第6章空間向量與立體幾何【真題模擬練】-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（蘇教版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)過過過【真題模擬練】

第6章空間向量與立體幾何

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.(2021秋?會寧縣期末)設(shè)平面a的法向量為I=(x,1,-2),平面力的法向量為6=(1,x,x-3),

若a//〃，則x的值為()

A.-5B.-3C.1D.7

【答案】C

【解析】設(shè)平面a的法向量為4=(x，1,-2),平面的法向量為5=(1,x,x-3),

若a//〃，則。//5,

x1—2

,.—=—=----,

1xx-3

解得X=l.

故選C.

2.(2021秋?合肥期末)平面a的法向量沅=(x,1,-2),平面夕的法向量狂=(-l,y,g),已知a///?,則x+y=(

)

A.—B.—C.3D.-

442

【答案】A

【解析】根據(jù)題意,al1/3,則有i7//U,

則有二='=三，解可得x=4，y=—L

-1y14

2

則x+y=身；

4

故選A.

3.(2021秋?臨湘市期末)如圖，在四面體。4BC中，M,N分別是。4,3c的中點，則施=()

N

B

1—.1_.1—.

A.-OB+-OC——OAB.-OA--OC--OB

222222

1—.1―.1—.

C.-OB+-OC+-OAD.-OA+-OC--OB

222222

【答案】A

【解析】???在四面體。48c中，M,N分別是3c的中點,

/.MN=MA+AN

=-OA+-(AB+AC)

22

=-OA+-(OB-OA+OC-OA)

22

1—.1—.1—.—.

=-OA+-OB+-OC-OA

222

=-OB+-OC--OA.

222

故選A.

4.(2021秋?天心區(qū)期末)已知空間向量@=(1,一1,0),5=(1,-1,1),則|d+6|=()

A.3B.y/2C.6D.石

【答案】A

【解析】?.?空間向量1=(1,-1,0),6=(1,-1,I),

a+b=[2,-2,1),

\a+h\=722+(-2)2+12=3.

故選A.

5.（2021秋?寶安區(qū)期末）在平行六面體ABC。-44CQ中，M為與3Q的交點，若4月,AD=bf

44；則與麗?相等的向量是（）

11-11-11r11一

A.—a+—b+cB.——a+—b+cC.-a——b+cD.——a——b+c

22222222

【答案】B

【解析】在平行六面體ABC￡>-48CQ中，M為AG與耳。的交點，

AB=a,AD=b,AA,=c,

=AA,+^BD

=A^+^(BA+BC)

=--AB+-AD+AA

22'

11

=——a+—br+c.

22

故選B.

6.(2021秋?沈陽期末)設(shè)x,ywR,向量a=(x,1,1),5=(1,y,,。=(2,-4,2),且&_L5,

bUc,則|&+刈=()

A.2夜B.710C.3D.4

【答案】C

【解析】設(shè)x,yeR,向量1=(x,1,1),b=(l,y,1),c=(2,-4,2),

且a_L^,bile,

2x-4+2=0

11y1,解得x=l,y=—2,

.2~^4~2

a+b=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),

a+h\=\/4+1+4=3.

故選C.

7.（2021秋?惠州期末）如圖，在四面體中，E,F,G,，分別為AB,BC,CD,AC的中點,

A.BFB.EHC.FGD.HG

【答案】D

由于，4月=荏，-BC=EH,

22

所以：~(AB+BC+CD)^AE+EH+CG=HC+CG=HG.

故選D.

8.（2019?全國）正三棱錐尸-ABC的側(cè)面都是直角三角形，E,尸分別是"，8C的中點,則PB與平面

PE尸所成角的正弦為（）

A8RV6G口瓜

A.D?V?U?

