2022-2023學(xué)年河北省衡水市中學(xué)·數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，為邊上的中點，且，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，則實數(shù)a為（）A． B．2 C． D．3．過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點，若為線段的中點，且（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．5．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．6．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．48．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．12．如圖，在直三棱柱中，，，點分別是線段的中點，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，已知，，是邊的垂直平分線上的一點，則__________.14．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是__．15．已知雙曲線的一條漸近線為，且經(jīng)過拋物線的焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.16．設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．18．（12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.19．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時，求不等式的解集；(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對任意的有．21．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點？若有，請求出極值點的個數(shù)；若沒有，請說明理由．22．（10分）已知在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，為的中點，連接，為的中點，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由為邊上的中點，表示出，然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解：為邊上的中點，，故選：A【點睛】在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．4、D【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.【詳解】解：把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后，可得的圖象；再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，，，函數(shù).在上，，，故，即的值域是，故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．5、C【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當(dāng)時，至多一個整數(shù)根；當(dāng)時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.【點睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.6、D【解析】

對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.7、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標(biāo)，由此可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．8、C【解析】

化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應(yīng)點在第三象限.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計算能力.9、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關(guān)鍵點.本題屬中檔題.11、A【解析】

由復(fù)數(shù)的運算法則計算．【詳解】因為，所以故選：A．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算．屬于簡單題．12、D【解析】

過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因為，，所以，即過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出圖形，設(shè)點為線段的中點，可得出且，進而可計算出的值.【詳解】設(shè)點為線段的中點，則，，，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及平面向量數(shù)量積運算律的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.14、2【解析】

由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【點睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點，能求出雙曲線方程．【詳解】解：設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為，∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點，∴，∴雙曲線方程為，故答案為：．【點睛】本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題．16、【解析】

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點的坐標(biāo)，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長，利用定義可得，進而求出?！驹斀狻坑芍裹c，所以直線：，代入得，即，設(shè)，，故由定義有，，所以?！军c睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長的求法，注意直線過焦點，位置特殊，采取合適的弦長公式，簡化運算。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結(jié)合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，設(shè)平面的法向量為，由可得:，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，分別是，的中點，即可證明，從而可證平面；（2）先根據(jù)為正三角形，且D是的中點，證出，再根據(jù)平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）∵，分別是，的中點∴∵平面，平面∴平面.（2）∵為正三角形，且D是的中點∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴∵且∴∵，平面，且∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)等，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，中檔題．19、（1）（2）【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時，不等式為.若，則，解得或，結(jié)合得或.若，則，不等式恒成立，結(jié)合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令，得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡得，解得，結(jié)合，得的取值范圍為.點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．20、（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）首先證，令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，由即可證出；再令，再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，由即可證出.【詳解】（1）顯然時，，故在單調(diào)遞減．（2）首先證，令，則單調(diào)遞增，且，所以再令，所以單調(diào)遞增，即，∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，屬于難題.21、（1）（2）沒有，理由見解析【解析】

（1）求導(dǎo)，研究函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，等于切線斜率，即得解；（2）對f(x)求導(dǎo)，構(gòu)造，可證得，得到，即得解【詳解】（1）由題意得，∵曲線在點處的切線與直線平行，∴切線的斜率為，解得．（2）當(dāng)時，，，設(shè)，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)，故恒成立，∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值點．【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.22、（1）見解析；