高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練六十六變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練六十六變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例〖基礎(chǔ)落實(shí)練〗（30分鐘60分）一、選擇題(每小題5分，共25分)1．2020年5月28日，《中華人民共和國(guó)民法典》(以下簡(jiǎn)稱《民法典》)獲十三屆全國(guó)人大三次會(huì)議高票通過(guò)，其被譽(yù)為“社會(huì)生活的百科全書”，具有重要意義．某網(wǎng)站就“是否關(guān)注《民法典》”向網(wǎng)民展開(kāi)問(wèn)卷調(diào)查，回收100份有效問(wèn)卷，得到2×2列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算K2≈3.030，關(guān)注《民法典》不關(guān)注《民法典》男4510女3015附：P(K2≥k)0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828A.有90%的把握認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別無(wú)關(guān)B．有90%的把握認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別有關(guān)C．在犯錯(cuò)誤不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別無(wú)關(guān)D．在犯錯(cuò)誤超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別無(wú)關(guān)〖解析〗選B.由題意知，K2≈3.030＞2.706，所以有90%的把握認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別有關(guān)．2.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示:x0123ym35.57已求得y關(guān)于x的線性回歸方程為=2.1x+0.85,則m的值為 ()A.0.85B.0.75C.0.6D.0.5〖解析〗選D.由題中數(shù)據(jù)可得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,因?yàn)榛貧w直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心,所以QUOTE=2.1×QUOTE+0.85,解得m=0.5.3．對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()〖解析〗選A.用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．4.經(jīng)統(tǒng)計(jì),用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位:小時(shí))與成績(jī)(單位:分)近似于線性相關(guān)關(guān)系.對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間x與數(shù)學(xué)成績(jī)y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如表:x1516181922y10298115115120由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為=x+,則下列說(shuō)法正確的是 ()A.+18<100B.+18>100C.+18=100D.+18與100的大小無(wú)法確定〖解析〗選B.QUOTE=(15+16+18+19+22)×QUOTE=18,QUOTE=(102+98+115+115+120)×QUOTE=110,所以樣本中心點(diǎn)為(18,110),所以有110=18+,即點(diǎn)(,)滿足+18=110>100.〖加練備選·拔高〗如圖所示,5組數(shù)據(jù)(x,y)中去掉D(3,10)后,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.殘差平方和變大B.相關(guān)系數(shù)r變大C.相關(guān)指數(shù)R2變大D.變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)〖解析〗選A.根據(jù)散點(diǎn)圖:5組數(shù)據(jù)(x,y)中去掉D(3,10)后,得到的結(jié)論,y與x的線性相關(guān)性加強(qiáng),且為正相關(guān),所以r變大,相關(guān)系數(shù)R2變大,殘差平方和變小.5.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè)z=lny,其變換后得到線性回歸方程z=0.3x+4,則c= ()A.0.3 B.e0.3C.4 D.e4〖解析〗選D.因?yàn)閥=cekx,所以兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lny=kx+lnc,設(shè)z=lny,得z=kx+lnc,又因?yàn)樽儞Q后得到線性回歸方程z=0.3x+4,所以lnc=4,解得c=e4.二、填空題(每小題5分，共15分)6．(2021·寧德模擬)對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回歸直線方程是＝eq\f(1,3)x＋且x1＋x2＋…＋x8＝24，y1＋y2＋…＋y8＝12，則實(shí)數(shù)的值是________．〖解析〗根據(jù)題意知，x1＋x2＋…＋x8＝24，y1＋y2＋…＋y8＝12，所以eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×24＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,8)×12＝eq\f(3,2)，所以回歸直線＝eq\f(1,3)x＋過(guò)樣本中心點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，所以＝eq\f(3,2)－eq\f(1,3)×3＝eq\f(1,2)，即實(shí)數(shù)＝eq\f(1,2).〖答案〗eq\f(1,2)7．(2020·長(zhǎng)春模擬)某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1：＝0.68x＋，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)).經(jīng)過(guò)分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線的方程為l2：＝x＋0.68，相關(guān)系數(shù)為r2，相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)).以下結(jié)論中，不正確的序號(hào)是________.①r1＞0，r2＞0②Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＞Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))③＝0.12④0＜＜0.68〖解析〗由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故r1＞0，r2＞0，且r1＜r2，故Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＜Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，故①正確，②不正確．