8.6.3平面與平面垂直（分層練習6大題型）

平面與平面垂直分層練習題型一面面垂直的判定與性質(zhì)定理1．設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列說法，其中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【解析】對于A，在長方體中，平面，平面分別為，分別為直線，顯然，而平面平面，A錯誤；對于B，由，知存在過的平面與相交，令交線為，則，而，于是，，B正確；對于C，在長方體中，平面，平面分別為，分別為直線，顯然，而平面平面，C錯誤；對于D，在長方體中，平面，平面分別為，分別為直線，顯然，而平面平面，D錯誤.故選：B2．已知為兩條不同的直線，是兩個不同的平面，現(xiàn)有如下命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．則一定正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對于①，若，則，①錯誤；對于②，若，則可能平行，可能垂直，或異面，②錯誤；對于③，若，則，又，故，③正確；對于④，若，則n可能在內(nèi)．故④錯誤；則正確的命題個數(shù)為1，故選：A3．設(shè)是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則C．若，則 D．若，∥，則【答案】B【解析】設(shè)是直線，，是兩個不同的平面，對于A，若，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，若，則內(nèi)存在直線，因為，所以，由面面垂直的判定定理得，故B正確；對于C，若，，則與平行或，故C錯誤；對于D，若，，則與相交、平行或，故D錯誤．故選：B．4．已知直線、，平面、，給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若，，且，則B．若，，則C．若，，且，則D．若，，且，則【答案】AD【解析】對于A項，，∴或，又，∴，故A正確；對于B項，如圖所示，在正方體中，，面，面，顯然，而FH與BC不平行，即B錯誤；對于C項，如上圖所示，在正方體中，，面，，面，顯然符合條件，而，不垂直，即C錯誤；對于D項，，又，∴，故D正確.故選：AD題型二面面垂直的證明1．如圖，在三棱柱中，平面．證明：平面平面；【答案】證明見解析【解析】因為平面，平面，所以,又因為，即，平面，,所以平面，又因為平面,所以平面平面.2．如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，高為，O，E分別為底面的中心和的中點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】連接，∵O，E分別為的中點和的中點，，因為四邊形為矩形，所以，又在直四棱柱中，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即平面，又平面，所以平面平面.3．如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.證明：平面平面；【答案】證明見解析【解析】設(shè)圓O的半徑為r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圓錐中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.4．如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.求證：平面平面；【答案】證明見解析【解析】四邊形為直角梯形，，，，又，，平面，平面，又平面，；作，垂足為，則是矩形，，，，，又，，，，，，，平面，平面，平面，平面平面.題型三由面面垂直證明線面垂直1．如圖，四棱錐中，，，，平面平面．證明：；【答案】證明見解析【解析】取BC中點，連接，則，又，，所以四邊形為正方形，則，且，又在中，，則，所以，即．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又面，所以．2．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點.證明：平面；【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，取的中點，連接，因為是等邊三角形，所以.又平面平面，平面平面，所以平面.連接，因為底面是邊長為2的正方形，是的中點，所以.又是的中點，，所以.因為平面DEF，所以平面.3．如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點，且.證明：平面；【答案】證明見解析【解析】連接，由題意可知：為等邊三角形，且是的中點，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，且平面，可得，，平面，所以平面.4．如圖，在四棱臺中，平面平面ABCD，底面為正方形，，.求證：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：因為平面平面，平面平面，，平面，則平面.又平面，則；在等腰梯形，如下圖，作，由題可知，，又，則，結(jié)合，得.因，則.又平面，平面，，則平面.題型四求平面與平面的夾角1．在正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角BACB1的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接AB1，B1C，AC，取AC的中點O，連接B1O，BO，由AB＝BC，得BO⊥AC，由AB1＝B1C，得B1O⊥AC，故∠B1OB即為二面角BACB1的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則在△ABC中，BO＝AC＝，又B1B＝1，在Rt△B1OB中，tan∠B1OB＝＝．故選：B．2．在四面體ABCD中，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，斜邊，，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，取AB中點M，連接CM，DM因為為等邊三角形，為等腰直角三角形所以，故即為二面角的平面角.因為，所以，所以所以即二面角的大小為.故選：D.3．如圖，將正方形ABCD沿對角線AC折疊后，平面平面DAC，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正方形的邊長為a，取AC的中點O，連接BO，則，過O作AD的平行線OE交CD于E，連接BE，如圖，因為平面平面DAC，平面平面，平面，則平面DAC，而平面DAC，于是，又，平面BOE，則平面BOE，而平面BOE，即有，因此為二面角的平面角，顯然，，有，即為直角三角形，有，則，所以.