高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)梯級練七十二二項分布正態(tài)分布及其應(yīng)用課時作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時作業(yè)梯級練七十二二項分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2020·日照模擬)已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)等于()A．eq\f(9,50)B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10)D．eq\f(1,4)〖解析〗選B.因為P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).2．(2021·連云港模擬)已知隨機(jī)變量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，則P(－2＜Z＜2)＝()A．2a B．2a－1C．1－2a D．2(1－a)〖解析〗選B.因為隨機(jī)變量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，所以P(Z≥2或Z≤－2)＝2－2a，所以P(－2＜Z＜2)＝1－(2－2a)＝2a－1.3．已知一個箱子里裝有2個黑球和3個白球，隨機(jī)從箱子中摸出1個球再放回，如果摸出黑球記2分，摸出白球記－1分，則10次摸球所得總分?jǐn)?shù)ξ的期望為()A．2 B．4 C．6 D．8〖解析〗選A.10次摸球摸出黑球的次數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(2,5)))，E(X)＝10×eq\f(2,5)＝4，所得總分?jǐn)?shù)ξ＝2X＋(10－X)×(－1)＝3X－10，所以E(ξ)＝3E(X)－10＝2.4．如圖，展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準(zhǔn)確地描述出了清明時節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測資料表明，清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當(dāng)天下雨，則隨后一天也下雨的概率是()A.0.63 B．0.7C．0.9 D．0.567〖解析〗選B.設(shè)“清明節(jié)當(dāng)天下雨”為事件A，“第二天下雨”為事件B，P(A)＝0.9，P(AB)＝0.63，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.63,0.9)＝0.7.〖加練備選·拔高〗(2020·寧德模擬)法國有個名人叫做布萊爾·帕斯卡,他認(rèn)識兩個賭徒,這兩個賭徒向他提出一個問題:他們相約賭博,約定先贏4局者可獲得全部賭金600法郎,賭了半天,甲贏了3局,乙贏了2局,時間很晚了,他們都不想再賭下去了.假設(shè)每局甲贏的概率為QUOTEeq\f(1,2),每局輸贏相互獨立,那么這600法郎比較合理的分配是()A.甲300法郎,乙300法郎B.甲480法郎,乙120法郎C.甲450法郎,乙150法郎D．甲400法郎，乙200法郎〖解析〗選C.根據(jù)題意，在甲贏了3局，乙贏了2局后，甲獲得全部賭金600法郎的概率P1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，乙獲得全部賭金600法郎的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，則這600法郎應(yīng)該分配給甲600×eq\f(3,4)＝450法郎，分配給乙600×eq\f(1,4)＝150法郎．5．(2021·蕪湖模擬)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一卦由六爻組成．其中有一種起卦方法稱為“金錢起卦法”，其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復(fù)六次，得到六爻．若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻．若每一枚錢幣正面向上的概率為eq\f(1,2)，則一卦中恰有三個變爻的概率為()A．eq\f(5,16)B．eq\f(15,64)C．eq\f(135,1024)D．eq\f(1215,4096)〖解析〗選C.1個爻為變爻的概率為2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，不是變爻的概率為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，則一卦中恰有三個變爻的概率為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(135,1024).〖加練備選·拔高〗如圖電子元件設(shè)備,當(dāng)甲能正常工作,且乙和丙至少有一個正常工作時,設(shè)備正常工作,其中甲、乙、丙能正常工作的概率都為p(0<p<1),且互不影響,電子元件設(shè)備能正常工作的概率是()A.2p2-p3 B.p3C.1-p2 D.p2-p3〖解析〗選A.當(dāng)甲能正常工作,且乙和丙至少有一個正常工作時,設(shè)備正常工作,設(shè)事件A表示“甲正常工作”,事件B表示“乙正常工作”,事件C表示“丙正常工作”,則P(A)＝P(B)＝P(C)＝p(0＜p＜1)，所以電子元件設(shè)備能正常工作的概率為：P＝p〖1－(1－p)(1－p)〗＝2p2－p3.二、填空題(每小題5分，共15分)6．從圖中的E，F(xiàn)，G，H四點中隨機(jī)選出兩點，記ξ為選出的兩點縱坐標(biāo)y的值大于0的點的個數(shù)，則P(ξ＝1)等于________．〖解析〗從題干圖中的E，F(xiàn)，G，H四點中隨機(jī)選出兩點，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6，記ξ為選出的兩點縱坐標(biāo)y的值大于0的點的個數(shù)，ξ＝1包含的基本事件個數(shù)m＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝4，則P(ξ＝1)＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).