初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)幾何問題(五)-動(dòng)點(diǎn)梯形和動(dòng)點(diǎn)面積

動(dòng)點(diǎn)幾何問題（五）--動(dòng)點(diǎn)梯形與動(dòng)點(diǎn)面積

這節(jié)該或心孽什％

1.動(dòng)點(diǎn)梯形問題；

2.動(dòng)點(diǎn)面積問題；

知的框?

定義

知i?.皮倭理

動(dòng)點(diǎn)梯形分類主要講解三定一動(dòng)類型.

動(dòng)點(diǎn)面積分類分為三個(gè)專題：

1.面積公式：三角形的面積利用S=，Ri來表示，利用未知數(shù)的代數(shù)式來表示底和高

2

2.面積比等于相似比的平方：面積無法用底和高表示時(shí)，利用相似三角形的面積比等

于相似比的平方來求解，只需要知道相似比和另個(gè)一三角形面積即可表示

3.相似三角形：當(dāng)面積公式和面積比等于相似比的平方不能有效解題時(shí)，利用相似三

角形的比例關(guān)系求解

&型例題分桁

1、動(dòng)點(diǎn)梯形問題……三定一動(dòng);

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系雙少中，二次函數(shù)^=：無2+云的圖像與y軸交于

Q

點(diǎn)A,與雙曲線y=2有一個(gè)公共點(diǎn)B,它的橫坐標(biāo)為4,過點(diǎn)B作直線〃/x軸,

x

與該二次函數(shù)圖像交于另一個(gè)點(diǎn)C,直線AC的截距是-6.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求直線AC的表達(dá)式；

(3)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)O,使A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，如

果存在，求出點(diǎn)。坐標(biāo)，如果不存在，說明理由.

ly

O

2

【答案：(1)y=^x+-X-6；(2)y---x-6;(3)DJ-2,-6),￡)2(—

2、動(dòng)點(diǎn)面積問題--面積公式;

例2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn),

其中8(3,0),C(0,4),點(diǎn)A在X軸的負(fù)半軸上，0C=4O4；

(1)求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)AC、,點(diǎn)P是％軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM//BC交射線AC

【答案:

,16

(1)設(shè)這條拋物線的解析式為y=62+笈+或“。0)它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,j)

(2)過點(diǎn)P作垂足為H.

「P點(diǎn)在x軸的正半軸上，

..設(shè)P(x,0)「「A(-l,0),/.PA=x+l.

,.在RfAAOC中，OA2WC2=AC2

又=OC=4AC=V17

PHPH4

ZPHA=90°sinZCAO=——=——=-；=

APx+1J17

CM

PM//BC—=

AB~AC

8(3,0),P(x,0)

①點(diǎn)P在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，BP=3—無

3-xCM?曬3-x)

4V174

■■■S^PCM=2.-.^CM.PH^2

3-x)a=2解得x=「P(l,。)

24J17

②點(diǎn)P在點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)，BP=x-3

,七2空"皿芻

4V174

???S?CM=2:《CM-P”=2

1Vi7(x-3)4(X+1)

"24'^F-

解得玉=1+24，馬=1-20(不合題意，舍去)

--P（1+20,0）.綜上所述，尸的坐標(biāo)為（1,0）或（1+2及，0）］

例3.已知點(diǎn)4-1,0),點(diǎn)B(與A不重合)在射線AO上，點(diǎn)C在x軸上方，且A4BC

為等邊三角形，射線AC交y軸于。.

(I)當(dāng)A8=4時(shí)，則點(diǎn)B、C、。的坐標(biāo)分別是：8：()；C：()D：

().

(2)若他(機(jī)＞0),則點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別是：B：()；C：().

當(dāng)C、。不重合時(shí)，請根據(jù)，"的不同取值，對于過8、C、。三點(diǎn)的二次函數(shù)

開口方向作出判斷，直接寫出結(jié)論(不要求證明).

(3)是否存在點(diǎn)8,使5兇°=迪，若存在，求出點(diǎn)8的坐標(biāo)；若不存在，請說

16

明理由.

【答案：⑴B:(3,0);C:(1,2石)D:(0,V3)

(2)B(/w-1,0);C'.(---1,---771).

