全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第10章圓錐曲線(xiàn)與方程第1講橢圓2備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第十章圓錐曲線(xiàn)與方程第一講橢圓1.〖2021八省市新高考適應(yīng)性考試〗橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點(diǎn)為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,若∠F1AF2=A.1 B.2 C.3 D.22.〖2021廣東深圳模擬〗已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓x2+y24=1上,動(dòng)點(diǎn)N在以M為圓心,|MF1|為半徑的圓上,則|NF2|的最大值為(A.2 B.4 C.8 D.163.〖2020安徽省示范高中名校聯(lián)考〗已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為其左、右焦點(diǎn),|F1F2|=22,B為短軸的一個(gè)端點(diǎn),△BF1O(A.4 B.8 C.1+3324.〖2020陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)〗已知F1,F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限的點(diǎn),延長(zhǎng)PF2交橢圓于點(diǎn)Q,若PF1⊥PQ,且|PFA.2-2 B.3-2 C.2-1 D.65.〖2020福建省三明市模擬〗已知P是橢圓x225+y29=1上一點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且∠F1PF2=60°,則△F1PFA.33 B.23 C.3 D.36.〖2019全國(guó)卷Ⅲ,15,5分〗設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F7.〖2020洛陽(yáng)市第一次聯(lián)考〗已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線(xiàn)C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是曲線(xiàn)C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn),e18.〖2020惠州市二調(diào)〗已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,且△F1AB的面積為9.〖2021貴陽(yáng)市四校第二次聯(lián)考〗在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)橢圓C左焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)l(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)H(-13,0)滿(mǎn)足|HA|=|HB|,求|AB|10.〖2020陜西省百校第一次聯(lián)考〗已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)M(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)與橢圓交于C,D兩點(diǎn),若AC·DB+AD·CB=10,求k11.〖2021黑龍江大慶調(diào)研〗已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F,若∠FAB=α,α∈〖πA.〖22,3-1〗 B.〖22,C.(0,22〗 D.〖612.〖2021四川遂寧模擬〗已知橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,且過(guò)點(diǎn)M(0,1).若過(guò)點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線(xiàn)l1,l2,P為橢圓上任意一點(diǎn),記點(diǎn)P到l1,l2的距離分別為d1,dA.2 B.433 C.513.〖2020四川五校聯(lián)考〗設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為53,以F1F2為直徑的圓與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A.13 B.12 C.314.〖2020江西南昌模擬〗已知F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線(xiàn)l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A,若AF1⊥AF2,A.x26+yC.x28+y15.〖2020廣東七校聯(lián)考〗已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距為2c,直線(xiàn)l:y=24x與橢圓C相交于A,B16.〖2020四省八校聯(lián)考〗設(shè)點(diǎn)P是橢圓C:x28+y24=1上的動(dòng)點(diǎn),F為橢圓C的右焦點(diǎn),定點(diǎn)A(2,1),則|17.〖2020山東棗莊模擬〗〖遞進(jìn)型〗已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線(xiàn)3x-y+43=0過(guò)點(diǎn)F1且與C在第二象限的交點(diǎn)為P,若∠POF1=60°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則F18.〖2021河北六校第一次聯(lián)考〗已知P(2,3)是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),以點(diǎn)P及橢圓的左、右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)F2作斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)l1,l2,M是l1與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn),N是l2與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn),求△MNF2面積的最大值.19.