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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個三等分點,則()A. B. C. D.2.已知i是虛數(shù)單位,則1+iiA.-12+32i3.設,則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件4.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則5.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.46.的展開式中,含項的系數(shù)為()A. B. C. D.7.已知雙曲線的離心率為,拋物線的焦點坐標為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.8.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.9.設實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A.1 B.2 C.3 D.410.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.如圖,長方體中,,,點T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.12.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線()的左右焦點分別為,為坐標原點,點為雙曲線右支上一點,若,,則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.14.在直三棱柱內(nèi)有一個與其各面都相切的球O1,同時在三棱柱外有一個外接球.若,,,則球的表面積為______.15.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____16.在棱長為的正方體中,是面對角線上兩個不同的動點.以下四個命題:①存在兩點,使;②存在兩點,使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)設實數(shù)為的最小值,若實數(shù),,滿足,求的最小值.18.(12分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,其面積記為,滿足.(1)求;(2)若,求的值.19.(12分)如圖,設A是由個實數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實數(shù),且aij{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于,記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)請寫出一個AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?說明理由;(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.20.(12分)已知橢圓的短軸長為,離心率,其右焦點為.(1)求橢圓的方程;(2)過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和,求的取值范圍.21.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為:.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取得最大值時直線的直角坐標方程.22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,證明.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個三等分點,,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應用,屬于基礎題.2.D【解析】
利用復數(shù)的運算法則即可化簡得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,屬于基礎題。3.B【解析】
解出兩個不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因為集合,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.4.D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,當時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準確判斷.5.A【解析】
由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關(guān)系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設雙曲線的半個焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于基礎題6.B【解析】
在二項展開式的通項公式中,令的冪指數(shù)等于,求出的值,即可求得含項的系數(shù).【詳解】的展開式通項為,令,得,可得含項的系數(shù)為.故選:B.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎題.7.A【解析】
求出拋物線的焦點坐標,得到雙曲線的離心率,然后求解a,b關(guān)系,即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標為(1,0),則p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以雙曲線的漸近線方程為:y=±.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法,涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應用.8.B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到,此時與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當時,取得最小值為,故選:.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.9.C【解析】
畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標函數(shù),z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直線在y軸的截距加上1,根據(jù)圖像知,當x+y=2時,且x∈-13,1時,故選:C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.10.D【解析】
根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成,利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成,該多面體體積為.故選D.【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖,考查柱體和錐體的體積公式,屬于基礎題.11.D【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結(jié)合即可證明,進而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中,,點T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應用,平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎題.12.C【解析】
根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用,其中解答中認真審題,根據(jù)題設條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,,,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令,則,令對函數(shù)求導研究函數(shù)在上單調(diào)性,可求得離心率的范圍.法二:令,,,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得,將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù),根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),可求得離心率的范圍.【詳解】法一:,,,,,,設,則,令,所以時,,在上單調(diào)遞增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題,關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān),從而將離心率表示關(guān)于某個量的函數(shù),屬于中檔題.14.【解析】
先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:【點睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題,考查球的表面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.15.5.【解析】
由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設,當直線經(jīng)過點時,取最大值5.故答案為:5【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.16.①③④【解析】
對于①中,當點與點重合,與點重合時,可判斷①正確;當點點與點重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據(jù)平面將四面體可分成兩個底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個底面和在四個側(cè)面上的投影,均為定值,可判定④正確.【詳解】對于①中,當點與點重合,與點重合時,,所以①正確;對于②中,當點點與點重合,與直線所成的角最小,此時兩異面直線的夾角為,所以②不正確;對于③中,設平面兩條對角線交點為,可得平面,平面將四面體可分成兩個底面均為平面,高之和為的棱錐,所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;對于④中,四面體在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形,其面積為定義,四面體在四個側(cè)面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,故四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.故答案為:①③④.【點睛】本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,異面直線的關(guān)系和椎體的體積,以及投影的綜合應用,著重考查了推理與論證能力,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)首先通過對絕對值內(nèi)式子符號的討論,將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組,再分別解各不等式組,最后求各不等式組解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(1)因為函數(shù)定義域為,即恒成立,所以恒成立由單調(diào)性可知當時,有最大值為4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值為.當且僅當,,時,等號成立【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應用,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18.(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式,即可求得,進而求得的值;(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角,結(jié)合(1)中的值,即可將表達式化為的三角函數(shù)式;結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡,即可求得和,進而由正弦定理確定,代入整式即可求解.【詳解】(1)因為,所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運算可得,所以.因為,所以.(2)因為,所以由正弦定理代入化簡可得,由(1),代入可得,展開化簡可得,根據(jù)輔助角公式化簡可得.因為,所以,所以,所以為等腰三角形,且,所以.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應用,三角形面積公式的應用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦和角公式及輔助角公式的簡單應用,屬于基礎題.19.(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;(Ⅱ)用反證法證明:假設存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;(Ⅲ)通過分析正確得出l(A)的表達式,以及從A0如何得到A1,A2……,以此類推可得到Ak.【詳解】(Ⅰ)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,證明如下:假如存在,使得.因為,,所以,,...,,,,...,這18個數(shù)中有9個1,9個-1.令.一方面,由于這18個數(shù)中有9個1,9個-1,從而①,另一方面,表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個實數(shù)之積為m);也表示m,從而②,①,②相矛盾,從而不存在,使得.(Ⅲ)記這個實數(shù)之積為p.一方面,從“行”的角度看,有;另一方面,從“列”的角度看,有;從而有③,注意到,,下面考慮,,...,,,,...,中-1的個數(shù),由③知,上述2n個實數(shù)中,-1的個數(shù)一定為偶數(shù),該偶數(shù)記為,則1的個數(shù)為2n-2k,所以,對數(shù)表,顯然.將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,顯然,依此類推,將數(shù)表中的由1變?yōu)?1,得到數(shù)表,即數(shù)表滿足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合為.【點睛】本題為數(shù)列的創(chuàng)新應用題,考查數(shù)學分析與思考能力及推理求解能力,解題關(guān)鍵是讀懂題意,根據(jù)引入的概念與性質(zhì)進行推理求解,屬于較難題.20.(1);(2).【解析】
(1)由已知短軸長求出,離心率求出關(guān)系,結(jié)合,即可求解;(2)當直線的斜率都存在時,不妨設直線的方程為,直線與橢圓方程聯(lián)立,利用相交弦長公式求出,斜率為,求出,得到關(guān)于的表達式,根據(jù)表達式的特點用“”判別式法求出范圍,當有一斜率不存在時,另一條斜率為,根據(jù)弦長公式,求出,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)由得,又由得,則,故橢圓的方程為.(2)由(1)知,①當直線的斜率都存在時,由對稱性不妨設直線的方程為,由,,設,則,則,由橢圓對稱性可設直線的斜率為,則,.令,則,
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