2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)12復(fù)數(shù)基礎(chǔ)題

單元復(fù)習(xí)12復(fù)數(shù)

考點01復(fù)數(shù)的概念

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=l+i,則復(fù)數(shù)z的模為（）

A.yB.1C.72D.石

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義直接求解即可.

【解析】解：因為復(fù)數(shù)z=l+i,所以|z|=川?+『=JL

故選：C

2.已知復(fù)數(shù)z=l+i,那么|z|等于（）

A.1B.2C.J2D.—

2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件利用復(fù)數(shù)模的定義直接計算作答.

【解析】因復(fù)數(shù)z=l+i,則正，

所以|z|等于行.

故選：C

3.已知復(fù)數(shù)z滿足忸=石，且z-1為純虛數(shù)，則2=（）

A.l+2zB.2-/C.2±iD.1±2/

【答案】D

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+4（a,be&,根據(jù)復(fù)數(shù)的模和純虛數(shù)的概念，由〃求解.

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+砥a,6eR）,

因為|z|=JL且z-l為純虛數(shù)，

所以y/a2+b2=\[5,a-1=0-

解得。=1,6=±2,

所以z=1±2i,

故選：D

【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和模的運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.對于復(fù)數(shù)z=a+6i(a,beR),下列結(jié)論中正確的是()

A.若。=0,則a+bi為純虛數(shù)

B.若a-6i=3+2i,則a=3,h=2

C.若6=0,貝ija+bi為實數(shù)

D.若a=6=0,則z不是復(fù)數(shù)

【答案】C

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)概念逐一判斷即可.

【解析】對A,當(dāng)6=0時，a+bi為實數(shù)，故A錯；對B,根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，a=3,b=-2,故B錯；

對C,若6=0,則a+bi為實數(shù)，C正確；對D,若a=b=Q,z=0,也是復(fù)數(shù)，故D錯.

故選：C

5.設(shè)mwR,則“加=2”是“復(fù)數(shù)z=(,〃+2i)(I+i)為純虛數(shù)，，的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】求出z=(〃，+2i)(l+i)為純虛數(shù)時〃?的值，與m=2比較，判斷出結(jié)果

［解析］z=(m+2i)(l+i)=m_2+(m+2)i,復(fù)數(shù)z=(m+2i)(l+i)為純虛數(shù)，則加一2=0,解得：m=2,

所以則=2”是“復(fù)數(shù)z=(機+2i)(l+i)為純虛數(shù)”的充要條件

故選：C

6.給出下列命題：①若？eC,則②若6為實數(shù)，且2=加，則同=6；③若zeC,且曰=-z,

則Z一定為實數(shù).其中真命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【分析】設(shè)2=。+4,a,beR,利用復(fù)數(shù)的模的公式結(jié)合復(fù)數(shù)的有個概念判斷出結(jié)果.

【解析】設(shè)2=a+4，a,b&R

：\z\=\la2+b2,|Rez|=|4，則若zwC,則目N|7?ez|,正確;

：若6為實數(shù)，且z=bi,則|z|=W，錯誤;

：若zeC,且|z|=-z,則次方=-"從，則。=0，則z一定為實數(shù)，正確；

綜上，真命題的個數(shù)為2,

故選：B.

7.下面四個命題中，正確的是

A.若復(fù)數(shù)4=2,貝gpeRB.若復(fù)數(shù)z滿足z2eR,則zeR

C.若復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足㈤=憶|,則4=%2或Z[=-Z2D.若復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z1+Z2€R,則4WR,Z2&R

【答案】A

【解析】分析：由復(fù)數(shù)的基本概念及基本運算性質(zhì)逐一核對四個選項得答案.

詳解：對于A,若復(fù)數(shù)Z1=52,則Z/Z2=*Z2Tz故A正確；

對于B,取2=匕則z2=-leH，而ZWR,故B錯誤；

對于C,取4=1+，，z2=l-z,滿足㈤="|,但不滿足4=Z2或Z[=~2,故C錯誤；

對于D,取Z|=l+i,z2=l-z,滿足ZI+Z2eR,但不滿足Z|eR,Z2GR,故D錯誤.

故選A.

點睛：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)z=a+4?的共輒復(fù)數(shù)為一加，

模長為

8.已知。，beR,若/+6+（。-6">2（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.。>2或。<-1B.。>1或。<-2C.-1<a<2D.-2<a<1

【答案】B

【分析】依題意復(fù)數(shù)的虛部為零，實部大于2,即可得到不等式，解得即可；

q2L>2

,八，即/+a>2,解得a>l或a<-2

）a-b=O

故選：B

二、多選題

9.對任意復(fù)數(shù)2=。+4（。/€1^）,，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.z-z=2aB.|z|=|z|

C.z+z=2aD.z+z=2bi

【答案】BC

【分析】寫出共規(guī)復(fù)數(shù)，然后計算判斷各選項.