6633

【答案】C

【解析】?.?正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形，E,F分別是AB,8C的中點，

???以P為原點，%為x軸，所為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)24=PB=PC=2,

則4(2,0,0),8(0,2,0).C(0,0,2),￡(1,1,0),尸(0,1,1),

麗=(0,2,0),瓶=(1,1,0),而=(0,1,1),

設(shè)平面PE尸的法向量為=(x,y,2),

則卜”=x+y=。，取片］,得為=(i,_i,i),

n-PF=y+z=0

設(shè)P8與平面所成角為，，

,口\PB-n\2V3

則hlllsin6=—----=—尸=——.

|PB||n|2y/33

；.PB與平面的所成角的正弦值為也.

3

故選C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.(2021秋?儲州期末)若A(x,2,-1),8(1,2,3),且|而|=5,則x的值是()

A.-2B.2C.-AD.4

【答案】AD

【解析】若A(x,2,-1),8(1,2,3),且|通|=5；

則—1)2+(2—2)2+(_]—3)2=25,

整理得x=4或-2；

故選AD.

10.（2021秋?玄武區(qū)月考）己知點P是平行四邊形A8CD所在平面外一點，AB=（2,-1,-4),AD=(4,

2,0),A戶=(-1,2,-1),下列結(jié)論中正確的是()

A.AP±ABB.存在實數(shù)2,^.AP=2.BD

C.A戶是平面A8CD的法向量D.四邊形A8C。的面積為8指

【答案】ACD

【解析】對于A,vAB=[2,-1,-4),AP=(-1,2,-1),

/.AB-AP=-2-2+4=0,

:.AP±AB,故A正確;

對于3，vAB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-l,2,-1),

BD=AD-AB=(2,3,4),

.??不存在實數(shù)/I，使麗=28/5,故3錯誤；

對于C,A戶?AZ5=T+4+O=O,:.APA.AD,

由A得乂48「|仞=4,二APJ_平面A8CD,

.?.麗是平面ABCD的法向量，故C正確;

福.而6上

對于。，cos<AB,AD>=

\AB\-\AD\~y/21-y/20~-J35

sin<AB,AD>=Ji*=源

四邊形ABCO的面積為：

S=2sMBD=2x；x|AB\x|A￡)|xsin<AB,AD>

=屈-25曜=8娓,故。正確.

V35

故選ACD.

11.（2021秋?無錫期末）正四棱錐P-MCD所有棱長均為2,O為正方形438的中心，E,F分別為

側(cè)棱E4,的中點，則（）

A.OF//AP

B.直線3E與PD夾角的余弦值為點且

6

C.平面OEF//平面「DC

D.直線PD與平面PBC所成角的余弦值為更

3

【答案】BCD

【解析】對于A,因為POL面ABCD,E,尸分別為%,PB中點,

所以￡F//A8,B.EF=-AB,

2

乂因為O尸//PD,PDp\PA=P,

所以O(shè)尸不會平行與AP，故A錯誤；

對于3,以O(shè)為坐標(biāo)原點，。4為x軸，03為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

B（0,>/2,0）,4（血,0,0）,P（0,0,V2）,E*,0,與）,0（0,-夜,0）,

麗=（4，-72,與,PD=（0,-夜，-V2）,

直線BE與PD夾角的余弦值為：

\BEPD\1V3

|cos<BE,PD>|：=故3正確;

\BE\\PD\6

對于C,由題意有EF//A8//C。,

又OEIiPD、

EF^\OE=E,CD[\PD=D,

OE,EFu平面OEF,

所以平面O￡///平面PDC，故C正確;

對于￡),C(-夜，0,0),

PB=(0,應(yīng)，-夜)，PC=(-V2,0,-0),PD=(0,-夜),

設(shè)平面PBC的法向量為=(x,y,z),

則d一二廠，取X=l，得"=(1,-1,-1),

n-PC=—v2x—V2z=0

設(shè)直線P￡）與平面尸BC所成角為e，

則sin入尊旬=斗=邁,

\PD\-\ri\2V33

直線PD與平面PBC所成角的余弦值為cos。=-凈=?，故。正確.

