2022中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺500題（江蘇專用）（解析版）

2022中考考點(diǎn)必殺500題

專練11（三角函數(shù)大題）（30道）

1.（2022?江蘇,靖江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條東西

流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸有一點(diǎn)C在A的南偏西59。的方

向上，沿河岸向西前行20m到達(dá)B處，又測(cè)得C在8的南偏西45。的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上

31

數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度.（參考數(shù)據(jù)：tan3ioag,sin31°?-）

【答案】30m

【解析】

【分析】

過(guò)點(diǎn)C作于D構(gòu)造直角三角形，設(shè)8Km,列出關(guān)于x的比例式，再根據(jù)三角函

數(shù)的定義解答即可.

【詳解】

?.?在R/ABCD中，ZCBD=45°,

BD=CD=Am.

?.?在RA4O）中，/?4。=90。-59。=31。,

AD=AB+BD=（20+x）/??,CD=xm,

CD

tanZDAC=---,

AD

x3

即

20+x5

解得x=30.經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意

答：這條河的寬度約為30m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí).解一般三角形

的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線.

2.（2021?江蘇?淮陰中學(xué)新城校區(qū)一模）鎮(zhèn)淮樓巍峨高大，古色古香，是淮安古老而文明的

象征之一.如圖，為鎮(zhèn)淮樓樓身，已知N8魴C(jī),CD^BC,8c=22米，C￡>=1.7米，從。點(diǎn)

看樓頂/的仰角為37.5。.請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出鎮(zhèn)淮樓的高的長(zhǎng)度.（結(jié)

果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37.5°=0.609,cos37.5°=0.793,tan37.5°=0.767）

【答案】18.6米

【解析】

【分析】

通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出4E,再求出即可.

【詳解】

解：如圖：過(guò)點(diǎn)。作。皿8與點(diǎn)E,

由題可知：四邊形8COE是矩形，

回8。=?！?22米，CO=8E=1.7米，ZAL>￡=37.5°,

在RtBADE中，=DE?tan37.5°a22*0.767=16.874（米），

EW8=4E+8E=16.874+：L7=18.574N：L8.6（米），

故淮樓的高48的長(zhǎng)度約為18.6米.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的前提，構(gòu)造直角三

角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇淮安?二模）如圖，小王在點(diǎn)/處測(cè)得山頂8的仰角的為37。，點(diǎn)/與山腳。

,3

處的距離為200米，山坡8。的坡度為1：0.5,求山的高度8C.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?1,

43

cos37°?—,tan37°?—)

54

B

【解析】

【分析】

設(shè)8。中，則QC=0.5x,在孜△4BC中，根據(jù)1皿37。=多”,列出方程即可解決問(wèn)題.

AC4

【詳解】

解：設(shè)8C=x,則。C=0.5x,

nr3

在Rf^ABC中，tan37o=Ea：，

AC4

_x3

0------------=—,

200+0.5x4

[21x=240,

答：山的高度8C為240米.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解

決問(wèn)題.

4.（2021,江蘇?蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，一扇窗戶垂直打開(kāi)，即OMJ.OP,AC

是長(zhǎng)度不變的滑動(dòng)支架，其中一端固定在窗戶的點(diǎn)Z處，另一端在0P上滑動(dòng)，將窗戶OM

按圖示方向向內(nèi)旋轉(zhuǎn)45。到達(dá)ON位置，此時(shí)，點(diǎn)4C的對(duì)應(yīng)位置分別是點(diǎn)8、D.測(cè)出此

時(shí)為30。，8。的長(zhǎng)為20cm.求滑動(dòng)支架AC的長(zhǎng).

.?/

【答案】20>/2cm

【解析】

【分析】

題目中出現(xiàn)J'特殊角度45。和30°,因此可以構(gòu)造直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值,

即可求解出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作8ELOD于點(diǎn)E,

由題意可知：NBOE=45。

SBO=20,BE±OD

^BE=OE=sin45BO=lO亞

在MABOE中，ZBDE=30°

BE1

0sinZB￡)￡=——=一

BD2

田BD=206

^BD=AC

0AC=2Ox/2

答:滑動(dòng)支架AC的長(zhǎng)為20匹cm.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了特殊角度的三角函數(shù)值，在遇到特殊角度時(shí)，適當(dāng)添加垂線，構(gòu)造直角三角

形是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2021?江蘇?景山中學(xué)一模）參加緬甸六日游的王明和張麗用測(cè)角儀和皮尺對(duì)“仰光大金塔"

進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量，繪制了如下示意圖已知/8〃CD,配1=回8,王明測(cè)得圓形塔基上部半徑

￡>P=FC=2米，坡4。長(zhǎng)為2米，張麗在工點(diǎn)處測(cè)得坡4□的坡角為50°,沿直線以從點(diǎn)工

步行6米到達(dá)點(diǎn)G處，測(cè)得點(diǎn)￡的仰角為35°,若工、B、C、D、E、F、G在同一平面內(nèi)且

G、Ay5在同一直線上，

（1）求出圓形塔基直徑N8的長(zhǎng)度；

（2）塔頂E距離地面的高度.（結(jié)果精確到0.1米，測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)，測(cè)參考數(shù)據(jù)

sin35°=0.574,cos35°=0.819,tan35°=0.700,sin500=0.766,cos50°=0.643,tan50°=1.190）

【答案】（1）6.6米：（2）6.5米

【解析】

【分析】

（1）分別過(guò)。，尸作。AM48于FN&IB于N,根據(jù)已知條件判斷出四邊形/8C。是等

腰梯形，然后解直角三角形即可；

（2）先求出GN的長(zhǎng)，然后解直角三角形即可.

