考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷2（共218題）

考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷2（共9套）（共218題）考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設f(χ)＝∫0sinχsint2dt，g(χ)＝χ3＋χ4，當χ→0時，f(χ)是g(χ)的()。A、等價無窮小B、同階但非等價無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標準答案：B知識點解析：因為，所以正確答案為B．2、設f(χ)滿足：＝0，χf〞(χ)－χ2f′2(χ)＝1－e-2χ且f(χ)二階連續(xù)可導，則()．A、χ＝0為f(χ)的極小值點B、χ＝0為f(χ)的極大值點C、χ＝0不是f(χ)的極值點D、(0，f(0))是y＝f(χ)的拐點標準答案：A知識點解析：由＝0得f(0)＝0，f′(0)＝0．當z≠0時，由χf〞(χ)－χ2f′2(χ)＝1－e-2χ得，f〞(χ)＝χf′2(χ)＋，再由f(χ)二階連續(xù)可導得f〞(0)＝＝2＞0，故χ＝0為f(χ)的極小值點，選A．3、設f(χ)＝，則f(χ)有()．A、兩個可去間斷點B、兩個無窮間斷點C、一個可去間斷點，一個跳躍間斷點D、一個可去間斷點，一個無窮間斷點標準答案：C知識點解析：顯然χ＝0，χ＝1為f(χ)的間斷點．由f(0＋0)＝f(0－0)＝0，得χ＝0為f(χ)的可去間斷點；由f(1－0)≠f(1＋0)，得χ＝1為f(χ)的跳躍間斷點，故選C．4、設f(χ，y)＝則f(χ，y)在(0，0)處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可偏導C、可偏導但不可微D、可微分標準答案：C知識點解析：當(χ，y)≠(0，0)時，0≤｜f(χ，y)｜＝｜χ｜.≤｜χ｜，由迫斂定理得f(χ，y)＝0＝f(0，0)，從而f(χ，y)在(0，0)處連續(xù)，選項A不對；由＝0得f′χ(0，0)＝0，由＝0得f′y(0，0)＝0，B項不對；令ρ＝，因為不存在，所以f(χ，y)在(0，0)處不可微分，選項D不對，故選C．5、考慮二元函數(shù)f(χ，y)在點(χ0，y0)處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)②可微③f′χ(χ0，y0)與f′y(χ0，y0)存在④f′χ(χ，y)與f′y(χ，y)連續(xù)若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()．A、B、C、D、標準答案：B知識點解析：若f(χ，y)一階連續(xù)可偏導，則f(χ，y)在(χ0，y0)處可微，若f(χ，y)在(χ0，y0)處可微，則f(χ，y)在(χ0，y0)處連續(xù)，故選B．6、設y＝y(tǒng)(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ滿足初始條件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，則為()．A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：因為y(0)＝0，y′(0)＝1，所以由y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ得y〞(0)＝2，從而＝1，故選B．7、設A，B為n階矩陣，則下列結論正確的是()．A、若A2～B2，則A～BB、矩陣A的秩與A的非零特征值的個數(shù)相等C、若A，B的特征值相同，則A～BD、若A～B，且A可相似對角化，則B可相似對角化標準答案：D知識點解析：由A～B得A，B的特征值相同，設為λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩陣P1，使得P1-1AP1＝B，即A＝P1BP1-1；因為A可相似對角化，所以存在可逆矩陣P2，使得P2-1AP2＝，即A＝P2P2-1，于是有P1BP1-1＝P2P2-1，或P2-1P1BP1-1P2＝，取P＝P1-1P2，則P-1BP＝，即B可相似對角化．故選D二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設，則a＝_______，b＝_______．標準答案：a＝1，b＝－2知識點解析：由，即a＝b＋3；由，即a＝－b－1；解得a＝1，b＝－2．9、曲線在t＝0對應點處的法線方程為_______．標準答案：y＝知識點解析：當t＝0時，χ＝3，y＝1，，而＝0，將t＝0代入得＝e，于是切線的斜率為，于是法線為y＝1＝(χ－3)，即法線方程為y＝．10、設y＝y(tǒng)(χ)由＝χ＋1－y確定，則＝_______．標準答案：知識點解析：由得＝χ＋1－y．取χ＝0代入得＝1－y，解得y＝1．＝χ＋1－y兩邊對χ求導得，從而；兩邊再對χ求導得，從而．11、＝_______．