故選BCD.

12.（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）已知正方體ABCr>-AB|CQ的棱長為1,點E,F,G分別為棱43,A4,,CR

的中點，下列結(jié)論正確的是（）

A.四面體ZMBQ的體積等于:

B.平面ACg

C.平面EFG與平面夾角余弦值為且

3

D.BQ//平面EFG

【答案】ABC

【解析】對于A,四面體D4B。的體積為,xLxlxlxl=J,故A正確；

326

對于3,正方體ABC。-A8cq中，-.-ACYBD,DD11AC,又8?！竱。2=力，

AC±平面BDD、,■：BD、u平面BDD、,AC1BDt,

同理，AB,1BDt,又/1耳「|4。=4,.?.BRJL平面AC4，故B正確；

對于C,以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)如圖,

111__,11_.11

￡(1,-,0),F(1,O,-),G(O,-,1),EF=(O,--,-),FG=(-1,-,-),

2222222

設(shè)平面EFG的法向量諭=(羽y,z),

m-EF=—y+-z=0

22

則

一11

Hi?FG=x+—y+—z=0

22

取x=l,得比=(1,1,1),

又平面ABCD的一個法向量”=(0,0,1),

設(shè)平面EFG與平面A8C。的夾角為0,

則cos"叵包=；=走

,平面￡FG與平面A8CD的夾角的余弦值為避，

3

故C正確；

對于￡),即1,1,1),D,(0,0,1),=(-1,-1,0),

由C選項可知，平面EFG的一個法向量流=(1,LD，

B1D；/??=-2^0,.?.片.與平面￡FG不平行，故。錯誤.

故選ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(2021秋?昌平區(qū)期末)己知1=(x,-2,6)是直線《的方向向量，6=(1y,-3)是直線6的方向

向量，若直線4/〃2，則x+y=-

【答案】-1

【解析】&=(x，-2,6)是直線/,的方向向量，6=(1,y,-3)是直線，2的方向向量，

若直線《/〃2，則1〃5,

—=------2>則x=-2,y=l.

1y-3-

+y=—2+1=-1.

故答案為：-1.

14.(2021秋?大同期末)已知平面a的一個法向量為序=(1,1,2),點A(0,1,2),B(x,0,1)是平面a

內(nèi)的兩點，則》=—.

【答案】3

【解析】平面a的一個法向量為的=。[,2),點A(0,1,2),B(x,0,1)是平面a內(nèi)的兩點，

A8=(x,—1?-1)?

m-AB=x-l—2=0,

x—3?

故答案為：3.

15.(2021秋?黑龍江期末)已知產(chǎn)，A,B,C四點共面且對于空間任意一點O,都有O戶=2。4+0分+fOC,

貝打=.

【答案】-2

【解析】AP=OP-OA=bA+bB+tOC,BP=OP-OB=2OA+tOC,

CP=OP-OC=2OA+OB+(t-])OC,

.P,A,B,C四點共面，，存在“，neR使得A戶=mB/5+w所,

OA+OB+tOC=m(2OA+tOC)+n[2C)A+OB+(f—1)OC]=(2m+2n)OA+nOB+(mt+nt—n)OC.

2m+2n=\

<n=\，解得m二一,，〃=1,t=—2.

2

mtnt-n=t

故答案為：-2.

16.（2021秋?湖北月考）在菱形ABC。中，ZA=60°,將沿對角線瓦>折起，若二面角-。為

直二面角，則二面角A—8C—O的余弦值為.