【詳解】

解：（1）如圖，分別過(guò)。，尸作于M,FNSL4B于N,

^ABUCD,助=回8,DF=FC,

回四邊形ABCD是等腰梯形，^DMN=^FNM=^DFN=90°

^N=BN,四邊形r是矩形

&AB=2AN,MN=DF=2米,

EE￡>AM=90°

^AM=AD§:osZDAB=AD§:os50°=2x0.643=1.286米，

回AB=2（4W+MV）=6.57276.6米；

（2）根據(jù)題意可知/G=6米，00=35°,由（1）知，4V=4^+胸=3.286米，

團(tuán)EN=GNganNEGN=（AG+AN）tan35°=9.286x0.700a6.5米，

團(tuán)塔頂E距離地面的高度約為6.5米.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，等腰梯形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在

于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

6.（2021?江蘇?連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，圖1是一個(gè)小朋友玩"滾鐵環(huán)"的游戲，

鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí),鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.現(xiàn)在將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，

如圖2,已知鐵環(huán)的半徑為30C7W,設(shè)鐵環(huán)中心為O,鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為鐵環(huán)與地

3

面接觸點(diǎn)為4^MOA=a,sina=~,

（1）求點(diǎn)M離地面/C的高度8M；

（2）設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)N的水平距離NC=60a”，求鐵環(huán)鉤加尸的長(zhǎng)度.

【答案】（1）6C;M；（2）52.5cm.

【解析】

【分析】

（1）過(guò)也作與4C平行的直線，與04、尸C分別相交于。、E.那么求8M的長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為

求。力的長(zhǎng)，而要求出D4,必須先求出OO,在直角三角形ODM中，的值，且鐵環(huán)的

半徑為0M=30,可求得的值，從而求得。4的值；

（2）S^OMD+SFME=BOMD+^AOM=90°,得至服lFA/E=EL4OAf,再得至lj=cavEMOM

OD244

=黑=蕓=三，在在中，利用三角函數(shù)的定義即可求解?

OM305

【詳解】

解：（1）如圖2,過(guò)點(diǎn)M作團(tuán)CM交04于點(diǎn)O,

4」DM3

在Rt^ODM中，sina=---=—,OM=30

OM5

^DM=18cm

團(tuán)。D=7302-182=24cm,

^AD=BM=30-24=6(7〃；

(2)如圖2,延長(zhǎng)DM交CF于點(diǎn)E,

團(tuán)即是。。的切線

畫(huà)OW/=90°

團(tuán)團(tuán)OMD+MME=90°

WOMD+^AOM=90°

WFME=^AOM=,

…一OD244

比osa=cos^AOM=-----=—=—

OM305

^ME=AC-DM=60-18=42。加，

ME4

團(tuán)在Rt^FEM中,cosa=——=一

MF5

圖2

【點(diǎn)睛】

考查了解直角三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要把實(shí)際問(wèn)題

抽象到解直角三角形中即可解答.

7.（2021?江蘇,連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，海中有一小島P,在以P為圓心、半徑

為166nmile的圓形海域內(nèi)有暗礁、一輪船自西向東航行，它在N處時(shí)測(cè)得小島尸位于北

偏東60。的方向上，且4、P之間的距離為32nmiIe.若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無(wú)

觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明.如果有危險(xiǎn)，輪船自力處開(kāi)始沿南偏東至多多少度方向

航行才能安全通過(guò)這一海域？

北

【解析】

【分析】

過(guò)點(diǎn)P作P8S4E,垂足為8,求出心的長(zhǎng)和166比較即可，作以點(diǎn)尸為圓心，16逝nmile

為半徑的朋，過(guò)點(diǎn)/作附的切線”。，切點(diǎn)為。，連接P。，利用特殊角的三角函數(shù)值可求.

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)尸作P8S4E,垂足為8,

由題意得：朋48=30。，

在A/0P8/中回P8/=90°,AP=32,

0PS=-AP=16,

2

016<16>/3,

回輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有觸礁危險(xiǎn).

作以點(diǎn)P為圓心，16JJnmile為半徑的回尸，

過(guò)點(diǎn)/作回產(chǎn)的切線4。，切點(diǎn)為。，連接P。，

西。切臚于點(diǎn)Q

HL4QP=90°

回尸0=16.4尸=32

I3sin朋4。=絲="叵=正

~AP322

團(tuán)的0=60。

03SN2=1800-600-60°=60°

回輪船自A處開(kāi)始沿南偏東至多60度方向航行才能安全通過(guò)這一海域.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是作出恰當(dāng)輔助線，利用三

角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算推理.

