹣BC＝（m﹣1）BC（m＞1），AC+BC＝（m+1）BC，⊙B和⊙C的圓心距d＝BC，顯然BC＜（m+1）BC，∴⊙B和⊙C的位置關(guān)系只可能相交、內(nèi)切或內(nèi)含．當(dāng)⊙B與⊙C相交時(shí)，（m﹣1）BC＜BC＜（m+1）BC，得0＜m＜2，∵m＞1，∴1＜m＜2；（1分）當(dāng)⊙B與⊙C內(nèi)切時(shí)，（m﹣1）BC＝BC，得m＝2；（1分）當(dāng)⊙B與⊙C內(nèi)含時(shí)，BC＜（m﹣1）BC，得m＞2．（1分）【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A與圓的位置的各種情況．一十三．正多邊形和圓（共4小題）39．（2002?上海）下列命題中，正確的是（）A．正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形 B．正多邊形一個(gè)內(nèi)角的大小與邊數(shù)成正比例 C．正多邊形一個(gè)外角的大小隨邊數(shù)的增加而增大 D．邊數(shù)＞3的正多邊形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都相等【分析】依據(jù)正多邊形的性質(zhì)，以及正多邊形的內(nèi)角和．外角和的計(jì)算方法即可求解．【解答】解：A、所有的正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故正確；B、正多邊形一個(gè)內(nèi)角的大?。?，不符合正比例的關(guān)系式，故錯(cuò)誤；C、正多邊形的外角和為360°，每個(gè)外角＝，隨著n的增大，度數(shù)將變小，故錯(cuò)誤；D、正六邊形的對(duì)角線(xiàn)就不相等，故錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的一些性質(zhì)，注意使用反例推翻．40．（2021?上海）六個(gè)帶30度角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積．【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG＝BH，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BG＝2AG，接著證明HG＝AG可得結(jié)論．【解答】解：如圖，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝1，∴中間正六邊形的面積＝6××12＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．也考查了正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出HG．41．（2017?上海）我們規(guī)定：一個(gè)正n邊形（n為整數(shù)，n≥4）的最短對(duì)角線(xiàn)與最長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的比值叫做這個(gè)正n邊形的“特征值”，記為λn，那么λ6＝．【分析】如圖，正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線(xiàn)BE、CF交于點(diǎn)O，連接EC．易知BE是正六邊形最長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)，EC是正六邊形的最短的對(duì)角線(xiàn)，只要證明△BEC是直角三角形即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線(xiàn)BE、CF交于點(diǎn)O，連接EC．易知BE是正六邊形最長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)，EC是正六邊形的最短的對(duì)角線(xiàn)，∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴＝cos30°＝，∴λ6＝，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題．42．（2000?上海）正十五邊形的中心角等于24度．【分析】正多邊形一定有外接圓，且每條邊所對(duì)的中心角相等．【解答】解：正十五邊形的中心角等于＝360°÷15＝24°．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了正多邊形的中心角相等和一個(gè)周角為360度求解．一十四．扇形面積的計(jì)算（共1小題）43．（1997?上海）如圖，一種零件的橫截面積是由矩形、三角形和扇形組成，矩形的長(zhǎng)AB＝2.45cm，扇形所在的圓的半徑OB＝1cm，扇形的弧所對(duì)的圓心角為300°，求這種零件的橫截面的面積．（精確到0.01cm2，π≈3.142，≈1.732）【分析】根據(jù)S橫截面＝S矩形ABCD+S△BOC+S扇形BOC，分別計(jì)算矩形的長(zhǎng)、寬，等邊△BOC的底、高，扇形BOC的半徑，弧度數(shù)，再根據(jù)面積公式分別計(jì)算．【解答】解：∵扇形的弧所對(duì)的圓心角為300°，∴∠BOC＝60°，∴△OBC是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵OB＝OC，OE⊥BC，∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°，∴BE＝OB＝×1＝cm；OE＝BE＝cm，∴S橫截面＝S矩形ABCD+S△BOC+S扇形BOC＝2.45×1+×1×+≈5.50（cm2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合圖形面積的計(jì)算方法，一般采用割補(bǔ)法，分別計(jì)算面積，再求和或差．一十五．圓的綜合題（共6小題）44．（2021?上海）如圖，在圓O中，弦AB等于弦CD，且相交于點(diǎn)P，其中E、F為AB、CD中點(diǎn)．（1）證明：OP⊥EF；（2）連接AF、AC、CE，若AF∥OP，證明：四邊形AFEC為矩形．【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明OE＝OF，PE＝PF，可得結(jié)論．（2）連接AC，設(shè)EF交OP于J，想辦法證明PE＝PF＝PA＝PC，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OP，EF，OE，OF，OB＝OD．∵AE＝EB，CF＝FD，AB＝CD，∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE＝DF，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∵OB＝OD，∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL），∴OE＝OF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP，∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∴OP⊥EF．（2）證明：連接AC，設(shè)EF交OP于J．∵AB＝CD，AE＝EB，CF＝DF，∴AE＝CF，BE＝DF，∵PE＝PF，∴PA＝PC，∵PE＝PF，OE＝OF，∴OP垂直平分線(xiàn)段EF，∴EJ＝JF，∵OP∥AF，∴EP＝PA，∴PC＝PF，PA＝PE，∴四邊形AFEC是平行四邊形，∵EA＝CF，∴四邊形AFEC是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．45．（2020?上海）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線(xiàn)交邊AC于點(diǎn)D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大??；（3）當(dāng)AD＝2，CD＝3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OA．