2024年四川省廣元市中考數(shù)學(xué)試題卷（含答案全解析）

廣元市2024年初中學(xué)業(yè)水平考試暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)說明：1．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共三個大題26個小題．3．考生必須在答題卡上答題，寫在試卷上的答案無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂答案，非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆答題．4．考試結(jié)束，將答題卡和試卷一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）1．將－1在數(shù)軸上對應(yīng)的點向右平移2個單位，則此時該點對應(yīng)的數(shù)是（）A．－1 B．1 C．－3 D．32．下列計算正確的是（）A． B． C． D．3．一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）A． B． C． D．4．在“五·四”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（）A．中位數(shù)是95 B．方差是3 C．眾數(shù)是95 D．平均數(shù)是945．如圖，已知四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，E為AD延長線上一點，，則等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°6．如果單項式與單項式的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標(biāo)系中點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，連接CE，點D恰好落在線段CE上，若，，則AD的長為（）A． B． C．2 D．8．我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現(xiàn)需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設(shè)B種綠植單價是x元，則可列方程是（）A． B．C． D．9．如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊AB的長為（）A．5 B．7 C． D．10．如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第Ⅱ卷非選擇題（共120分）二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應(yīng)題目的橫線上，每小題4分，共24分）11．分解因式：______．12．2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為______秒．13．點F是正五邊形ABCDE邊DE的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G，則的度數(shù)為______．14．若點滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標(biāo)______．15．已知與的圖象交于點，點B為y軸上一點，將沿OA翻折，使點B恰好落在上點C處，則B點坐標(biāo)為______．16．如圖，在中，，，則的最大值為______．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）17．（6分）計算：．18．（8分）先化簡，再求值：，其中a，b滿足．19．（8分）如圖，已知矩形ABCD．（1）尺規(guī)作圖：作對角線AC的垂直平分線，交CD于點E，交AB于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AE、CF．求證：四邊形AFCE是菱形．20．（9分）廣元市開展“蜀道少年”選拔活動，旨在讓更多的青少年關(guān)注蜀道、了解蜀道、熱愛蜀道、宣傳蜀道，進(jìn)一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識．為此某校開展了“蜀道文化知識競賽”活動，并從全校學(xué)生中抽取了若干學(xué)生的競賽成績進(jìn)行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：；B：；C：；D：；E：）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖．抽取學(xué)生成績等級人數(shù)統(tǒng)計表等級ABCDE人數(shù)m2730126其中扇形圖中C等級區(qū)域所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是120°．（1）樣本容量為______，______；（2）全校1200名學(xué)生中，請估計A等級的人數(shù)；（3）全校有5名學(xué)生得滿分，七年級1人，八年級2人，九年級2人，從這5名學(xué)生中任意選擇兩人在國旗下分享自己與蜀道的故事，請你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩人來自同一個年級的概率．21．（9分）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)對光作用的一種特征．（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經(jīng)真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面ABCD的面積．22．（10分）近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進(jìn)長、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷售，進(jìn)貨價和銷售價如下表：價格/類別短款長款進(jìn)貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進(jìn)長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進(jìn)長、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價和銷售價都不變），且第二次進(jìn)貨總價不高于16800元．服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？23．（10分）如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象相交于點，兩點，O為坐標(biāo)原點，連接OA，OB．