8.(2021?江蘇?蘇州市景范中學(xué)校二模)如圖①，一臺(tái)燈放置在水平桌面上，底座A8與桌

面垂直，底座高A8=5cm,連桿8c=8=20cm,8C,CD與A8始終在同一平面內(nèi).

(1)如圖2,轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC,C，使N8CD成平角，248c=143。，求連桿端點(diǎn)。離桌面/的

高度DE.

(2)將圖②中的連桿8再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)16。，如圖③，此時(shí)連桿端點(diǎn)。離桌面/的

高度減小了多少cm?(參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6.cos37°=0.8,tan37°=0.75)

【答案】(1)DE=37cm；(2)4cm；

【解析】

【分析】

(1)如圖2中，作8。0/出于。解直角三角形求出即可解決問(wèn)題.

(2)作DFs\lT-F,CPSDFTP，8G3O尸于G,C770BG于H.則四邊形PCHG是矩形，求

出DF,再求出DF-DE即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(1)作8O0OE于點(diǎn)尸，則回80代回80￡>=90°,

圖2

0D￡0/,AB&,

EBOE/=RI8/E=90°=ia8OE.

回四邊形/8OE為矩形.

SEO=AB=5cm,EO^AB,

aaD+EU8C=180°,

0EWBD=143°,

00￡)=37",

在處△8￡>O中，00500=90",

0=cosD=cos37°=0.8,

DB

EID8=￡)C+8C=20+20=40(cm),

0Z)O4OxO.8=32(cm),

SDE^DO+EO^32+5=37(cm),

答：連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度QE為37cm；

(2)如圖3,作DF0/于/，C7WW于尸，8G0DF于G,C7龍15G于凡則四邊形PCHG是

矩形，

00CB//=53°,0C//5=9O°,

03807=37°,

能區(qū)8=180°-16°=164°,^DCP=37°,

0C//=SCszn53°=2OxO.8=16(cm),DP=CDsin37Q=20x0.6=12(cm),

&DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=12+16+5=33(cm),

回下降高度：DE-DF=37-33=4(cm).

答：此時(shí)連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度減小了4c7”.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)

題.

9.(2021?江蘇蘇州?二模)測(cè)量金字塔高度：如圖1,金字塔是正四棱錐S-AB8,點(diǎn)。是

正方形ABCD的中心S。垂直于地面，是正四棱錐S-MC7)的高，泰勒斯借助太陽(yáng)光.測(cè)量

金字塔影子4PBe的相關(guān)數(shù)據(jù)，利用平行投影測(cè)算出了金字塔的高度，受此啟發(fā)，人們對(duì)甲、

乙、丙三個(gè)金字塔高度也進(jìn)行了測(cè)量.甲、乙、丙三個(gè)金字塔都用圖1的正四棱錐S-ABC。

表示.

(1)測(cè)量甲金字塔高度：如圖2,是甲金字塔的俯視圖，測(cè)得底座正方形ABCO的邊長(zhǎng)為80m,

金字塔甲的影子是APBC,PC=PB=5Qm,此刻，1米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.7米，則甲金字塔的

高度為m.

(2)測(cè)量乙金字塔高度：如圖1,乙金字塔底座正方形ABC。邊長(zhǎng)為80m,金字塔乙的影

子是APBC,NPC8=75o,PC=40&m,此刻1米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.8米，請(qǐng)利用已測(cè)出的數(shù)

據(jù)，計(jì)算乙金字塔的高度.

【答案】(1)100：(2)50卡.

【解析】

【分析】

(1)如圖2中，連接OP交于T,勾股定理求得OP,再根據(jù)物體的長(zhǎng)度與影子的長(zhǎng)度

成比例，即可求得OS；

(2)如圖1中，連接OP,OC,過(guò)點(diǎn)。作ORLPC交PC的延長(zhǎng)線于R,勾股定理求得0P,

再根據(jù)物體的長(zhǎng)度與影子的長(zhǎng)度成比例，即可求得OS.

【詳解】

(1)如圖2中，連接0P交BC于T,

???四邊形ABCO是正方形，

OC=OB,AC±BD,BC=CD=S0,

?.?PC=P8=50,

???O尸垂直平分8C,

OT=^CD=40,TC=TB=^BC=40.

:.PT=xJPC2-CT2=>7502-402=30>

:.OP=OT+PT=40+30=70,

設(shè)金子塔的高度為人物體的長(zhǎng)度與影子的長(zhǎng)度成比例,

4

0.7

h=1

而一布，

.?,/?-100,

故答案為：100.

（2）如圖，根據(jù)圖1作事俯視圖，連接。P,0C,過(guò)點(diǎn)。作ORLPC交PC的延長(zhǎng)線于R,

S

圖1

-,-ZOCP=NOCB+ZPCB=45°+75°=120°,

/.ZOC/?=60°,

vBC=80,四邊形ABC。是正方形,

OC=^AC=^AB2+BC2=1>/802+802=4072,

CR=OCxcos60°=205/2，

OR=OCxsin60°=40夜x3=20",

2

PR=PC+CR=4072+200=60匹，

.-.OP=y/OR2+PR2="(20#)?+(6O0f=40#,

SO1

?而一港'

SO=50>/6.

