初中數(shù)學動點幾何問題(五)-動點梯形和動點面積

動點幾何問題（五）--動點梯形與動點面積

這節(jié)該或心孽什％

1.動點梯形問題；

2.動點面積問題；

知的框?

定義

知i?.皮倭理

動點梯形分類主要講解三定一動類型.

動點面積分類分為三個專題：

1.面積公式：三角形的面積利用S=，Ri來表示，利用未知數(shù)的代數(shù)式來表示底和高

2

2.面積比等于相似比的平方：面積無法用底和高表示時，利用相似三角形的面積比等

于相似比的平方來求解，只需要知道相似比和另個一三角形面積即可表示

3.相似三角形：當面積公式和面積比等于相似比的平方不能有效解題時，利用相似三

角形的比例關(guān)系求解

&型例題分桁

1、動點梯形問題……三定一動;

例1.如圖，在平面直角坐標系雙少中，二次函數(shù)^=：無2+云的圖像與y軸交于

Q

點A,與雙曲線y=2有一個公共點B,它的橫坐標為4,過點B作直線〃/x軸,

x

與該二次函數(shù)圖像交于另一個點C,直線AC的截距是-6.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求直線AC的表達式；

(3)平面內(nèi)是否存在點O,使A、B、C、。為頂點的四邊形是等腰梯形，如

果存在，求出點。坐標，如果不存在，說明理由.

ly

O

2

【答案：(1)y=^x+-X-6；(2)y---x-6;(3)DJ-2,-6),￡)2(—

2、動點面積問題--面積公式;

例2.如圖，在直角坐標系中，一條拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點,

其中8(3,0),C(0,4),點A在X軸的負半軸上，0C=4O4；

(1)求這條拋物線的解析式，并求出它的頂點坐標；

(2)聯(lián)結(jié)AC、,點P是％軸正半軸上一個動點，過點P作PM//BC交射線AC

【答案:

,16

(1)設(shè)這條拋物線的解析式為y=62+笈+或“。0)它的頂點坐標為(1,j)

(2)過點P作垂足為H.

「P點在x軸的正半軸上，

..設(shè)P(x,0)「「A(-l,0),/.PA=x+l.

,.在RfAAOC中，OA2WC2=AC2

又=OC=4AC=V17

PHPH4

ZPHA=90°sinZCAO=——=——=-；=

APx+1J17

CM

PM//BC—=

AB~AC

8(3,0),P(x,0)

①點P在點8的左側(cè)時，BP=3—無

3-xCM?曬3-x)

4V174

■■■S^PCM=2.-.^CM.PH^2

3-x)a=2解得x=「P(l,。)

24J17

②點P在點8的右側(cè)時，BP=x-3

,七2空"皿芻

4V174

???S?CM=2:《CM-P”=2

1Vi7(x-3)4(X+1)

"24'^F-

解得玉=1+24，馬=1-20(不合題意，舍去)

--P（1+20,0）.綜上所述，尸的坐標為（1,0）或（1+2及，0）］

例3.已知點4-1,0),點B(與A不重合)在射線AO上，點C在x軸上方，且A4BC

為等邊三角形，射線AC交y軸于。.

(I)當A8=4時，則點B、C、。的坐標分別是：8：()；C：()D：

().

(2)若他(機＞0),則點8、C的坐標分別是：B：()；C：().

當C、。不重合時，請根據(jù)，"的不同取值，對于過8、C、。三點的二次函數(shù)

開口方向作出判斷，直接寫出結(jié)論(不要求證明).

(3)是否存在點8,使5兇°=迪，若存在，求出點8的坐標；若不存在，請說

16

明理由.

【答案：⑴B:(3,0);C:(1,2石)D:(0,V3)

(2)B(/w-1,0);C'.(---1,---771).

22

當〃?的取值為：0＜加＜1時，過B、C'。三點的拋物線開口向上；

當?shù)娜≈禐椋簷C＞1(機先)時，過8、C、。三點的拋物線開口向下.

(3)當點B的坐標為(—：,())、(＜,())、(g,0)時，有SMCD=變】

22216

3、動點面積問題--面積比等于相似比的平方;

例4.如圖1,在梯形ABCO中，ADUBC,對角線ACJ.8C,AO=4cm,

NO=45。，SC=3cm.

(1)求8SNB的值；

(2)點E為BC延長線上的動點，點尸在線段CO上(點尸與點C不重合)，且

滿足NAFC=NADE,如圖2,設(shè)=DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析

式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)點E為射線上的動點，點尸在射線CO上，仍然滿足=,

當A4FD的面積為2cm2時，求BE的長.

【答案：

解⑴AD//BC,ZACB=ZDAC.

■：AC1BC,ZACB=90°ZDAC=90°.

-：ZD=45°,ZACD=45°AD=AC.

-：AD=4,:.AC=4.

BC=3,AB^^AC2+BC2=5.」.cosN8=——=一.

AB5

(2)AD//BC,ZADF=ZDCE.

■：ZAFC=NFDA+ZFAD,ZADE=ZFDA+NEDC,

Anr)p

又ZAFC=NADE,ZFAD=ZEDC\ADF?\DCE:.—=—

DCCE

在R/A4O。中，DC2=AD2+AC2,

又AZ)=AC=4,;.OC=4VL

,/BE=x,CE=x-3.又DF=y,二上.二匕-也

34V2x-322

定義域為3<x<ll.

(3)當點E在BC的延長線上，由(2)可得：^DF-\DCE,.-.^L=(—)2.

SADCEDC

■■-SMFD=2,4)=4,0c=40,，5Aoe七=4.

'：S&DCE=-^xCExAC,^x(BE-3)x4=4,:.BE=5.