〖2021廣西北海市高三一模〗〖數(shù)學(xué)與物理綜合〗2020年3月9日,我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)運(yùn)載火箭,成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星,第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是115R,13R,則第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星運(yùn)行軌道(橢圓)的離心率是(A.25 B.15 C.220.〖新角度題〗歷史上,許多人研究過(guò)圓錐的截口曲線(xiàn).如圖10-1-1,在此圓錐中,圓錐的母線(xiàn)與軸的夾角為30°,現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線(xiàn)垂直,與軸的交點(diǎn)O到圓錐頂點(diǎn)M的距離為1,對(duì)于所得截口曲線(xiàn)給出如下命題:①該曲線(xiàn)為橢圓;②點(diǎn)O為該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段中最長(zhǎng)的線(xiàn)段的三等分點(diǎn);③該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離中最長(zhǎng)的距離為32;④該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離中最短的距離為2其中正確命題的序號(hào)為()A.①②④ B.①②③④ C.①②③ D.①④圖10-1-1答案第十章圓錐曲線(xiàn)與方程第一講橢圓1.C如圖D10-1-3所示,由題意可得△AF1F2為等邊三角形,所以∠AF2O=π3,|AF1|=|AF2|=m2+1,所以sin∠AF2O=sinπ3=|圖D10-1-32.B由橢圓的方程可得焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=2.由題意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|,當(dāng)N,M,F2三點(diǎn)共線(xiàn)且M在線(xiàn)段NF2上時(shí),|NF2|取得最大值,而此時(shí)|NF2|=|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|=2a=4,所以|NF2|的最大值為4,故選B.3.B由題意可知c=2,S△BF1O=12bc=22b=7,解得b=4.D設(shè)|PF1|=|PQ|=m(m>0),則|PF2|=2a-m,|QF2|=2m-2a,|QF1|=4a-2m.由題意知△PQF1為等腰直角三角形,所以|QF1|=2|PF1|,故m=4a-22a.因?yàn)閨PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(4a-22a)2+〖2a-(4a-22a)〗2=4c2,整理得4×(ca)2=36-242,即ca〖解題關(guān)鍵〗求解本題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于a,c的一個(gè)方程.5.A解法一由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,得a=5,b=3,所以c=a2-b2=4.設(shè)|PF1|=t1,|PF2|=t2,由橢圓的定義可得t1+t2=10①.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,根據(jù)余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t12+t22-t1t2=64②.把①兩邊平方得t12+t22+2t1t2=100③.由③-②可得t1t解法二由橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式,得S△F1PF2=b2tanθ26.(3,15)不妨令F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),根據(jù)題意可知a=6,c=36-20=4.因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.設(shè)M(x,y),則x236+y220=1,|7.92設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,F2為兩曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),由橢圓及雙曲線(xiàn)的定義可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.設(shè)|F1F2|=2c,因?yàn)镻F1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c28.〖1,4〗由已知得2b=2,故b=1,∴a2-c2=b2=1①.∵△F1AB的面積為2-32,∴12(a-c)b=2-32,∴a-c=2-3②.由①②聯(lián)立解得,a=2,c=3.由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|9.(1)由題意得2c=2,即c=1,所以a2=b2+c2=b2+1,將(1,22)代入x2b即2b2+b2+1=2b2(b2+1),整理得(2b2+1)(b2-1)=0,解得b2=-12(舍去)或b2=1,則a所以橢圓C的方程為x22+y2(2)由題意得F1(-1,0),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立橢圓C與直線(xiàn)l的方程,可得x2+2k2(x+1)2=2,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,則Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,且x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0=因?yàn)辄c(diǎn)H(-13,0)滿(mǎn)足|HA|=|所以kMH=-1k,即k2k2則x1+x2=-4k22k2+1=-4所以|AB|=k2+1·10.