標準答案：f(χ，y)dχ知識點解析：二重積分的積分區(qū)域為D＝{(χ，y)｜1－y≤χ≤1＋y2，0≤y≤1}，則12、微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ滿足＝1的特解為_______．標準答案：y＝－3eχ＋3e2χ－2χeχ知識點解析：特征方程為λ2－3λ＋2＝0，特征值為λ1＝1，λ2＝2，y〞－3y′＋2y＝0的通解為y＝C1eχ＋C2e2χ．令原方程的特解為y0(χ)＝Aχeχ，代入原方程為A＝－2，原方程的通解為y＝C1eχ＋C2e2χ－2χeχ由＝1得y(0)＝0，y′(0)＝1，代入通解得C1＝－3，C2＝3，特解為y＝－3eχ＋3e2χ－2χχ．13、已知三階方陣A，B滿足關系式E＋B＝AB，的三個特征值分別為3，－3，0，則｜B-1＋2E｜＝_______．標準答案：－8知識點解析：因為A的特征值為3，－3，0，所以A－E的特征值為2，－4，－1，從而A－E可逆，由E＋B＝AB得(A－E)B＝E，即B與A－E互為逆陣，則B的特征值為，－1，B-1的特征值為2，－4，－1，從而B-1＋2E的特征值為4，－2，1，于是｜B-1＋2E｜＝－8．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設f(χ)二階可導，且f(0)＝0，令g(χ)＝(Ⅰ)確定a的取值，使得g(χ)為連續(xù)函數(shù)；(Ⅱ)求g′(χ)并討論函數(shù)g′(χ)的連續(xù)性．標準答案：(Ⅰ)＝f′(0)，當a＝f′(0)時，g(χ)在χ＝0處連續(xù)．(Ⅱ)當χ≠0時，g′(χ)＝，當χ＝0時，所以g′(χ)在χ＝0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析15、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(0≤a＜b≤)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標準答案：令g(χ)＝－cosχ，g′(χ)＝sinχ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得(盤，6)，使得；令h(χ)＝sinχ，h′(χ)＝cosχ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得．知識點解析：暫無解析16、設f(χ)連續(xù)且f(0)＝0，f′(0)＝2，求極限．標準答案：由∫0χf(χ－t)dt＝－∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－∫χ0f(u)du＝∫0χf(u)du再由得∫0χf(χ－t)dt～χ2，知識點解析：暫無解析17、計算積分χ2y2dχdy，其中D是由直線y＝2，y＝0，χ＝－2及曲線χ＝－了所圍成的區(qū)域．標準答案：令D1＝{(χ，y)｜－2≤χ≤0，0≤y≤2}，D2＝{(χ，y)｜－≤χ≤0，0≤y≤2}，知識點解析：暫無解析18、過點P(0，－)作拋物線y＝的切線，該切線與拋物線及χ軸圍成的平面區(qū)域為D，求該區(qū)域分別繞χ軸和y軸旋轉而成的體積．標準答案：設切點為(a，)，由，解得a＝3，則切線方程為y＋(χ－0)，即y＝(χ－1)．知識點解析：暫無解析19、求z＝χ2－2y2＋2χ＋4在區(qū)域χ2＋4y2≤4上的最小值和最大值．標準答案：當χ2＋4y2＜4時，由，且z(－1，0)＝3；當χ2＋4y2＝4時，令(0≤t≤2π)，則z＝4cos2t一2sin2t＋4cost＋4＝6cos2t＋4cost＋2＝，當cos＝－時，zmin＝；當cost＝1時，zmax＝12，故z＝χ2－2y2＋2χ＋4在χ2＋4y2≤4上的最小值為，最大值為12．知識點解析：暫無解析20、設曲線y＝y(tǒng)(χ)過(0，0)點，M是曲線上任意一點，MP是法線段，P點在X軸上，已知MP的中點在拋物線2y2＝χ上，求此曲線的方程．標準答案：設M(χ，y)，則法線方程為Y－y＝－(X－χ)．令Y＝0得X＝y(tǒng)y′＋χ，于是P點坐標為(yy′＋χ，0)．MP的中點坐標為，它位于給定的拋物線上，于是有方程y2＝y(tǒng)y′＋2χ，即－2y2＝－4χ，所以y2e-2χ＝2χe-2χ＋e-2χ＋C由y(0)＝0得C＝－1，所求曲線方程為y2＝1＋2χ－e2χ．知識點解析：暫無解析21、設A是三階實對稱矩陣，存在可逆矩陣P＝，使得P-1AP＝，又α＝且A*α＝μα．(Ⅰ)求常數(shù)a，b的值及μ．(Ⅱ)求｜A*＋3E｜．標準答案：(Ⅰ)A的特征值為λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－1，令顯然Aα1＝α1，Aα2＝2α2，Aα3＝－α3，即α1，α2，α3為分別屬于λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－1的特征向量，因為A是實對稱矩陣，所以解得a＝，b＝－2．