【解析】由已知』=a-行，

因此z-z=2bi，z+z=2a，\z\=+b~=|z|.

故選：BC.

10.下列命題，其中不正確的是()

A.若2=°+從，a,6GR,則僅當(dāng)厚0時z為純虛數(shù)

B.若z；+z；=0,則z/=Z2=0

C.若aGR,則出為純虛數(shù)

D.復(fù)數(shù)z=/-〃+g+間6WR)為實數(shù)的充要條件是〃4)

【答案】ABC

【分析】通過復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合反例，以及復(fù)數(shù)的模，判斷命題的真假即可.

【解析】解：在A中。=0,厚0時滿足，故A錯誤：在8中將虛數(shù)的平方與實數(shù)的平方等同，如若z/=l,

Z2=i,則z；+z；=l-l=o,但Z#Z2￥O,故B錯誤；在C中忽視0"=0,故C錯誤：在D中復(fù)數(shù)z為實數(shù)的

充要條件是。+|。|=0，即同=-a>得aWO,故D正確.

故選：ABC

三、填空題

11.若復(fù)數(shù)z=%+冊7二;i(/neR)是虛數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】(-8,-2)。(-2,0)u(L+◎

【分析】利用虛數(shù)的概念可列不等式組，解之即得.

wi—q,

【解析】?.?復(fù)數(shù)Z=-^+〃7二^(加61<)是虛數(shù)，

m+2

.[m+2H0,

**[/M2-tn>0,

解得m>\或m<0且w/—2.

故實數(shù)m的取值范圍是(-8,-2)U(-2,0)D(1,+8).

故答案為：(一8,-2)。(一2,0)口(1,+8)。

12.若4=4+3"z2=5-2i,z3=-1+6/,z4=8z,則㈤、㈤、㈤、㈤由小到大的順序為

【答案】|zj<|z2klz3klz/

【分析】先用復(fù)數(shù)的模長公式求出模長，再比較即可

【解析】==5,

"|=42+(-2)2=回

㈤=J(T)2+6,=回

㈤=A/^=8

??.|zj<|z2klz31Vlz/

故答案為：|zj<|z2klz3上閡

四、解答題

13.求加為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)z=/+w-6+(加2-2機-15)i是：

⑴實數(shù)；

(2)純虛數(shù);

(3)虛數(shù).

【答案】⑴加=-3或5；

(2)m=2；

(3)ww-3且/5.

【分析】(1)根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)z的虛部為零，可求得實數(shù)機的值；

(2)根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)Z的實部為零，虛部不為零，可求得實數(shù)"7的值;

(3)根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)z的虛部不為零，可求得實數(shù)〃?的取值范圍.

(1)

解：若復(fù)數(shù)z為實數(shù)，則/一2"「15=0,解得機=-3或5.

⑵

m~__60

解：若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則2c二八，解得加=2.

療一2m-15*0

(3)

解：若復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，貝打〃2-2/?-15/0,解得加w-3且加W5.

14.在復(fù)平面內(nèi)點Z,z。對應(yīng)的復(fù)數(shù)z,z。滿足z-z0=3-4i,且|叫=1.求|z|的最大值和最小值.

【答案】最大值6,最小值4.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合向量不等式進行求解即可.

【解析】解：因為z—z0=3-4i,

所以z=z0+3-4i.

因為h|=】，

所以4=聞一|3-可平。+3-4|<z曰3-4|=6

即44囪46,當(dāng)且僅當(dāng)z0與3-4i所對應(yīng)的向量反向(同向)時取得最小值(最大值).

令Zo=〃3-4i),則5岡=1,即囚=；.

所以當(dāng)％=，-小時，|z|取得最大值6；當(dāng)z°=-|+gi時，目取得最小值4.

考點02復(fù)數(shù)的運算

一、單選題

1.已知i是虛數(shù)單位，若(2+司)-(1+1)是實數(shù)，則實數(shù)“=()

A.2B.2C.1D.1

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(2+ai)《+i),由復(fù)數(shù)的概念即可求

【解析】(2+ai)(l+i)=(2-a)+(a+2)i為實數(shù)，

/.a=-2.

故選：B

2.在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3-五對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)壓，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.2A/3B.-2#1tC.6-3iD.3+后

【答案】B

【分析】由題意知復(fù)數(shù)3-gi對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)。，需要把已知向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)乘以復(fù)數(shù)的沿

順時針旋轉(zhuǎn)后的復(fù)數(shù)，相乘得到結(jié)果.

