必修第二冊三角函數(shù)之弧度制練習(xí)題

三角函數(shù)之弧度制

一、單選題

1.一300?；癁榛《仁牵ǎ?/p>

A--?B.-芋C.—rD.一9

2.a是一個任意角，則a的終邊與a+3兀的終邊（）

A.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于y軸對稱D.關(guān)于直線y=x對稱

3.一個扇形的圓心角為150。，面積為m，則該扇形半徑為（）

A.4B.1C.V2D.2

4.若一扇形的圓心角為72。，半徑為20cm,則扇形的面積為（）

A.40TTcm2B.80TTcm2C.40cm2D.80cm2

5.已知扇形的圓心角為2md,弧長為4c7%,則這個扇形的面積是（）

A.4cm2B.2cm2C.lcm2D.4ncm2

6.把化成角度是（）

A.-960B.-4800C.-1200D.

7.已知一圓錐的側(cè)面展開圖是一個中心角為直角的扇形，若該圓錐的側(cè)面積為47r

則該圓錐的體積為（）

A叵B.vC.3兀D.VT57T

33

8.已知扇形4OB的半徑為r,弧長為/,且2/=12—r,若扇形AOB的面積為8,

則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）

A.；B.5或2C.1D.；或1

9.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)的絕對值

為（）

A.gB.yC.V3D.2

10.小明出國旅游，因當(dāng)?shù)貢r間比中國時間晚一個小時，他需要將表的時針撥慢1小

時，則時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是（）

A.7B.=C.D.J

11.一鐘表的分針長10cm,經(jīng)過35分鐘，分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的長為：（）

A.70cm

C.（等-4次）CTn

二、多選題

12.【多選題】扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也增加為原來的兩倍，則()

A.扇形圓心角不變B.扇形圓心角增大到原來的2倍

C.扇形面積增大到原來的2倍D.扇形面積增大到原來的4倍

13.下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是(

A.67。30'化成弧度是羋B.一笠化成角度是一600。

C.一150?；苫《仁且?？D.最化成角度是5。

第II卷(非選擇題)

三、單空題

14.已知扇形的半徑與面積都為2,則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)是.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

15.已知扇形的圓心角是a(a>0),半徑為R.

(1)若a=60。，Rl(kiu求扇形的弧長人

(2)若扇形的周長為2(kiu,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時，這個扇形的面積最

大？最大面積是多少？

16.已知扇形的圓心角是a,半徑為R,弧長為/.

(1)若a=60。，R—10cm,求扇形的弧長/；

(2)若扇形的周長為20c,明當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時，這個扇形的面積最

大；

(3)若a=g,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.

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17.已知扇形A08的圓心角為三，AB=2V3.

B

(1)求扇形AOB的弧長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

18.已知相互嚙合的兩個齒輪，大輪有60齒，小輪有45齒.

(1)當(dāng)小輪轉(zhuǎn)動一周時，求大輪轉(zhuǎn)動的弧度數(shù)；

(2)當(dāng)小輪的轉(zhuǎn)速是120r/min時，大輪上每1s轉(zhuǎn)過的弧長是607rcni,求大輪的半

徑.

19.某飛輪直徑為1.2m,每分鐘按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)300圈，求:

(1)飛輪每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)；

(2)飛輪圓周上的一點(diǎn)每秒鐘經(jīng)過的弧長

20.設(shè)扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長為/.

(1)已知一扇形的周長為9c%,面積是(cm?,求扇形的圓心角a；

(2)若扇形周長為20cm,將扇形的面積S表示為半徑R的函數(shù)，并寫出定義域.

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答案和解析

1.【答案】B

利用開=180'進(jìn)行求解.

【解答】

解：-300"=—X7T=——.

1803

故選8.

2.【答案】A

本題考查任意角的終邊位置，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用角的終邊所在位置關(guān)系，判斷a的終邊與a+37r的終邊的對稱關(guān)系即可.

【解答】

解：因?yàn)閍是任意角，則a的終邊與a+3兀的終邊相差3兀，

所以角a的終邊與a+37r的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，

故選A.

