高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十二圓的方程課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十二圓的方程一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知兩圓C1:(x-5)2+(y-3)2=9和C2:(x-2)2+(y+1)2=5,則兩圓圓心間的距離為 ()A.5 B.8 C.3 〖解析〗選A.因?yàn)閳A心C1為(5,3),圓心C2為(2,-1),所以兩個(gè)圓心間的距離為d=QUOTE=5.2.若點(diǎn)(4a-1,3a+2)不在圓(x+1)2+(y-2)2=25的外部,則a的取值范圍是()A.|a|<QUOTE B.|a|<1C.|a|≤QUOTE D.|a|≤1〖解析〗選D.由已知,得(4a)2+(3a)2≤25.所以a2≤1,所以|a|≤1.3.已知直線l:x-y+2=0,圓C:(x-3)2+y2=4,若點(diǎn)P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ()A.(3+QUOTE,QUOTE) B.(3-QUOTE,QUOTE)C.(3-QUOTE,-QUOTE) D.(3+QUOTE,-QUOTE)〖解析〗選B.圓C:(x-3)2+y2=4的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為2,過圓心與直線l垂直的直線方程為x+y-3=0與圓的方程聯(lián)立得QUOTE解得QUOTE所以它與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3+QUOTE,-QUOTE)和(3-QUOTE,QUOTE),由題知,點(diǎn)P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點(diǎn),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3-QUOTE,QUOTE).4.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)QUOTE,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設(shè)圓心CQUOTE,則QUOTE=1,化簡得QUOTE+QUOTE=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí),取得等號(hào).5.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點(diǎn)C,則以C為圓心,QUOTE為半徑的圓的方程為 ()A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0〖解析〗選C.直線(a-1)x-y+a+1=0可化為(-x-y+1)+a(1+x)=0,由QUOTE得C(-1,2).所以圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-6x-8y+21=0,則x2+y2的最大值是.

〖解析〗由題意可得x2+y2-6x-8y+21=0表示圓心為CQUOTE,半徑r=2的圓,x2+y2表示圓上的點(diǎn)PQUOTE到原點(diǎn)O的距離的平方,作直線CO,交圓C于兩點(diǎn)A,B,(圖略),其中B為離O轉(zhuǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn),則PO的最大值為QUOTE=QUOTE+r=5+2=7,所以x2+y2的最大值為49.〖答案〗:497.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點(diǎn)到直線x-y=2的距離的最大值是.

〖解析〗將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d=QUOTE=QUOTE,故圓上的點(diǎn)到直線x-y=2的距離的最大值為d+1=QUOTE+1.〖答案〗:1+QUOTE8.已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車駛?cè)脒@個(gè)隧道(填“能”或“不能”).假設(shè)貨車的最大寬度為a〖解析〗以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半圓的直徑AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,那么半圓的方程為x2+y2=16(y≥0).將x=2.7代入,得y=QUOTE=QUOTE<3,所以,在離中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度.因此,貨車不能駛?cè)脒@個(gè)隧道.將x=a代入x2+y2=16(y≥0)得y=QUOTE.所以,貨車要正常駛?cè)脒@個(gè)隧道,最大高度(即限高)為QUOTEm.〖答案〗:不能QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.設(shè)A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a>0),求P點(diǎn)的軌跡.〖解析〗設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由QUOTE=a(a>0)得QUOTE=a2,化簡得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+(1-a2)c2+(1-a2)y2=0.當(dāng)a=1時(shí),方程化為x=0;當(dāng)a≠1時(shí),方程化為QUOTE+y2=QUOTE.