A*的特征值為＝2，由α3＝－α得α是矩陣A的屬于特征值λ3＝－1的特征向量，從而α是A*的屬于特征值2的特征向量，即μ＝2．(Ⅱ)A*＋3E的特征值為1，2，5，則｜A*＋3E｜＝10．知識點解析：暫無解析22、設A為三階實對稱矩陣，且存在正交矩陣Q＝，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩陣B．標準答案：由QTAQ＝得A的特征值為λ1＝2，λ2＝－1，λ3＝1，且λ1＝2對應的特征向量為考ξ1＝．由AT＝A得BT＝(A2＋2E)T＝(A2)T＋2E＝A2＋2E＝B，即B為實對稱矩陣．顯然B的特征值為λ1＝6，λ2＝λ3＝3，且B相應于特征值λ1＝6的特征向量為ξ1＝．設B的相應于λ2＝λ3＝3的特征向量為ξ＝，因為實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量正交，所以ξ1Tξ＝0，即χ1＋χ2＋χ3＝0，于是B的相應于特征值λ2＝λ3＝3的線性無關的特征向量為ξ2＝．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設則()A、f(x)在x=0處連續(xù)，但未必可導。B、f(x)在x=0處極限存在，但未必連續(xù)。C、f(x)在x=0處可導，且f’(x)=a。D、以上結論均不正確。標準答案：D知識點解析：在求解本題時，考生需要將f(x)在x=0處的左、右導數(shù)f－’(0)，f+’(0)和f’(x)在x=0處的左、右極限區(qū)分開來。由只能得出但不能保證f(x)在x=0處可導、連續(xù)、極限存在。故本題選D。2、設則A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：方法一：函數(shù)z=f(x，y)關于y求偏導得將點(0，1)代入上式得方法二：將x=0代入函數(shù)z=f(x，y)，得z=f(0，y)=2y，于是故本題選B。3、曲線的漸近線條數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標準答案：D知識點解析：因為所以x=0是曲線的1條垂直漸近線。因為所以曲線不存在水平漸近線。設曲線的斜漸近線為y=kx+b，則所以y=x+1是曲線的1條斜漸近線；又因為所以y=－x－1是曲線的1條斜漸近線。綜上，曲線一共有3條漸近線。故本題選D。4、設f(x)是(－∞，+∞)上的連續(xù)偶函數(shù)，且|f(x)|≤m，則是(－∞，+∞)上的()A、有界奇函數(shù)。B、有界偶函數(shù)。C、無界奇函數(shù)。D、無界偶函數(shù)。標準答案：B知識點解析：首先討論函數(shù)F(x)的奇偶性：對任意的x∈(－∞，+∞)，有令t=－u，得所以F(x)是(－∞，+∞)上的偶函數(shù)。其次討論函數(shù)F(－x)的有界性：因為F(x)是(－∞，+∞)上的偶函數(shù)，所以我們可以只討論x≥0時，函數(shù)F(x)的有界性。由于所以F(x)是(－∞，+∞)上的有界函數(shù)。故本題選B。5、設在[1，2]上f"(x)＞0，則f’(1)，f’(2)，f(2)－f(1)或f(1)－f(2)的大小關系為()A、f’(2)＞f’(1)＞f(2)-f(1)。B、f’(2)＞f(2)-f(1)＞f’(1)。C、f((1)-f(2)＞f’(2)＞f’(1)。D、f’(2)＞f(1)-f(2)＞f’(1)。標準答案：B知識點解析：由已知f"(x)＞0，x∈[1，2]，可得函數(shù)f’(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增。由拉格朗日中值定理得f(2)-f(1)=f’(ξ)，ξ∈(1，2)。因此f’(1)＜f’(ξ)＜f’(2)，即有f’(1)＜f(2)-f(1)＜f’(2)。故本題選B。6、曲線y=(x2+1)sinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的圖形的面積可表示為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：當0≤x≤π，2π≤x≤3π時，y=(x2+1)sinx≥0；當π≤x≤2π時，y=(x2+1)sinx≤0。所以曲線y=(x2+1)sinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成的圖形的面積為故本題選D。7、設n階方陣A，B，C滿足關系式ABC=E，其中E為n階單位陣，則必有()A、ACB=E。B、BAC=E。C、CAB=E。D、CBA=E。標準答案：C知識點解析：由ABC=E可知A(BC)=E或(AB)C=E，因此矩陣A與矩陣BC、矩陣AB與矩陣C均互為逆矩陣，從而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E。故本題選C。8、若三階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為1，2，－2，B*是矩陣B的伴隨矩陣，則行列式A、8B、－8C、1D、－1標準答案：B知識點解析：由矩陣A的特征值為1，2，－2及|A|=|AT|得，|AT|=－4。