3.【答案】D

此題考查了扇形的面積公式，能夠靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

由題意根據(jù)扇形的面積得出結(jié)果.

【解答】

47r

解：設(shè)扇形的圓心角大小為a(rad),半徑為r,15()-；(/?<?/),

由題意可得：扇形的面積為：S=|xaxr2,可得：5：*xx,

解得：r=2.

故選D.

4.【答案】B

【分析】本題考查扇形的面積公式S房影=1ar2=|x^x202=80兀心病).特別注意

要將圓心角化成弧度制.屬于基礎(chǔ)題.

【解答】解：,:72°=y,

二S扇形=沏2=《X§X2。2=80兀(cm2).

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查扇形的弧長公式與扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合弧長公式，求圓的半徑，再利用扇形的面積公式，可得結(jié)論.

【解答】

解：???弧度是2的圓心角所對的弧長為4,

根據(jù)弧長公式，可得圓的半徑為2,

二扇形的面積為：1X4X2=4cm2,

故選A.

6.【答案】B

本題主要考查弧度制與角度制互化，屬于基礎(chǔ)題.

解題時只要根據(jù)兀=180。代入計算即可.

【解答】

解：-y=-1xl800=-480°.

故選B.

7.【答案】A

本題考查圓錐的幾何特征，圓錐的體積公式，以及扇形的面積公式和弧長公式，考查

空間想像能力及運(yùn)用公式計算的能力，屬于中檔題.

設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,由于圓錐側(cè)面展開圖是一個圓心角為90。的扇形，

結(jié)合底面圓的周長等于展開扇形的弧長可得2=4r,以及圓錐的側(cè)面積為M,可得r=

1,1=4,求出底面圓的面積，再由h=求出圓錐的高，然后代入圓錐的體積

公式求出體積.

【解答】

解：設(shè)底面圓半徑為r,圓錐母線長為/,

因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖是一個圓心角為90。的扇形，

所以2nr-孑，解得［=釬，

因?yàn)樵搱A錐的側(cè)面積為4兀，

所以加r?I=4nr2-4zr,解得廠=1,則，=4,

即底面圓的面積為S=7Txr2=71,

又圓錐的局h=yjl2—r2=V15，

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故圓錐的體積為U=5xSxh=逗兀，

33

故選A.

8.【答案】D

本題考查了弧長公式與扇形的面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

由已知利用扇形的面積公式即可求解該扇形的圓心角的弧度數(shù).

【解答】

(21=12-r,

解：由題意得與「=&

解得同域占

故a=-=或a=-=1.

r4r

故選：D.

9.【答案】C

本題考查弧度定義，屬于基礎(chǔ)題.

弧長為br，其圓心角的弧度數(shù)的絕對值為卑=遍.

【解答】解：設(shè)該圓弧所在圓的半徑為「，

則圓內(nèi)接正三角形的邊長為2rsin60°=V3r,

所以該圓弧長為代r,

其圓心角的弧度數(shù)的絕對值為卑=V3.

故選C.

10.【答案】B

本題考查了正角與負(fù)角的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

依題意可知，他需要將表的時針逆時針旋轉(zhuǎn)周角的套，即可轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù).

【解答】

解：依題意，小明需要將表的時針撥慢1小時，

即他需要將表的時針逆時針旋轉(zhuǎn)周角的點(diǎn)，

則轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是27T*\,

故選8.

11.【答案】D

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題主要考查弧長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

分針每60分鐘轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)過2兀弧度，先求出35分鐘分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)，代入弧長公

式計算弧長.

【解答】

解：經(jīng)過35分鐘，分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為27rxs=?,

606

分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的長為；X1()21?〃)，

故選。.

12.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查了弧度制的概念及弧長和扇形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)扇形的相關(guān)概念以及圓心角的相關(guān)概念，列出等式，并半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而

弧長也增加為原來的兩倍，根據(jù)變化前后的比值求出正確答案.

