2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第18講復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)（講義）學(xué)生版

第18講復(fù)數(shù)全章復(fù)習(xí)

知識梳理

1.復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運算法則

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi[,6￡R)的分類

①z是實數(shù)o8=0;

②Z是虛數(shù)Q6W0；

③z是純虛數(shù)0a=0且6W0.

(2)共軌復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)z=a+bi的共軌復(fù)數(shù)z=a-bi.

⑶復(fù)數(shù)的模

復(fù)數(shù)z=a+bi的模|z|='廿+反

⑷復(fù)數(shù)相等的充要條件

a+歷=。+力=8=。且6=d(a,b,c,d￡R).

特別地，a+6i=0=a=0且6=0(劣6￡R).

⑸復(fù)數(shù)的運算法則

加減法：(a+6i)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；

乘法：(d+6i)(c+di)=(ac—bd)+(ad+6c)i；

ac+bdbe-ad

除法：(a+6i)4-(c+di)=c-\-d+c+(fi.

(其中石，b,c,d￡R.)

2.復(fù)數(shù)的幾個常見結(jié)論

⑴(1土i)z=±2i.

1+i1—i

(2)=工=i,T+i=-i.

)〃(、

(/<3-)\1?4/7=1i,i?4A+1=i?,i?4/?+2=-1-,>1?4/?+3=—1?,1?4/?+ii?4/?+l+ii?4A+2+Ii?4+3=0(\〃(￡,—Zj).

Lm—

(4)。=-2±2i，且。0=1,/=。，。3=1,1+。+。2=().

3、理解復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)平面的有關(guān)概念：實軸是x軸,虛軸是y軸；與復(fù)數(shù)與目但“3轉(zhuǎn)一一對應(yīng)

的點是(。,為；非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beRdw0)與復(fù)平面上自原點出發(fā)以點

Z(a,b)為終點的向量OZ一—對應(yīng)；復(fù)數(shù)模的幾何意義是:復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點到原點

的距離.

-----------------------------------------------------------------------------------

｛【特別提醒】

（1）虛軸上的原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為（0，。）,它所確定的復(fù)數(shù)是2=0+0i=0表示是

實數(shù)故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

（2）復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何

意義，也是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示法.

4、實系數(shù)一元二次方程

實系數(shù)一元二次方程ax-+bx+c^0（。,仇ceR,aw0）中的A=〃—4ac為根的判別式,

那么

—h+、/〃—4-dC

（1）A>00方程有兩個不相等的實根——--------；

2a

b

（2）A=0o方程有兩個相等的實根———；

2a

—b+J4ac—b2i

（3）A<0O方程有兩個共軌虛根7,

2a

在（3）的情況下，方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達定理）仍然成立.

求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：

（1）設(shè)2=》+*8》62化歸為實數(shù)方程來解決（化歸思想）.

（2）把z看成一個未知數(shù)（而不是實部和虛部兩個未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形（整體思

想）.

（3）對二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）.

5.復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值

一般地，如果非零復(fù)數(shù)z=a+①（a,6GR）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z（a,扮,且r為向量成

的模，夕是以x軸正半軸為始邊、射線組為終邊的一個角，則慘=|引=、產(chǎn)牙,

根據(jù)任意角余弦、正弦的定義可知

a.b

cos8=1,sin3=_.

rr

因此a=_rcos9,6=rsin0,如圖所示，從而z=a+/?i=Crcos9）+（rsin9）i

=r(cos9+isin。)，

上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z=a+歷的三角形式(對應(yīng)地，a+歷稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式)，其

中的。稱為z的輻角.

顯然，任何一個非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個，而且任意兩個輻角之間都相差2n

的整數(shù)倍.特別地，在[0,2口)內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz

6.復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算

若復(fù)數(shù)zi=r“cos%+isin%),z2=?2(cosg+isin夕2),且ziWz?,貝!]

(1)z\Zi=r\(cos%+isin^1)Xr2(cosdz+isin93

=rs[cos(即+%)+isin(即+沏)].

(2)—=^[cos(%一夕2)+isin(%)].

Z272-------------------------------

(3)[r(cosd+isinJ))〃=/[cos(nd)+i.si.ntn°)].

(4)三角形式下復(fù)數(shù)的乘方與開方公式：給定三角形式的復(fù)數(shù)?cosa+isina),則

對任何正整數(shù)〃，有

z"—r"(_cos”a+isinna'),

z的〃次方根為方(cos與:j"+isin,4=0,1,2,…，M—1.

【易錯點提醒】

1.復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a=0且右W0(z=a+歷，a,6GR).還要注意巧妙運用參

數(shù)問題和合理消參的技巧.