【解析】解：：由題意知復(fù)數(shù)3-后對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)。，

???旋轉(zhuǎn)后的向量為(3-后)"(-1')+15皿-^)]=(3?^(3*1)=1-^當(dāng)居=TT3.

故選：B.

3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共輒復(fù)數(shù)為三，下列說法正確的是()

A.如果4+Z2CR,則4,Z2互為共輒復(fù)數(shù)

B.如果復(fù)數(shù)Z1,Z?滿足卜I+Z2IT4-Z21，則4芻=0

C.如果z?=z,則上|=1

D.跖|=團團

【答案】D

【分析】對于A,舉反例4=l+i,z?=2-i可判斷；對于B,設(shè)4=%-垢，z2=%+娛代入驗證可判斷；

對于C,舉反例z=0可判斷；對于D,設(shè)Z|=a+6i,z2=c+di,代入可驗證.

【解析】對于A,設(shè)4=l+i,z2=2-i,4+Z2=3CR,但4,Z2不互為共軌復(fù)數(shù)，故A錯誤；

對于B,設(shè)Z|=q-6j(%,/),eR),z2=a2+b2i(a2,Z(2eR).

由匕+Z21=|Z|—I,得區(qū)+Z2/=(《+%)2+(々+偽)2Hzi-f=(q+(4-仇『，

則+她=0,而％-Z2=(q+始)(°2+%)=(4。2-6也)+(q“+“辦》=2%出+(。也+%4)i不一定等于0，

故B錯誤；

對于C,當(dāng)z=0時，有z2=W，故C錯誤；

對于D,設(shè)4=。+&，z2=c+d\,則

[zR=d(ac-bd了+gd+bcj=在cj+[dj+[dj+j=#4b?乂*z|\>D正確

故選：D

z.\2O2Iz.X2022

4.已知復(fù)數(shù)z=1g+詈，則z的共舸復(fù)數(shù)三=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】C

【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘方化簡復(fù)數(shù)z,再求其共軌復(fù)數(shù).

1-/（I"-111+/（1+022/

【解析】因為「=--

1+1（1+0（1-/）V7^7（i-/）（i+/）T

miUz=（-i）2021+i2022=-i-l=-l-i,

則z=-l+i，

故選：C.

5.4、z2是復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

2

A.若z；+z；＞0,則B.|z,-z2|=-7（z,+z2）-4z,-z2

C.z；+z；=0=Z]=z?=0D.|z：|=|Z|『

【答案】D

【解析】舉反例4=2+i,Z2=2T.可判斷選項A、B,舉反例4=1,Z2=i?可判斷選項C,設(shè)4=。+此

(a力eR),分別計算|z：|、即可判斷選項D,進而可得正確選項.

2222

【解析】對于選項A：取4=2+，，=2-i,z,=(2+/)=3+2/,z2=(2-/)=3-2/,

滿足z；+z；=6>0,但z;與z?2是兩個復(fù)數(shù)，不能比較大小，故選項A不正確；

對于選項B：取Z]=2+i,Z2=2-i,\z}-z2|=|2z|=2,

而J(zi+z2)2-4Z「Z2=《4。-4(2+i)(2-i)=JI6-20無意義,故選項B不正確；

對于選項C：取4=1,z2=i,則z：+z；=0,但是z尸0,z2*0,故選項C不正確；

對于選項D：設(shè)Z1=a+bi,(a,bsR),貝ijzj=(a+=a。-/+

|z,2|={(a2-b]+4a%2=而2+b27=a2+b2>

2

7t=a-bi,同=〃+〃,所以同2=/+〃，所以故選項D正確.

故選：D.

6.方程z2-4忖+3=0在復(fù)數(shù)集內(nèi)解的個數(shù)為().

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】令2=〃+及,再根據(jù)復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)的模，解方程.

【解析】令2=4+〃(“,*1<),則°?一加+2abi_4J”'+〃+3=0,

2ab=0,

得］I------

a2-b2-4yla2+b2+3=0.

當(dāng)6=0時，a'-4|a|+3=0,。=±1或。=±3；

當(dāng)"0時，〃+4網(wǎng)-3=0,同=-2+近或網(wǎng)=-2-近(舍).

綜上共有6個解：z=±1,z=±3,z=±(J7-2)i,

故選；C.

二、多選題

7.設(shè)Z1,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，下列命題中錯誤的是()

22

A.|Z,|=Z,B.|Z1-Z2|=|Z1|-|Z2|

C.若z苫z2wR,則為純虛數(shù)D.若Z=Z3,且z產(chǎn)0,則令=§

Z]Z]

【答案】AC

【分析】根據(jù)舉例說明即可判斷A、C；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算和幾何意義即可判斷B；根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念

和除法運算即可判斷D.