(1)由題意知,a+c=3+1,a-c=3-1又a2=b2+c2,所以可得b=2,c=1,a=3,所以橢圓的方程為x23(2)由(1)可知F(-1,0),則直線(xiàn)CD的方程為y=k(x+1),由y消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.Δ=36k4-4(2+3k2)(3k2-6)=48k2+48>0.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=-6k22+3k2,x又A(-3,0),B(3所以AC·DB+AD=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2=10,解得k=±10511.B設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F',連接AF',BF,BF',如圖D10-1-4所示,則四邊形AFBF'是矩形,所以|AB|=|FF'|=2c,|FA|=2c·cosα,|FB|=2c·sinα,由橢圓的定義可知,|FA|+|AF'|=|FA|+|FB|=2a,即2c·cosα+2c·sinα=2a.所以離心率e=ca=1sinα+cosα=12sin(α+π4).因?yàn)棣痢省鸡?2,π3〗,所以π4+α∈〖π3,7π12〗,圖D10-1-412.B由題意可得a=2,b=1,所以橢圓的方程為x24+y2=1.設(shè)P(x,①若直線(xiàn)l1,l2中的一條直線(xiàn)的斜率不存在,則另一條直線(xiàn)的斜率為0,不妨設(shè)直線(xiàn)l1的方程為x=0,則l2的方程為y=1.則d12+d22=x2+(1-y)2,因?yàn)镻在橢圓上,所以所以d12+d22=5-3y2-2y=5-3(y+13)2+13,y∈〖-1,1〗,所以當(dāng)y=-1②當(dāng)直線(xiàn)l1,l2的斜率都存在,且不為0時(shí),設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y=kx+1,即kx-y+1=0,則l2的方程為y=-1kx+1,即x+ky-k則d1=|kx-y+1|1+k所以d=x2+y2-2y+1=4-4y2+y2-2y+1=5-3y2-2y,由①可得d12+d〖方法技巧〗本題首先將橢圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)作為變量建立目標(biāo)函數(shù),注意變量y的取值范圍為y∈〖-1,1〗,然后利用二次函數(shù)求解最值.13.B解法一由題意可知,|F1F2|=2c,又由e=ca=53得c=53a,所以|F1F2|=253a.因?yàn)辄c(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與橢圓C在第一象限的交點(diǎn),故PF1⊥PF2且|PF1|>|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|=89a2,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a,所以直線(xiàn)PF1的斜率k解法二因?yàn)閑=ca=53,故可設(shè)a=3,c=5,則b=2,S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan45°=12|PF1|·|PF2|=4.因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|14.A因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把該等式兩邊同時(shí)平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,則2|AF1||AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以S△AF1F2=12|AF1||AF2|=b2=2.因?yàn)椤鰽F1F2是直角三角形,∠F1AF2=90°,且O為F1F2的中點(diǎn),所以|OA|=12|F1F2|=c.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,則∠AOF2=30°,所以A(32c,12c),所以S△AF1F2=12|F1F2|·12c15.32設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A(x1,y1),則y1=24x1,由|AB|=2c,可知|OA|=x12+y12=c(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),即x12+(24x1)2=c,解得x1=223c,所以A的坐標(biāo)為(223c,13c),把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程得(223c)2a2+(16.〖42-17,42+17〗如圖D10-1-5,設(shè)F'是橢圓的左焦點(diǎn),連接AF',PF',則F'(-2,0),∴|AF'|=42+12=17.∵|PF|+|PF'|=2a=42,∴|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|≤2a+|AF'|=42+17,|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|=2a-(|PF'|-|PA|)≥2a-|AF'|=42-圖D10-1-517.(4,0)3-1因?yàn)橹本€(xiàn)3x-y+43=0過(guò)左焦點(diǎn)F1,所以F1的坐標(biāo)為(-4,0),F2的坐標(biāo)為(4,0).因?yàn)橹本€(xiàn)3x-y+43=0的斜率為3,所以∠OF1P=60°,又∠POF1=60°,所以△F1OP是等邊三角形,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥F1F2,垂足為D,則D為F1O的中點(diǎn),所以|DP|=|F1D|tan60°=23,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,23),所以2a=|PF1|+|PF2|=4+62+(23)2=4+418.(1)由點(diǎn)P(2,3)在橢圓上,可得2a整理得2b2+3a2=a2b2①.由S△PF1F2=12所以a2=b2+c2=b2+4,代入①式整理得b4-b2-12=0,解得b2=4,a2=8.