〖答案〗eq\f(2,3)7．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若E(ξ)＝eq\f(2,3)，則P(η≥3)＝________．〖解析〗因為E(ξ)＝2p＝eq\f(2,3)，所以p＝eq\f(1,3)，所以η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，所以P(η≥3)＝P(η＝3)＋P(η＝4)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(8,81)＋eq\f(1,81)＝eq\f(1,9).〖答案〗eq\f(1,9)8．(2021·安陽模擬)2020年2月，受新冠肺炎的影響，醫(yī)衛(wèi)市場上出現(xiàn)了“一罩難求”的現(xiàn)象．在政府部門的牽頭下，部分工廠轉(zhuǎn)業(yè)生產(chǎn)口罩，已知某工廠生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)ξ～N(15，0.0025)，單位為g，該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在(14.9g，15.05g)的口罩?jǐn)?shù)量為818600件，則可以估計該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在15.15g以上的口罩?jǐn)?shù)量為________．參考數(shù)據(jù)：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗由題意知，ξ～N(15，0.0025)，即μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；所以P(14.9＜ξ＜15.05)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋σ)≈eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186，所以該廠每天生產(chǎn)的口罩總量為818600÷0.8186＝1000000(件)，又P(ξ＞15.15)＝P(ξ＞μ＋3σ)＝eq\f(1－0.9973,2)，所以估計該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在15.15g以上的口罩?jǐn)?shù)量為1000000×eq\f(1－0.9973,2)＝1350(件).〖答案〗1350三、解答題(每小題10分，共20分)9．某高校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的考核方案：考生從8道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過．已知8道備選題中考生甲有6道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是eq\f(3,4)，且每題正確完成與否互不影響．(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的分布列，并計算均值；(2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的均值及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力．〖解析〗(1)設(shè)考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)為ξ，η，則ξ的所有可能取值為1，2，3；η的所有可能取值為0，1，2，3.P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(3,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(5,14).所以考生甲正確完成題數(shù)的分布列為ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).因為P(η＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,64)，同理，P(η＝1)＝eq\f(9,64)，P(η＝2)＝eq\f(27,64)，P(η＝3)＝eq\f(27,64).所以考生乙正確完成題數(shù)的分布列為η0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)E(η)＝3×eq\f(3,4)＝eq\f(9,4).(2)因為P(ξ≥2)＝eq\f(15,28)＋eq\f(5,14)＝eq\f(25,28)，P(η≥2)＝eq\f(27,64)＋eq\f(27,64)＝eq\f(54,64)，所以P(ξ≥2)＞P(η≥2).故從正確完成題數(shù)的均值發(fā)現(xiàn)，兩人水平相當(dāng)；從至少正確完成2題的概率發(fā)現(xiàn)，甲通過的可能性大．因此可以判斷甲的實驗操作能力較強(qiáng)．10．(2020·呼和浩特模擬)為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針，某市要對全市中小學(xué)生體能達(dá)標(biāo)情況進(jìn)行了解，決定通過隨機(jī)抽樣選擇幾個樣本校對學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測試，并規(guī)定測試成績低于60分為不合格，否則為合格，若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%，則該樣本校體能達(dá)標(biāo)為合格．已知某樣本校共有1000名學(xué)生，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測試，首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組，其中甲、乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3∶2，測試后，兩組各自的成績統(tǒng)計如下：甲組的平均成績?yōu)?0，方差為16，乙組的平均成績?yōu)?0，方差為36.