所以當(dāng)a=1時(shí),點(diǎn)P的軌跡為y軸;當(dāng)a≠1時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)QUOTE為圓心,QUOTE為半徑的圓.10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+5與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點(diǎn),且CA⊥CB,求a的值.〖解析〗(1)曲線y=x2-6x+5與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0,5),(1,0),(5,0),設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則QUOTE,解得:QUOTE,故圓C的方程為x2+y2-6x-6y+5=0.(2)由CA⊥CB得△ABC為等腰直角三角形,設(shè)圓心到直線AB的距離為d,圓C的半徑為r,則r=QUOTE,|AB|=QUOTEr,d=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,解得:a=±QUOTE.1.(5分)(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 ()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設(shè)圓心C(x,y),則QUOTE=1,化簡得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號(hào).2.(5分)(2020·全國Ⅰ卷)若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選B.由于圓上的點(diǎn)(2,1)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限,由題意設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a),則圓的半徑為a,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.由題意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),圓心(1,1)到直線2x-y-3=0的距離均為d1=QUOTE=QUOTE;圓心(5,5)到直線2x-y-3=0的距離均為d2=QUOTE=QUOTE,所以圓心到直線2x-y-3=0的距離均為d=QUOTE=QUOTE;所以,圓心到直線2x-y-3=0的距離為QUOTE.3.(5分)已知過點(diǎn)(0,2)的圓C的圓心在直線2x+y=0上,則圓C的面積最小時(shí)圓C的方程是 ()A.QUOTE+QUOTE=QUOTEB.QUOTE+QUOTE=QUOTEC.QUOTE+QUOTE=QUOTED.QUOTE+QUOTE=QUOTE〖解析〗選A.根據(jù)題設(shè)分析知,圓C半徑r的最小值rmin=QUOTE=QUOTE,此時(shí)圓C的圓心為直線2x+y=0與直線y-2=QUOTE(直線x-2y+4=0)的交點(diǎn).聯(lián)立方程QUOTE解得QUOTE所以所求圓C的方程是QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.(5分)關(guān)于下列命題,正確的個(gè)數(shù)是 ()(1)若點(diǎn)QUOTE在圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0外,則k>2或k<-4;(2)已知圓M:QUOTE+QUOTE=1,直線y=kx,則直線與圓恒相切;(3)已知點(diǎn)P是直線2x+y+4=0上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),則四邊形PACB的最小面積是2.(4)設(shè)直線系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,M中的直線所能圍成的正三角形面積都等于12QUOTE.A.1 B.2 C.3 〖解析〗選B.對(duì)于命題(1),由于方程x2+y2+kx+2y+k2-15=0表示圓,則k2+4-4(k2-15)>0,整理得3k2-64<0,由于點(diǎn)QUOTE在該圓外,則k2+2k-8>0,所以QUOTE解得-QUOTE<k<-4或2<k<QUOTE,命題(1)為假命題;對(duì)于命題(2),直線y=kx過原點(diǎn)O,圓M:QUOTE+QUOTE=1的圓心M的坐標(biāo)為QUOTE,且QUOTE=1,所以圓心M到直線y=kx的距離d≤1,則直線與圓相交或相切,命題(2)為假命題;對(duì)于命題(3),圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+QUOTE=1,圓心C的坐標(biāo)為QUOTE,半徑長為1,圓心C到直線2x+y+4=0的距離為d=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,則QUOTE=QUOTE=2,所以四邊形PACB的面積的最小值為2×QUOTE=2,命題(3)為真命題;對(duì)于命題(4),直線系M的方程為QUOTEcosθ+ysinθ-2=0,由于點(diǎn)QUOTE到直線系M的距離為d=QUOTE=2,直線系M中所有的直線都是圓D:QUOTE+y2=4的切線,如圖所示.QUOTE=2,∠DAE=30°,所以QUOTE=QUOTE=2QUOTE,所以等邊三角形ABC的邊長為4QUOTE,所以,M中的直線所能圍成的正三角形面積為QUOTE×QUOTE=12QUOTE,命題(4)為真命題.因此,真命題的個(gè)數(shù)為2.〖加練備選·拔高〗已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,動(dòng)點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且與點(diǎn)A的距離為2QUOTE.動(dòng)點(diǎn)P的集合形成一條曲線,則整條曲線的周長是.

