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第五章積分§5.1

定積分的概念1o定積分問題的提出問題一:曲邊梯形面積的計算

設y=f(x)0,x[a,b]計算:由曲線y=f(x),y=0,x=a,x=b

所界的曲邊梯形abcd的面積Aabxyoabxyoabxyo（四個小矩形）（九個小矩形）用矩形面積近似取代曲邊梯形面積

可以看到,小矩形越多,小矩形的總面積越接近于曲邊梯形面積A(1)分割:使[a,b]被劃分為n個子區(qū)間[xi-1,xi

],記[xi-1,xi

]上小曲邊梯形的面積為?Ai

,

y=f(x)?Ai則(2)近似:若區(qū)間[a,b]被分割的很細,即每個子區(qū)間

[xi-1,xi

]的長度很小,則f(x)在[xi-1,xi]上近似于常數(shù),小曲邊梯形近似于矩形.任取若記

?xi=

xi-

xi-1,

則(3)精確化:可以看出,將區(qū)間分割得越小,則式

(1)

的近似越精確

(1)則有(2)記(分割的最大直徑)

問題二:變速直線運動的路程設運動物體以速度v=v(t)作直線運動,求在時刻t=a

到t=b

這段時間內,物體行經(jīng)的路程S.(1)分割:使記時間段[ti-1,ti

]內,物體行經(jīng)的路程?Si

,則(2)近似:若子區(qū)間很小

,則速度v(t)在上近似不變(即近似于常數(shù))任取(3)(3)精確化:可以看出,越小,

則式

(3)

的近似程度越高記則有(4)闡明:(1)

問題一,問題二是不同背景的問題,但面臨同一數(shù)學問題,即和式極限的計算(2)在問題的處理過程中,都使用了

“以不變處理變”

的思想20

定積分的定義定義設f(x)在[a,b]上有定義,在(a,b)內任意將[a,b]分成n

個小區(qū)間:

在每個小區(qū)間上任取一點,作和式如果則稱f(x)在[a,b]

可積

,A稱為f(x)在[a,b]上的定積分

,記為

,a

稱為積分下限

;b

稱為積分上限

;f(x)稱為被積函數(shù)

;f(x)dx

稱為被積表達式

;x稱為積分變量

闡明:(1)

定積分的幾何意義:abxyo如果y=f(x)0,x[a,b]曲邊梯形的面積:(2)極限值A與區(qū)間[a,b]的分割方式無關,與的選取方式無關即(3)在上述定義中認為a<b,對于a>b的情形:規(guī)定:對于b=a

的情形:規(guī)定:(面積為零)定理(定積分存在的必要條件)如果f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界闡明:[a,b]上的無界函數(shù)是不可積的定理(定積分存在的充足條件)如果f(x)在[a,b]上連續(xù)或分段連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積闡明:連續(xù)函數(shù)必是可積函數(shù),不連續(xù)的函數(shù)也可能是可積函數(shù)例利用定義計算定積分解由在[0,a

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