又回歸直線l1：＝0.68x＋必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(3.5，2.5)，所以＝2.5－0.68×3.5＝0.12，③正確．回歸直線l2：＝x＋0.68必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(3，2)，所以2＝×3＋0.68，所以＝0.44，也可直接根據(jù)圖象判斷0＜＜0.68(比較兩直線的傾斜程度)，故④正確．〖答案〗②8．某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生課余學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示，將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”．根據(jù)已知條件作出了下面不完整的2×2列聯(lián)表，則據(jù)此資料判斷________(填“能”或“不能”)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)．非圍棋迷圍棋迷總計(jì)男女1055總計(jì)附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828〖解析〗由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“圍棋迷”有100×0.25＝25人，從而2×2列聯(lián)表如下所示：非圍棋迷圍棋迷總計(jì)男301545女451055總計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(100×（30×10－15×45）2,45×55×75×25)＝eq\f(100,33)≈3.030，因?yàn)?.030＜3.841，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)．〖答案〗不能三、解答題(每小題10分，共20分)9．(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得到表格：〖0，50〗(50，150〗(150，475〗〖0，35〗32184(35，75〗6812(75，115〗3710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表：〖0，150〗(150，475〗〖0，75〗(75，115〗(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖解析〗(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：〖0，150〗(150，475〗〖0，75〗6416(75，115〗1010(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)≈7.484.由于7.484＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．10．某高校在A省自主招生，對(duì)初審?fù)ㄟ^(guò)的1000人進(jìn)行復(fù)試，按分?jǐn)?shù)從高到低錄取100人認(rèn)定復(fù)試通過(guò)(20道客觀題，每題10分，滿分200分)，不低于140分的各分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)人數(shù)如表：分?jǐn)?shù)x140150160170180人數(shù)y2915952t＝eq\f(1,x－120)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,40)eq\f(1,50)eq\f(1,60)(1)已知y關(guān)于t的回歸方程為＝814.3t－11.6，求y關(guān)于x的回歸方程＝x＋；(2)已知y關(guān)于x的相關(guān)系數(shù)為－0.95，試求出y關(guān)于t的相關(guān)系數(shù)r(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位小數(shù))，通過(guò)比較，判斷哪個(gè)回歸方程擬合效果更好；(注：|r|越大，擬合性越好)(3)根據(jù)(2)中擬合性更好的回歸方程，預(yù)報(bào)得分為130的考生能否全部通過(guò)復(fù)試？相關(guān)公式和數(shù)據(jù)：＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)，r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝8960，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝129000，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi≈2.31，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))≈0.0049，eq\x\to(t)＝0.029，t2＝0.000841，eq\x\to(x)＝160，eq\x\to(y)＝12，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)≈31.6，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\x\to(t)）2)≈0.027，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2)≈21.4.〖解析〗(1)＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\x\to(x)2)＝eq\f(8960－9600,129000－128000)＝－0.64，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝12－(－0.64)×160＝114.4，所以，y關(guān)于x的回歸方程是＝－0.64x＋114.4.(2)r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\x\to(t)）2\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2))≈eq\f(2.31－1.74,0.027×21.4)≈0.99，比較相關(guān)系數(shù)：|－0.95|＜|0.99|，故y關(guān)于t的方程擬合效果更好．(3)當(dāng)x＝130時(shí)，t＝eq\f(1,10)，代入回歸方程＝814.3t－11.6，得預(yù)報(bào)值：＝814.3×eq\f(1,10)－11.6＝69.83，因?yàn)?40分以上有60人，所以只需在130分的人中錄取40人，故不能全部通過(guò)復(fù)試．〖素養(yǎng)提升練〗（20分鐘35分）1．如圖是九江市2019年4月至2020年3月每月最低氣溫與最高氣溫(℃)的折線統(tǒng)計(jì)圖，已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)r＝0.83，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性正相關(guān)B．月溫差(月最高氣溫－月最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在10月C．9－12月的月溫差相對(duì)于5－8月，波動(dòng)性更大D．每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在前6個(gè)月逐月增加〖解析〗選D.