因為相似矩陣有相同的特征值，所以矩陣B的特征值為1，2，－2，則|B|=－4。所以故本題選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、曲線的漸近線為________________。標準答案：x=0和知識點解析：曲線的可能間斷點為x=0，則所以x=0為曲線的垂直漸近線。因為所以為曲線的斜漸近線。又因為所以曲線無水平漸近線。10、與曲線(y－2)2=x相切，且與曲線在點(1，3)的切線垂直的直線方程為______________。標準答案：知識點解析：曲線方程(y－2)2=x對x求導得2(y－2))y’=1，即當y=3時，即曲線在(1，3)處的法線斜率為－2。因為所求直線與曲線在點(1，3)的法線平行，所以直線斜率為解得則所求直線方程與曲線的切點為因此所求直線方程為即11、已知凹曲線y=f(x)在曲線上的任意一點(x，f(x))處的曲率為且f(0)=0,f’(0)=0，則f(x)=______________。標準答案：知識點解析：根據(jù)曲率公式因為函數(shù)y=f(x)為凹曲線，所以f"(x)＞0，則有微分方程令f’(x)=p，則解微分方程可得12、設函數(shù)f(u，v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，z=f(xy，y)，則標準答案：f1’+xyf11"+yf12"知識點解析：因為所以13、設函數(shù)f(x，y)連續(xù)，則交換積分次序標準答案：知識點解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D，如右圖陰影部分所示，則有交換積分次序14、設A是一個n階矩陣，且A2－2A－8E=O，則r(4E－A)+r(2E+A)=___________。標準答案：n知識點解析：已知A2-2A－8E=O，所以(4E－A)(2E+A)=O。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)可知r(4E－A)+r(2E+A)≤n，同時r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E－A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E－A)+r(2E+A)=n。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、求極限標準答案：對極限式先通分，然后再利用麥克勞林公式展開得知識點解析：暫無解析16、證明不等式3x＜tanx+2sinx，標準答案：設則有f’(x)=sec2x+2cosx－3，f"(x)=2sec2xtanx-2sinx=2sinx(sec3x－1)，由于當時，sinx＞0，sec3x－1＞0，所以f"(x)＞0，所以函數(shù)f’(x)=sec2x+2cosx－3為增函數(shù)，且f’(0)=0，因此當時，f’(x)＞0，所以f(x)=tanx+2sinx－3x為增函數(shù)，f(x)=tanx+2sinx－3x＞f(0)=0，即有知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)z=x(x，y)具有二階連續(xù)導數(shù)，變量代換u=ax+y，v=x+by把方程化為求ab。標準答案：對函數(shù)z=z(x，y)求偏導數(shù)得所以由題意得解得所以ab=－1。知識點解析：暫無解析18、設函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)二階可導，x=1是f(x)的極值點，且證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0。標準答案：由于x=1是f(x)的極值點，所以f’(1)=0。因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)二階可導，所以由積分中值定理可知，存在使得即有又因為f(x)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，所以由羅爾定理可知，存在使得f’(ζ)=0。再由f’(x)在[ζ，1]上連續(xù)，在(ζ，1)內(nèi)可導，且f’(ζ)=f’(1)=0可知，存在ξ∈(ζ，1)(0，1)，使得f"(ξ)=0。知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)f(x，y)=x2+xy+y2在閉區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。標準答案：由于所給的區(qū)域D是閉區(qū)域，故先考慮函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D內(nèi)部{(x，y)|x2+y2＜1)的極值，這屬于無條件極值，解線性方程組所以x=0，y=0。