二乙金字塔的高度為506.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，俯視圖，物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比等知識(shí)，正確的添加

輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?江蘇?蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校二模)如圖1所示，上海中心大廈是上海市的一座

超高層地標(biāo)式摩天大樓，是我國(guó)最高的建筑，建筑主體共計(jì)"9層.某數(shù)學(xué)小組欲測(cè)此上海

中心大廈的樓高，設(shè)計(jì)出如圖2所示的測(cè)量方案.具體方案如下：小組成員在地面力處通

過(guò)激光測(cè)距，測(cè)得仰角。=37。，光路長(zhǎng)與m,光路A8被寫(xiě)字樓BN樓頂?shù)囊幻娌Ａ?/p>

(視為點(diǎn)8)反射，反射的激光束沿光路BC恰好可以到達(dá)上海中心大廈CM樓頂(視為點(diǎn)

C).已知寫(xiě)字樓與上海中心大廈的直線距離MN為576m(寫(xiě)字樓與上海中心大廈位于同一

平面)，圖2中的虛線為法線.(所有結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37。。0.60,337。=0.8(),

tan37°?0.75).

(1)求寫(xiě)字樓8N的高度.

(2)求上海中心大廈的樓高CM.

【答案】(1)200m；(2)632m.

【解析】

【分析】

(1)過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)。，根據(jù)題意判斷四邊形8DWN是矩形，得到EL48/)=a=37。,

結(jié)合反射角=入射角得到回。雙)=皿180=37。,最后在RI&ANB中利用正弦定義可得BN的長(zhǎng)；

(2)在R顧。C中，由正切的定義解得8的長(zhǎng)，進(jìn)而可得上海中心大廈的高度GW.

【詳解】

解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)8作8O2CW于點(diǎn)。，

^BDS\CM,

SCMN=?BNM=90°,

13四邊形8DMV是矩形，

⑦BN=DM,BD=MN=576m,BD//MN,

盟48。=。=37°,

由物理知識(shí)，反射角=入射角得：回C8D=0J8O=37。，

BN

在R/04VB中，sina=——,

AB

BN=AB-sina?^-x0.6~200m,

3

答：寫(xiě)字樓8N的高度約200m.

（2）由（1）得DW=8V=432m,

CD

在R疽BDC中，tanZCBD=為,

:.CD=DB-tanNCBD?576x0.75。432m,

0CM=DA/+CD=432+2OO=632m,

答：上海中心大廈的樓高CM是632m.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，涉及正切、正弦等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的

夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.

11.（2021?江蘇?景山中學(xué)一模）小聰家想在某市買(mǎi)一套能全年正午都有太陽(yáng)照射的新房.勤

于思考的小聰通過(guò)查閱資料發(fā)現(xiàn):我們北半球冬至日正午太陽(yáng)高度角（太陽(yáng)光線與水平線的

夾角）最小，樓房的影子會(huì)最長(zhǎng)，如果這一天正午有太陽(yáng)照射，那么整年都不會(huì)有問(wèn)題.

||

（1）五一假期他們來(lái)到正在銷(xiāo)售的力樓盤(pán).該樓盤(pán)每幢樓均為17層，層高3米，南、北樓的

間距為60米.小聰爸媽想在中間這幢樓購(gòu)房.如果是你，你將建議父母選擇第幾層以上？說(shuō)

明你的理由.（該市區(qū)所在緯度約是32.5。乂冬至日的正午太陽(yáng)高度角為90。-32.5。-23.5。=

34°.si〃34°=0.6,cos34°=0.8,3?34°=0.7）

（2）假如每平方米單價(jià)y元與樓層〃層之間滿足關(guān)系產(chǎn)一60（〃-15產(chǎn)+16375.小聰爸媽期

望每平方米單價(jià)不超過(guò)13000元，請(qǐng)你幫助小聰家設(shè)計(jì)一下購(gòu)買(mǎi)商品房樓層的方案.

【答案】（1）建議選擇10層樓以上；（2）建議購(gòu)買(mǎi)1到7層

【解析】

【分析】

(1)設(shè)48與右邊樓交于點(diǎn)片過(guò)點(diǎn)B作BELEF，垂足為點(diǎn)瓦得到RfZkBEP,然后解直角三

角形，得出E尸的長(zhǎng)，即可求出答案.

(2)根據(jù)題意，列出不等式-60S-15)2+16375<13000,求出”的取值范圍，即可得到答案.

【詳解】

(1)如圖，設(shè)與右邊樓交于點(diǎn)￡過(guò)點(diǎn)8作，垂足為點(diǎn)瓦

山題意可知：8E=30，〃,N顏=34°,

在RtABEF中,tanN的'=竺，即竺=0.7，解得即=21加，

BE3。

則有(3X17-21)+3=10,

回建議選擇10層樓以上.

(2)由題意可知-60(〃-15)2+16375<13000，即-15|>7,5,

解得：〃>22.5(不合題意,舍去)或“47.5,X01<n<17且為整數(shù)，

加可以取1、2、3、4、5、6、7

故建議購(gòu)買(mǎi)1到7層.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用，用不等式解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)

造出直角三角形,列出相應(yīng)的不等式.