【解答】

解：因?yàn)?「：：：，所以幽，所以詈=號=$三因?yàn)椋?=2%，6=2「2,所

lew)TH*n2l2'rll2rl

以"x；l；

因?yàn)閟=去故當(dāng)半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也增加為原來的兩倍，面積增加了4

倍；

故選AD.

13.【答案】AB

【解析】

【分析】

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本題考查了角度制與弧度制的互化，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，利用角度制與弧度制的互化逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】

解：對于A,67。30'=67.5*W=￥，故4正確；

1808

對于8,因?yàn)?""xd嗎-WX),所以一學(xué)=一600。，故8正確;

37T3

對于C,-150°=-150x^-=故C錯誤；

loOO

對于。，因?yàn)槎(1S")-15,所以碧=15。，故。錯誤.

127T1Z

故選AB.

14.【答案】1

【解析】

【分析】

本題考查了扇形的弧長與面積計算問題，是基礎(chǔ)題.

設(shè)扇形的圓心角為a,由此求出弧長和面積，列方程求得a的值.

【解答】

解：設(shè)扇形的圓心角為a,則弧長I—2a,

所以扇形的面積為：

S=-2r2l=-x2x2a=2,

解得a=1.

故答案為：L

15.【答案】解：⑴由題意a=60°=grad,R=10cm,

貝Ijl=gX10=y7T(Cm).

(2)扇形的半徑為R,弧長為/,

則I+2R=20,即，=20-2R(0<R<10),

所以扇形的面積S=\lR=i(20-2R)R=-R2+10/?=-(/?-5)2+25,

所以當(dāng)R=5cm時，S有最大值25cm2,

此時，1=10cm,a=：=2rad.

因此，當(dāng)a=2rad時，扇形的面積取得最大值25cm

【解析】本題主要考查扇形的弧長和扇形面積的計算，要求熟練掌握相應(yīng)的公式，考

查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)弧長的公式即可求扇形的弧長；

(2)根據(jù)扇形的面積公式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

16.【答案】解：(1)因?yàn)閍=60°=；,RKkni>

所以1=10xg=詈(cm);

(2)由已知得，l+2R=20,

所以S=?R=：(20-2R)R=10R-R2

=-(/?-5)2+25.

所以當(dāng)R=5cm時，S取得最大值，

止匕時/=10cm,a=2rad;

27r

(3)設(shè)弓形面積為S號/,由題意知/：-cm,

<5

ll.?,127r1.>.7T

所以S弓+=5x3x2-5x2-xsau3

=y—V3(cm2).

【解析】本題主要考查了弧長公式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，扇形面積，三角形面積

公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用弧長公式即可計算得解.

(2)由已知得，+2R=20,可求S=—(R-5)2+25,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

(3)由已知利用扇形面積，三角形面積公式即可得解弓形的面積.

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17.【答案】解：(1)如圖，作。D14B于。，則AD=1/1B=V1

?.?扇形AOB的圓心角為號，.?.。4=2,°

???扇形AOB的弧長為2x￡=

(2)由⑴可得扇形AOB的半徑為r=2,弧長為2=箏

則扇形AOB的面積為S=i/r=|x2Xy=y,

△4。8的面積為S-OB=ix2V3xl=V3,

二圖中陰影部分的面積為：y-V3.

【解析】本題考查扇形的弧長、陰影面積的求法，考查扇形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)

算求解能力，是基礎(chǔ)題.

(1)作0014B于。，貝IJ4D=)B=?求出扇形AOB的圓心角為箏0A=2,由

此能求出扇形AOB的弧長.

(2)扇形AOB的半徑為r=2,弧長為1=導(dǎo)則扇形AOB的面積為S=沙=]x2x

y=△4。8的面積為叉4。8="2料*1=同由此能求出圖中陰影部分的面

積.

18.【答案】解：(1)當(dāng)小輪轉(zhuǎn)動一周時，求大輪轉(zhuǎn)動的周數(shù)為X,

則45=60%,即％=

4

大輪轉(zhuǎn)動的弧度數(shù):X2兀=9；

42

(2)設(shè)大輪的半徑為R,則大輪的速度為120x