（1）求與的解析式；（2）當(dāng)時，請結(jié)合圖象直接寫出自變量x的取值范圍；（3）求的面積．24．（10分）如圖，在中，，，經(jīng)過A、C兩點，交AB于點D，CO的延長線交AB于點F，交BC于點E．（1）求證：DE為的切線；（2）若，，求的半徑．25．（12分）數(shù)學(xué)實驗，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學(xué)習(xí)《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問題，請同學(xué)們幫他解決．在中，點D為邊AB上一點，連接CD．（1）初步探究如圖2，若，求證：；（2）嘗試應(yīng)用如圖3，在（1）的條件下，若點D為AB中點，，求CD的長；（3）創(chuàng)新提升如圖4，點E為CD中點，連接BE，若，，，求BE的長．26．（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在直線AB上方拋物線上有一動點C，連接OC交AB于點D，求的最大值及此時點C的坐標(biāo)；（3）作拋物線F關(guān)于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側(cè)），G為直線AB上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標(biāo)．廣元市2024年初中學(xué)業(yè)水平考試暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)參考答案說明：1．解答題第17至26題中各步驟所標(biāo)記分?jǐn)?shù)為考生解答到這一步的累計分?jǐn)?shù)．2．參考答案都只給出一種解法，若考生的解答不同，請根據(jù)解答情況參考評分意見給分．3．給分和扣分都以1分為基本單位．一、選擇題題號12345678910答案BDCBADACAC二、填空題11．12．13．18°14．（答案不唯一）15．16．三、解答題17．解：原式．18．解：原式，∵，∴，將其代入，原式．19．解：（1）如圖1所示；（2）證明：如圖2設(shè)EF與AC的交點為O，由（1）可知，直線EF是線段AC的垂直平分線．∴，，，，又∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形AFCE是菱形．20．解：（1）90，15；（2）（名）答：全校1200名學(xué)生中，估計A等級的人數(shù)有200名．（3）設(shè)七年級學(xué)生為A，八年級學(xué)生為，，九年級學(xué)生為，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知一共有20種等可能的結(jié)果，其中兩人來自同一個年級的結(jié)果有4種，∴P（選擇的兩人來自同一個年級）．21．解：（1）∵∴如圖，設(shè)，則，由勾股定理得，，∴，又∵，∴，∴折射率為：．（2）由題意可得，，折射率為，∵，∴．∵四邊形ABCD是矩形，點O是AD中點，∴，，又∵，∴，在中，設(shè)，，由勾股定理得，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴截面ABCD的面積為：．22．解：（1）設(shè)購進(jìn)短款服裝x件，購進(jìn)長款服裝y件，由題意可得，解得，答：長款服裝購進(jìn)30件，短款服裝購進(jìn)20件．（2）設(shè)第二次購進(jìn)m件短款服裝，則購進(jìn)件長款服裝，由題意可得，解得：，設(shè)利潤為w元，則，∵，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)時，∴（元）．答：當(dāng)購進(jìn)120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤，最大利潤是4800元．23．解：（1）由題知，∴，∴，，∴，把，代入得，∴，∴．（2）由圖象可知自變量x的取值范圍為或．（3）若AB與y軸相交于點C，∴，．24．（1）證明：連接OD．∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴DE為的切線．（2）解：過點C作于點H，∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．在中，∵,設(shè)半徑為r，∴，∴．25．（1）證明：∵，，∴，∴，∴．（2）解：∵點D為AB中點，∴設(shè)，由（1）知，∴，∴，∴與的相似比為，∴，∵，∴．（3）解：如圖1過點C作EB的平行線交AB的延長線于點H．∵點E為CD中點，∴設(shè)，∵，∴，，∴，如圖2，過點B作于點F．∴，∴，∴，∴，，∴，∴，如圖1，∵，點E為CD中點，∴，，，又∵，∴，，∴．又∵，∴，，∴，即，∴，∴．26．解：（1），代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖1，過點C作x軸的垂線交AB于點M．∴軸，∴，∴，設(shè)AB的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時，．∴的最大值為，此時點C的坐標(biāo)為．（3）由中心對稱可知，拋物線F與的公共點E為直線與拋物線F的右交點∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴拋物線的對稱軸為．如圖2，當(dāng)BE為對角線時，由題知，∴，∴．如圖3，當(dāng)BE為邊時，由題知，∴，∴．如圖3，由題知，∴，∴，綜上：點G的坐標(biāo)為，，．廣元市2024年初中學(xué)業(yè)水平考試暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)說明：1．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共三個大題26個小題．3．考生必須在答題卡上答題，寫在試卷上的答案無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂答案，非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆答題．4．考試結(jié)束，將答題卡和試卷一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）1.將在數(shù)軸上對應(yīng)的點向右平移2個單位，則此時該點對應(yīng)的數(shù)是（）A B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，正確理解有理數(shù)所表示的點左右移動后得到的點所表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．將在數(shù)軸上對應(yīng)的點向右平移2個單位，在數(shù)軸上找到這個點，即得這個點所表示的數(shù)．【詳解】根據(jù)題意：數(shù)軸上所對應(yīng)的點向右平移2個單位，則此時該點對應(yīng)的數(shù)是1．故選B．2.