【解析】A：取4=i,則|Zf=1,Z,2=i2=-1,故A錯誤；

B：設(shè)Z|=a+bi,Z2=c+di(a>b、c、dGR),

則Z[Z2-(a+bi)(c+di)=(ac—hd)+(ad+bc)i,

|Z「Zj=yl(ac-bd)2+(ad+bc)2=a2c2+a2d2+h2c2+h-d2,

又Z.Z?J=yl(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+h2c2+b2d2,

所以區(qū)久卜區(qū)卜⑷，故B正確；

c：取Z1=Z2=0,則4-Z2=o為實數(shù)，故C錯誤；

D：由3=4,得Z2="則|Z|ZjT4Z3「=(Z|Z2)(2Z2)-(4Z3)(ZZ)=0,

所以ZZ2|=|Z￡|,又Z尸0,所以身=身，故D正確.

故選：AC.

8.已知方程/+2(1+7卜+("6?+2成=0(〃]€及)，則下列說法正確的是()

A.若方程有一根為0,貝!]“=0且b=0

B.方程可能有兩個實數(shù)根

C.必＜；時，方程可能有純虛數(shù)根

D.若方程存在實數(shù)根%,則x0W0或

【答案】AD

【分析】將方程進行等價變形為f+2x+2必+(a-b+2x)i=0,利用復(fù)數(shù)的定義，若復(fù)數(shù)為0,則實部為0,

虛部也為0,判斷AB選項；結(jié)合基本不等式求解實根的范圍判斷D選項；舉例當(dāng)。=0且b=0時，無純虛

根判斷C.

【解析】解：A選項：若方程有一根為0,則代入方程有(a-6)i+2ab=0,則有a=b,2ab=0,即。=0且

6=0,故A正確：

B選項：方程可變形為：x2+2x+2ab+(a-b+2x)i-0,

即x?+2x+2必=0,(“-6+2x)=0,則x=容,只有一解，故B錯誤;

C選項：當(dāng)。=0且6=0時，方程僅存在一解x=0,此時無純虛根，故C錯誤；

D選項：若方程存在實數(shù)根外,則與=空，代入方程可得：b2+a2+4h-4a+6ab=0,即

優(yōu)-4+4優(yōu)-4)-8(-4)6=0,即(b—a)2+4(b-a)-2(b-a)240,解得：(6—a)40或伍―a"4,即x040

或/22,故D正確

故選：AD

三、填空題

（2+2，產(chǎn)（-2君+/）一

9.計算z=（-1+行）9+（1+2/了

【答案】511

【解析】利用復(fù)數(shù)的運算公式，化簡求值.

2,2x(i+z)'2,(「2面。。23X(2/)6,1_.9,,「,

[解析]原式一二,JlXi-2⑹產(chǎn)一,I日產(chǎn)一

2x(--+T/)(-/丁°

故答案為：-511

<r-\3

【點睛】思路點睛：本題考查復(fù)數(shù)的”次基的運算，注意-』+業(yè)，=1,(1+/)2=2/,

I22J

以及(]+爐=[(1+M6,等公式化簡求值.

10.設(shè)復(fù)數(shù)ZI、Z2、Z3滿足㈤=㈤=㈤=2,則i2t名ta=.

【答案】2

(111)

【解析】解析：話+z4+ze=…卜%zj=1%+22+4=2

4+Z2+Z3Zj+zr+z34々+Z2+Z3

故答案為：2.

四、解答題

11.計算:

(l)(-8-7i)(-3i)；

⑵(4一町(一5-4%

⑶I22J；

------1------

(4)I22)22\,

【答案】(1)24-21

(2)-32-/

1+7373-1.

(3)-1--------1

22

51

(4)------1------

22

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則，直接計算求解即可

(1)

(-8-7/)(-3/)=24/-21

(2)

(4-3z)(-5-4/)=-20-16/+15j-12=-32-z

⑶

1小烏_蟲=_土3且」

--㈤1---1

2222222

(4)

(51)1百？13,10.百.

——；————4-—i-----1----1------1—----1

1222244442~2

12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)</4-/)4

⑵x?+4

⑶x?+2x+5

(4)a2+b2+c2+2ab

［答案］(l)(a_5Xa+b)("bi)(a+bi)

⑵(x+2i)(x-2i)

(3)(x+l+2i)(x+l-2i)

(4)(a+6+ci)(a+6—ci)

【分析1注意加+/=(m+〃認切-〃i),利用配方法和十字叉乘法，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的運算即可在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)

分解因式.