〖解析〗因?yàn)閨AB|=3<|AP|=2QUOTE<3QUOTE=|AB1|,所以P點(diǎn)可在棱BC,BB1,A1B1,A1D1,DD1,DC上(對(duì)應(yīng)P1,P2,P3,P4,P5,P6),動(dòng)點(diǎn)P的集合形成一條曲線如圖所示.因?yàn)閨AB|=3,|AP2|=2QUOTE,所以∠P2AB=QUOTE,所以∠P3AA1=∠P2AB=QUOTE,所以∠P2AP3=QUOTE-∠P3AA1-∠P2AB=QUOTE,因此根據(jù)對(duì)稱性可得在表面ABB1A1、表面ABCD、表面ADD1A1分別構(gòu)成半徑為2QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;在表面CBB1C1、表面A1B1C1D1、表面CDD1C1分別構(gòu)成半徑為QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;因此周長為3×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE5.(10分)已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4QUOTE,求l的方程;(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.〖解析〗(1)圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,圓心為C(-2,6),半徑r=4,因?yàn)橹本€l被圓C截得的線段長為4QUOTE,所以圓心C到直線l的距離d=QUOTE=2,若直線l斜率不存在,則直線方程為x=0,此時(shí)圓心到直線l的距離為2,符合題意;若直線l斜率存在,設(shè)斜率為k,則直線l的方程為y=kx+5,即kx-y+5=0,所以QUOTE=2,解得k=QUOTE,所以直線l的方程為y=QUOTEx+5,即3x-4y+20=0.綜上所述,直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0.(2)設(shè)所求軌跡上任意一點(diǎn)為M(x,y),則kCM=QUOTE(x≠-2),kPM=QUOTE(x≠0),所以QUOTE·QUOTE=-1,整理得x2+y2+2x-11y+30=0,經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)x=-2時(shí),弦的中點(diǎn)為(-2,5)或(-2,6),符合上式,當(dāng)x=0時(shí),弦的中點(diǎn)為(0,6),符合上式,所以過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.6.(10分)已知兩個(gè)定點(diǎn)A(0,4),B(0,1),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線l:y=kx-4.(1)求曲線E的軌跡方程;(2)若l與曲線E交于不同的C,D兩點(diǎn),且∠COD=120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率;(3)若k=1,Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過Q作曲線E的兩條切線QM,QN,切點(diǎn)為M,N,探究:直線MN是否過定點(diǎn),若存在定點(diǎn)請(qǐng)寫出坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.〖解析〗(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)閨PA|=2|PB|,即QUOTE=2QUOTE,整理得x2+y2=4,所以所求曲線E的軌跡方程為x2+y2=4.(2)依題意,OC=OD=2,且∠COD=120°,由圓的性質(zhì),可得點(diǎn)O到邊CD的距離為1,即點(diǎn)O(0,0)到直線l:kx-y-4=0的距離為QUOTE=1,解得k=±QUOTE,所以所求直線l的斜率為±QUOTE.(3)依題意,ON⊥QN,OM⊥QM,則M,N都在以QO為直徑的圓F上,Q是直線l:y=x-4上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)Q(t,t-4),則圓F的圓心為QUOTE,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),即圓的方程為x2+y2-tx-(t-4)y=0,又因?yàn)镸,N在曲線E:x2+y2=4上,由QUOTE可得tx+(t-4)y-4=0,即直線MN的方程為tx+(t-4)y-4=0,由t∈R且t(x+y)-4y-4=0,可得QUOTE解得QUOTE所以直線MN過定點(diǎn)(1,-1).1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)為單位圓x2+y2=1上的三點(diǎn),又x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,則QUOTE+QUOTE+QUOTE= ()A.0 B.QUOTE C.2 D.3〖解析〗選B.因?yàn)锳(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)為單位圓x2+y2=1上的三點(diǎn),所以原點(diǎn)O是△ABC的外心,又因?yàn)閤1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,所以原點(diǎn)O是△ABC的重心,所以△ABC是正三角形,該題為選擇題,可以用特殊點(diǎn)來求解,取A(0,1),BQUOTE,CQUOTE,此時(shí)QUOTE+QUOTE+QUOTE=0+QUOTE+QUOTE=QUOTE.〖一題多解〗由題意可得A,B,C均勻分布在單位圓上,如圖,設(shè)AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=cos2α+cos2α+QUOTE+cos2α+QUOTE=cos2α+-QUOTEcosα-QUOTEsinα2+-QUOTEcosα+QUOTEsinα2=QUOTE.2.圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對(duì)稱,則ab的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選A.圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對(duì)稱,則圓心在直線上,求得a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=-QUOTE+QUOTE≤QUOTE,ab的取值范圍是QUOTE.〖加練備選·拔高〗已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE,其外接圓為圓H.(1)求圓H的方程;(2)若直線l過點(diǎn)C,且被圓H截得的弦長為2,求直線l的方程;(3)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P,若在以C為圓心的圓上存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),求圓C的半徑r的取值范圍.〖解析〗(1)線段AB的垂直平分線方程為x=0,線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0,所以△ABC外接圓圓心H的坐標(biāo)為QUOTE,半徑為QUOTE=QUOTE,圓H的方程為x2+QUOTE=10.(2)設(shè)圓心H到直線l的距離為d,因?yàn)橹本€l被圓H截得的弦長為2,所以d=QUOTE=3.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),顯然符合題意,即x=3為所求;當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線的方程為y-2=k(x-3),則QUOTE=3,解得k=QUOTE,綜上,直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0.(3)直線BH的方程為3x+y-3=0,設(shè)PQUOTE,NQUOTE,因?yàn)辄c(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),所以MQUOTE,又M,N都在半徑為r的圓C上,所以QUOTE所以QUOTE因?yàn)殛P(guān)于x,y的方程組有解,即以QUOTE為圓心,r為半徑的圓與以QUOTE為圓心,2r為半徑的圓有公共點(diǎn),所以QUOTE≤QUOTE+QUOTE≤QUOTE,又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2對(duì)?m∈QUOTE成立.而fQUOTE=10m2-12m+10在QUOTE上的值域?yàn)镼UOTE,所以r2≤QUOTE且10≤9r2.又線段BH與圓C無公共點(diǎn),所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2對(duì)?m∈〖0,1〗成立,即r2<QUOTE.故圓C的半徑r的取值范圍為QUOTE.課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十二圓的方程一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知兩圓C1:(x-5)2+(y-3)2=9和C2:(x-2)2+(y+1)2=5,則兩圓圓心間的距離為 ()A.5 B.8 C.3 〖解析〗選A.因?yàn)閳A心C1為(5,3),圓心C2為(2,-1),所以兩個(gè)圓心間的距離為d=QUOTE=5.2.若點(diǎn)(4a-1,3a+2)不在圓(x+1)2+(y-2)2=25的外部,則a的取值范圍是()A.|a|<QUOTE B.|a|<1C.|a|≤QUOTE D.|a|≤1〖解析〗選D.由已知,得(4a)2+(3a)2≤25.所以a2≤1,所以|a|≤1.3.已知直線l:x-y+2=0,圓C:(x-3)2+y2=4,若點(diǎn)P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ()A.(3+QUOTE,QUOTE) B.(3-QUOTE,QUOTE)C.(3-QUOTE,-QUOTE) D.(3+QUOTE,-QUOTE)〖解析〗選B.圓C:(x-3)2+y2=4的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為2,過圓心與直線l垂直的直線方程為x+y-3=0與圓的方程聯(lián)立得QUOTE解得QUOTE所以它與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3+QUOTE,-QUOTE)和(3-QUOTE,QUOTE),由題知,點(diǎn)P是圓C上所有到直線l的距離中最短的點(diǎn),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3-QUOTE,QUOTE).4.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)QUOTE,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設(shè)圓心CQUOTE,則QUOTE=1,化簡得QUOTE+QUOTE=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí),取得等號(hào).5.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點(diǎn)C,則以C為圓心,QUOTE為半徑的圓的方程為 ()A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0〖解析〗選C.直線(a-1)x-y+a+1=0可化為(-x-y+1)+a(1+x)=0,由QUOTE得C(-1,2).所以圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-6x-8y+21=0,則x2+y2的最大值是.

〖解析〗由題意可得x2+y2-6x-8y+21=0表示圓心為CQUOTE,半徑r=2的圓,x2+y2表示圓上的點(diǎn)PQUOTE到原點(diǎn)O的距離的平方,作直線CO,交圓C于兩點(diǎn)A,B,(圖略),其中B為離O轉(zhuǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn),則PO的最大值為QUOTE=QUOTE+r=5+2=7,所以x2+y2的最大值為49.〖答案〗:497.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點(diǎn)到直線x-y=2的距離的最大值是.