每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)r＝0.83，可知每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性正相關(guān)，由所給的折線圖可以看出月溫差(月最高氣溫－月最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在10月，9－12月的月溫差相對(duì)于5－8月，波動(dòng)性更大，每月的最高氣溫與最低氣溫的平均值在前5個(gè)月逐月增加，第6個(gè)月開(kāi)始減少，所以ABC正確，D錯(cuò)誤．2．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲線y＝bx2－eq\f(1,2)附近波動(dòng)．經(jīng)計(jì)算eq\i\su(i＝1,6,x)i＝12，eq\i\su(i＝1,6,y)i＝14，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝23，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)_______．〖解析〗令t＝x2，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程，即y＝bt－eq\f(1,2)，此時(shí)eq\x\to(t)＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)),6)＝eq\f(23,6)，eq\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,6,y)i,6)＝eq\f(14,6)，代入y＝bt－eq\f(1,2)，得eq\f(14,6)＝b×eq\f(23,6)－eq\f(1,2)，解得b＝eq\f(17,23).〖答案〗eq\f(17,23)3．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)隨機(jī)變量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y＝2e2x＋1的圖象附近，設(shè)z＝lny，將其變換后得到線性方程z＝mx＋n，則mn＝________．〖解析〗由題可知，ln(2e2x＋1)＝mx＋n，所以ln2＋(2x＋1)＝mx＋n，所以m＝2，n＝1＋ln2，mn＝2＋2ln2.〖答案〗2＋2ln24．某食鹽加工廠有甲、乙兩條包裝生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來(lái)每包食鹽質(zhì)量ξ(單位：g)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(單位：g)，并把質(zhì)量在(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的產(chǎn)品作為合格品，剩下的作為不合格品重新包裝，兩條生產(chǎn)線均設(shè)置μ＝500，σ＝5.現(xiàn)隨機(jī)從這兩條生產(chǎn)線上各抽取20件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量(單位：g)，結(jié)果如下：甲生產(chǎn)線：480481483484497501502502502503504504505506506508509513517518乙生產(chǎn)線：482483484497497499502502503504506506508508509513516517518520(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條生產(chǎn)線的選擇有關(guān)？甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)附表：P(K≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k(參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.)(2)乙生產(chǎn)線上的檢驗(yàn)員某天隨機(jī)抽取兩包食鹽，其質(zhì)量分別為516g和519g，檢驗(yàn)員根據(jù)抽測(cè)結(jié)果判斷該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢驗(yàn)員的判斷是否合理，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考公式：P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974.〖解析〗(1)補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如表所示：甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)合格品141327不合格品6713總計(jì)202040所以K2＝eq\f(40×（14×7－13×6）2,27×13×20×20)＝eq\f(40,351)≈0.114＜2.072，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條生產(chǎn)線的選擇有關(guān)．(2)檢驗(yàn)員的判斷是合理的．理由如下：因?yàn)棣蹋?00，σ＝5，所以P(485＜ξ＜515)＝0.9974，即合格品的概率為0.9974，而不合格品的概率為1－0.9974＝0.0026，幾乎為0，但隨機(jī)抽取的兩包食鹽質(zhì)量分別為516g和519g，均屬于不合格品，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常．故檢驗(yàn)員的判斷合理．5．(2021·淄博模擬)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對(duì)年銷售額y(單位：億元)的影響．該公司對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi(i＝1，2，…，12)的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．令ui＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，vi＝lnyi(i＝1，2，…，12)，經(jīng)計(jì)算得如表中的數(shù)據(jù)：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\x\to(y))2eq\x\to(u)eq\x\to(v)20667702004604.20eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\x\to(u))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\x\to(v))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\x\to(x))(vi－eq\x\to(v))3125000215000.30814(1)設(shè){ui}和{yi}的相關(guān)系數(shù)為r1，{xi}和{vi}的相關(guān)系數(shù)為r2，請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個(gè)擬合程度更好的模型；(2)(i)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；(ii)若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元．附：①相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，回歸直線方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)；②參考數(shù)據(jù)：308＝4×77，eq\r(90)≈9.4868，e4.4998≈90.