(1)估計該樣本校學(xué)生體能測試的平均成績；(2)求該樣本校40名學(xué)生測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差s；(3)假設(shè)該樣本校體能達(dá)標(biāo)測試成績X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，利用估計值估計該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測試是否合格？(注：①本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)；②若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973).〖解析〗(1)由題知，甲、乙兩組學(xué)生數(shù)分別為24和16，則這40名學(xué)生測試成績的平均分eq\x\to(x)＝eq\f(70×24＋80×16,40)＝74.故可估計該樣本校學(xué)生體能測試的平均成績?yōu)?4.(2)由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2變形得s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－neq\x\to(x)2)，設(shè)甲組學(xué)生的測試成績分別為x1，x2，x3，…，x24，乙組學(xué)生的測試成績分別為x25，x26，x27，…，x40，則甲組的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,24)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24)))－24×702〗＝42，解得：xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＝24×(16＋702).乙組的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,16)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－16×802〗＝62，解得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40))＝16×(36＋802).這40名學(xué)生的方差為s2＝eq\f(1,40)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－40eq\x\to(x)2〗＝eq\f(1,40)〖24×(16＋702)＋16×(36＋802)－40×742〗＝48，所以s＝eq\r(48)＝4eq\r(3)≈7.綜上，標(biāo)準(zhǔn)差s＝7.(3)由eq\x\to(x)＝74，s≈7，得μ的估計值＝74，σ的估計值＝7，故P(74－2×7＜X≤74＋2×7)≈0.9545，即P(60＜X≤88)＝0.9545，所以P(X＜60)＝P(X≥88)＝eq\f(1,2)〖1－P(60＜X≤88)〗＝eq\f(1,2)(1－0.9545)＝0.02275.從而，在全校1000名學(xué)生中，不合格的有1000×0.02275＝22.75≈23(人).而eq\f(23,1000)＜5%，故可估計該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測試合格．1．（5分）(2021·益陽模擬)若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，設(shè)ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.15865，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓x2＋y2＝σ2上恰有兩個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍為()A．(－26，－13)∪(13，26)B．(－26，26)C．(－39，－13)∪(13，39)D．(－39，39)〖解析〗選C.由題意知：P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)＝eq\f(1,2)〖1－P(－1＜ξ＜3)〗，所以P(－1＜ξ＜3)＝0.6827，所以1－σ＝－1，1＋σ＝3.所以σ＝2.故圓的方程為x2＋y2＝4，圓心為(0，0)，半徑為2.如圖，L1，L2表示與12x－5y＋c＝0平行的直線，OA，OB，OC共線且垂直于L1，L2.當(dāng)BC＝AC＝1時，圓上分別恰有1個，3個點到直線的距離等于1，此時圓心到直線的距離分別為3，1.當(dāng)直線介于L1，L2之間時，符合題意．故1＜eq\f(|c|,\r(122＋（－5）2))＜3，所以13＜|c|＜39，所以－39＜c＜－13或13＜c＜39.2．（5分）著名的斐波那契數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an.人們通過研究發(fā)現(xiàn)其有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如：記黃金分割比eq\f(\r(5)－1,2)＝k≈0.618，若eq\f(an,an＋1)＞k，則eq\f(an＋1,an＋2)＜k；反之亦然．現(xiàn)記bn＝eq\f(an,an＋1)，若從數(shù)列{bn}的前7項中隨機(jī)抽取2項，則這2項都大于k的概率為()A．eq\f(4,7)B．eq\f(1,7)C．eq\f(5,7)D．eq\f(2,7)〖解析〗選D.因為a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，所以b1＝eq\f(a1,a2)＝1＞k≈0.618，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)＜k≈0.618，….因為若eq\f(an,an＋1)＞k，則eq\f(an＋1,an＋2)＜k，所以數(shù)列{bn}的前7項中b1，b3，b5，b7共4項都大于k，所以從數(shù)列{bn}的前7項中隨機(jī)抽取2項，則這2項都大于k的概率為eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(2,7).3．