12.(2021?江蘇鹽城?二模)吾悅廣場(chǎng)準(zhǔn)備在地下停車(chē)場(chǎng)北側(cè)建設(shè)一個(gè)供小型貨車(chē)進(jìn)出的專用

入口，如圖，入口設(shè)計(jì)示意圖中，一樓到地下停車(chē)場(chǎng)地面的垂直高度8=300C”?，一樓到

地平線的距離8c=90cm.經(jīng)調(diào)查，送貨的小型貨車(chē)高度都低于268c,機(jī)，為了保證貨物安

全，入口處貨車(chē)頂部要留有不少于20cm的安全距離.為盡量減少施工量，應(yīng)在地面上距點(diǎn)

B多遠(yuǎn)的A處開(kāi)始斜坡AD的施工？

【答案】應(yīng)在地面上距點(diǎn)8720cm的A處開(kāi)始斜坡AD的施工

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理可以求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求得力8的長(zhǎng)，本題得以解

決.

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)C作CHa4O于H,

則I3CO〃+EIOC，=90°,

^CDH+^DAB=90°,

^DCH=^DAB,

138=300,CH=288,回C”D=90°

gDH=y/cD2-CH2=84

^tan^DAB=tai^\DCH==—

CH28824

MFBD2107

回〃〃回zZX4B———=-----=—

ABAB24

^AB=720

應(yīng)在地面上距點(diǎn)B720cm的A處開(kāi)始斜坡AD的施工.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，利用銳角三角函數(shù)解

答.

13.（2021?江蘇?南師附中樹(shù)人學(xué)校一模）如圖，某海岸邊有8,C兩碼頭，C碼頭位于8碼

頭的正東方向，距8碼頭60海里.甲、乙兩船同時(shí)從4島出發(fā)，甲船向位于/島正北方向

的8碼頭航行，乙船向位于/島北偏東37。方向的C碼頭航行，當(dāng)甲船到達(dá)距8碼頭40海

里的E處時(shí)，乙船位于甲船北偏東60。方向的。處，求此時(shí)乙船與C碼頭之間的距離（結(jié)果

精確到0.1海里）.（參考數(shù)據(jù):sin37%0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,sin23°=0.39,cos23°=0.92,

tan230=0.42,6=1.732)

【答案】乙船與C碼頭之間的距離為11.8海里

【解析】

【分析】

過(guò)。作。麗E于R根據(jù)題意可得自EOE=30。，所以DE=2FE,設(shè)FE=x海里，則。E=

2x海里，可得。尸=小海里，再根據(jù)銳角三角函數(shù)列出方程求出x的值，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

解：過(guò)。作E于尸，

03W芭=90°

WDEF=60°,

a2FOE=30°,

@DE=2FE,

設(shè)尸E=x海里，則。￡=2x海里,

13。/=瓜海里,

在R/EL4Z)F中，B4=37",

1aA八上=正x=迪x(chóng),

tan37°0.753

,cDF乖)x5瓜

A/)—________—____

一sin37。~0.60-3

在尺松5。中，即1=37。，3c=60海里,

團(tuán)A3=*公里_=80（海里）,

tan37°0.75

AC=——=100（海里）,

sin37°0.60

⑦BE=4B-AF+EF,

4百

040=80--—x+x,

3

解得.李

^CD=AC-AD=100--x16（）^+l2°^11.8（海里）.

313

答：乙船與C碼頭之間的距離為11.8海里.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用銳角三角函數(shù)建立角與邊之間的聯(lián)系是解題的

關(guān)鍵.

14.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?二模）模型構(gòu)建：如圖1,丹加，上處于點(diǎn)〃，BN1MN于息N,AB

的垂直平分線交于點(diǎn)尸，連接ZP、BP.若ZAP3=90。，求證：AM+BN=MN.

數(shù)學(xué)應(yīng)用：如圖2,在中，。是8c上一點(diǎn)，AC=AD=BD,NC4￡>=90。，AB=8,

求AABC的面積.

實(shí)際運(yùn)用：建設(shè)"交通強(qiáng)國(guó)"是滿足人民日益增長(zhǎng)的美好生活需要的必然要求.建設(shè)“美麗公

路"是落實(shí)美麗中國(guó)建設(shè)、回應(yīng)人民日益增長(zhǎng)的美好生活對(duì)優(yōu)美生態(tài)環(huán)境的需要.如圖3是

某地一省道與國(guó)道相交處的示意圖，點(diǎn)。處是一座古亭，鵝卵石路。/、以及鉆兩旁栽

有常青樹(shù)，其它區(qū)域種植不同的花卉；設(shè)計(jì)要求QA=Q8,QArQB,AB是以。為圓心、

。為半徑的圓弧（不計(jì)路寬，下同）.

圖1圖2

（1）請(qǐng)?jiān)趫D4中畫(huà)出符合條件的設(shè)計(jì)圖，要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，標(biāo)注必要的字母，

寫(xiě)出詳細(xì)的作法，不要求說(shuō)明理由；

（2）兩條公路所夾銳角的正切值為1，點(diǎn)0到國(guó)道的距離。，為40米.P"路長(zhǎng)竿米,

則鵝卵石路的長(zhǎng)度為.（即。4以及AB的長(zhǎng)度之和）.