〖解析〗將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d=QUOTE=QUOTE,故圓上的點(diǎn)到直線x-y=2的距離的最大值為d+1=QUOTE+1.〖答案〗:1+QUOTE8.已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車駛?cè)脒@個(gè)隧道(填“能”或“不能”).假設(shè)貨車的最大寬度為a〖解析〗以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半圓的直徑AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,那么半圓的方程為x2+y2=16(y≥0).將x=2.7代入,得y=QUOTE=QUOTE<3,所以,在離中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度.因此,貨車不能駛?cè)脒@個(gè)隧道.將x=a代入x2+y2=16(y≥0)得y=QUOTE.所以,貨車要正常駛?cè)脒@個(gè)隧道,最大高度(即限高)為QUOTEm.〖答案〗:不能QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.設(shè)A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a>0),求P點(diǎn)的軌跡.〖解析〗設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由QUOTE=a(a>0)得QUOTE=a2,化簡得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+(1-a2)c2+(1-a2)y2=0.當(dāng)a=1時(shí),方程化為x=0;當(dāng)a≠1時(shí),方程化為QUOTE+y2=QUOTE.所以當(dāng)a=1時(shí),點(diǎn)P的軌跡為y軸;當(dāng)a≠1時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)QUOTE為圓心,QUOTE為半徑的圓.10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+5與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點(diǎn),且CA⊥CB,求a的值.〖解析〗(1)曲線y=x2-6x+5與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0,5),(1,0),(5,0),設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則QUOTE,解得:QUOTE,故圓C的方程為x2+y2-6x-6y+5=0.(2)由CA⊥CB得△ABC為等腰直角三角形,設(shè)圓心到直線AB的距離為d,圓C的半徑為r,則r=QUOTE,|AB|=QUOTEr,d=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,解得:a=±QUOTE.1.(5分)(2020·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 ()A.4 B.5 C.6 〖解析〗選A.設(shè)圓心C(x,y),則QUOTE=1,化簡得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,1為半徑的圓,所以|OC|+1≥|OM|=QUOTE=5,所以|OC|≥5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號(hào).2.(5分)(2020·全國Ⅰ卷)若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選B.由于圓上的點(diǎn)(2,1)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限,由題意設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a),則圓的半徑為a,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.由題意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),圓心(1,1)到直線2x-y-3=0的距離均為d1=QUOTE=QUOTE;圓心(5,5)到直線2x-y-3=0的距離均為d2=QUOTE=QUOTE,所以圓心到直線2x-y-3=0的距離均為d=QUOTE=QUOTE;所以,圓心到直線2x-y-3=0的距離為QUOTE.3.(5分)已知過點(diǎn)(0,2)的圓C的圓心在直線2x+y=0上,則圓C的面積最小時(shí)圓C的方程是 ()A.QUOTE+QUOTE=QUOTEB.QUOTE+QUOTE=QUOTEC.QUOTE+QUOTE=QUOTED.QUOTE+QUOTE=QUOTE〖解析〗選A.根據(jù)題設(shè)分析知,圓C半徑r的最小值rmin=QUOTE=QUOTE,此時(shí)圓C的圓心為直線2x+y=0與直線y-2=QUOTE(直線x-2y+4=0)的交點(diǎn).聯(lián)立方程QUOTE解得QUOTE所以所求圓C的方程是QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.(5分)關(guān)于下列命題,正確的個(gè)數(shù)是 ()(1)若點(diǎn)QUOTE在圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0外,則k>2或k<-4;(2)已知圓M:QUOTE+QUOTE=1,直線y=kx,則直線與圓恒相切;(3)已知點(diǎn)P是直線2x+y+4=0上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),則四邊形PACB的最小面積是2.(4)設(shè)直線系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,M中的直線所能圍成的正三角形面積都等于12QUOTE.A.1 B.2 C.3 〖解析〗選B.對(duì)于命題(1),由于方程x2+y2+kx+2y+k2-15=0表示圓,則k2+4-4(k2-15)>0,整理得3k2-64<0,由于點(diǎn)QUOTE在該圓外,則k2+2k-8>0,所以QUOTE解得-QUOTE<k<-4或2<k<QUOTE,命題(1)為假命題;對(duì)于命題(2),直線y=kx過原點(diǎn)O,圓M:QUOTE+QUOTE=1的圓心M的坐標(biāo)為QUOTE,且QUOTE=1,所以圓心M到直線y=kx的距離d≤1,則直線與圓相交或相切,命題(2)為假命題;對(duì)于命題(3),圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+QUOTE=1,圓心C的坐標(biāo)為QUOTE,半徑長為1,圓心C到直線2x+y+4=0的距離為d=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,則QUOTE=QUOTE=2,所以四邊形PACB的面積的最小值為2×QUOTE=2,命題(3)為真命題;對(duì)于命題(4),直線系M的方程為QUOTEcosθ+ysinθ-2=0,由于點(diǎn)QUOTE到直線系M的距離為d=QUOTE=2,直線系M中所有的直線都是圓D:QUOTE+y2=4的切線,如圖所示.QUOTE=2,∠DAE=30°,所以QUOTE=QUOTE=2QUOTE,所以等邊三角形ABC的邊長為4QUOTE,所以,M中的直線所能圍成的正三角形面積為QUOTE×QUOTE=12QUOTE,命題(4)為真命題.因此,真命題的個(gè)數(shù)為2.〖加練備選·拔高〗已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,動(dòng)點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且與點(diǎn)A的距離為2QUOTE.動(dòng)點(diǎn)P的集合形成一條曲線,則整條曲線的周長是.