(1)

/_方4=(/+/)=(“_〃)(“+〃)(a_從)(a+4)；

⑵

+4=(x+2i)(x-2i)；

(3)

x2+2x+5=(x+l)2+4=(x+1)2+22=(x+1+2i)(x+1-2i);

(4)

/+〃+<?+2aZ>=(a+b)~+/=(a+b+ci)(“+b-ci)

13.(1)已知設(shè)方程a,夕是方程x2+2x+a=0的兩根，其中awR,則|a|+l⑶的值；

(2)關(guān)于x的方程x2+ax+4+3i=0有實根，其中aeC,求|a|的最小值，并求取得最小值時方程的根.

2jl-a(a<0)

【答案】(1)|a|+|/?|=-2(O<a<a)；⑵|a篇=3五，爭4+3i)或弋(4+3i).

2y[a(a>1)

【分析】(1)求出判別式A=4(l-a),對〃分類討論：當(dāng)0“a,1時，當(dāng)a<0時，當(dāng)a>l時三種情況，分別求

出1m+網(wǎng);

(2)設(shè)％為方程的實根，代入原方程，表示出°,利用基本不等式求出的最小值，并求取得最小值時方

程的根.

【解析】(1)判別式A=4-4a=4(l-a),

①若A...0,即以1,則a,自是實根,

貝lja+夕=-2,a/3=a,

則(|。|+|/|)2=修+"2+2|必|=9+夕)2-23+2|明|=4-2什2|，，

故|a|+曲=j4-2a+21al,

當(dāng)Q,q,1時,|a|+|￡|=2,

當(dāng)a<0時，|a|+|夕|=2ViW；

②若△<(),即a>l,則a,〃是虛根,

a=-l+Va-li>P=-1-Vff-li,

故|a|+|4|=2jmr=2后.

2-Vl-a(a<0)

綜上：同+回=<2(O<a<a).

2y[a(a>1)

(2)設(shè)％為方程的實根，則療+叫+4+31=0,

43.

所以Q=T0-------------1,

%xo

43

則|〃|2=(4+—)2+(一)2=$2+-7+8.」8,

25

當(dāng)X；=K即X。=±75時，I〃|???=3及，

玉)

當(dāng)/=石時，另一個根為4(4+3i),

當(dāng)與時，另一個根為一條4+3i).

14.設(shè)z是虛數(shù)，且。=z+，滿足

Z

(1)求|z|的值及Z的實部的取值范圍；

(2)設(shè)"=:二，求證：w為純虛數(shù)；

I+Z

(3)求0-"2的最小值.

【答案】(1)|Z|=1,

(2)證明見解析

(3)1

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可得根據(jù)其為實數(shù)可得。2+/=],從而z的實部的取值范圍;

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可得〃=--i,從而可證”為純虛數(shù)；

(3)根據(jù)基本不等式可求最小值.

【解析】(1)設(shè)z=a+6i,a、beR,6工0,

則°=a+bi+—=++--,

a+bi[a+6J(a~+b~J

二。是實數(shù),又bxO,.?./+從=1,即|z|=l,

/.co=2a,-1<G=2Q<2,-;<a<1,.二z的實部的取值范圍是(一;,1J；

1-zi-a—hia2-b2-2h\b

(2)〃=---=-------7=-------；-----=-----i,

1+z\+a+bi(i+ay+b2。+1

Vaef--,6=0,二.“為純虛數(shù)；

(3)co-u~—2a+-----=2a------=2a-1+----=2夕+11---13

(a+1)Q+la+1L"1」

?.?〃C???Q+l>0,故①N2x2j(a+l)Tj-3=4-3=1,

當(dāng)Q+l=—即4=0時，，0-"2取得最小值1.

15.己知0=-1+正i(i為虛數(shù)單位)，求：

22

(1)(ty+2a)2)2++ey2；

,1

(2)co-\——;

co

(3)類比G=7)，探討/(蘇=1，。為虛數(shù))的性質(zhì)，求”(〃￡/?)的值.

1,〃=3左

【答案】(1)3；(2)1；(3)con=\co,n=3k-2,keZ

[a),n=3k-1

【解析】（1）分別計算出療=-[-巫2港，方=1,展開即可求解;

22

（2）根據(jù)運算法則結(jié)合〃=-』-3,=超即可求解；

22

（3）結(jié)合（1）已經(jīng)算出的結(jié)果分析規(guī)律即可得解.

【解析】（1）???0=」+3九

22

1

O）=-=,03=i,+69+1=0，。?5=1,

22

+2〃)+(2G+療)~二療+4療+4〃+4co2+4(y3+co4=5co2+5。+8=3.