【答案】模型構(gòu)建：見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)應(yīng)用：16；實(shí)際運(yùn)用：（1）見(jiàn)解析；（2）（100+257）米.

【解析】

【分析】

模型構(gòu)建：山題意證得AAMP^APNB即可證明.

數(shù)學(xué)應(yīng)用：作ZWLA氏CMLA8,根據(jù)三角形全等可求得CM的長(zhǎng)度，然后根據(jù)面積公式

即可求得.

實(shí)際運(yùn)用：（1）作垂直于國(guó)道，然后構(gòu)造出一線三直角模型，即可畫(huà)出設(shè)計(jì)圖.

（2）由兩條公路所夾銳角的正切值和9的長(zhǎng)度求出?！钡拈L(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形全等可求

得LB和LQ的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理和扇形弧長(zhǎng)公式即可求得.

【詳解】

模型構(gòu)建：西8的垂直平分線交于點(diǎn)P,

田PA=PB,

又用NM=NN=90。,ZAPB=90°.

0ZAPA/+ZA14P=9OO,ZAPM+ZBP7V=9O°,

⑦NBPN=NMAP,

團(tuán)在杼口中,

/MAP=ZBPN

</M=/N

AP=BP

⑦△AMP^APNB,

⑦AM=PN,MP=NB,

由AM+BN=PN+PM=MN.

數(shù)學(xué)應(yīng)用：如圖，作ON_LA3,CM，A4,

aAD=BD,DN1,AB,

^BN=AN=-AB=4.

2

團(tuán)ZDAC=90°,ZDNA=90°,ZCMA=90°,

團(tuán)/NAD+ZNDA=90。,乙NAD+ZCAM=90°,

^ZNDA=ZCAM,

在△AND和△CM4中，

ZDNA=ZAMC

<ANDA=ZCAM

AD=AC

0AAA?^ACM4,

^MC=AN=4,

05AflC8^HBlWC=lxx=.

實(shí)際運(yùn)用：（1）過(guò)點(diǎn)。作。，垂直于國(guó)道于點(diǎn)"，過(guò)點(diǎn)0作國(guó)道的平行線交省道于點(diǎn)N,

以為半徑,0點(diǎn)為圓心畫(huà)弧交0N于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作國(guó)道的垂線交省道于點(diǎn)B,連接QB,

以點(diǎn)。為圓心，。8為半徑畫(huà)弧，交國(guó)道于點(diǎn)4作圖如下.

（2）如圖所示，作BLLQH,直線。，與8P交于點(diǎn)O.

回兩條公路所夾銳角的正切值為挈，

43

[?]OW=P//etanZP=—x-=100,

34

團(tuán)由題意可得BL=QK=QH=40,

3

^\OL=BL?tan/P=40x—=30,

4

團(tuán)LQ=OH-OL-Qh=100-30-40=30,

回在心△8LQ中，BQ'BC+LC="()2+3()2=50,

回4。=8。=50,

9()乃x5()

團(tuán)48==25%

180

團(tuán)AQ+BQ+AB=50+50+25%=100+25萬(wàn)，

團(tuán)鵝卵石路的長(zhǎng)度為1（X）+25乃.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形面積的求法，勾股定理，扇形弧長(zhǎng)的求法，根

據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出一線三等角模型是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?江蘇連云港?二模）如圖，甲船向正北方向航行，當(dāng)甲船位于N處時(shí)，乙船位于

甲船南偏西75。方向的點(diǎn)8處，且乙船從8處按北偏東15。的方向航行，當(dāng)甲船到達(dá)點(diǎn)。處

時(shí)，乙船航行到甲船南偏西60。方向的點(diǎn)C處，此時(shí)兩船相距15海里.

E

（1）求Z48C的度數(shù)；

（2）若甲船在D處停止不動(dòng)，乙船沿著原路線繼續(xù)航行至甲船的正北方E處，試求此時(shí)甲

船和乙船之間的距離.（班。1.732,結(jié)果精確到0.1海里）

【答案】（1）60°：（2）41.0海里

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)角的和差以及平行線的性質(zhì)得出答案；

（2）過(guò)點(diǎn)E作防_LCD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，設(shè)。尸=x海里，利用解直角三角形得出方程

15+x=gx,求得x的值，從而確定。E=2O尸=15（6+1）“41.0海里.

【詳解】

（1）如圖，由題意可知回8/G=75°,0CB//=15°.

因?yàn)锳G〃BH,所以NABH=N&4G=75。.

所以ZABC=ZAB"-NCB"=75。-15。=60。.

（2）過(guò)點(diǎn)￡作即，CD交8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

設(shè)。尸=x海里，

因?yàn)镃D=15海里，所以CF=（15+x）海里.

因?yàn)镹EDF=ZADC=60°,所以0￡應(yīng)尸=30。.

在R/0E。尸中，EF=DFtan60°=.

因?yàn)?￡08"，所以EIGE8=15°.所以N￡)CE=ZADC-NDEC=6()O-15°=45°.