故選：C4．木升在古代多用來盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如圖為一升制木升，某同學制作了一個高為40的正四棱臺木升模型，已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50的球O的球面上，且一個底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖：正四棱臺，由題意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以，進而可得取的中點為，過的中點作，連接,所以,,故,在直角三角形中，故，由于，所以即為正四棱臺的側(cè)面與底面所成二面角，故正弦值為，故選：A題型五平面圖折疊后的垂直問題1．如圖，已知四邊形是矩形，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.（1）求證：；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：連接，由在平面上的射影在上，可得平面，平面，所以，又由為矩形，，且平面，，所以平面，因為平面，所以.（2）證明：因為四邊形為矩形，所以，由（1）知，，且平面，所以平面，又由平面，所以平面平面.2．如圖1，在直角梯形中，，，，E為的中點，將沿折起，使折起后的平面與平面垂直，如圖2.在圖2所示的幾何體中：（1）求證：平面；（2）點F在棱上，且滿足，求幾何體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：∵，，，∴在中，.∴.∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）∵，又∵E為的中點，∴為的中位線.∴F為的中點，由（Ⅰ）知，，，∴.3．邊長為1的正方形中，點M，N分別是DC，BC的中點，現(xiàn)將，分別沿AN，AM折起，使得B，D兩點重合于點P，連接PC，得到四棱錐.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：在正方形中有，，，，又因為，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設(shè)點到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為4．如圖，為直角三角形，，分別為中點，將沿折起，使點到達點，且．（1）求證：面面；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明過程見解析；（2）【解析】（1）連接MC，由題意得：，因為，所以由勾股定理得：，因為，，所以，因為分別為中點，所以∥AC，故，將沿折起，則有PM⊥MN，因為，所以PM⊥平面ACMN，又因為平面PMN，所以面面；（2）過點M作MD⊥PA于點D，由第一問知：PM⊥平面ACMN，因為平面ACMN，所以PM⊥AC，PM⊥AM，因為AC⊥AM，，所以AC⊥平面AMP，因為平面AMP，故AC⊥MD，又因為，所以MD⊥平面PAC，故MD為點到平面的距離，由勾股定理得：，所以,故點到平面的距離為.題型六面面垂直中的動點探究1．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，M為PB的中點，若PC上存在一點N使得平面平面AMN，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】取的中點，連接，由，所以，過點作，交于點，則，如圖所示，由平面，平面，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，由，為的中點，且，所以，又由，所以，所以.故選：B.2．在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．在AD上是否存在一點M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；【答案】存在；證明見解析【解析】存在，當M為的中點時，平面平面，證明如下：取AD的中點M，連接，因為是等邊三角形，可得，由平面平面，平面，平面平面，平面，且平面，所以平面平面.3．如圖，菱形所在平面與矩形ACEF所在平面相互垂直，試探究當為何值時，平面平面？并證明你的結(jié)論．【答案】當時，平面平面；證明見解析.【解析】當時，平面平面；證明：設(shè)，取的中點，連結(jié)如圖所示：平面平面，平面平面，矩形中，平面，平面，同理可得：，，因為菱形中，矩形中，，，是的中點，，假設(shè)平面平面成立，平面平面，且，平面，平面，，矩形ACEF中M是EF的中點，菱形ABCD中O是AC的中點，，平面，平面，，又，是的中點，可知為等腰直角三角形，，，當時，平面平面4．如圖：，的長方形所在平面與正所在平面互相垂直，，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）試問：在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，試指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】（1）連交于，連則為中點，因為為中點，所以，又平面，平面，則平面．（2）當時，平面平面．證明如下：正中，為的中點，故，側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，又平面，則，又因為長方形中，由相似三角形得，則，而平面，平面，又平面，所以，平面平面．1．如圖，二面角的平面角的大小為，，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，作點在平面的投影，作，垂足為，連接，平面，則，同理，又，平面，，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，又是矩形，所以，，從而，所以.故選：A．2．已知四棱錐的底面為菱形，其中，點在線段上，若平面平面，則．【答案】【解析】設(shè)平面與直線交于點，連接，取中點，連接，與交于點，連接，因為，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，從而，又菱形中，，所以是等邊三角形，則，而，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，從而，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，設(shè)，則由已知得，，，，中，，從而，，，所以.3．（多選）已知正三棱柱的各條棱長都是2，D，E分別是的中點，則（

）A．平面B．