22

當(dāng)〃?的取值為：0＜加＜1時(shí)，過B、C'。三點(diǎn)的拋物線開口向上；

當(dāng)?shù)娜≈禐椋簷C(jī)＞1(機(jī)先)時(shí)，過8、C、。三點(diǎn)的拋物線開口向下.

(3)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(—：,())、(＜,())、(g,0)時(shí)，有SMCD=變】

22216

3、動(dòng)點(diǎn)面積問題--面積比等于相似比的平方;

例4.如圖1,在梯形ABCO中，ADUBC,對角線ACJ.8C,AO=4cm,

NO=45。，SC=3cm.

(1)求8SNB的值；

(2)點(diǎn)E為BC延長線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CO上(點(diǎn)尸與點(diǎn)C不重合)，且

滿足NAFC=NADE,如圖2,設(shè)=DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析

式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)點(diǎn)E為射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在射線CO上，仍然滿足=,

當(dāng)A4FD的面積為2cm2時(shí)，求BE的長.

【答案：

解⑴AD//BC,ZACB=ZDAC.

■：AC1BC,ZACB=90°ZDAC=90°.

-：ZD=45°,ZACD=45°AD=AC.

-：AD=4,:.AC=4.

BC=3,AB^^AC2+BC2=5.」.cosN8=——=一.

AB5

(2)AD//BC,ZADF=ZDCE.

■：ZAFC=NFDA+ZFAD,ZADE=ZFDA+NEDC,

Anr)p

又ZAFC=NADE,ZFAD=ZEDC\ADF?\DCE:.—=—

DCCE

在R/A4O。中，DC2=AD2+AC2,

又AZ)=AC=4,;.OC=4VL

,/BE=x,CE=x-3.又DF=y,二上.二匕-也

34V2x-322

定義域?yàn)?<x<ll.

(3)當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上，由(2)可得：^DF-\DCE,.-.^L=(—)2.

SADCEDC

■■-SMFD=2,4)=4,0c=40,，5Aoe七=4.

'：S&DCE=-^xCExAC,^x(BE-3)x4=4,:.BE=5.

當(dāng)點(diǎn)E在線段8C上，同理可得：gx(3-跖)x4=4.

BE=1.所以BE的長為5或1.】

4、動(dòng)點(diǎn)面積問題--相似三角形;

例5.已知：MBC,ZABC=90°,tanZBAC^-,點(diǎn)。在邊AC上的延長線上,

2

且。32=0。D4（如圖）；

（1）求DC"的值；

CA

（2）如果點(diǎn)E在線段的延長線上，聯(lián)結(jié)AE,過點(diǎn)8作AC的垂線，交AC于

點(diǎn)尸，交AE于點(diǎn)G；

1）如左圖，當(dāng)CE=3BC時(shí)，求生的值；

FG

2）如右圖，當(dāng)CE=8。時(shí)，求也皿的值；

"&BEG

DC_1

【答案：（1）

C4~3

BF__2S.CD=]

FG3S^EG2

例6.如圖，在邊長為6的正方形A8C。中，點(diǎn)E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D

不重合)NE8M=45。，BE交對角線AC于點(diǎn)F,交對角線AC于點(diǎn)G,

交CD于點(diǎn)M.

(1)如左圖，聯(lián)結(jié)3。，求證：NDEB?XCGB,并寫出OE:CG的值；

(2)聯(lián)結(jié)EG,如右圖，若設(shè)AE=x,EG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫

出函數(shù)的定義域；

(3)當(dāng)M為邊DC的三等分點(diǎn)時(shí)，求S&EGF的面積.

【答案:

(1),?,ZBD￡=Z5CG=45<>,QBE=ZCBG=4"ZMBD

J.ADEESACGB

..DEBD=vKz

CGCB

⑵作EH上AC于H

=冬,CG=與DE=%6-x)

，Aff0EH

HG?AC-AH-CG?M7

：-EG-5甲+

J2—+72,/、

??y----------(0n<r<6)

⑶CM、CD=2時(shí)

3

嗤嗤/，CG中

DE=3jAE=3

AAff==—

2

嗤浸-抖”=20

：.GF~AC-AF-CG-->f2

2

CA/=2CD=4時(shí)

3

4cMeG2

得，CG-y42

ABAG3

246

AD5-y,AE

5

AH=EH=—

5

由任="=，得

BCCF5

.'■GF-AC-AF-CG-^yfi

139

：?S“FQ=L展xEH="~

225

遇.后16.習(xí)

練1.如圖，矩形OMPN的頂點(diǎn)0在原點(diǎn)，M、N分別在x軸和y軸的正半軸上，

0M=6,ON=3,反比例函數(shù)y=9的圖像與PN交于C,與PM交于。,過

x

點(diǎn)C作C4_Lx軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)。作￡>B_Ly軸于點(diǎn)B,AC與交于點(diǎn)G.