2.復(fù)數(shù)的運算與多項式運算類似，要注意利用『=一1化簡合并同類項.1.復(fù)數(shù)2為純虛

數(shù)的充要條件是a=0且6W0(z=a+6i,a,6GR).還要注意巧妙運用參數(shù)問題和合理消

參的技巧.

2.復(fù)數(shù)的運算與多項式運算類似，要注意利用召=—1化簡合并同類項.

考向一復(fù)數(shù)的概念

【解決法寶】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念：

設(shè)a,6都是實數(shù)，形如a+歷的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的實部和虛部.若b=

0,則a+歷為實數(shù)；若6W0,則a+歷為虛數(shù)；若將0且a=0,則a+歷為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等：

a+Z?i=c+a,i<=>a=cJ!Lb=d；a+歷=0=a=0J=LZ>=0.

(3)共輾復(fù)數(shù):

如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)Z

=a+bi的共朝復(fù)數(shù)z—a—bi.

2.復(fù)數(shù)的概念問題，關(guān)鍵在理解概念的基礎(chǔ)上，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.

2

1.（2020?浦東新區(qū)?上海師大附中高二期末）若zeC,且——=i,則&（z）=

z-5

2.（2020?上海市洋涇中學(xué)高二期末）復(fù)數(shù)2-z?的共軟復(fù)數(shù)為。,為虛數(shù)單位）

z

3.（2020?上海大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）已知z是復(fù)數(shù)，——為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），

2+z

且Z-2=41?

（1）求復(fù)數(shù)Z；

（2）若上一7次|<5,求實數(shù)7〃的取值范圍.

考向二復(fù)數(shù)的運算

【解決法寶】復(fù)數(shù)的運算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運?算法則：

設(shè)Zi=a+6i,z2=c+di(a,b,c,dGR)、貝!]

①加法：zi+z2=(a+歷)+(c+di)=(a+c)+(方+中吁；

②減法：Zi—Zz=(a+6i)—(c+di)=(a—c)+(Z?-d)i；

③乘法：？i?Z2=(a+歷)?(c+c^i)=(.ac—bd)+(ad+bc)i；

Zia+歷a+歷c-di

④除法：72=c+di=c+diC-di

ac+bdbe-ad

=c+cf+c2+</i(c+必#o).

（2）復(fù)數(shù)加法的運算定律：

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何Z1、Z2、z3ec,有Z1+Z2=Z?+Z1,（Z1+Z2）+

Z3=21+(紀(jì)+Z3).

1.(2021?全國高二單元測試)已知復(fù)數(shù)4=一2+"z2=-1+2z.

⑴求Z]-z2；

(2)在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)Z-Z2所對應(yīng)的向量.

3.(2020?林芝市第二高級中學(xué)高二月考(理))已知復(fù)數(shù)z滿足(1—i)z=l+7九

(1)求Z;

(2)若w=z+2Z+4,求|w|.

4.(2021?全國高一課時練習(xí))計算:

(1+21)2+3(1-，)

2+i

1-z1+z

(2)(1+02+(1-02

1-收

(3)

(V3+i)2

5.(2020?黃梅國際育才高級中學(xué)高二期中)已知復(fù)數(shù)z=l+i.

(1)化簡：w=z2+3z—4；

(2)如果z；+az+b=]_j,求實數(shù)。力的值.

z2-z+l

6.(2020?巴楚縣第一中學(xué)高二期中(文))化簡下列復(fù)數(shù)

（1）（6-5，）+（3+2，）

考向三復(fù)數(shù)的幾何意義

【解?決法寶:11.復(fù)數(shù)z=a+歷一一立度有序?qū)崝?shù)對(a,b)一二?點Z(a,6).

2.一般情況下復(fù)數(shù)不能比較大小。

3.對于復(fù)數(shù)z=a+歷必須滿足a、6均為實數(shù)，才能得出實部為a,虛部為6.對于復(fù)數(shù)相

等必須先化為代數(shù)形式才能比較實部與虛部.

4.復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化?是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充

要條件和復(fù)數(shù)的模的運算及性質(zhì).

5.復(fù)數(shù)與向量很相近.注意復(fù)數(shù)的求模,運算.

1.12020?福建福州一中月考】已知[是復(fù)數(shù)2=，二上的共軟復(fù)數(shù)，則三的虛部為

i+2

()

3311

A.-B.--C.-D.--

5555

2.12020四川江油一中期中】若2=511161—1+[cos6—?卜是純虛數(shù)，則—的

值為()

1-1

A.-7B.一—C.7D.-7或一一

77

n—i

3.12020貴州遵義一中期中】已知a/eR,i是虛數(shù)單位，——=bi,則匕可取的值為

a+i

()

A.1B.-1C.1或TD.任意實數(shù)

4+3z

4.（2020?上海市洋涇中學(xué)高二期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)-----所對應(yīng)的點位于（）

3-2/

Q,為虛數(shù)單位）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.（2020?上海市第二中學(xué)高二期末）設(shè)z=（/一射+5）+（/+2/+2H，其中/eR

,則下列命題中正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z可能為純虛數(shù)

B.復(fù)數(shù)z可能是實數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限

6.【2020?上海奉賢一中期中】已知z=（a-/）（1+/）QaRR,7為虛數(shù)單位）為純虛

數(shù)，則a=.