在(0，0)點，有fxx"=2＞0，fxy"=1，fyy"=2，所以fxx"fyy"－(fxy")2＞0，所以(0，0)點是函數(shù)的極小值點，極小值為f(0，0)=0。然后考慮函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D邊界{(x，y)|x2+y2=1)的極值，這屬于條件極值，構造如下的拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=x2+xy+y2－λ(x2+y2－1)，對上式求偏導得如下方程組將上述方程組化簡得4λ2－8λ+3=0．解得當時，x=－y，當時，x=y，因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必可取得最大值和最小值，所以f(x，y)在邊界上的最大值為最小值為綜上所述，f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值為最小值為0。知識點解析：暫無解析20、計算二重積分其中D是由直線y=1、曲線y=x2(x≥0)以及y軸所圍成的區(qū)域。標準答案：二重積分的積分區(qū)域D如下圖陰影部分所示。其中，被積函數(shù)xe－(1－x2)2適合先y后x的積分次序，被積函數(shù)xe－y2適合先x后y的積分次序，則令t=1－x2，則同理可得因此知識點解析：暫無解析21、設f(u，v)具有連續(xù)偏導數(shù)，且滿足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。標準答案：方法一：y(x)=e－2xf(x，x)對x求導得y’=－2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x)=－2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=－2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，因為f’u(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，因此y’=－2y+x2e－2x，即y(x)滿足一階微分方程y’+2y=x2e－2x。由一階線性微分方程的通解公式得其中C為任意常數(shù)。方法二：由y(x)=e－2xf(x，x)得f(x，x)=e2xy(x)，因為fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，即將其代入f(x，x)=e2xy(x)有[e2xy(x)]’=x2，即2e2xy(x)+e2xy’(x)=x2，化簡得y’(x)+2y(x)=x2e－2x。由一階線性微分方程的通解公式得其中C為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析22、設X是三階矩陣。求當a為何值時，方程AX－B=BX無解；當a為何值時，方程AX－B=BX有解，有解時，求出全部解。標準答案：由題意得，矩陣方程為(A－B)X=B，且將矩陣B和X寫成分塊矩陣(按列分)的形式，則B=(β1，β2，β3)，X=(x1，x2，x3)，所以矩陣方程為(A－B)X=(A－B)(x1，x2，x3)=(β1，β2，β3)，則有(A－B)xi=βi，i=1，2，3。對增廣矩陣(A－B，B)作初等行變換當a=3時，r(A－B)=2，r(A－B，B)=3，則r(A－B)＜r(A－B，B)，此時方程AX—B=BX無解。當a≠3時，r(A－B)=r(A－B，B)=3，此時方程AX－B=BX有唯一解。(A－B)x1=β1的解為(A－B)x2=β2的解為(A－B)x3=β3的解為綜上，方程AX－B=BX的解為知識點解析：暫無解析設二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－2x1x2－2x1x3+2ax2x3通過正交變換化為標準形f=2y12+2y22+by32。23、求常數(shù)a，b及所用的正交變換矩陣Q；標準答案：由題意得，二次型矩陣及其對應的標準形矩陣分別為由矩陣B可知，矩陣A的特征值為2，2，b。矩陣A的跡tr(A)=3=2+2+b，所以b=－1。由于2是矩陣A的二重特征值，而實對稱矩陣A必可相似對角化，所以矩陣A的對應于特征值2的線性無關的特征向量有2個。于是矩陣A－2E的秩為1，而所以a=－1。由(A－λE)x=0得，特征值為λ1=λ2=2，λ3=－1，對應的特征向量分別為α1=(1，0，－1)T，α2=(0，1，－1)T，α3=(1，1，1)T，由于實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α1，α2正交化得再將β1，β2，α3單位化得則正交變換矩陣知識點解析：暫無解析24、求f在xTx=3下的最大值。標準答案：二次型f=xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為f=2y12+2y22－y32。