（5分）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號).①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生有關(guān)．〖解析〗P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5×5,10×11)＋eq\f(2×4,10×11)＋eq\f(3×4,10×11)＝eq\f(9,22)，故①⑤錯誤；②P(B|A1)＝eq\f(\f(5×5,10×11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，正確；③事件B與A1的發(fā)生有關(guān)系，故錯誤；④A1，A2，A3不可能同時發(fā)生，是互斥事件，正確．〖答案〗②④4．（10分）(2020·重慶模擬)某項數(shù)學(xué)競賽考試共四道題，考查內(nèi)容分別為代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合，已知前兩題每題滿分40分，后兩題每題滿分60分，題目難度隨題號依次遞增，已知學(xué)生甲答題時，若該題會做則必得滿分，若該題不會做則不作答得0分，通過對學(xué)生甲以往測試情況的統(tǒng)計，得到他在同類模擬考試中各題的得分率，如表所示：代數(shù)幾何數(shù)論組合第1題0.60.80.70.7第2題0.50.70.70.6第3題0.40.50.50.3第4題0.20.30.30.2假設(shè)學(xué)生甲每次考試各題的得分相互獨立．(1)若此項競賽考試四道題的順序依次為代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合，試預(yù)測學(xué)生甲考試得160分的概率；(2)學(xué)生甲研究該項競賽近五年的試題發(fā)現(xiàn)第1題都是代數(shù)題，于是他在賽前針對代數(shù)版塊進(jìn)行了強(qiáng)化訓(xùn)練，并取得了很大進(jìn)步，現(xiàn)在，只要代數(shù)題是在試卷第1、2題的位置，他就一定能答對，若今年該項數(shù)學(xué)競賽考試四道題的順序依次為代數(shù)、數(shù)論、組合、幾何，試求學(xué)生甲此次考試得分X的分布列．〖解析〗(1)學(xué)生甲得160分，即第1，2題做對一道，第3，4題都做對，所以P＝(0.6×0.3＋0.4×0.7)×0.5×0.2＝0.046.(2)由題知學(xué)生甲第1題必得40分，只需考慮另三道題的得分情況，故X的所有可能取值為40，80，100，140，160，200，P(X＝40)＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P(X＝80)＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P(X＝100)＝0.3×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×0.3×0.7＝0.126，P(X＝140)＝0.7×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×0.3×0.7＝0.294，P(X＝160)＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P(X＝200)＝0.7×0.3×0.3＝0.063.所以X的分布列為：X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.0635．（10分）為了嚴(yán)格監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，某企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000個零件，并測量其內(nèi)徑(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N(μ，σ2).如果加工的零件內(nèi)徑小于μ－3σ或大于μ＋3σ均為不合格品，其余為合格品．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，請估計一天內(nèi)抽取的10000個零件中不合格品的個數(shù)為多少；(2)若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為合格品則該件產(chǎn)品盈利；若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為不合格品則該件產(chǎn)品虧損．已知每件產(chǎn)品的利潤L(單位：元)與零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：L＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5，X＜μ－3σ，,4，μ－3σ≤X＜μ－σ，,6，μ－σ≤X≤μ＋3σ，,－5，X＞μ＋3σ.))求該企業(yè)一天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000個零件的平均利潤．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗(1)抽取一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率約為0.9973，從而抽取一個零件為不合格品的概率約為0.0027.因此一天內(nèi)抽取的10000個零件中不合格品的個數(shù)約為10000×0.0027＝27；(2)由題意，P(X＜μ－3σ)＝0.00135.P(μ－3σ≤X＜μ－σ)＝eq\f(1,2)(0.9973－0.6827)＝0.1573；P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973－0.1573＝0.8400；P(X＞μ＋3σ)＝0.00135.故隨機(jī)抽取10000個零件的平均利潤為10000L＝10000(－5×0.00135＋4×0.1573＋6×0.8400－5×0.00135)＝56557元．1．設(shè)兩個獨立事件A和B同時不發(fā)生的概率是p，A發(fā)生B不發(fā)生與A不發(fā)生B發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率為()A．