7.12020?江蘇徐州二中期中】已知復(fù)數(shù)z滿足|z+3+4怔2,則目的最大值為

二、解答題

8.（2020?浦東新區(qū)?上海師大附中高二期末）（1）已知復(fù)數(shù)2=（1+4）（2+，）3^火）是

純虛數(shù)，求竺孚的模；

1+bi

（2）已知zeC,且|z|=2,求|z—3］的取值范圍.

考向四實系數(shù)一元二次方程

【解?決法寶】（1）在復(fù)數(shù)集C中的一元二次方程的求根公式和韋達定理仍適用，但根的判

別式僅在實數(shù)集上有效；

（2）實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中一定有根，若是虛根則一定成對出現(xiàn)；

（3）齊二次實系數(shù)二次方程+①遂2+cz22=0（。力,ceR）,將等式兩端除以z2后，將

得到一個關(guān)于五得實系數(shù)一元二次方程；（不作要求）

Z2

（4）虛系數(shù)一元二次方程以之+6x+c=0（awO,a,b,c至少有一個為虛數(shù)）

①判別式判斷實根情況失效；②虛根成對出現(xiàn)的性質(zhì)失效；

如龍2—%―2=0,雖然A=7>0,但該方程并無實根，不過韋達定理仍適用.

1.（2020?上海市建平中學(xué)高二期末）已知復(fù)數(shù)%=房;+（6-3〃，

Z2=2-（3a+l）i（aeH,i是虛數(shù)單位）.

（1）若4-在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若虛數(shù)Z］是實系數(shù)一元二次方程必―6%+m=0的根，求實數(shù)機的值.

2.（2020?上海市進才中學(xué)高二期末）已知z=2+i是關(guān)于x的方程V+px+quO的一

個根，求實數(shù)小。的值及方程的另一個根.

3.（2021?湖南長沙市?雅禮中學(xué)高一月考）己知關(guān)于x的方程公―px+25=0（peR）

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根為Xi、

（1）若,8,求王、%；

（2）若玉=3+4i,求0的值.

z—3

4.（2020?青海（文））已知復(fù)數(shù)z=l+7位（meH）,----是實數(shù).

1+2i

（1）求復(fù)數(shù)z；

（2）若復(fù)數(shù)Zo=；/n+z—1是關(guān)于x的方程法+c=。的根，求實數(shù)6和。的值.

5.（2021?寶山區(qū)?上海交大附中高二期末）已知方程f+x+p=0有兩個根%,%，

peR.

（1）若忖―司=3,求實數(shù)0的值；

（2）若㈤+何=3,求實數(shù)0的值.

6.（2021?上海市奉賢中學(xué)高二期末）已知關(guān)于x的方程Y-px+25=O（peR）的兩根

為王、x2.

（1）若石=3+41,求2的值；

（2）若%―%|=1，求實數(shù)2的值.

7.（2021?全國高一課時練習(xí)）已知3+2了是關(guān)于x的方程2/+郎+°=0的一個根，求

實數(shù)P，＜7的值.

考向五復(fù)數(shù)的三角形式

1.（2021?江蘇高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），若方=1，則

a+/°2°=()

A.-1B.0C.1D.2

2.（2020?天津紅橋區(qū)?高一期中）已知

—Icos—+isin—I,z2—21cos—+isin—I,貝iJz^z2—()

A.iB.2iC.2A/2ZD.3i

3.（2020?全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)1+7的的輻角主值是,三角形式是.

4.（2020?全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)z=3卜051+法也《）的模是.

5.(2020?全國高一課時練習(xí))8z2(cos45°+zsin45°)=.

6.(2020?全國高一課時練習(xí))2(cos210°+isin210°)x5(-sin30°+isin60°)=

(用代數(shù)形式表示).

7.（2020?全國高一課時練習(xí)）6-3(cosl35°+isinl35°)=

8.（2020?全國高一課時練習(xí)）（cos60°-isin240°）x6（cos300-zsin210°）=

9.（2020?全國高一課時練習(xí)）一+、一，+3（cos120°-，sin300°）=____________.

（22）

ITJT

10.（2020?全國高一課時練習(xí)）復(fù)數(shù)zncos^+isin正是方程％5—a=o的一個根，那

么a的值等于.

11.（2020?全國高一課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)t?對應(yīng)的向量繞原點。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)45。，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則復(fù)數(shù)z是.（用代