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28(2)由(1)可得F2(2,0),所以設(shè)直線(xiàn)l1:x=my+2(m≠0),聯(lián)立直線(xiàn)l1與橢圓的方程得x=my+2,x28+y24所以直線(xiàn)l1與橢圓兩交點(diǎn)的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=-4mm同理直線(xiàn)l2與橢圓兩交點(diǎn)的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN=--2m1m2+2=2m2m2+1,所以S△MNF2=12將上式中分子、分母同時(shí)除以m(1+m2)可得,S△MNF不妨設(shè)m>0,m2+1m=t,則t令f(t)=2t+1t,則f'(t)=2t2-1t2,因?yàn)樗詅(t)在〖2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=2時(shí),△MNF2的面積取得最大值,且(S△MNF2)19.D以運(yùn)行軌道的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,令地心F2為橢圓的右焦點(diǎn),則軌道方程是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),則地心F2的坐標(biāo)為(c,0),其中a2=b2+c2,由題意,得a-c=R+115R,a+c=R+13R,解得2a=125R20.C由題意易知該曲線(xiàn)為橢圓,故①正確.畫(huà)出軸截面的示意圖如圖D10-1-6所示,A,B為截面與圓錐的兩條母線(xiàn)的交點(diǎn).因?yàn)椤螦MO=∠BMO=30°,MA⊥AB,MO=1,所以AO=12MO=12,∠OMB=∠OBM=30所以BO=MO=1,所以AOBO因?yàn)榍€(xiàn)上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段中最長(zhǎng)的線(xiàn)段為AB,所以點(diǎn)O為該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段中最長(zhǎng)的線(xiàn)段的三等分點(diǎn),所以②正確.因?yàn)閨AB|=|AO|+|OB|=12+1=3所以該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離中最長(zhǎng)的距離為32,故③正確因?yàn)榍€(xiàn)是一個(gè)封閉的曲線(xiàn),所以該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離中沒(méi)有最短的距離,故④錯(cuò)誤.故選C.圖D10-1-6第十章圓錐曲線(xiàn)與方程第一講橢圓1.〖2021八省市新高考適應(yīng)性考試〗橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點(diǎn)為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,若∠F1AF2=A.1 B.2 C.3 D.22.〖2021廣東深圳模擬〗已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓x2+y24=1上,動(dòng)點(diǎn)N在以M為圓心,|MF1|為半徑的圓上,則|NF2|的最大值為(A.2 B.4 C.8 D.163.〖2020安徽省示范高中名校聯(lián)考〗已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為其左、右焦點(diǎn),|F1F2|=22,B為短軸的一個(gè)端點(diǎn),△BF1O(A.4 B.8 C.1+3324.〖2020陜西省部分學(xué)校摸底檢測(cè)〗已知F1,F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上位于第一象限的點(diǎn),延長(zhǎng)PF2交橢圓于點(diǎn)Q,若PF1⊥PQ,且|PFA.2-2 B.3-2 C.2-1 D.65.〖2020福建省三明市模擬〗已知P是橢圓x225+y29=1上一點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),且∠F1PF2=60°,則△F1PFA.33 B.23 C.3 D.36.〖2019全國(guó)卷Ⅲ,15,5分〗設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F7.〖2020洛陽(yáng)市第一次聯(lián)考〗已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線(xiàn)C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的焦點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是曲線(xiàn)C1與C2的一個(gè)公共點(diǎn),e18.〖2020惠州市二調(diào)〗已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,且△F1AB的面積為9.〖2021貴陽(yáng)市四校第二次聯(lián)考〗在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)橢圓C左焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)l(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)H(-13,0)滿(mǎn)足|HA|=|HB|,求|AB|10.〖2020陜西省百校第一次聯(lián)考〗已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)M(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)與橢圓交于C,D兩點(diǎn),若AC·DB+AD·CB=10,求k11.〖2021黑龍江大慶調(diào)研〗已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F,若∠FAB=α,α∈〖πA.〖22,3-1〗 B.〖22,C.(0,22〗 D.〖612.〖2021四川遂寧模擬〗已知橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,且過(guò)點(diǎn)M(0,1).若過(guò)點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線(xiàn)l1,l2,P為橢圓上任意一點(diǎn),記點(diǎn)P到l1,l2的距離分別為d1,dA.2 B.433 C.513.