江蘇省蘇州市三校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題含解析

PAGE25-江蘇省蘇州市三校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題（含解析）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.不須要寫出解答過程，請把答案干脆填在答題卡相應(yīng)位置上.1.設(shè)集合，，則___________.【答案】【解析】【分析】由已知得到集合B，再按交集的定義運(yùn)算即可.【詳解】由已知，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道基礎(chǔ)題.2.設(shè)，為虛數(shù)單位，則___________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡潔題.3.為了做好防疫工作，要對復(fù)工員工進(jìn)行體溫檢測，從4名（含甲、乙兩人）隨機(jī)選2名，則甲、乙兩人中，至少有一人被選中的概率是___________.【答案】【解析】【分析】先求出甲、乙兩人均未被選中的概率，再利用對立事務(wù)的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】從4名（含甲、乙兩人）隨機(jī)選2名有種不同結(jié)果，甲、乙均未被選中共有種不同結(jié)果，則甲、乙兩人中，均未被選中的概率為，所以兩人至少有一人被選中的概率為.故答案：【點(diǎn)睛】本題考查對立事務(wù)的概率計(jì)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡潔題.4.運(yùn)行如圖所示的偽代碼，其結(jié)果為．【答案】17【解析】試題分析：第一次循環(huán)，I=1，S=1+1=2；其次次循環(huán)，I=3，S=2+3=5；第三次循環(huán)，I=5，S=5+5=10；第四次循環(huán)，I=7，S=10+7=17，結(jié)束循環(huán)輸出S=17考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖5.如圖是一次攝影大賽上7位評委給某參賽作品打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖.記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，則該作品的平均分為___________.【答案】【解析】【分析】由莖葉圖知，最高分為94，最低分為86，去掉這兩個(gè)數(shù)后，剩下的5個(gè)數(shù)利用平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖知，最高分為94，最低分為86，由題意，剩下5個(gè)數(shù)分別為，其平均數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算，涉及到莖葉圖相關(guān)學(xué)問，考查學(xué)生的識(shí)圖實(shí)力，數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，是一道簡潔題.6.函數(shù)的最小正周期為，且它的圖象過點(diǎn)，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】由最小正周期為可得，再將點(diǎn)代入解析式中計(jì)算，結(jié)合即可得到的值.【詳解】由題意，，解得，所以，又的圖象過點(diǎn)，所以，即，又，，所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡潔題.7.若拋物線焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則________.【答案】12【解析】【分析】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，又由雙曲線方程可知，求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以，解得，故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡潔幾何性質(zhì)，雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)，屬于中檔題.8.己知為銳角，若，則___________.【答案】【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式將已知化簡為，再由二倍角公式進(jìn)一步得到，結(jié)合計(jì)算即可得到答案.【詳解】由已知，，由二倍角公式，得，因?yàn)闉殇J角，，所以，又，所以，留意到，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中的化簡求值問題，涉及到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡潔題.9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，其中，則___________.【答案】337【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式可得，再代入已知條件解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：337【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡潔題.10.己知正實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由指數(shù)式的運(yùn)算得到，即，再將寫成，利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，所以，即，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值的問題，涉及到指數(shù)式的運(yùn)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.11.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形態(tài)多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，其棱長為1，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】過正方體中心作截面，由截面圖算得正方體的棱長，再利用正方體表面積公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】過正方體中心作截面，如圖所示，因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長為1，所以，又為等腰直角三角形，故，所以正方體棱長為，其表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體表面積的問題，考查學(xué)生的空間想象實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.12.