〖解析〗因?yàn)閨AB|=3<|AP|=2QUOTE<3QUOTE=|AB1|,所以P點(diǎn)可在棱BC,BB1,A1B1,A1D1,DD1,DC上(對(duì)應(yīng)P1,P2,P3,P4,P5,P6),動(dòng)點(diǎn)P的集合形成一條曲線如圖所示.因?yàn)閨AB|=3,|AP2|=2QUOTE,所以∠P2AB=QUOTE,所以∠P3AA1=∠P2AB=QUOTE,所以∠P2AP3=QUOTE-∠P3AA1-∠P2AB=QUOTE,因此根據(jù)對(duì)稱性可得在表面ABB1A1、表面ABCD、表面ADD1A1分別構(gòu)成半徑為2QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;在表面CBB1C1、表面A1B1C1D1、表面CDD1C1分別構(gòu)成半徑為QUOTE,圓心角為QUOTE的圓弧;因此周長為3×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE5.(10分)已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4QUOTE,求l的方程;(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.〖解析〗(1)圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,圓心為C(-2,6),半徑r=4,因?yàn)橹本€l被圓C截得的線段長為4QUOTE,所以圓心C到直線l的距離d=QUOTE=2,若直線l斜率不存在,則直線方程為x=0,此時(shí)圓心到直線l的距離為2,符合題意;若直線l斜率存在,設(shè)斜率為k,則直線l的方程為y=kx+5,即kx-y+5=0,所以QUOTE=2,解得k=QUOTE,所以直線l的方程為y=QUOTEx+5,即3x-4y+20=0.綜上所述,直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0.(2)設(shè)所求軌跡上任意一點(diǎn)為M(x,y),則kCM=QUOTE(x≠-2),kPM=QUOTE(x≠0),所以QUOTE·QUOTE=-1,整理得x2+y2+2x-11y+30=0,經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)x=-2時(shí),弦的中點(diǎn)為(-2,5)或(-2,6),符合上式,當(dāng)x=0時(shí),弦的中點(diǎn)為(0,6),符合上式,所以過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.6.(10分)已知兩個(gè)定點(diǎn)A(0,4),B(0,1),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線l:y=kx-4.(1)求曲線E的軌跡方程;(2)若l與曲線E交于不同的C,D兩點(diǎn),且∠COD=120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率;(3)若k=1,Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過Q作曲線E的兩條切線QM,QN,切點(diǎn)為M,N,探究:直線MN是否過定點(diǎn),若存在定點(diǎn)請(qǐng)寫出坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.〖解析〗(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)閨PA|=2|PB|,即QUOTE=2QUOTE,整理得x2+y2=4,所以所求曲線E的軌跡方程為x2+y2=4.(2)依題意,OC=OD=2,且∠COD=120°,由圓的性質(zhì),可得點(diǎn)O到邊CD的距離為1,即點(diǎn)O(0,0)到直線l:kx-y-4=0的距離為QUOTE=1,解得k=±QUOTE,所以所求直線l的斜率為±QUOTE.(3)依題意,ON⊥QN,OM⊥QM,則M,N都在以QO為直徑的圓F上,Q是直線l:y=x-4上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)Q(t,t-4),則圓F的圓心為QUOTE,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),即圓的方程為x2+y2-tx-(t-4)y=0,又因?yàn)镸,N在曲線E:x2+y2=4上,由QUOTE可得tx+(t-4)y-4=0,即直線MN的方程為tx+(t-4)y-4=0,由t∈R且t(x+y)-4y-4=0,可得QUOTE解得QUOTE所以直線MN過定點(diǎn)(1,-1).1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)為單位圓x2+y2=1上的三點(diǎn),又x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0,則QUOTE+QUOTE+QUOTE= ()A.0 B.QUOTE C.2 D.