(2)co1+二~=①4+1①+1=M=!

(Da)2a)2co

（3）由（1）可知療———i=6)J6y3=],

22

=3k

co"=a),n=3k-2,keZ.

co,n=3k-\

【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及基本運算，觀察規(guī)律，其關(guān)鍵在于根據(jù)運算法則準確計算并類比

推理.

考點03復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的三角形式

一、單選題

1.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=l-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限

【解析】復(fù)數(shù)z=l-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1-2)

則復(fù)數(shù)z=l-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限

故選：D

2.若復(fù)數(shù)z滿足一[=-2i,則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于()

z+12

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】化簡求得z,由此判斷出z對應(yīng)點所在象限.

【解析】一]=-￡，

z+12

i1.21.

---=—1=—,z+1=21,

z+122

解得z=-l+2i,故z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(T,2)位于第二象限.

故選：B

3.已知復(fù)數(shù)4=三與Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于直線y=x對稱，則ZK=()

1+1

A.-4iB.-2iC.2iD.4i

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡復(fù)數(shù)z-求出其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，再求出該點關(guān)于直線y=x對

稱的點，得到復(fù)數(shù)Z2,最后利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則即可求得NR?.

【解析】因為下=[+；)(]￡)=1T，所以復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,T),

其關(guān)于直線V=x對稱的點為(-L1),所以zz=-l+i,

所以平2=(-i)(-l+i)=2i,

故選：C.

4.已知復(fù)數(shù)4=2-2d為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為勺，復(fù)數(shù)Z2滿足卜一卜1,則下列結(jié)論不正確

的是()

A.M點的坐標為(2,-2)B.4=2+2i

c.H-zJ的最大值為JiQ+1D.22-4|的最小值為2五

【答案】D

【分析】A：根據(jù)復(fù)數(shù)的表達式直接寫出<點的坐標進行判斷即可；

B：根據(jù)復(fù)數(shù)的共物復(fù)數(shù)的定義進行判斷即可；

C,D：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)進行判斷即可.

【解析】A：因為復(fù)數(shù)4=2-2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為《所以4點的坐標為(2,-2),因此

本選項結(jié)論正確；

B：因為4=2-2i,所以^=2+萬，因此本選項結(jié)論正確；

C,D：T^Z2=x+yi(x,yeR),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為尸(x,y),設(shè)4(0,1)

因為|z2rl=1,所以點P(x,y)到點A的距離為1,因此點尸(x,y)是在以/(0,1)為圓心，1為半徑的圓，H-4

表示圓A上的點到[點距離，

因止匕|Z2-ziL,=/片+1=百+(-2-1)2+1=713+1,

"-兒疝,=初-1=，22+(-2-1)2-1=715-1,所以選項C的結(jié)論正確，選項D的結(jié)論不正確，

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)卜-zJ的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.已知復(fù)數(shù)Z1、Z2滿足|Z]-Z2|=r(r>0),復(fù)數(shù)滿足=r或者陶-Z21=r,且

應(yīng)一同”對任意成立，則正整數(shù)〃的最大值為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】用向量麗為表示云W，根據(jù)題意，可得正-網(wǎng)=網(wǎng)」，因為陶-4=廠或者陶一仁廠，

根據(jù)其幾何意義可得用的終點的軌跡，且滿足條件的終點個數(shù)即為〃，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.

【解析】用向量夕,無表示完￡,

因為|z「Z2|=r(r>0),所以幟-瓦卜何卜『，

又用（1V區(qū)"eN*）滿足M-Z1I=r或者的-Z2I=，,

則例可表示以。為起點，終點在以力為圓心，半徑為廠的圓上的向量，或終點在以8為圓心，半徑為，?的

圓上的向量，則終點可能的個數(shù)即為〃，

因為弧.-叼花廠，所以在同一個圓上的兩個點，形成的最小圓心角為60。，

如圖所示，則最多有10個可能的終點，即〃=10.

故選：C

【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件的幾何意義，得到利的終點軌跡，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合，即可得答案,

考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.

6.復(fù)數(shù)一i的三角形式是()

冗一冗-37..3萬一71K\

A.cos——isin—B.sm乃+icos;rC.cos—+isin一D.cos-+1sin

22222V2J

【答案】C

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得到答案；

3乃37r

【解析】-i=cos—+isin—,

22

故選：C

7.已知a+bi(a,beR)的三角形式為r(cos6+isin。)，則-“+bi的三角形式是()

A.r(cosO+isin。)B.r[cos(萬一9)+isin(萬-9)]

C.r[cos(^+^)+isin(^-+0)]D.r[cos(2TT-0)+isin(2^--

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形式的表達式知，-a+bi的三角形式是M-cosO+isin。)，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷選項符合的

即可.