條件xTx=3等價于yTQTQy=y12+y22+y32=3，此時f=2y12+2y22－y32=6－3y32的最大值為6，所以f在xTx－3下的最大值為6。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)f(x)=的可去間斷點個數(shù)為()．A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：因為f(0－0)≠f(0+0)，所以x=0為跳躍間斷點；因為f(2－0)=0，f(2+0)=－∞，所以x=2為第二類間斷點；故f(x)有兩個可去間斷點，應選(C)．2、設f(x)滿足：=0，xf"(x)－x2f’2(x)=1－e－2x且f(x)二階連續(xù)可導，則()．A、x=0為f(x)的極小值點B、x=0為f(x)的極大值點C、x=0不是f(x)的極值點D、(0，f(0))是y=f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：由=0得f(0)=0，f’(0)=0．當x≠0時，由xf"(x)－x2f’2(x)=1－e－2x得f"(x)=xf’2(x)+再由f(x)二階連續(xù)可導得故x=0為f(x)的極小值點，選(A)．3、設f(x)連續(xù)，且f(0)=0，f’(0)=3，D={(x，y)｜x2+y2≤t2，t＞0}，且～atb(t→0+)，則()．A、a=1，b=3B、a=π，b=3C、a=1，b=2D、a=π，b=2標準答案：B知識點解析：4、設f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可偏導C、可偏導但不可微D、可微分標準答案：C知識點解析：當(x，y)≠(0，0)時，0≤｜f(x，y)｜=≤｜x｜，由迫斂定理得=0=f(0，0)，從而f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，(A)不對；5、考慮二元函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)②可微③f’x(x0，y0)與f’y(x0，y0)存在④f’x(x，y)與f’y(x，y)連續(xù)若用“P=>Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()．A、②=>③=>①B、④=>②=>①C、②=>④=>①D、④=>③=>②標準答案：B知識點解析：若f(x，y)一階連續(xù)可偏導，則f(x，y)在(x0，y0)處可微，若f(x，y)在(x0，y0)處可微，則f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)，選(B)．6、設y=y(x)是微分方程y"+(x－1)y’+x2y=ex滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=1的解，則為()．A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：因為y(0)=0，y’(0)=1，所以由y"+(x－1)y’+x2y=ex得y"(0)=2，7、設A，B為n階矩陣，則下列結論正確的是()．A、若A2～B2，則A～BB、矩陣A的秩與A的非零特征值的個數(shù)相等C、若A，B的特征值相同，則A～BD、若A～B，且A可相似對角化，則B可相似對角化標準答案：D知識點解析：由A～B得A，B的特征值相同，設為λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩陣P1，使得P1－1AP1=B，即A=P1BP1－1；因為A可相似對角化，所以存在可逆矩陣P2，使得P2－1AP2=8、設A是n階矩陣，下列結論正確的是()．A、設r(A)=r，則A有r個非零特征值，其余特征值皆為零B、設A為非零矩陣，則A一定有非零特征值C、設A為對稱矩陣，A2=2A，r(A)=r，則A有r個特征值為2，其余全為零D、設A，B為對稱矩陣，且A，B等價，則A，B特征值相同標準答案：C知識點解析：取A=，顯然A的特征值為0，0，1，但r(A)=2，(A)不對；設A=，顯然A為非零矩陣，但A的特征值都是零，(B)不對；兩個矩陣等價，則兩個矩陣的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不對；選(C)．事實上，令AX=λX，由A2=2A得A的特征值為0或2，因為A是對稱矩陣，所以A一定可對角化，由r(A)=r得A的特征值中有r個2，其余全部為零．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、極限=________．標準答案：知識點解析：10、設f(x)=exsin2x，則f(4)(0)=________．標準答案：-24知識點解析：11、=________．標準答案：知識點解析：12、y=y(x)由確定，則=________．標準答案：2(e－2－e－1)知識點解析：13、若f(x)=2nx(1－x)n，記Mn=，則=________．