2p B．eq\f(p,2)C．1－eq\r(p) D．1－eq\r(2p)〖解析〗選C.根據(jù)題意，設(shè)事件A發(fā)生的概率為a，事件B發(fā)生的概率為b，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）（1－b）＝p，①,a（1－b）＝（1－a）b.②))由②知a＝b，代入①即得a＝1－eq\r(p).2．搪瓷是在金屬坯體表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾經(jīng)是人們不可或缺的生活必備品，廚房用具中的鍋碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗臉用到的臉盆；婚嫁禮品等，它濃縮了上世紀(jì)整整一個時代的記憶．某搪瓷設(shè)計公司新開發(fā)了一種新型復(fù)古搪瓷水杯，將其細(xì)分成6個等級，等級系數(shù)X依次為3，4，5，6，7，8，該公司交給生產(chǎn)水平不同的A和B兩個廠生產(chǎn)，已知A廠生產(chǎn)的該種搪瓷水杯的等級系數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，0.25)，且P(X＜6)＝eq\f(1,2).在電商平臺上A廠生產(chǎn)的搪瓷水杯的零售價為36元/件，B廠生產(chǎn)的搪瓷水杯的零售價為30元/件．(1)(i)求A廠生產(chǎn)的搪瓷水杯的等級系數(shù)的平均值；(ii)若A廠生產(chǎn)了10000件這種搪瓷水杯，記X表示這10000件搪瓷水杯等級系數(shù)位于區(qū)間(5.5，6.5)的產(chǎn)品件數(shù)，求E(X)；(2)從B廠生產(chǎn)的搪瓷水杯中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如圖：設(shè)L＝eq\f(產(chǎn)品等級系數(shù)的平均值,產(chǎn)品零售價)，若以L的值越大，產(chǎn)品越具可購買性為判斷標(biāo)準(zhǔn)．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，哪個工廠生產(chǎn)的搪瓷水杯更具可購買性？說明理由．注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗(1)(i)根據(jù)題意，P(X＜6)＝eq\f(1,2)，得μ＝6；(ii)因為σ2＝0.25，所以σ＝0.5，則μ＋σ＝6.5，μ－σ＝5.5，由(i)知，一件搪瓷水杯等級系數(shù)X位于區(qū)間(5.5，6.5)的概率為0.6827，依題意知X～B(10000，0.6827)，所以E(X)＝10000×0.6827＝6827；(2)A廠生產(chǎn)的搪瓷水杯更具可購買性，理由如下：將頻率視為概率，可得B廠生產(chǎn)的搪瓷水杯的等級系數(shù)XB的概率分布列如表：XB345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(XB)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即B廠生產(chǎn)的搪瓷水杯的等級系數(shù)的期望等于4.8.因為A廠生產(chǎn)搪瓷水杯的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為36元/件，所以LA＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，因為B廠生產(chǎn)的搪瓷水杯的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為30元/件，LB＝eq\f(4.8,30)＝0.16，eq\f(1,6)＞0.16，故A廠生產(chǎn)的搪瓷水杯更具可購買性．課時作業(yè)梯級練七十二二項分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2020·日照模擬)已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)等于()A．eq\f(9,50)B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10)D．eq\f(1,4)〖解析〗選B.因為P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).2．(2021·連云港模擬)已知隨機(jī)變量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，則P(－2＜Z＜2)＝()A．2a B．2a－1C．1－2a D．2(1－a)〖解析〗選B.因為隨機(jī)變量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，所以P(Z≥2或Z≤－2)＝2－2a，所以P(－2＜Z＜2)＝1－(2－2a)＝2a－1.3．已知一個箱子里裝有2個黑球和3個白球，隨機(jī)從箱子中摸出1個球再放回，如果摸出黑球記2分，摸出白球記－1分，則10次摸球所得總分?jǐn)?shù)ξ的期望為()A．2 B．4 C．6 D．8〖解析〗選A.10次摸球摸出黑球的次數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(2,5)))，E(X)＝10×eq\f(2,5)＝4，所得總分?jǐn)?shù)ξ＝2X＋(10－X)×(－1)＝3X－10，所以E(ξ)＝3E(X)－10＝2.4．如圖，展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩人杜牧寫的《清明》，這首詩不僅意境極好，而且還準(zhǔn)確地描述出了清明時節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測資料表明，清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當(dāng)天下雨，則隨后一天也下雨的概率是()A.0.63 B．0.7C．0.9 D．0.567〖解析〗選B.設(shè)“清明節(jié)當(dāng)天下雨”為事件A，“第二天下雨”為事件B，P(A)＝0.9，P(AB)＝0.63，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.63,0.9)＝0.7.