【解析】由題知，-。+5的三角形式是「(-cosO+isin。)，

結(jié)合誘導(dǎo)公式知，cos(7r-，)=-cos0,sin(i-0)=sin0,

故選：B

8.任何一個復(fù)數(shù)2=。+歷(其中。力eRi為虛數(shù)單位)都可以表示成：z=r(cosO+isin。)的形式，通常稱之

為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：z"=[r(cosisin如"=r"(cos〃6+isinQeN)我們稱

這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法中正確的個數(shù)是()

(1)同=|Z『

TT

(2)當(dāng)r=l,?！鞎r，z3=i

(3)當(dāng)廠=1,時、z=---i

322

(4)當(dāng)廠=1,時，若〃為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)Z"為純虛數(shù)

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】直接利用棣莫弗定理結(jié)合三角函數(shù)值的求法逐個分析判斷即可

【解析】解：對于(1),因為z=r(cosO+isin。)，所以z?=r“cos2e+isin2。)，

所以曰=/,,=/,所以產(chǎn)卜|z『，所以⑴正確，

7T..乃

對于(2),當(dāng)7=1,時,z=cos—4-/sin—,則z?=cos〃+isin4=-l,所以(2)錯誤，

33

正則三=，一所以正確，

0=9時,71..71_1+i,33(3)

對于(3),當(dāng)，=1,z=cos—I-ism-=

332222

萬..乃

對于(4),當(dāng)，"=1,時,z=cos—+isin—,則當(dāng)〃=4時，z4=cos^+isin^-=-l,所以(4)錯誤,

444

所以正確的有2個,

故選：B

二、多選題

9.已知i是虛數(shù)單位，，=卷，則下列說法正確的是()

A.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限B.目=0

C.復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)是1=i+iD.復(fù)數(shù)z的虛部是i

【答案】AB

【分析】由已知化簡出復(fù)數(shù)Z的關(guān)系式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模，共匏復(fù)數(shù)以及虛部的定義對應(yīng)各個選項逐個判

斷即可.

【解析】解：因為z=Fr遙指一+L

所以復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點為(-1,1),在第二象限，故A正確，

J@,|z|=|-l+i|=V2,故B正確，

復(fù)數(shù)z的共弱復(fù)數(shù)為故C錯誤，

復(fù)數(shù)z的虛部為1,故D錯誤，

故選：AB.

10.任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi(其中。、6eR,i為虛數(shù)單位)都可以表示成：z=r(cos9+isin。)的形式，

通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

z"=[r(cos0+zsin0)J=r"(ccs0+zsin?<?)(neN+),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列

說法正確的是()

A.卜2卜可

TT

B.當(dāng)尸=1,6=]時，z3=1

C.當(dāng)r=l,。=工時，z=---i

322

D.當(dāng)r=l,，=￡時，若〃為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)z"為純虛數(shù)

4

【答案】AC

【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式與模長公式可判斷A選項的正誤；利用復(fù)數(shù)的棣莫弗定理可判斷B選項的正

誤；計算出復(fù)數(shù)三，可判斷C選項的正誤；計算出可判斷D選項的正誤.

【解析】對于A選項，z=r(cos^+zsin0),則z?=戶(cos26+isin2。)，可得上=卜2(cos2。+isin2。)=/,

|z|2=|r(cos^+zsin^)|2=r2,A選項正確；

對于B選項，當(dāng)尸=1,時，z3=(cos0+Zsin0)3=cos30+zsin30=cos^+zsin^=一，B選項錯誤；

對于C選項，當(dāng)r=l,e=寸，z=cos-+/sin-=i+^,則三C選項正確；

3332222

對于D選項，z"=(cosO+isin。)"=cosn0+isinn0-cos+isin,

取〃=4,則"為偶數(shù)，則z'=cos;r+isin萬=-1不是純虛數(shù)，D選項錯誤.

故選：AC.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘方運算，考查了復(fù)數(shù)的模長、共枕復(fù)數(shù)的運算，考查計算能力，屬于中等題.

三、填空題

11.若復(fù)數(shù)z=m2(i+i)_”?(4+i)-6i在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)",的取值范圍是.

【答案】(3,4)

22

【分析】z=(w-4W)+(,M-W-6)i,進而根據(jù)題意得“"I。八，再解不等式組即可得答案.

［解析］解：z=M"l+i)-m(4+i)-6i=(加2—4加)+(加2—加一6)i,

因為復(fù)數(shù)z=w2(i+i)_〃?(4+i)-6i在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第二象限

77?2^4/77<0

2一,八，解不等式組得3<〃?<4

1m0

故答案為：(3,4)

12.若復(fù)數(shù)z滿足zS+z+1=0,則復(fù)數(shù)卜-3-34的最大值與最小值的乘積為.