由圓外一點(diǎn)引直線交圓C于A、B兩點(diǎn)，則線段AB中點(diǎn)M到x軸的距離的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由可得M軌跡是以PC為直徑的圓，進(jìn)一步得到M的軌跡是圓C與圓Q公共那段圓弧（不含端點(diǎn)），作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】由已知，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，即，所以M的軌跡是以PC為直徑的圓，設(shè)圓心為Q，又M在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡是圓C與圓Q公共圓?。ú缓它c(diǎn)），如圖，易知，圓Q的半徑為，過Q作垂直于x軸，垂足為T，則M到x軸距離的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦的中點(diǎn)的軌跡問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.13.中，，點(diǎn)O，G分別為的外心、重心，若，則面積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)BC的中點(diǎn)為M，由數(shù)量積的定義可得，，所以有，，再利用三角形面積公式結(jié)合基本不等式即可得到答案.【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)為M，如圖，因?yàn)镚為的重心，所以，由數(shù)量積的定義，有，又，即，所以，即，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值問題，涉及到余弦定理，向量數(shù)量積，三角形外心重心，基本不等式求最值，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道有肯定難度的題.14.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于或兩個(gè)方程根的個(gè)數(shù)和為4，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)的圖象如圖所示，因?yàn)?，即或，要使方程?個(gè)不同實(shí)根，只需或或或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討方程的根的個(gè)數(shù)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道有肯定難度的壓軸填空題.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在△中，角的對邊分別是，已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，△的面積，求的值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先依據(jù)向量平行關(guān)系得，再由正弦定理，化角得，最終依據(jù)兩角和正弦公式及誘導(dǎo)公式得（2）由三角形面積公式得，即，再依據(jù)余弦定理得，解方程組得試題解析：解：（1）∵，∴，由正弦定理，得，化簡，得﹒∵，∴﹒又∵，∵，∴．（2）∵，，∴．∵，∴﹒①∵，由余弦定理得，∴，②由①②，得，從而，（舍負(fù)），所以，∴．考點(diǎn)：正余弦定理，兩角和正弦公式及誘導(dǎo)公式16.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：BC1∥平面A1CD;(2)若點(diǎn)P在線段BB1上，且BP＝BB1，求證：AP⊥平面A1CD.

【答案】詳見解析【解析】【分析】（1）連接，與交于點(diǎn)，連結(jié)，可以證明，依據(jù)線面平行的判定可以可證明平面．（2）中易證，只要證明就可以證明平面，它可以由得到．【詳解】(1)連接，與交于點(diǎn)，連結(jié)，∵四邊形是矩形，∴是的中點(diǎn)．在中，分別是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面．(2)∵，是的中點(diǎn)，∴．又∵在直三棱柱中，底面⊥側(cè)面，交線為，平面，∴平面．∵平面，∴.∵，∴．而，∴，從而，∴，∴.又∵，平面，平面，∴平面．17.植物園擬建一個(gè)多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻．現(xiàn)有兩種方案：方案①多邊形為直角三角形（），如圖1所示，其中；方案②多邊形為等腰梯形（），如圖2所示，其中．請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．【答案】方案①，②苗圃的最大面積分別為，建苗圃時(shí)用方案②，且【解析】【詳解】試題分析：方案①多邊形為直角三角形，已知兩邊之和為定值，求兩邊之積最大值，這可利用基本不等式求解：設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立）．方案②多邊形為等腰梯形，利用梯形面積公式得函數(shù)關(guān)系式，據(jù)題意可設(shè)角為自變量，，再利用導(dǎo)數(shù)求其最值：當(dāng)時(shí)，．最終比較最值大小，確定方案.試題解析：解：設(shè)方案①，②中多邊形苗圃的面積分別為．方案①設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立）．方案②設(shè)，則．由得，（舍去）因?yàn)?，所以，列表：所以?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以建苗圃時(shí)用方案②，且．答：方案①，②苗圃最大面積分別為，建苗圃時(shí)用方案②，且考點(diǎn)：利用基本不等式求最值，利用導(dǎo)數(shù)求最值18.己知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.①求證：是直角三角形；②求面積的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）解方程組即可；（2）①設(shè)直線PQ的斜率為k.則其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得到坐標(biāo)，再由QG與橢圓方程聯(lián)立得到G點(diǎn)坐標(biāo)，證明斜率乘積等于即可；②利用兩點(diǎn)間的距離公式算得的長度，將三角形的面積用k表示，再結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】（1）由題意，，，，解得，所以橢圓的方程為：.（2）①：設(shè)直線PQ的斜率為k.則其方程為.由，得.記，則，，.于是直線QG的斜率為，方程為.由得.①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得.從而直線PG的斜率為.所以，即是直角三角形.②：由①得，，所以的面積，又，所以.設(shè)，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)?，而在單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值，最大值為.因此，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中三角形面積的最值，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解實(shí)力，是一道有肯定難度的題.19.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）己知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)①比較與的大??