〖解析〗(1)由題意，r1＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)（ui－\x\to(u)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,12,)（ui－\x\to(u)）2\i\su(i＝1,12,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(21500,\r(3125000×200))＝eq\f(21500,25000)＝eq\f(43,50)＝0.86，r2＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)（xi－\x\to(x)）（vi－\x\to(v)）,\r(\i\su(i＝1,12,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,12,)（vi－\x\to(v)）2))＝eq\f(14,\r(770×0.308))＝eq\f(14,77×0.2)＝eq\f(10,11)≈0.91，則|r1|＜|r2|，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y＝eλx＋t的擬合程度更好．(2)(i)先建立v關(guān)于x的回歸直線方程，由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，即v＝t＋λx；由于λ＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)（xi－\x\to(x)）（vi－\x\to(v)）,\i\su(i＝1,12,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(14,770)≈0.018≈0.02，t＝eq\x\to(v)－λeq\x\to(x)＝4.20－0.018×20＝3.84，所以v關(guān)于x的回歸直線方程為＝0.02x＋3.84，所以ln＝0.02x＋3.84，則＝e0.02x＋3.84.(ii)下一年銷售額y需達(dá)到90億元，即y＝90，代入＝e0.02x＋3.84，得90＝e0.02x＋3.84，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.02x＋3.84，所以x≈eq\f(4.4998－3.84,0.02)＝32.99，所以預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元．課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練六十六變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例〖基礎(chǔ)落實(shí)練〗（30分鐘60分）一、選擇題(每小題5分，共25分)1．2020年5月28日，《中華人民共和國(guó)民法典》(以下簡(jiǎn)稱《民法典》)獲十三屆全國(guó)人大三次會(huì)議高票通過(guò)，其被譽(yù)為“社會(huì)生活的百科全書”，具有重要意義．某網(wǎng)站就“是否關(guān)注《民法典》”向網(wǎng)民展開(kāi)問(wèn)卷調(diào)查，回收100份有效問(wèn)卷，得到2×2列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算K2≈3.030，關(guān)注《民法典》不關(guān)注《民法典》男4510女3015附：P(K2≥k)0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828A.有90%的把握認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別無(wú)關(guān)B．有90%的把握認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別有關(guān)C．在犯錯(cuò)誤不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別無(wú)關(guān)D．在犯錯(cuò)誤超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別無(wú)關(guān)〖解析〗選B.由題意知，K2≈3.030＞2.706，所以有90%的把握認(rèn)為網(wǎng)民關(guān)注《民法典》與性別有關(guān)．2.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示:x0123ym35.57已求得y關(guān)于x的線性回歸方程為=2.1x+0.85,則m的值為 ()A.0.85B.0.75C.0.6D.0.5〖解析〗選D.由題中數(shù)據(jù)可得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,因?yàn)榛貧w直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心,所以QUOTE=2.1×QUOTE+0.85,解得m=0.5.3．對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()〖解析〗選A.用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．4.經(jīng)統(tǒng)計(jì),用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位:小時(shí))與成績(jī)(單位:分)近似于線性相關(guān)關(guān)系.對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間x與數(shù)學(xué)成績(jī)y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如表:x1516181922y10298115115120由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為=x+,則下列說(shuō)法正確的是 ()A.+18<100B.+18>100C.+18=100D.+18與100的大小無(wú)法確定〖解析〗選B.QUOTE=(15+16+18+19+22)×QUOTE=18,QUOTE=(102+98+115+115+120)×QUOTE=110,所以樣本中心點(diǎn)為(18,110),所以有110=18+,即點(diǎn)(,)滿足+18=110>100.〖加練備選·拔高〗如圖所示,5組數(shù)據(jù)(x,y)中去掉D(3,10)后,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.殘差平方和變大B.相關(guān)系數(shù)r變大C.相關(guān)指數(shù)R2變大D.變量x與變量y的相關(guān)性變強(qiáng)〖解析〗選A.根據(jù)散點(diǎn)圖:5組數(shù)據(jù)(x,y)中去掉D(3,10)后,得到的結(jié)論,y與x的線性相關(guān)性加強(qiáng),且為正相關(guān),所以r變大,相關(guān)系數(shù)R2變大,殘差平方和變小.5.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè)z=lny,其變換后得到線性回歸方程z=0.3x+4,則c= ()A.0.3 B.e0.3C.4 D.e4〖解析〗選D.因?yàn)閥=cekx,所以兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lny=kx+lnc,設(shè)z=lny,得z=kx+lnc,又因?yàn)樽儞Q后得到線性回歸方程z=0.3x+4,所以lnc=4,解得c=e4.二、填空題(每小題5分，共15分)6．(2021·寧德模擬)對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回歸直線方程是＝eq\f(1,3)x＋且x1＋x2＋…＋x8＝24，y1＋y2＋…＋y8＝12，則實(shí)數(shù)的值是________．