所以在放0￡。尸中，EF=CF,即15+x=bx.

所以.￥=W1.

上-'2

所以0￡：=20尸=15（石+1卜41.0海里.

答：此時(shí)甲船和乙船之間的距離為41.0海里.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握方向角的概念與三角函數(shù)的應(yīng)用.

16.（2021?江蘇淮安?二模）小君學(xué)習(xí)了解直角三角形知識(shí)，周末帶著測(cè)角儀和同學(xué)一起去測(cè)

量當(dāng)?shù)匾蛔鶎毸?。的高度，由于自然環(huán)境限制，他們選定距離寶塔若干米的/處，測(cè)得塔

頂C的仰角為27。，然后沿著正對(duì)塔底的方向前進(jìn)50米到達(dá)8處，在此又測(cè)得塔頂C的仰

角為45。.如果測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)，那么這座寶塔高度是多少？（tan270=0.51,sin270=0.45,

cos270=0.89,結(jié)果精確到1米）

【答案】這座寶塔高度是52米

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得西=27。，48=50米，團(tuán)。5。=45。，利用其公共邊CD構(gòu)造等量關(guān)系列方程即

可.

【詳解】

解：根據(jù)題意可知：m=27。，/8=50米，團(tuán)。3。=45°,

^CD^AD,

SCD=BD,

^AD=AB+BD=（50+8）米，

在Rl^ACD中，

0C￡>=^Z）?tanEW,

0CD=（50+CD）xtan27",

解得，CZ）=52（米）.

答：這座寶塔高度是52米.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角函數(shù)的定

義列方程.

17.（202L江蘇泰州?二模）如圖，一架無(wú)人機(jī)靜止懸浮在空中尸處，小明在山坡4處測(cè)得

無(wú)人機(jī)的仰角為45。，小亮在水平地面C處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為58。，已知山坡A8的坡度

i=1:2.4,斜坡A8長(zhǎng)為52米，水平地面長(zhǎng)為62米，求此時(shí)無(wú)人機(jī)離地面的高度PZ）的

長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù)：sin58°?0.8480,cos58°?0.5299,tan58°?1.600）

【答案】80米

【解析】

【分析】

Ap15

過(guò)/作4H35C于尸，在HZEW8/中，根據(jù)山坡的坡度：2.4,可得/=3==,

Bb2.412

設(shè)AF=5k,BF=12k,求得AF、BF,過(guò)/作AESiPD于F,由矩形的性質(zhì)可得AE=DF,DE=AF,

設(shè)心PE=DF=x米,求得PD=PE+DE=（x+20）米，最后在運(yùn)用三角函數(shù)的定義解

答即可.

【詳解】

解：過(guò)4作加迥BC于F,

回在R38尸中，根據(jù)山坡N8的坡度i=l：2.4,

Ap15

^itan^lABF=—=—=—

BF2.412

自設(shè)/尸5=%,BF=12k,則48=13左=52,即4=4

EL4F=20（米），8尸=48（米），

過(guò)力作/￡0尸。于F,則4￡=OF,DE=AF

00^4￡=45°

^PE=AE

設(shè)AE=PE=DF=x米

^PD=PE+DE=（x+20）米，

在HrEIPOC中，0C=58°

PDx+20?

團(tuán)/a〃58==----=---------a1.6

CDCD

MC=62

E1E+CD-BF+BC

解得：》=

0X+A±2O=48+62,60

1.6

&PD=PE+DE=60+20=80（米）.

答：此時(shí)無(wú)人機(jī)離地面的高度尸。的長(zhǎng)為80米.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形一一仰角與俯角問(wèn)題和坡度與坡角問(wèn)題，正確的作出輔助線、

造所需的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.

18.（2021?江蘇南京?二模）如圖，有一垂直于地面的電線桿A8.在一建筑物二樓平臺(tái)上的

。處和三樓平臺(tái)上的。處測(cè)得力的仰角分別為45。,35。.已知建筑物的層高CE和。尸都是

3.3m,b的長(zhǎng)為3m.求電線桿AB的高度.（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：

sin35。=0.57,cos35。之0.82,tan35°=0.70.）

A

一日卒。

EB

【答案】電線桿AB的高度為21.3m.

【解析】

【分析】

通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中，利用三角函數(shù)聯(lián)系邊角關(guān)系，列出方

程即可.

【詳解】

解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)。、。作CN1AB,垂足分別為M、N,

根據(jù)題意，得/AMD=NANC=NABE=90。,MN=NB=CE=DF=33,NC=BE,

MD-BE+3,

在中，ZADM=35°,

…AM

tan35°=------

MD

AM=MDtan35°,即AM=(BE+3)?tan35°,

在Rt&4OV中，ZACN=45°,

AN

tan45°~NC

.\?W=NC-tan45°,EP/W=BE-tan45°,

?;MN=AN-AM,

BE-tan45°-(BE4-3)-tan35°=3.3,

BEa18,

AV=B￡tan45°?18,

:.AB=AN+NB^2i.3,

因此，電線桿AB的高度為21.3m.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的前提，作垂線構(gòu)造直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