〖加練備選·拔高〗(2020·寧德模擬)法國有個名人叫做布萊爾·帕斯卡,他認(rèn)識兩個賭徒,這兩個賭徒向他提出一個問題:他們相約賭博,約定先贏4局者可獲得全部賭金600法郎,賭了半天,甲贏了3局,乙贏了2局,時間很晚了,他們都不想再賭下去了.假設(shè)每局甲贏的概率為QUOTEeq\f(1,2),每局輸贏相互獨立,那么這600法郎比較合理的分配是()A.甲300法郎,乙300法郎B.甲480法郎,乙120法郎C.甲450法郎,乙150法郎D．甲400法郎，乙200法郎〖解析〗選C.根據(jù)題意，在甲贏了3局，乙贏了2局后，甲獲得全部賭金600法郎的概率P1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，乙獲得全部賭金600法郎的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，則這600法郎應(yīng)該分配給甲600×eq\f(3,4)＝450法郎，分配給乙600×eq\f(1,4)＝150法郎．5．(2021·蕪湖模擬)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一卦由六爻組成．其中有一種起卦方法稱為“金錢起卦法”，其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復(fù)六次，得到六爻．若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻．若每一枚錢幣正面向上的概率為eq\f(1,2)，則一卦中恰有三個變爻的概率為()A．eq\f(5,16)B．eq\f(15,64)C．eq\f(135,1024)D．eq\f(1215,4096)〖解析〗選C.1個爻為變爻的概率為2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，不是變爻的概率為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，則一卦中恰有三個變爻的概率為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(135,1024).〖加練備選·拔高〗如圖電子元件設(shè)備,當(dāng)甲能正常工作,且乙和丙至少有一個正常工作時,設(shè)備正常工作,其中甲、乙、丙能正常工作的概率都為p(0<p<1),且互不影響,電子元件設(shè)備能正常工作的概率是()A.2p2-p3 B.p3C.1-p2 D.p2-p3〖解析〗選A.當(dāng)甲能正常工作,且乙和丙至少有一個正常工作時,設(shè)備正常工作,設(shè)事件A表示“甲正常工作”,事件B表示“乙正常工作”,事件C表示“丙正常工作”,則P(A)＝P(B)＝P(C)＝p(0＜p＜1)，所以電子元件設(shè)備能正常工作的概率為：P＝p〖1－(1－p)(1－p)〗＝2p2－p3.二、填空題(每小題5分，共15分)6．從圖中的E，F(xiàn)，G，H四點中隨機(jī)選出兩點，記ξ為選出的兩點縱坐標(biāo)y的值大于0的點的個數(shù)，則P(ξ＝1)等于________．〖解析〗從題干圖中的E，F(xiàn)，G，H四點中隨機(jī)選出兩點，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6，記ξ為選出的兩點縱坐標(biāo)y的值大于0的點的個數(shù)，ξ＝1包含的基本事件個數(shù)m＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝4，則P(ξ＝1)＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).〖答案〗eq\f(2,3)7．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若E(ξ)＝eq\f(2,3)，則P(η≥3)＝________．〖解析〗因為E(ξ)＝2p＝eq\f(2,3)，所以p＝eq\f(1,3)，所以η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，所以P(η≥3)＝P(η＝3)＋P(η＝4)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(8,81)＋eq\f(1,81)＝eq\f(1,9).〖答案〗eq\f(1,9)8．(2021·安陽模擬)2020年2月，受新冠肺炎的影響，醫(yī)衛(wèi)市場上出現(xiàn)了“一罩難求”的現(xiàn)象．在政府部門的牽頭下，部分工廠轉(zhuǎn)業(yè)生產(chǎn)口罩，已知某工廠生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)ξ～N(15，0.0025)，單位為g，該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在(14.9g，15.05g)的口罩?jǐn)?shù)量為818600件，則可以估計該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在15.15g以上的口罩?jǐn)?shù)量為________．參考數(shù)據(jù)：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗由題意知，ξ～N(15，0.0025)，即μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；所以P(14.9＜ξ＜15.05)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋σ)≈eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186，所以該廠每天生產(chǎn)的口罩總量為818600÷0.8186＝1000000(件)，又P(ξ＞15.15)＝P(ξ＞μ＋3σ)＝eq\f(1－0.9973,2)，所以估計該廠每天生產(chǎn)的質(zhì)量在15.15g以上的口罩?jǐn)?shù)量為1000000×eq\f(1－0.9973,2)＝1350(件).〖答案〗1350三、解答題(每小題10分，共20分)9．