〖解析〗根據(jù)題意知，x1＋x2＋…＋x8＝24，y1＋y2＋…＋y8＝12，所以eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×24＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,8)×12＝eq\f(3,2)，所以回歸直線＝eq\f(1,3)x＋過(guò)樣本中心點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，所以＝eq\f(3,2)－eq\f(1,3)×3＝eq\f(1,2)，即實(shí)數(shù)＝eq\f(1,2).〖答案〗eq\f(1,2)7．(2020·長(zhǎng)春模擬)某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1：＝0.68x＋，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)).經(jīng)過(guò)分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計(jì)算得到回歸直線的方程為l2：＝x＋0.68，相關(guān)系數(shù)為r2，相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)).以下結(jié)論中，不正確的序號(hào)是________.①r1＞0，r2＞0②Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＞Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))③＝0.12④0＜＜0.68〖解析〗由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故r1＞0，r2＞0，且r1＜r2，故Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＜Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，故①正確，②不正確．又回歸直線l1：＝0.68x＋必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(3.5，2.5)，所以＝2.5－0.68×3.5＝0.12，③正確．回歸直線l2：＝x＋0.68必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(3，2)，所以2＝×3＋0.68，所以＝0.44，也可直接根據(jù)圖象判斷0＜＜0.68(比較兩直線的傾斜程度)，故④正確．〖答案〗②8．某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生課余學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示，將日均學(xué)習(xí)圍棋時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”．根據(jù)已知條件作出了下面不完整的2×2列聯(lián)表，則據(jù)此資料判斷________(填“能”或“不能”)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)．非圍棋迷圍棋迷總計(jì)男女1055總計(jì)附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828〖解析〗由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“圍棋迷”有100×0.25＝25人，從而2×2列聯(lián)表如下所示：非圍棋迷圍棋迷總計(jì)男301545女451055總計(jì)7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(100×（30×10－15×45）2,45×55×75×25)＝eq\f(100,33)≈3.030，因?yàn)?.030＜3.841，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)．〖答案〗不能三、解答題(每小題10分，共20分)9．(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得到表格：〖0，50〗(50，150〗(150，475〗〖0，35〗32184(35，75〗6812(75，115〗3710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表：〖0，150〗(150，475〗〖0，75〗(75，115〗(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828〖解析〗(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：〖0，150〗(150，475〗〖0，75〗6416(75，115〗1010(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)≈7.484.由于7.484＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．10．某高校在A省自主招生，對(duì)初審?fù)ㄟ^(guò)的1000人進(jìn)行復(fù)試，按分?jǐn)?shù)從高到低錄取100人認(rèn)定復(fù)試通過(guò)(20道客觀題，每題10分，滿分200分)，不低于140分的各分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)人數(shù)如表：分?jǐn)?shù)x140150160170180人數(shù)y2915952t＝eq\f(1,x－120)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,40)eq\f(1,50)eq\f(1,60)(1)已知y關(guān)于t的回歸方程為＝814.3t－11.6，求y關(guān)于x的回歸方程＝x＋；(2)已知y關(guān)于x的相關(guān)系數(shù)為－0.95，試求出y關(guān)于t的相關(guān)系數(shù)r(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位小數(shù))，通過(guò)比較，判斷哪個(gè)回歸方程擬合效果更好；(注：|r|越大，擬合性越好)(3)根據(jù)(2)中擬合性更好的回歸方程，預(yù)報(bào)得分為130的考生能否全部通過(guò)復(fù)試？相關(guān)公式和數(shù)據(jù)：＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)，r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝8960，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝129000，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi≈2.31，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))≈0.0049，eq\x\to(t)＝0.029，t2＝0.000841，eq\x\to(x)＝160，eq\x\to(y)＝12，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)≈31.6，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\x\to(t)）2)≈0.027，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2)≈21.4.