(1)求證：AB//CD；

(2)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否若存在點(diǎn)E,使以8、C、D、E為頂點(diǎn)，BC為腰的梯形

是等腰梯形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請說明理由.

【答案：

,:矩形OMPN,OM=6,ON=3,.?.點(diǎn)R6,3)

?.?點(diǎn)C、。都在反比例函數(shù)y=9圖像上，且點(diǎn)c在PN上，點(diǎn)。在PM上,

x

，點(diǎn)C(2,3),點(diǎn)7X6,1)

又軸，C4_Lx軸，A(2,0),8(0,1)

BG=2,GD=4,CG=2,AG=L*=L型=2J

GC2GO42

AG_BG

AB//CD.

~GC~~GD

(2)?-：PNIIDB

?1.當(dāng)DE=BC時(shí)，四邊形BCEQ是等腰梯形/

此時(shí)&ACNB會(huì)RfAgPD-

PEt=CN=2,點(diǎn)4(4,3)N

②CDHAB,

當(dāng)Ei在直線AB上，DE2=BC=2,3

四邊形BQDG為等腰梯形，

直線AB的解析式為y=-1x+l

二設(shè)點(diǎn)上2(X,~~x+1)

2

DE[=BC=2&

(x-6)2+(1x)2=8

28..

玉=彳?x2=4(舍去)

練2.已知：如圖1,在衣窿中，AOLOC,點(diǎn)B在0C邊上，0B=6,BC=\2,

ZABO+ZC=90°.動(dòng)點(diǎn)M和N分別在線段AB和AC邊上.

(1)求證：MOB-ACOA,并求cosC的值;

(2)當(dāng)AM=4時(shí)，AAMN與AABC相似，求A4MN與A4BC的面積之比;

(3)如圖2,當(dāng)MN〃BC時(shí),將AAMN沿MN折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCNM

所在平面的點(diǎn)為點(diǎn)E.設(shè)MN=x,\EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為

y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量》的取值范圍.

圖2

【答案：(1)cosC=-^=-^==^-x/3.

AC12G2

(2)cosC———=—=—\/3,Z.C—3().

AC12V32

tanZABO=,Z.ABO=60.

OB6

NBAC=3()°.「.A8=BC=12.

①當(dāng)NA歷N=NB時(shí)，(如圖)\AMN-MBC

AM=4,

5^:5^=AM2:AB2=42:122=1:9.

②當(dāng)NAMN=NC時(shí)，(如圖)\AMN-MCB

,/AM=4,

??^：5^=/^2:452=42:122=1:9.

???AM=4,

2222

???SMMN:SMBC=AM-.AC=4:(1273)=1:27.

(3)可以求得：5MBC=1AOSC=1X6V3X12=36V3.

■：MN//BC,

2

.1■MMN?MBC..'.S^N:S^BC=MM：BC.

：22

^tsAMN366=X：12.s1sAMN=W+X~,

①當(dāng)EN與線段AB相交時(shí)，設(shè)EN與AB交于點(diǎn)F(如圖),

?1?MNIIBC,

ZAW=NC=30°.

ZANM=ZBAC.

AM=MN=x.f_'、、

h

?.,將\AMN沿MN折疊,

ZENM=ZANM=30"ZAFN=90°.

.-.MF=^MN=^AM=^x..-.S^MN：S^N=MF:AM.

:.y:；\fix2=；x:x=l:2..\y=：>/3x2(0<x<8).

②當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，設(shè)EN于BC交于點(diǎn)G(如圖),

MN//BCCN:AC=BM:AB.

C7V:12A/3=(12-X):12..1.CNSCX.