某高校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的考核方案：考生從8道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過．已知8道備選題中考生甲有6道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是eq\f(3,4)，且每題正確完成與否互不影響．(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的分布列，并計算均值；(2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的均值及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力．〖解析〗(1)設(shè)考生甲、乙正確完成實驗操作的題數(shù)為ξ，η，則ξ的所有可能取值為1，2，3；η的所有可能取值為0，1，2，3.P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(3,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(5,14).所以考生甲正確完成題數(shù)的分布列為ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).因為P(η＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,64)，同理，P(η＝1)＝eq\f(9,64)，P(η＝2)＝eq\f(27,64)，P(η＝3)＝eq\f(27,64).所以考生乙正確完成題數(shù)的分布列為η0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)E(η)＝3×eq\f(3,4)＝eq\f(9,4).(2)因為P(ξ≥2)＝eq\f(15,28)＋eq\f(5,14)＝eq\f(25,28)，P(η≥2)＝eq\f(27,64)＋eq\f(27,64)＝eq\f(54,64)，所以P(ξ≥2)＞P(η≥2).故從正確完成題數(shù)的均值發(fā)現(xiàn)，兩人水平相當(dāng)；從至少正確完成2題的概率發(fā)現(xiàn)，甲通過的可能性大．因此可以判斷甲的實驗操作能力較強(qiáng)．10．(2020·呼和浩特模擬)為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針，某市要對全市中小學(xué)生體能達(dá)標(biāo)情況進(jìn)行了解，決定通過隨機(jī)抽樣選擇幾個樣本校對學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測試，并規(guī)定測試成績低于60分為不合格，否則為合格，若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%，則該樣本校體能達(dá)標(biāo)為合格．已知某樣本校共有1000名學(xué)生，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測試，首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組，其中甲、乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3∶2，測試后，兩組各自的成績統(tǒng)計如下：甲組的平均成績?yōu)?0，方差為16，乙組的平均成績?yōu)?0，方差為36.(1)估計該樣本校學(xué)生體能測試的平均成績；(2)求該樣本校40名學(xué)生測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差s；(3)假設(shè)該樣本校體能達(dá)標(biāo)測試成績X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，利用估計值估計該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測試是否合格？(注：①本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)；②若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973).〖解析〗(1)由題知，甲、乙兩組學(xué)生數(shù)分別為24和16，則這40名學(xué)生測試成績的平均分eq\x\to(x)＝eq\f(70×24＋80×16,40)＝74.故可估計該樣本校學(xué)生體能測試的平均成績?yōu)?4.(2)由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2變形得s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－neq\x\to(x)2)，設(shè)甲組學(xué)生的測試成績分別為x1，x2，x3，…，x24，乙組學(xué)生的測試成績分別為x25，x26，x27，…，x40，則甲組的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,24)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24)))－24×702〗＝42，解得：xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＝24×(16＋702).乙組的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,16)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－16×802〗＝62，解得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40))＝16×(36＋802).這40名學(xué)生的方差為s2＝eq\f(1,40)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－40eq\x\to(x)2〗＝eq\f(1,40)〖24×(16＋702)＋16×(36＋802)－40×742〗＝48，所以s＝eq\r(48)＝4eq\r(3)≈7.綜上，標(biāo)準(zhǔn)差s＝7.