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了合并同類項，同底數(shù)冪的除法，完全平方公式，積的乘方運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪的除法，完全平方公式，積的乘方運算法則逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A．，故該選項不正確，不符合題意；B．，故該選項不正確，不符合題意；C．，故該選項不正確，不符合題意；D．，故該選項正確，符合題意．故選：D．3.一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是根據(jù)從上面看到的圖形是幾何體的俯視圖即可解答．【詳解】解：從上面看，如圖所示：故選：C．4.在“五·四”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（）A.中位數(shù)是95 B.方差是3 C.眾數(shù)是95 D.平均數(shù)是94【答案】B【解析】【分析】此題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的定義及計算，根據(jù)各定義及計算公式分別判斷，正確掌握各定義及計算方法是解題的關(guān)鍵【詳解】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為91，92，94，95，95，95，96，共7個數(shù)據(jù),居中的一個數(shù)據(jù)是95，∴中位數(shù)是95，故A選項正確；這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是95，故眾數(shù)是95，故C選項正確；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故D選項正確；這組數(shù)據(jù)的方差為，故B選項錯誤；故選：B5.如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，為延長線上一點，，則等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍可求得的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，可推出，即可得到答案．【詳解】解：是圓周角，與圓心角對相同的弧，且，，又四邊形是的內(nèi)接四邊形，，又，，故選：A．6.如果單項式與單項式的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標(biāo)系中點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本題主要考查同類項和確定點的坐標(biāo)，根據(jù)同類項的性質(zhì)求出的值，再確定點的位置即可【詳解】解：∵單項式與單項式的和仍是一個單項式，∴單項式與單項式是同類項，∴，解得，，∴點在第四象限，故選：D7.如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，連接，點D恰好落在線段上，若，，則的長為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得，，，推出是等腰直角三角形，，過點A作于點H，得到，利用勾股定理求出的長．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，∴，，，∴是等腰直角三角形，，過點A作于點H，∴，∴，∴，故選：A．8.我市把提升城市園林綠化水平作為推進(jìn)城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現(xiàn)需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設(shè)B種綠植單價是x元，則可列方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是元，根據(jù)用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是元，根據(jù)題意得：，故選：C．9.如圖①，在中，，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，的面積隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（）A.5 B.7 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，由圖象可知，面積最大值為6，此時當(dāng)點P運動到點C，得到，由圖象可知，根據(jù)勾股定理，結(jié)合完全平方公式即可求解．【詳解】解：由圖象可知，面積最大值為6由題意可得，當(dāng)點P運動到點C時，的面積最大，∴，即，由圖象可知，當(dāng)時，，此時點P運動到點B，∴，∵，∴，∴．故選：A10.如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時，，當(dāng)時，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；【詳解】解：①拋物線開口向上，，，∴當(dāng)時，，故①不符合題意；②∵拋物線過點，∴函數(shù)的最小值，∴有兩個不相等的實數(shù)根；∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；③∵，，∴拋物線的對稱軸為直線，且，∴，而，∴，∴，故③不符合題意；④∵拋物線過點，∴，∵時，，即，當(dāng)時，，∴，∴，∴，故④符合題意；⑤∵，，∴，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合題意；故選：C．第Ⅱ卷非選擇題（共120分）二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應(yīng)題目的橫線上，每小題4分，共24分）11.分解因式：___________________________________．【答案】##【解析】【分析】首先利用完全平方式展開，然后合并同類項，再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可．【詳解】．故答案為：．【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握完全平方公式：．12.2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為______秒．【答案】【解析】【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，解題的關(guān)鍵是熟知．根據(jù)題意可知，43阿秒秒，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示出來即可．【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是秒可知，43阿秒秒，故答案為：．