【答案】—

5

【解析】取曲的中點O,連接AO、OC,依題意可得。4、OC、。兩兩互相垂直，如圖建立空間直

角坐標(biāo)系，

令A(yù)B=2，則40,0,商8(1,0,0)。0,石,0),

所以麗=（-1,0,右），反^（一，行,。），設(shè)平面ABC的法向量為萬=（x,>,z）,

?.n-BA--x+Gz=0.r-

則1_，令x=y/3，貝I]y=z=1,

n-BC=-x+y/3y=0

所以亢=(石,1,1),顯然平面BCD的法向量可以為沆=(0,0,1),

設(shè)二面角A—BC—O為。，貝心（》6=網(wǎng)辿

\in\-\n\lxV(V3)2+l2+l25

故：面用A—8C—/）的余弦仁為巨：

5

故答案為：—

5

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2021?新高考H）在四棱錐Q—A8c。中，底面是正方形，若4）=2,QD=QA=舊,QC=3.

（I）求證：平面QA￡>1■平面A8C。；

（II）求二面角8-QO-A的平面角的余弦值.

Q

【答案】（I）證明：△。8中，CD=AD=2,QD=45,QC=3,所以C4+Q。？=QC?,所以COQD；

又ADp\QD=D,AQu平面QAD,QOu平面QAO,所以CD_L平面QA￡>；

又cr>u平面A8CZ）,所以平面04DJL平面A8CD.

（II）解：【解法1】設(shè)AQ的中點為M,連接QM、BM,如圖所示：

根據(jù)題意知，QM=2,BM=亞,QB=3,8。=2夜，

ABQA中，COSNQOB=、L,COSNQD4=」=,ZBZM=45。，

'V10V5

因此根據(jù)三垂線定理知，二面角8-8-A的大小滿足：

cos/BDA=cosZQDBcosZQDA+sinNQDBsinZQDAcos（p,

noV21J32

2VlOV5V10V5

解得C0S9=g-

【解法2】取AD的中點O,在平面A38內(nèi)作Or_LAD,

以O(shè)D所在直線為y軸，0。所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示:

則0(0,0,0),8(2,-1,0),D(0,1,0),(9(0,0,2),

因為Or,平面AOQ,所以平面AOQ的?個法向量為&=(1,0,0),

設(shè)平面班)。的一個法向量為￡=(x,y,z),

由B/5=(-2,2,0),DQ=(0,-1,2),

空二°,即-2x+2y=0

得

/?￡>。=0一y+2z=0

令z=l,得y=2,x=2,所以￡=(2,2,1)；

ka?B2+0+02

所以cos<a，

\a\-\p\lx04+4+13

所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值為|.

18.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-A旦G"中，E,F分別為棱BC,CD的中點.

(1)求證：〃尸//平面AEG；

(2)求直線4c與平面AE￡所成角的正弦值；

(3)求二面角A-AC-后的正弦值.

【答案】(1)證明：以點A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則A(0,0,2),E(2,1,0),G(2,2,2),

故AC；=(2,2,0),EC；=(0,1,2),

設(shè)平面A}EC}的法向量為*=(羽y,z),

則卜笆=°,即[中二°,

n-Eq=0[y+2z=0

令z=l，則x=2,y=-2,故萬=(2,—2,1),

又F(1,2,0),R(0,2,2),

所以西=(-1,0,2),

則儲五￡>；=0,又。產(chǎn)U平面AEG，

故RF//平面AEG；

(2)解：由(1)可知，宿=(2,2,2),

Mil.,一77r、iI萬?-G|2百

則cos<n,AC,>=---------=-------==——,

InllACJ3x2杷9

故直線ACt與平面詔所成角的正弦值為*;

(3)解：由(1)可知，豆'=((),0,2),

設(shè)平面AA,C,的法向量為m=(a,b,c),

則卜十°,即.

慶?AG=0[a+b=o

令a=l,貝=故沆=(1,-1,0),

所以Icos（成萬＞|=生旦=3=矩

I利行I3x夜3

1

故二面角A-AG-E的正弦值為

3

19.（2021?上海）如圖，在長方體ABC￡）-ABIGA中，已知AB=BC=2,A4,=3.

（1）若P是棱A。上的動點，求三棱錐c-皿）的體積;

（2）求直線4片與平面ACC/的夾角大小?