【答案】24

【分析】設(shè)2=“+加，(a,beR),結(jié)合條件z，+z+I=0得z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡，再由|z-3-3/［

的幾何意義求解即可.

【解析】設(shè)z=a+bi,Qa,bwR)則由z?z+z+z=0,

得/+/+2〃=0,即(a+l『+62=l.

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以/(-1,0)為圓心，以1為半徑的圓，

|z-3-3i|=J(a-3y+(6-3)2表示復(fù)數(shù)？在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點到點p(3,3)的距離

所以|z-3-3i|最大值為|pm+1=J(-1-3)2+(0-3>+[=6.

最小值為|尸/|-1=J(_]-3)2+(0-3)2_1=4

故最大值與最小值的乘積為6x4=24

故答案為：24

【點睛】本題考查復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡問題，復(fù)數(shù)模長的幾何意義，是中檔題.

【分析】先將4,%化簡，然后計算z「z＞再轉(zhuǎn)化為三角形式即可

所以44=(1+41

=也+恒+恒+逑，

4444

V276.

=-----------1--------1

22

14.對任意三個模長小于1的復(fù)數(shù)Z-Z2,Z3,均有上法2+2223+234『+上仔223「＜/1恒成立，則實數(shù)2的最

小可能值是

【答案】10

2

【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得|z-+Z2Z3+Z3Z『+|Z,Z2Z3|的取值范圍，從而得到實

數(shù)2的最小可能值.

【解析】設(shè)Z[=8(cosq+isin，)，z2=p2(cos02+isin02),z3=p3(cos^+isin^),

由題設(shè)有P”[0,l)(i=L2,3).

2

又BZZ+ZZZJ+Z/FTAAcos(q+q-月月cos回+q}■"月cosG+q]

+[pgsin(q+④+p0sin(02+4)+p、p、sir(4+6)],

PxPi+PiP}+Pxp}

+2夕廳自cos(q-q)+2p衣0cos(q-幻+2p2PM3cos(&-&),

而|za3『=(|zJhlh|)2=歐W，

所以上仔2+Z2Z3+Z3ZJ-+[Z]Z2Z3r<4+2[cOS(q_。2)+8$(。2_q)+COS(a_4)],

而cos(q-a)+cos(a-a)+cos(a-q)43,當(dāng)且僅當(dāng)外a?終邊相同時等號成立,

故上必2+z2z3+z3zt[+\ztz2z3^<10,所以彳210,

故實數(shù)義的最小可能值為10,

故答案為：10.

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)z=(/++,meR.

(1)若z對應(yīng)復(fù)平面上的點在第四象限，求〃?的范圍；

(2)若z是純虛數(shù)，求加的值.

【答案】(1)加?-8,-1)

(2)m=l

【分析】(1)由題知['"[>：,再解不等式組即可；

m+1<0

機2—1=0

(2)由題知?，再解方程即可.

加+1wA0

(1)

解：???z對應(yīng)復(fù)平面上的點在第四象限，

/.we(-?,-])

(2)

解：；z是純虛數(shù)，

fw2-l=0

tn-1

加+1w0

16.已知復(fù)數(shù)z=“+bi,滿足上|=6,z?的實部為3,且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.

(1)求z、元和z+25；

(2)設(shè)z、3,z+25在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點分別為48,C,試判斷春8。的形狀，并求』8c的面積.

【答案】(1)z=2+i,z=2-i,z+2z=6-i；(2)為直角三角形，面積為4.

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)運算、實部和模長的概念、復(fù)數(shù)對應(yīng)的點可構(gòu)造方程組求得。力，由此可得所求復(fù)

數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果可得48,C,由勾股定理得可知三角形為直角三角形；由|力用=2,忸。=4

可求得面積.

【解析】(1)'：z2-a2-b2+2ab\>a2-A2=3,

???z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，：.?！怠?，b>0,又目=必方=逐，

院_/=3

則由y+6~=5得：”=2,z>=i,

a>0,b>0

z=2+i,z=2-i,z+2z=6-i；

(2)由(1)可得:4(2,1)、8(2,-1)、C(6,-1),

:.\AB\=2,忸C|=4,|4C|=2正，.?.|/8「+|8Cf=|/C『，.'.ABIBC,

故A/8C為直角三角形；

春8c中，-：\AB\=2,忸。=4,.?.”BC的面積S“疣=g|8/H8C|=4.

17.已知a,beR,且方程x?+ax+6=0的一個根為1-i,