(3)由eq\x\to(x)＝74，s≈7，得μ的估計值＝74，σ的估計值＝7，故P(74－2×7＜X≤74＋2×7)≈0.9545，即P(60＜X≤88)＝0.9545，所以P(X＜60)＝P(X≥88)＝eq\f(1,2)〖1－P(60＜X≤88)〗＝eq\f(1,2)(1－0.9545)＝0.02275.從而，在全校1000名學(xué)生中，不合格的有1000×0.02275＝22.75≈23(人).而eq\f(23,1000)＜5%，故可估計該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測試合格．1．（5分）(2021·益陽模擬)若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，設(shè)ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.15865，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓x2＋y2＝σ2上恰有兩個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍為()A．(－26，－13)∪(13，26)B．(－26，26)C．(－39，－13)∪(13，39)D．(－39，39)〖解析〗選C.由題意知：P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)＝eq\f(1,2)〖1－P(－1＜ξ＜3)〗，所以P(－1＜ξ＜3)＝0.6827，所以1－σ＝－1，1＋σ＝3.所以σ＝2.故圓的方程為x2＋y2＝4，圓心為(0，0)，半徑為2.如圖，L1，L2表示與12x－5y＋c＝0平行的直線，OA，OB，OC共線且垂直于L1，L2.當(dāng)BC＝AC＝1時，圓上分別恰有1個，3個點到直線的距離等于1，此時圓心到直線的距離分別為3，1.當(dāng)直線介于L1，L2之間時，符合題意．故1＜eq\f(|c|,\r(122＋（－5）2))＜3，所以13＜|c|＜39，所以－39＜c＜－13或13＜c＜39.2．（5分）著名的斐波那契數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an.人們通過研究發(fā)現(xiàn)其有許多優(yōu)美的性質(zhì)，如：記黃金分割比eq\f(\r(5)－1,2)＝k≈0.618，若eq\f(an,an＋1)＞k，則eq\f(an＋1,an＋2)＜k；反之亦然．現(xiàn)記bn＝eq\f(an,an＋1)，若從數(shù)列{bn}的前7項中隨機(jī)抽取2項，則這2項都大于k的概率為()A．eq\f(4,7)B．eq\f(1,7)C．eq\f(5,7)D．eq\f(2,7)〖解析〗選D.因為a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，所以b1＝eq\f(a1,a2)＝1＞k≈0.618，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)＜k≈0.618，….因為若eq\f(an,an＋1)＞k，則eq\f(an＋1,an＋2)＜k，所以數(shù)列{bn}的前7項中b1，b3，b5，b7共4項都大于k，所以從數(shù)列{bn}的前7項中隨機(jī)抽取2項，則這2項都大于k的概率為eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(2,7).3．（5分）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號).①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生有關(guān)．〖解析〗P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5×5,10×11)＋eq\f(2×4,10×11)＋eq\f(3×4,10×11)＝eq\f(9,22)，故①⑤錯誤；②P(B|A1)＝eq\f(\f(5×5,10×11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，正確；③事件B與A1的發(fā)生有關(guān)系，故錯誤；④A1，A2，A3不可能同時發(fā)生，是互斥事件，正確．〖答案〗②④4．（10分）(2020·重慶模擬)某項數(shù)學(xué)競賽考試共四道題，考查內(nèi)容分別為代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合，已知前兩題每題滿分40分，后兩題每題滿分60分，題目難度隨題號依次遞增，已知學(xué)生甲答題時，若該題會做則必得滿分，若該題不會做則不作答得0分，通過對學(xué)生甲以往測試情況的統(tǒng)計，得到他在同類模擬考試中各題的得分率，如表所示：代數(shù)幾何數(shù)論組合第1題0.60.80.70.7第2題0.50.70.70.6第3題0.40.50.50.3第4題0.20.30.30.2假設(shè)學(xué)生甲每次考試各題的得分相互獨立．(1)若此項競賽考試四道題的順序依次為代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合，試預(yù)測學(xué)生甲考試得160分的概率；(2)學(xué)生甲研究該項競賽近五年的試題發(fā)現(xiàn)第1題都是代數(shù)題，于是他在賽前針對代數(shù)版塊進(jìn)行了強(qiáng)化訓(xùn)練，并取得了很大進(jìn)步，現(xiàn)在，只要代數(shù)題是在試卷第1、2題的位置，他就一定能答對，若今年該項數(shù)學(xué)競賽考試四道題的順序依次為代數(shù)、數(shù)論、組合、幾何，試求學(xué)生甲此次考試得分X的分布列．〖解析〗(1)學(xué)生甲得160分，即第1，2題做對一道，第3，4題都做對，所以P＝(0.6×0.3＋0.4×0.7)×0.5×0.2＝0.046.(2)由題知學(xué)生甲第1題必得40分，只需考慮另三道題的得分情況，故X的所有可能取值為40，80，100，140，160，200，P(X＝40)＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P(X＝80)＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P(X＝100)＝0.3×Ceq\o\al(\s\up1