13.點F是正五邊形邊的中點，連接并延長與延長線交于點G，則的度數(shù)為______．【答案】##18度【解析】【分析】連接，，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證，得到，進(jìn)而得到是的垂直平分線，即，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：連接，，∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∴，∵點F是的中點，∴是的垂直平分線，∴，∵在正五邊形中，，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查正多邊形性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14.若點滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標(biāo)______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以后去分母，令x代入一個數(shù)值，得到y(tǒng)的值，以此為點的坐標(biāo)即可，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵【詳解】解：等式兩邊都乘以，得，令，則，∴“美好點”的坐標(biāo)為，故答案為（答案不唯一）15.已知與的圖象交于點，點B為y軸上一點，將沿翻折，使點B恰好落在上點C處，則B點坐標(biāo)為______．

【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合，折疊性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先得出以及，根據(jù)解直角三角形得，根據(jù)折疊性質(zhì)，，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行列式，即．【詳解】解：如圖所示：過點A作軸，過點C作軸，

∵與的圖象交于點，∴把代入，得出，∴，把代入，解得，∴，設(shè)，在，∴，∵點B為y軸上一點，將沿翻折，∴，，∴，則，解得（負(fù)值已舍去），∴，∴，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：．16.如圖，在中，，，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】過點作，垂足為，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到，延長到，使，連接，如圖所示，從而確定，，再由輔助圓-定弦定角模型得到點在上運動，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：過點作，垂足為，如圖所示：，在中，設(shè)，則，由勾股定理可得，，即，，延長到，使，連接，如圖所示：，，，是等腰直角三角形，則，在中，，，由輔助圓-定弦定角模型，作的外接圓，如圖所示：由圓周角定理可知，點在上運動，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦過圓心，即是直徑時，弦最大，如圖所示：是的直徑，，，是等腰直角三角形，，，則由勾股定理可得，即的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦定角模型的解法是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）17.計算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算，特殊的三角函數(shù)值，零次冪及負(fù)指數(shù)冪計算，正確掌握各計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．18.先化簡，再求值：，其中a，b滿足．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的化簡求值是解題的關(guān)鍵．先將分式的分子分母因式分解，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算，再計算分式的加減得到，最后將化為，代入即得答案．【詳解】原式，，原式．19.如圖，已知矩形．（1）尺規(guī)作圖：作對角線的垂直平分線，交于點E，交于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接．求證：四邊形是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，垂直平分線的畫法及性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定．（1）根據(jù)垂直平分線的畫法即可求解；（2）由直線是線段的垂直平分線．得到，，，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可證，可得，即可得到，即可求證．【小問1詳解】解：如圖1所示，直線為所求；【小問2詳解】證明：如圖2，設(shè)與的交點為O，由（1）可知，直線是線段的垂直平分線．∴，，，，又∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．20.廣元市開展“蜀道少年”選拔活動，旨在讓更多的青少年關(guān)注蜀道、了解蜀道、熱愛蜀道、宣傳蜀道，進(jìn)一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識．為此某校開展了“蜀道文化知識競賽”活動，并從全校學(xué)生中抽取了若干學(xué)生的競賽成績進(jìn)行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：；B：；C：；D：；E：）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖．抽取學(xué)生成績等級人數(shù)統(tǒng)計表等級ABCDE人數(shù)m2730126其中扇形圖中C等級區(qū)域所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是．（1）樣本容量為______，______；（2）全校1200名學(xué)生中，請估計A等級的人數(shù)；（3）全校有5名學(xué)生得滿分，七年級1人，八年級2人，九年級2人，從這5名學(xué)生中任意選擇兩人在國旗下分享自己與蜀道的故事，請你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩人來自同一個年級的概率．【答案】（1）90，15；（2）200；（3）．【解析】【分析】（1）利用C等級的人數(shù)及其扇形圓心角度數(shù)求出總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)減去其他等級的人數(shù)即可得到m的值；（2）用總?cè)藬?shù)1200乘以抽樣調(diào)查中的A等級的比例即可得到A等級的人數(shù)；（3）列樹狀圖求解即可．