標準答案：知識點解析：令f’(x)=2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1=0，得x=，由f(0)=f(1)=0，14、設A=，且ABAT=E+2BAT，則B=________．標準答案：知識點解析：由ABAT=E+2BAT，得ABAT=(AT)－1AT+2BAT，因為AT可逆，所以AB=(AT)－1+2B或B=(A－2E)－1(AT)－1=[AT(A－2E)]－1，解得B=三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設f(x)在[0，1]上可導，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，證明：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．標準答案：令φ(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，φ(0)=0，φ’(x)=2f(x)∫0xf(t)dt－f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]．再令h(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)，h(0)=0，h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]．由f(0)=0，0＜f’(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，則h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]＞0(0＜x≤1)，于是φ(1)＞0，即[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．知識點解析：暫無解析16、設拋物線y=ax2+bx+c過點(0，0)及(1，2)，其中a＜0，確定a，b，c，使拋物線與x軸所圍成的面積最?。畼藴蚀鸢福河蓲佄锞€y=ax2+bx+c過點(0，0)及(1，2)得c=0，a+b=2或b=2－a，c=0．因為a＜0，所以b＞0，由ax2+bx=0得x1=0，x2=＞0．令S’(a)=0得a=－4，從而b=6，故a=－4，b=6，C=0．知識點解析：暫無解析17、設f(u)二階連續(xù)可導，z=f(exsiny)，且=e2xz+e3xsiny，求f(x)．標準答案：由=e2xz+e3xsiny得e2xf"(exsiny)=e2xz+e3xsiny，或f"－f=exsiny，于是有f"(x)－f(x)=x．顯然f(x)=C1e－x+C2ex－x．知識點解析：暫無解析18、設L：+y2=1(x≥0，y≥0)，過L上一點作切線，求切線與曲線所圍成面積的最小值．標準答案：首先求切線與坐標軸圍成的面積．設M(x，y)∈L，過點M的L的切線方程+yY=1．令Y=0，得x=，切線與X軸的交點為P(，0)；令X=0，得Y=，切線與y軸交點為Q(0，)，切線與橢圓圍成的圖形面積為S(x，y)=其次求最優(yōu)解．設F(x，y，λ)=xy+λ(+y2－1)，知識點解析：暫無解析19、已知微分方程=(y－x)z，作變換u=x2+y2，v=，w=lnz－(x+y)，其中w=w(u，v)，求經(jīng)過變換后原方程化成的關于w，u，v的微分方程的形式．標準答案：w=lnz－(x+y)兩邊關于x求偏導得w=lnz－(x+y)兩邊關于y求偏導得知識點解析：暫無解析20、計算二重積分，其中區(qū)域D是由直線x=－2，y=0，y=2及曲線x=所圍成的平面區(qū)域．標準答案：設曲線x=與y軸圍成的平面區(qū)域為D0，知識點解析：暫無解析21、當隕石穿過大氣層向地面高速墜落時，隕石表面與空氣摩擦產(chǎn)生的高溫使隕石燃燒并不斷揮發(fā)，實驗證明，隕石揮發(fā)的速率(即體積減少的速率)與隕石表面積成正比，現(xiàn)有一隕石是質(zhì)量均勻的球體，且在墜落過程中始終保持球狀．若它在進入大氣層開始燃燒的前3s內(nèi)，減少了體積的，問此隕石完全燃盡需要多長時間?標準答案：設隕石體積為V，表面積為S，半徑為r，它們都是時間t的函數(shù)，知識點解析：暫無解析22、設，問a，b，c為何值時，矩陣方程AX=B有解，有解時求出全部解．標準答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即當a=1，b=2，c=－2時，矩陣方程有解，知識點解析：暫無解析23、設A為三階實對稱矩陣，若存在三階正交矩陣Q=，使得二次型XTAX－y12+2y22+by32(b＞0)，且｜A*｜=16．(Ⅰ)求常數(shù)a，b；(Ⅱ)求矩陣A．標準答案：(Ⅰ)A的特征值為λ1=－1，λ2=2，λ3=b，因為不同特征值對應的特征向量正交，所以a=－1．｜A｜=－2b，由｜A*｜=｜A｜2得b=2．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設函數(shù)則x=0是f(x)的()A、振蕩間斷點。