【答案】⑴如圖，在長方體AB8-A4CQ中，匕加=；Su"<L=gx］；x2x3）x2=2：

（2）連接AGrpQ=O,

.AB=BC,

：.四邊形AgGQ為正方形，則10A,

又OAQM=A'

：.OB\J_平面ACGA,

直線AB，與平面ACC/所成的角為NO44,

,2?+2?

...?sin//OAcB1=_-O-B-、=_—.2~=_---.

世后才13

/.直線AB,與平面4CGA所成的角為arcsin普

20.(2021?北京)如圖，在正方體AB8-A4G4，E為AR的中點，8c交平面C/組交于點尸.

(1)求證：尸為8c的中點;

(H)若點M是棱A內(nèi)上一點，且二面角M-CF-E的余弦值為立，求則的值.

3AA

【答案】(I)證明：連結(jié)。E，

在正方體A8cn-A4CQ1中，CD”C\D\,0〃(=平面48?2，co9平面

則8〃平面ABCR,因為平面ABCQC平面CDEF=EF,

所以CD//EF,則E///CQ,

故%B\UEF1iC、D\,又因為ADJ/B?,

所以四邊形A瓦房為平行四邊形，四邊形EFGR為平行四邊形，

所以AE=g尸，EQ=FC、,

而點￡為AA的中點，所以AE=ER，

故gF=FG，則點F為4G的中點；

(H)解：以點片為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體棱長為2,設(shè)點/(,〃，0,0),

因為二面角M—CF—E的余弦值為亞，則帆＜0,所以加工0,

3

則C(0,2,-2),E(-2,1,0),F(0,1,0),

故在=(-2,0,0),FC=(0,1,-2),廂.=(皿-1,0),

設(shè)平面CMF的法向量為m=(a/1),

22

所以a=—,h=2?故沅=(—,2,1)?

mm

設(shè)平面CDEF的法向量為為二(%,y,1),

則nl[n-F基E=O"叱Rnf-2dx=d0

所以x=0,y=2,故”=(0,2,1),

因為二面角M-CF-E的余弦值為世，

3

則|cos＜西n＞|=叵型=5-------------=好，

⑻利尸+4+lx歷T3

Vm

解得加=±1,又加＜0,

所以機=—1,

AM1

故二^=一.

4耳2

21.(2021?乙卷)如圖，四棱錐P-A88的底面是矩形，PD_L底面A8C￡),PD=DC=1,M為BC中

點、,且依_LAA/.

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-3的正弦值.

【答案】(1)連結(jié)如，因為正。，底面且AMu平面ABCZ)，

則AM_LP￡>,又AM_LP8，PB^\PD=P,PB，PDu平面P3￡>，

所以AM，平面正皿，又BDu平面PBD,則AM_LBZ),

所以ZAB￡)+ZM48=90。，XZABD+ZADB=90°,

則有Z4QB=NM4B，所以RtADABsRtAABM，

則四=史，所以J_BC2=I,解得BC=&；

ABBM2

(2)因為ZM,DC,N)P兩兩垂直，故以點。位坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則A(夜,0,0),5(也,1,0),加仁-』0),P(0,0,1),

2

所以AP=(—,\/2,0,1),AM—(―~^~,1,0),BM—,0,0),BP—(―^2,—1,1),

設(shè)平面4WP的法向量為萬=(x,y,z),

-V2x+z=0

[fi-AP=0

則有《___，即，一也x+y=0'

n-AM=0

2)

令x=0,則y=l,z=2,故"=(0』,2),

設(shè)平面BMP的法向量為成=(p?,r),

聿=0

ih?BM=b

則有，___,即,

m-BP=0-y/2p-q+r=0

令q=l,則r=l,故沅=(0,1,1),

3_3714

所以|cos<n.m>|=

1討11沅I不又近—14

設(shè)二