【小問1詳解】解：樣本容量為，，故答案為：90，15【小問2詳解】（名）答：全校1200名學(xué)生中，估計A等級的人數(shù)有200名．【小問3詳解】設(shè)七年級學(xué)生為A，八年級學(xué)生為，，九年級學(xué)生為，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知一共有20種等可能結(jié)果，其中兩人來自同一個年級的結(jié)果有4種，∴P（選擇的兩人來自同一個年級）．【點睛】此題考查了扇形統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表，列樹狀圖求概率，利用個體比例求總體中的數(shù)量，正確理解統(tǒng)計圖表得到相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵．21.小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)對光作用的一種特征．（1）若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且，，求該介質(zhì)的折射率；（2）現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經(jīng)真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，（1）根據(jù)，設(shè)，則，利用勾股定理求出，進(jìn)而可得，問題即可得解；（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據(jù)，可得，則有，在中，設(shè)，，問題隨之得解．【小問1詳解】∵，∴如圖，設(shè)，則，由勾股定理得，，∴，又∵，∴，∴折射率為：．【小問2詳解】根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，∵，∴，∴．∵四邊形是矩形，點O是中點，∴，，又∵，∴，在中，設(shè)，，由勾股定理得，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴截面的面積為：．22.近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進(jìn)長、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷售，進(jìn)貨價和銷售價如下表：價格/類別短款長款進(jìn)貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進(jìn)長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進(jìn)長、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價和銷售價都不變），且第二次進(jìn)貨總價不高于16800元．服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？【答案】（1）長款服裝購進(jìn)30件，短款服裝購進(jìn)20件；（2）當(dāng)購進(jìn)120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤，最大利潤是4800元．【解析】【分析】本題考查了二元一次方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，列出正確的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)購進(jìn)服裝x件，購進(jìn)長款服裝y件，根據(jù)“用4300元購進(jìn)長、短兩款服裝共50件，”列二元一次方程組計算求解；（2）設(shè)第二次購進(jìn)m件短款服裝，則購進(jìn)件長款服裝，根據(jù)“第二次進(jìn)貨總價不高于16800元”列不等式計算求解，然后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)分析求最值．【小問1詳解】解：設(shè)購進(jìn)短款服裝x件，購進(jìn)長款服裝y件，由題意可得，解得，答：長款服裝購進(jìn)30件，短款服裝購進(jìn)20件．【小問2詳解】解：設(shè)第二次購進(jìn)m件短款服裝，則購進(jìn)件長款服裝，由題意可得，解得：，設(shè)利潤為w元，則，∵，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)時，∴（元）．答：當(dāng)購進(jìn)120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤，最大利潤是4800元．23.如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象相交于點，兩點，O為坐標(biāo)原點，連接，．（1）求與的解析式；（2）當(dāng)時，請結(jié)合圖象直接寫出自變量x的取值范圍；（3）求的面積．【答案】（1）；（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，即有，問題隨之得解；（2）表示反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上方時，對應(yīng)的自變量的取值范圍，據(jù)此數(shù)形結(jié)合作答即可；（3）若與y軸相交于點C，可得，則，根據(jù)，問題即可得解．【小問1詳解】由題知，∴，∴，，∴，把，代入得，∴，∴；【小問2詳解】由圖象可知自變量x的取值范圍為或【小問3詳解】若與y軸相交于點C，當(dāng)時，，∴，即：，∴．24.如圖，在中，，，經(jīng)過A、C兩點，交于點D，的延長線交于點F，交于點E．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得，問題得證；（2）過點C作于點H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)有，結(jié)合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根據(jù)，設(shè)半徑為r，即有，問題得解．【小問1詳解】證明：連接．∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的切線．【小問2詳解】過點C作于點H，∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．在中，∵，設(shè)半徑為r，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正切，勾股定理等知識以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，問題難度不大，正