〖2020四川五校聯(lián)考〗設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為53,以F1F2為直徑的圓與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A.13 B.12 C.314.〖2020江西南昌模擬〗已知F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線(xiàn)l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A,若AF1⊥AF2,A.x26+yC.x28+y15.〖2020廣東七校聯(lián)考〗已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距為2c,直線(xiàn)l:y=24x與橢圓C相交于A,B16.〖2020四省八校聯(lián)考〗設(shè)點(diǎn)P是橢圓C:x28+y24=1上的動(dòng)點(diǎn),F為橢圓C的右焦點(diǎn),定點(diǎn)A(2,1),則|17.〖2020山東棗莊模擬〗〖遞進(jìn)型〗已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線(xiàn)3x-y+43=0過(guò)點(diǎn)F1且與C在第二象限的交點(diǎn)為P,若∠POF1=60°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則F18.〖2021河北六校第一次聯(lián)考〗已知P(2,3)是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),以點(diǎn)P及橢圓的左、右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)F2作斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)l1,l2,M是l1與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn),N是l2與C兩交點(diǎn)的中點(diǎn),求△MNF2面積的最大值.19.〖2021廣西北海市高三一?！健紨?shù)學(xué)與物理綜合〗2020年3月9日,我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)運(yùn)載火箭,成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星,第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是115R,13R,則第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星運(yùn)行軌道(橢圓)的離心率是(A.25 B.15 C.220.〖新角度題〗歷史上,許多人研究過(guò)圓錐的截口曲線(xiàn).如圖10-1-1,在此圓錐中,圓錐的母線(xiàn)與軸的夾角為30°,現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線(xiàn)垂直,與軸的交點(diǎn)O到圓錐頂點(diǎn)M的距離為1,對(duì)于所得截口曲線(xiàn)給出如下命題:①該曲線(xiàn)為橢圓;②點(diǎn)O為該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段中最長(zhǎng)的線(xiàn)段的三等分點(diǎn);③該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離中最長(zhǎng)的距離為32;④該曲線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離中最短的距離為2其中正確命題的序號(hào)為()A.①②④ B.①②③④ C.①②③ D.①④圖10-1-1答案第十章圓錐曲線(xiàn)與方程第一講橢圓1.C如圖D10-1-3所示,由題意可得△AF1F2為等邊三角形,所以∠AF2O=π3,|AF1|=|AF2|=m2+1,所以sin∠AF2O=sinπ3=|圖D10-1-32.B由橢圓的方程可得焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=2.由題意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|,當(dāng)N,M,F2三點(diǎn)共線(xiàn)且M在線(xiàn)段NF2上時(shí),|NF2|取得最大值,而此時(shí)|NF2|=|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|=2a=4,所以|NF2|的最大值為4,故選B.3.B由題意可知c=2,S△BF1O=12bc=22b=7,解得b=4.D設(shè)|PF1|=|PQ|=m(m>0),則|PF2|=2a-m,|QF2|=2m-2a,|QF1|=4a-2m.由題意知△PQF1為等腰直角三角形,所以|QF1|=2|PF1|,故m=4a-22a.因?yàn)閨PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,所以(4a-22a)2+〖2a-(4a-22a)〗2=4c2,整理得4×(ca)2=36-242,即ca〖解題關(guān)鍵〗求解本題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于a,c的一個(gè)方程.5.A解法一由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,得a=5,b=3,所以c=a2-b2=4.設(shè)|PF1|=t1,|PF2|=t2,由橢圓的定義可得t1+t2=10①.在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,根據(jù)余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t12+t22-t1t2=64②.把①兩邊平方得t12+t22+2t1t2=100③.由③-②可得t1t解法二由橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式,得S△F1PF2=b2tanθ26.(3,15)不妨令F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),根據(jù)題意可知a=6,c=36-20=4.