；②若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見解析；（2）①；②【解析】【分析】（1），分，兩種狀況探討即可；（2）①通過因式分解可得的表達(dá)式，再利用是函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)得到，，代入計(jì)算即可得到與的大??；②由題意可將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有唯一的最大值，進(jìn)一步可得到或，結(jié)合，分別解不等式組即可.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為.綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為無減區(qū)間當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為.（2）因?yàn)榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，且，，則，，因此，所以.①因?yàn)樵?，上單調(diào)遞增，在上遞減，所以，.由即.②因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間上只有唯一的最大值.故由（由①知不成立，故舍去）或（即）由，解得，代入，得，由，得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道有肯定難度的題.20.數(shù)列的數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若數(shù)列滿意：對隨意正整數(shù)n，k，當(dāng)時(shí)，總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”（1）若是公比為2的等比數(shù)列，試推斷是否為“”數(shù)列？（2）若是公差為d的等差數(shù)列，且是“數(shù)列”，求實(shí)數(shù)d的值；（3）若數(shù)列既是“”，又是“”，求證：數(shù)列為等差數(shù)列.【答案】（1）不是“”數(shù)列；（2）；（3）證明見解析；【解析】【分析】（1）假設(shè)是數(shù)列，由已知，可得，當(dāng)時(shí)，，，，故可推斷不是為為數(shù)列；（2）設(shè)的公差為d，則，由題意，即，解方程即可；（3）由數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，可得，，進(jìn)一步推理可得成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，從而即成等差數(shù)列.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，假設(shè)是數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，則成立，但時(shí)，，，，所以假設(shè)不成立，不是為為數(shù)列.（2）設(shè)的公差為d，則，因?yàn)槭恰皵?shù)列”，則，即，所以，即.（3）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，所以②-①得：，，④-③得：，又③-①得：，④-②得：，所以成等差數(shù)列，設(shè)公差為，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因此，所以對恒成立，即成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，在（1）（2）中分別取，得：，解得，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查新定義數(shù)列問題，涉及到等比數(shù)列，等差數(shù)列通項(xiàng)及求和公式，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，是一道有肯定難度的題.II（附加題）【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21.己知矩陣，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為，求矩陣A.【答案】【解析】【分析】由已知，，利用矩陣的乘法運(yùn)算得到，，解方程組即可得到答案.【詳解】由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為可得，即①，由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為，可得，即②.由①②解得，即.【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的特征向量的計(jì)算問題，涉及到矩陣的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡潔題.22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線的極坐標(biāo)方程為，橢圓C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.若直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.【答案】【解析】【分析】將直線的極坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)方程均化為一般方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由，得，即，化簡得，所以直線l的直角坐標(biāo)方程是.由，得橢圓C的一般方程為.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得，消去y，得，化簡得，解得，所以，，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與一般方程的互化，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡潔題.23.己知，證明：.【答案】證明見解析；【解析】【分析】，要證明，只需證明，又結(jié)合即可獲證.【詳解】證明：因?yàn)椋?所以要證明，即證明.因?yàn)?，，，所以，即，所以所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.【點(diǎn)睛】本題考查不等式證明，本題采納的是基本不等式證明，當(dāng)然也可以干脆利用柯西不等式證明，是一道簡潔題.【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD．（1）求異面直線DF與BE所成角的余弦值；（2）求二面角A－DF－B的大?。敬鸢浮浚?）；（2）．【解析】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線DF與BE所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角A－DF－B的大小.詳解：⑴以{}為正交基底，建立如圖空間直角坐標(biāo)系C－xyz，則D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，E(0，0，1)，B(0，，0)，C(0，0，0)，所以＝(0，，1)，＝(0，–，1)，從而cos<，>＝．所以直線DF與BE所成角的余弦值為．(2)平面ADF的法向量為＝(，0，0).設(shè)面BDF的法向量為=(x，y，z)．又＝(，0，1)．由＝0，＝0