利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）分三種情形：①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可．（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E．則＝＝，推出＝＝，設(shè)OB＝OA＝4a，OH＝3a，根據(jù)BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，構(gòu)建方程求出a即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：連接OA．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠ABD．（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)AO交BC于H．①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．綜上所述，∠C的值為67.5°或72°．（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E．則＝＝，∴＝＝，設(shè)OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH2＝7a2＝，∴BH＝∴BC＝2BH＝．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造平行線(xiàn)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．46．（2018?上海）已知⊙O的直徑AB＝2，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E．且OD⊥AC，垂足為點(diǎn)F．（1）如圖1，如果AC＝BD，求弦AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，如果E為弦BD的中點(diǎn)，求∠ABD的余切值；（3）聯(lián)結(jié)BC、CD、DA，如果BC是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，求△ACD的面積．【分析】（1）由AC＝BD知+＝+，得＝，根據(jù)OD⊥AC知＝，從而得＝＝，即可知∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，利用AF＝AOsin∠AOF可得答案；（2）連接BC，設(shè)OF＝t，證OF為△ABC中位線(xiàn)及△DEF≌△BEC得BC＝DF＝2t，由DF＝1﹣t可得t＝，即可知BC＝DF＝，繼而求得EF＝AC＝，由余切函數(shù)定義可得答案；（3）先求出BC、CD、AD所對(duì)圓心角度數(shù)，從而求得BC＝AD＝、OF＝，從而根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得．【解答】解：（1）∵OD⊥AC，∴＝，∠AFO＝90°，又∵AC＝BD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，∵AB＝2，∴AO＝BO＝1，∴AF＝AOsin∠AOF＝1×＝，則AC＝2AF＝；（2）如圖1，連接BC，∵AB為直徑，OD⊥AC，∴∠AFO＝∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠D＝∠EBC，∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴BC＝DF、EC＝EF，又∵AO＝OB，∴OF是△ABC的中位線(xiàn)，設(shè)OF＝t，則BC＝DF＝2t，∵DF＝DO﹣OF＝1﹣t，∴1﹣t＝2t，解得：t＝，則DF＝BC＝、AC＝＝＝，∴EF＝FC＝AC＝，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠D，則cot∠ABD＝cot∠D＝＝＝；（3）如圖2，∵BC是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，∴∠BOC＝、∠AOD＝∠COD＝，則+2×＝180，解得：n＝4或﹣2，﹣2舍去．∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°，∴BC＝AC＝，∵∠AFO＝90°，∴OF＝AOcos∠AOF＝，則DF＝OD﹣OF＝1﹣，∴S△ACD＝AC?DF＝××（1﹣）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角和圓心角定理、中位線(xiàn)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．47．（2017?上海）如圖，已知⊙O的半徑長(zhǎng)為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，BO的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OA、OC．（1）求證：△OAD∽△ABD；（2）當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí)，求B、C兩點(diǎn)的距離；（3）記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中項(xiàng)，求OD的長(zhǎng)．【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可證明△OAD∽△ABD；（2）如圖2中，當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí)，需要分類(lèi)討論解決問(wèn)題；（3）如圖3中，作OH⊥AC于H，設(shè)OD＝x．想辦法用x表示AD、AB、CD，再證明AD2＝AC?CD，列出方程即可解決問(wèn)題；【解答】（1）證明：如圖1中，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC，∴∠C＝∠B，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝∠B，∵∠ADO＝∠ADB，∴△OAD∽△ABD．（2）如圖2中，①當(dāng)∠ODC＝90°時(shí)，∵BD⊥AC，OA＝OC，∴AD＝DC，∴BA＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，在Rt△OAD中，∵OA＝1，∠OAD＝30°，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，∴BC＝AC＝2AD＝．②∠COD＝90°，∠BOC＝90°，BC＝＝，③∠OCD顯然≠90°，不需要討論．綜上所述，BC＝或．（3）如圖3中，作OH⊥AC于H，設(shè)OD＝x．∵△DAO∽△DBA，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝，AB＝，∵S2是S1和S3的比例中項(xiàng)，∴S22＝S1?S3，∵S2＝AD?OH，S1＝S△OAC＝?AC?OH，S3＝?CD?OH，∴（AD?OH）2＝?AC?OH??CD?OH，∴AD2＝AC?CD，∵AC＝AB．CD＝AC﹣AD＝﹣，∴（）2＝?（﹣），整理得x2+x﹣1＝0，解得x＝或，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝是分式方程的根，且符合題意，∴OD＝．（也可以利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：＝＝，黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)解決這個(gè)問(wèn)題）方法2、設(shè)OD＝x，設(shè)△AOB的邊上的高為h，則△AOD的邊OD邊上的高也為h，∴＝＝，設(shè)S△AOB＝a，∴S△AOD＝ax，∵△AOB≌△AOC，∴S△AOC＝S△AOB＝a∴S△AOC＝S△AOD+S