因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.設(shè)M(x,y),則x236+y220=1,|7.92設(shè)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,F2為兩曲線(xiàn)的右焦點(diǎn),由橢圓及雙曲線(xiàn)的定義可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.設(shè)|F1F2|=2c,因?yàn)镻F1⊥PF2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c28.〖1,4〗由已知得2b=2,故b=1,∴a2-c2=b2=1①.∵△F1AB的面積為2-32,∴12(a-c)b=2-32,∴a-c=2-3②.由①②聯(lián)立解得,a=2,c=3.由橢圓的定義知|PF1|+|PF2|=2a=4,∴1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|9.(1)由題意得2c=2,即c=1,所以a2=b2+c2=b2+1,將(1,22)代入x2b即2b2+b2+1=2b2(b2+1),整理得(2b2+1)(b2-1)=0,解得b2=-12(舍去)或b2=1,則a所以橢圓C的方程為x22+y2(2)由題意得F1(-1,0),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立橢圓C與直線(xiàn)l的方程,可得x2+2k2(x+1)2=2,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,則Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,且x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0=因?yàn)辄c(diǎn)H(-13,0)滿(mǎn)足|HA|=|所以kMH=-1k,即k2k2則x1+x2=-4k22k2+1=-4所以|AB|=k2+1·10.(1)由題意知,a+c=3+1,a-c=3-1又a2=b2+c2,所以可得b=2,c=1,a=3,所以橢圓的方程為x23(2)由(1)可知F(-1,0),則直線(xiàn)CD的方程為y=k(x+1),由y消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.Δ=36k4-4(2+3k2)(3k2-6)=48k2+48>0.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=-6k22+3k2,x又A(-3,0),B(3所以AC·DB+AD=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2=10,解得k=±10511.B設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F',連接AF',BF,BF',如圖D10-1-4所示,則四邊形AFBF'是矩形,所以|AB|=|FF'|=2c,|FA|=2c·cosα,|FB|=2c·sinα,由橢圓的定義可知,|FA|+|AF'|=|FA|+|FB|=2a,即2c·cosα+2c·sinα=2a.所以離心率e=ca=1sinα+cosα=12sin(α+π4).因?yàn)棣痢省鸡?2,π3〗,所以π4+α∈〖π3,7π12〗,圖D10-1-412.B由題意可得a=2,b=1,所以橢圓的方程為x24+y2=1.設(shè)P(x,①若直線(xiàn)l1,l2中的一條直線(xiàn)的斜率不存在,則另一條直線(xiàn)的斜率為0,不妨設(shè)直線(xiàn)l1的方程為x=0,則l2的方程為y=1.則d12+d22=x2+(1-y)2,因?yàn)镻在橢圓上,所以所以d12+d22=5-3y2-2y=5-3(y+13)2+13,y∈〖-1,1〗,所以當(dāng)y=-1②當(dāng)直線(xiàn)l1,l2的斜率都存在,且不為0時(shí),設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y=kx+1,即kx-y+1=0,則l2的方程為y=-1kx+1,即x+ky-k則d1=|kx-y+1|1+k所以d=x2+y2-2y+1=4-4y2+y2-2y+1=5-3y2-2y,由①可得d12+d〖方法技巧〗本題首先將橢圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)作為變量建立目標(biāo)函數(shù),注意變量y的取值范圍為y∈〖-1,1〗,然后利用二次函數(shù)求解最值.13.B解法一由題意可知,|F1F2|=2c,又由e=ca=53得c=53a,所以|F1F2|=253a.因?yàn)辄c(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與橢圓C在第一象限的交點(diǎn),故PF1⊥PF2且|PF1|>|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|=89a2,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a,所以直線(xiàn)PF1的斜率k解法二因?yàn)閑=ca=53,故可設(shè)a=3,c=5,則b=2,S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan45°=12|PF1|·|PF2|=4.因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|14.A因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把該等式兩邊同時(shí)平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,則2|AF1||AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1||AF2|=2b2,所以S△AF1F2=12|AF1||AF2|=b2=2.因?yàn)椤鰽F1F2是直角三角形,∠F1AF2=90°,且O為F1F2的中點(diǎn),所以|OA|=12|F1F2|=c.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,則∠AOF2=30°,所以A(32c,12c),所以S△AF1F2=12|F1F2|·12c15.32設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A(x1,y1),則y1=24x