2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)第2章2.6冪函數(shù)與二次函數(shù)含解析新人教B版

PAGE7-核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)八冪函數(shù)與二次函數(shù)(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)QUOTE(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且在(0,+∞)上是減函數(shù),則n的值為 ()A.-3 B.1 C.2 D.1或2【解析】選B.由于f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,經(jīng)檢驗(yàn)只有n=1符合題意.2.(2024·成都模擬)已知冪函數(shù)f(x)=xα,當(dāng)x>1時(shí),恒有f(x)<x,則α的取值范圍是 ()A.(0,1) B.(-∞,1)C.(0,+∞) D.(-∞,0)【解析】選B.當(dāng)x>1時(shí),恒有f(x)<x,即當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)f(x)=xα的圖象在y=x的圖象的下方,由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可推斷α<1時(shí)滿意題意.3.(2024·唐山模擬)已知二次函數(shù)f(x)滿意f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函數(shù),若f(a)≥f(0),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.[0,+∞) B.(-∞,0]C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)【解析】選C.由f(2+x)=f(2-x)可知,函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=QUOTE=2,又函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.4.已知a,b,c∈R,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則 ()A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0【解析】選A.由f(0)=f(4)得f(x)=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=-QUOTE=2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1),所以f(x)先減后增,于是a>0.5.設(shè)abc>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是 ()【解析】選D.由A,C,D知,f(0)=c<0.因?yàn)閍bc>0,所以ab<0,所以對(duì)稱(chēng)軸x=-QUOTE>0,知A、C錯(cuò)誤,D符合要求.由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-QUOTE<0,B錯(cuò)誤.6.(2024·南昌模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿意loga2=2,log3b=QUOTE,c6=QUOTE,則a,b,c的大小關(guān)系是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<a<c【解析】選B.由題得a2=2,所以a6=8,b=QUOTE,所以b6=32=9,因?yàn)?<QUOTE<9,a,b,c都是正數(shù),所以a<c<b.7.(2024·西安模擬)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過(guò)點(diǎn)A(-3,0),對(duì)稱(chēng)軸為x=-1.給出下面四個(gè)結(jié)論: 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正確的是 ()A.②④ B.①④ C.②③ D.①③【解析】選B.因?yàn)閳D象與x軸交于不同的兩點(diǎn),所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正確.對(duì)稱(chēng)軸為x=-1,即-QUOTE=-1,2a-b=0,②錯(cuò)誤.結(jié)合圖象,當(dāng)x=-1時(shí),y>0,即a-b+c>0,③錯(cuò)誤.由對(duì)稱(chēng)軸為x=-1知,b=2a.又函數(shù)圖象開(kāi)口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正確.二、填空題(每小題5分,共15分)8.若冪函數(shù)y=mxn(m,n∈R)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)QUOTE,則n=________.

【解析】由題意可得QUOTE解得n=-QUOTE.答案:-QUOTE9.若f(x)=xα是冪函數(shù),且滿意QUOTE=3,則fQUOTE=________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)閒(x)=xα,則有QUOTE=3,解得2α=3,α=log23,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.已知函數(shù)f(x)=QUOTE其中c>0.那么f(x)的零點(diǎn)是________;若f(x)的值域是QUOTE,則c的取值范圍是________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】當(dāng)0≤x≤c時(shí),由QUOTE=0得x=0.當(dāng)-2≤x<0時(shí),由x2+x=0,得x=-1,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為-1和0.當(dāng)0≤x≤c時(shí),f(x)=QUOTE,所以0≤f(x)≤QUOTE;當(dāng)-2≤x<0時(shí),f(x)=x2+x=QUOTE-QUOTE,所以此時(shí)-QUOTE≤f(x)≤2.若f(x)的值域是QUOTE,則有QUOTE≤2,即0<c≤4,即c的取值范圍是(0,4].答案:-1和0(0,4](15分鐘35分)1.(5分)(2024·德州模擬)已知f(x)定義在區(qū)間[-1,1]上,且滿意f(-x)=-f(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x(x-1),則關(guān)于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集為()A.[0,1) B.(-2,1) C.(-2,QUOTE) D.(0,QUOTE)【解析】選A.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x(x-1),則f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減.又f(x)在[-1,1]上是奇函數(shù),所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減.所以由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),所以QUOTE解得0≤m<1,所以原不等式的解集為[0,1).2.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,則必有 ()A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符號(hào)不能確定【解析】選A.由題意知,f(0)=c>0,函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=-QUOTE,則f(-1)=f(0)>0,設(shè)f(x)=0的兩根分別為x1,x2(x1<x2),則-1<x1<x2<0,依據(jù)圖象知,x1<p<x2,故p+1>0,f(p+1)>0.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},則 ()A.?m∈A,都有f(m+3)>0B.?m∈A,都有f(m+3)<0C.?m0∈A,使得f(m0+3)=0D.?m0∈A,使得f(m0+3)<0【解析】選A.由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,且f(1)=0,f(0)=c<0,即1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根,當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.由a>b,得1>QUOTE,設(shè)方程ax2+bx+c=0的另一個(gè)根為x1,則x1+1=-QUOTE>-1,即x1>-2,由f(m)<0可得-2<m<1,所以1<m+3<4,結(jié)合拋物線圖象可知,f(m+3)>0.3.(5分)(2024·撫州模擬)若對(duì)隨意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,則a的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)閷?duì)隨意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增,所以3x+a≤2x在x∈[a,a+2]上恒成立,即x+a≤0,所以a+2+a≤0,得到a≤-1.答案:(-∞,-1]4.(10分)函數(shù)y=F(x)的圖象如圖所示,該圖象由指數(shù)函數(shù)f(x)=ax與冪函數(shù)g(x)=xb“拼接”而成. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求F(x)的解析式.(2)比較ab與ba的大小.(3)若(m+4)-b<(3-2m)-b,求m的取值范圍.【解析】(1)依題意得QUOTE解得QUOTE所以F(x)=QUOTE(2)因?yàn)閍b=QUOTE=QUOTE,ba=QUOTE,指數(shù)函數(shù)y=QUOTE單調(diào)遞減,所以QUOTE<QUOTE,即ab<ba.(3)由(m+4QUOTE<(3-2mQUOTE,得QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE,所以m的取值范圍是QUOTE.5.(10分)已知函數(shù)f(x)=QUOTE(k∈Z)滿意f(2)<f(3). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求k的值并求出相應(yīng)的f(x)的解析式.(2)對(duì)于(1)中得到的函數(shù)f(x),試推斷是否存在q,使函數(shù)g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在區(qū)間[-1,2]上的值域?yàn)镼UOTE?若存在,求出q;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)閒(2)<f(3),所以f(x)在第一象限是增函數(shù).故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.又因?yàn)閗∈Z,所以k=0或k=1.當(dāng)k=0或k=1時(shí),-k2+k+2=2,所以f(x)=x2.(2)假設(shè)存在q滿意題設(shè),由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].因?yàn)間(2)=-1,所以兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(-1,g(-1))