19.（2021,江蘇南京?二模）如圖，港口8位于港口Z北偏東37。的方向，兩港口距離為30

海里.在港口A處測(cè)得一艘軍艦在北偏東45。方向的C處，在港口B處測(cè)得該軍艦在北偏東

51°方向.求該軍艦距港口8的距離BC.（結(jié)果保留整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin370=0.60,cos37°~0.80,tan370=0.75,sin51°=0.78,cos510=0.63,tan510=1.25）

北

東

【答案】38海里

【解析】

【分析】

過(guò)B點(diǎn)作BD1CF與點(diǎn),D,過(guò)B點(diǎn)作BE1AF于點(diǎn)F,在Rf^ABE中，0JBE=37°,在Rt^CBD

中，MCZ)=51。，在及他。尸中，SCAF=45°,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可計(jì)算得到結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作瓦龍CF,垂足為。，過(guò)點(diǎn)8作8加尸，垂足為F.

在火/043￡中，^ABE=37°,

回sin370=—,

AB

酎E=”sin37%30x0.6=18.

BE

團(tuán)8s37°=——，

AB

(35￡1=JBcos37,>=30x0.8=24.

國(guó)DF=BE=24.

設(shè)CQ=x海里，

0在H/3C8Q中，05CD=51°,tan51°=黑，

05D=CDtan51°=1.25x.

國(guó)EF=BD=1.25x.

l?UF=1.25x+18,CF=x+24.

在尸中，回。b=45°,

CF

團(tuán)atn45=——，

AF

x+24

01=--------------.

1.25x+18

團(tuán)解得：x=24.

團(tuán)CO=24.

團(tuán)在心0c8。中，魴8=51°,

CD

團(tuán)cos51=-----,

BC

團(tuán)8C=----------=38.

cos51°

答：該外國(guó)軍艦距港口8的距離8C為38海里.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造宜角三角形是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?江蘇南京?二模）如圖①，AB,C。是兩座垂直于同一水平地面且高度不同的鐵

塔.小明和小麗為了測(cè)量?jī)勺F塔的高度,從地面上的點(diǎn)E處測(cè)得鐵塔頂端A的仰角為39。，

鐵塔頂端C的仰角為27。,沿著EB向前走20米到達(dá)點(diǎn)尸處,測(cè)得鐵塔頂端A的仰角為53。.已

知NABE=NC￡>E=90。，點(diǎn)E、B、。構(gòu)成的△￡?￡）中，ZEBD=90°.

（1）圖②是圖①中的一部分，求鐵塔的高度；

（2）小明說(shuō)，在點(diǎn)E處只要再測(cè)量一個(gè)角，通過(guò)計(jì)算即可求出鐵塔C。的高度，那么可以

測(cè)量的角是，若將這個(gè)角記為a,則鐵塔8的高度是;（用含a的式子表示）

（3）小麗說(shuō)，除了在點(diǎn)E處測(cè)量角的度數(shù)外，還可以在點(diǎn)尸處再測(cè)量一條線段的長(zhǎng)度，通

過(guò)計(jì)算也可求出鐵塔的高度，那么可以測(cè)量的線段是.（請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)不同的答案，

,34399

可用文字描述）（參考數(shù)據(jù)：sin39°?-,cos39°?—,tan39°,sin27°?一,cos27°?一,

5542010

1434

tan27°?—,sin53°,cos53°?—,tan53°?—）

2553

【答案】（1）鐵塔AB的高度為"米；（2）ABED-,普一；（3）FO的長(zhǎng)度或點(diǎn)尸到直

77cosa

線OE的距離或線段月W,其中點(diǎn)M為的平行線尸例與OE的交點(diǎn).（寫(xiě)出兩個(gè)即可）

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和銳角三角函數(shù)可以計(jì)算出的長(zhǎng).

（2）測(cè)得魴解直角三角形48E求得2E,進(jìn)而解直角三角形BED求得?！?最后在

R/acm中，由正切可求8；

（3）測(cè)得FD長(zhǎng)度或F到DE的距離即可通過(guò)計(jì)算求得CD.①測(cè)得FD=m,在R^BDF中，

利用勾股定理求得8D,在中，利用勾股定理求得。E,在R/0C1）中，利用

8=。尸/的27。求得結(jié)果，

②測(cè)得下到0E的距離為〃，通過(guò)三角形相似求得8。，然后在R顧EO中，利用勾股定理

求得DE,在/?/aCE。中，根據(jù)^^力比口成7-求得。。,

【詳解】

解：（1）在RtZSABE中，ZABE=90°,

Afi即見(jiàn)盤(pán)

0tan39°=——

BE

在b中,ZABF=90°,

c。A8AR

0tan53°=—即BF=,

BFtan53°

0EF=2O,

ABAB

0=20,

tan39°tan53°

520tan53°-tan390240山

^AB=---------------=——米，

tan53°-tan3907

答：鐵塔A8的高度為〒米；

(2)(2)在點(diǎn)E處只要再測(cè)量一個(gè)角，通過(guò)計(jì)算即可求出鐵塔。。的高度，那么可以測(cè)量

的角是團(tuán)6E。，

在R/GUBE中，BE=------=—,

tan3907

.+…BE320

在RtABED中，DE=----=------,