當點E在線段8C上，同理可得：gx(3-跖)x4=4.

BE=1.所以BE的長為5或1.】

4、動點面積問題--相似三角形;

例5.已知：MBC,ZABC=90°,tanZBAC^-,點。在邊AC上的延長線上,

2

且。32=0。D4（如圖）；

（1）求DC"的值；

CA

（2）如果點E在線段的延長線上，聯(lián)結(jié)AE,過點8作AC的垂線，交AC于

點尸，交AE于點G；

1）如左圖，當CE=3BC時，求生的值；

FG

2）如右圖，當CE=8。時，求也皿的值；

"&BEG

DC_1

【答案：（1）

C4~3

BF__2S.CD=]

FG3S^EG2

例6.如圖，在邊長為6的正方形A8C。中，點E為邊上的一個動點(與點A、D

不重合)NE8M=45。，BE交對角線AC于點F,交對角線AC于點G,

交CD于點M.

(1)如左圖，聯(lián)結(jié)3。，求證：NDEB?XCGB,并寫出OE:CG的值；

(2)聯(lián)結(jié)EG,如右圖，若設(shè)AE=x,EG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫

出函數(shù)的定義域；

(3)當M為邊DC的三等分點時，求S&EGF的面積.

【答案:

(1),?,ZBD￡=Z5CG=45<>,QBE=ZCBG=4"ZMBD

J.ADEESACGB

..DEBD=vKz

CGCB

⑵作EH上AC于H

=冬,CG=與DE=%6-x)

，Aff0EH

HG?AC-AH-CG?M7

：-EG-5甲+

J2—+72,/、

??y----------(0n<r<6)

⑶CM、CD=2時

3

嗤嗤/，CG中

DE=3jAE=3

AAff==—

2

嗤浸-抖”=20

：.GF~AC-AF-CG-->f2

2

CA/=2CD=4時

3

4cMeG2

得，CG-y42

ABAG3

246

AD5-y,AE

5

AH=EH=—

5

由任="=，得

BCCF5

.'■GF-AC-AF-CG-^yfi

139

：?S“FQ=L展xEH="~

225

遇.后16.習

練1.如圖，矩形OMPN的頂點0在原點，M、N分別在x軸和y軸的正半軸上，

0M=6,ON=3,反比例函數(shù)y=9的圖像與PN交于C,與PM交于。,過

x

點C作C4_Lx軸于點A,過點。作￡>B_Ly軸于點B,AC與交于點G.

(1)求證：AB//CD；

(2)在直角坐標平面內(nèi)是否若存在點E,使以8、C、D、E為頂點，BC為腰的梯形

是等腰梯形？若存在，求點E的坐標；若不存在請說明理由.

【答案：

,:矩形OMPN,OM=6,ON=3,.?.點R6,3)

?.?點C、。都在反比例函數(shù)y=9圖像上，且點c在PN上，點。在PM上,

x

，點C(2,3),點7X6,1)

又軸，C4_Lx軸，A(2,0),8(0,1)

BG=2,GD=4,CG=2,AG=L*=L型=2J

GC2GO42

AG_BG

AB//CD.

~GC~~GD

(2)?-：PNIIDB

?1.當DE=BC時，四邊形BCEQ是等腰梯形/

此時&ACNB會RfAgPD-

PEt=CN=2,點4(4,3)N

②CDHAB,

當Ei在直線AB上，DE2=BC=2,3

四邊形BQDG為等腰梯形，

直線AB的解析式為y=-1x+l

二設(shè)點上2(X,~~x+1)

2

DE[=BC=2&

(x-6)2+(1x)2=8

28..

玉=彳?x2=4(舍去)

練2.已知：如圖1,在衣窿中，AOLOC,點B在0C邊上，0B=6,BC=\2,

ZABO+ZC=90°.動點M和N分別在線段AB和AC邊上.

(1)求證：MOB-ACOA,并求cosC的值;

(2)當AM=4時，AAMN與AABC相似，求A4MN與A4BC的面積之比;

(3)如圖2,當MN〃BC時,將AAMN沿MN折疊，點A落在四邊形BCNM

所在平面的點為點E.設(shè)MN=x,\EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為

y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量》的取值范圍.

圖2

【答案：(1)cosC=-^=-^==^-x/3.

AC12G2

(2)cosC———=—=—\/3,Z.C—3().

AC12V32

tanZABO=,Z.ABO=60.

OB6

NBAC=3()°.「.A8=BC=12.

①當NA歷N=NB時，(如圖)\AMN-MBC

AM=4,

5^:5^=AM2:AB2=42:122=1:9.

②當NAMN=NC時，(如圖)\AMN-MCB

,/AM=4,

??^：5^=/^2:452=42:122=1:9.

???AM=4,

2222

???SMMN:SMBC=AM-.AC=4:(1273)=1:27.

(3)可以求得：5MBC=1AOSC=1X6V3X12=36V3.

■：MN//BC,

2

.1■MMN?MBC..'.S^N:S^BC=MM：BC.

：22

^tsAMN366=X：12.s1sAMN=W+X~,

①當EN與線段AB相交時，設(shè)EN與AB交于點F(如圖),

?1?MNIIBC,

ZAW=NC=30°.

ZANM=ZBAC.

AM=MN=x.f_'、、

h

?.,將\AMN沿MN折疊,

ZENM=ZANM=30"ZAFN=90°.

.-.MF=^MN=^AM=^x..-.S^MN：S^N=MF:AM.

:.y:；\fix2=；x:x=l:2..\y=：>/3x2(0<x<8).

②當EN與線段AB不相交時，設(shè)EN于BC交于點G(如圖),

MN//BCCN:AC=BM:AB.

C7V:12A/3=(12-X):12..1.CNSCX.