〖解析〗(1)＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\x\to(x)2)＝eq\f(8960－9600,129000－128000)＝－0.64，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝12－(－0.64)×160＝114.4，所以，y關(guān)于x的回歸方程是＝－0.64x＋114.4.(2)r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\x\to(t)）2\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2))≈eq\f(2.31－1.74,0.027×21.4)≈0.99，比較相關(guān)系數(shù)：|－0.95|＜|0.99|，故y關(guān)于t的方程擬合效果更好．(3)當(dāng)x＝130時(shí)，t＝eq\f(1,10)，代入回歸方程＝814.3t－11.6，得預(yù)報(bào)值：＝814.3×eq\f(1,10)－11.6＝69.83，因?yàn)?40分以上有60人，所以只需在130分的人中錄取40人，故不能全部通過(guò)復(fù)試．〖素養(yǎng)提升練〗（20分鐘35分）1．如圖是九江市2019年4月至2020年3月每月最低氣溫與最高氣溫(℃)的折線統(tǒng)計(jì)圖，已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)r＝0.83，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性正相關(guān)B．月溫差(月最高氣溫－月最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在10月C．9－12月的月溫差相對(duì)于5－8月，波動(dòng)性更大D．每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在前6個(gè)月逐月增加〖解析〗選D.每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)r＝0.83，可知每月最低氣溫與最高氣溫有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，且二者為線性正相關(guān)，由所給的折線圖可以看出月溫差(月最高氣溫－月最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在10月，9－12月的月溫差相對(duì)于5－8月，波動(dòng)性更大，每月的最高氣溫與最低氣溫的平均值在前5個(gè)月逐月增加，第6個(gè)月開(kāi)始減少，所以ABC正確，D錯(cuò)誤．2．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲線y＝bx2－eq\f(1,2)附近波動(dòng)．經(jīng)計(jì)算eq\i\su(i＝1,6,x)i＝12，eq\i\su(i＝1,6,y)i＝14，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝23，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)_______．〖解析〗令t＝x2，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程，即y＝bt－eq\f(1,2)，此時(shí)eq\x\to(t)＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)),6)＝eq\f(23,6)，eq\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,6,y)i,6)＝eq\f(14,6)，代入y＝bt－eq\f(1,2)，得eq\f(14,6)＝b×eq\f(23,6)－eq\f(1,2)，解得b＝eq\f(17,23).〖答案〗eq\f(17,23)3．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)隨機(jī)變量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y＝2e2x＋1的圖象附近，設(shè)z＝lny，將其變換后得到線性方程z＝mx＋n，則mn＝________．〖解析〗由題可知，ln(2e2x＋1)＝mx＋n，所以ln2＋(2x＋1)＝mx＋n，所以m＝2，n＝1＋ln2，mn＝2＋2ln2.〖答案〗2＋2ln24．某食鹽加工廠有甲、乙兩條包裝生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來(lái)每包食鹽質(zhì)量ξ(單位：g)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(單位：g)，并把質(zhì)量在(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的產(chǎn)品作為合格品，剩下的作為不合格品重新包裝，兩條生產(chǎn)線均設(shè)置μ＝500，σ＝5.現(xiàn)隨機(jī)從這兩條生產(chǎn)線上各抽取20件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量(單位：g)，結(jié)果如下：甲生產(chǎn)線：480481483484497501502502502503504504505506506508509513517518乙生產(chǎn)線：482483484497497499502502503504506506508508509513516517518520(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條生產(chǎn)線的選擇有關(guān)？甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)附表：P(K≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k(參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.)(2)乙生產(chǎn)線上的檢驗(yàn)員某天隨機(jī)抽取兩包食鹽，其質(zhì)量分別為516g和519g，檢驗(yàn)員根據(jù)抽測(cè)結(jié)果判斷該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢驗(yàn)員的判斷是否合理，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考公式：P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974.〖解析〗(1)補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如表所示：甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)合格品141327不合格品6713總計(jì)202040所以K2＝eq\f(40×（14×7－13×6）2,27×13×20×20)＝eq\f(40,351)≈0.114＜2.072，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條生產(chǎn)線的選擇有關(guān)．(2)檢驗(yàn)員的判斷是合理的．理由如下：因?yàn)棣蹋?00，σ＝5，所以P(485＜ξ＜515)＝0.9974，即合格品的概率為0.9974，而不合格品的概率為1－0.9974＝0.0026，幾乎為0，但隨機(jī)抽取的兩包食鹽質(zhì)量分別為516g和519g，均屬于不合格品，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常．故檢驗(yàn)員的判斷合理．5．(2021·淄博模擬)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對(duì)年銷