B、跳躍間斷點。C、可去間斷點。D、無窮間斷點。標準答案：B知識點解析：由已知得，當x＞0時，當x＜0時，因為函數(shù)f(x)在x=0點的左、右極限存在但不相等，所以x=0為f(x)的跳躍間斷點。故本題選B。2、設f(x)有一個原函數(shù)則A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由題意可得所以故本題選A。3、若f"(x)不變號，且曲線y=f(x)在點(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)()A、有極值點，無零點。B、無極值點，有零點。C、有極值點，有零點。D、無極值點，無零點。標準答案：B知識點解析：由已知得f(x)為凸函數(shù)，因此f"(x)＜0。對曲率圓x2+y2=2關于x求導得2x+2yy’=0，所以f’(1)=－1。曲線在點(1，1)處的曲率為所以f"(1)=－2。在閉區(qū)間[1，2]上，f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間(1，2)內(nèi)無極值點。由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)<－1，因為f(1)=1＞0，所以f(2)＜0。由零點定理知，在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點。故本題選B。4、設則F(x)在x=0處()A、極限存在但不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導。C、可導。D、可導性與a值有關。標準答案：D知識點解析：當x≤0時，當x＞0時，因為所以F(x)在x=0處連續(xù)。而所以F(x)在x=0處的可導性與a值有關。故本題選D。5、已知當x→時，arcsinx－arctanax與bx[x－ln(1+x)]是等價無窮小，則ab=()A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：根據(jù)等價無窮小的定義有所以則a=1，b=1，因此ab=1。故本題選B。6、方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。標準答案：D知識點解析：齊次微分方程y"－3y’+2y=0對應的特征方程為λ2－3λ+2=0．特征根為λ1=1，λ2=2，則方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。故本題選D。7、向量組α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，－1，-3，4)T，α3=(6，4，4，6)T，α4=(7，7，9，1)T，α5=(3，2，2，3)T的一個極大線性無關組是()A、α1，α2，α5。B、α1，α3，α5。C、α2，α3，α4。D、α3，α4，α5。標準答案：C知識點解析：對α1，α2，α3，α4，α5構成的矩陣作初等行變換可見r(α1，α2，α3，α4，α5)=3。由上述矩陣可知，三個非零行的非零首元在1，2，4列，所以α1，α2，α4為向量組的一個極大無關組。選項中無此答案，現(xiàn)結合選項來看，由于上述矩陣的第3列和第5列成比例，所以α3，α5線性相關，即同時包含α3，α5的選項錯誤，故排除B、D。又因為上述矩陣的第3行的非零元只有1個，且在第4列，所以α4必在極大無關組中，故本題選C。實際上，對于C項，上述矩陣對應的三階子式所以α2，α3，α4是向量組的一個極大線性無關組。8、設A，B均為n階矩陣，A可逆，且A與B相似，則下列命題中正確的個數(shù)為()①AB與BA相似；②A2與B2相似；③AT與BT相似；④A－1與B－1相似。A、1B、2C、3D、4標準答案：D知識點解析：因為A與B相似，所以存在可逆矩陣P，使得P－1AP=B，于是P－1A2P=B2，PTAT(PT)－1=BT，P－1A－1P=B－1，則有A2與B2相似，AT與BT相似，A－1與B-1相似。又因為A可逆，所以A－1(AB)A=BA，即AB與BA相似。故本題選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設f(x)為可導的偶函數(shù)，且滿足則曲線y=f(x)在點(－1，f(－1))的切線方程為___________。標準答案：y=4(x+1)知識點解析：因為所以即因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(－1)=0。根據(jù)可得所以f’(1)=－4。因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，則f’(1)=-f’(－1)=－4，即f’(－1)=4，因此所求切線方程為y=4(x+1)。10、設則f(x)的不可導點為___________。標準答案：x=3知識點解析：函數(shù)可化為顯然函數(shù)在x=3處不可導。11、設則標準答案：知識點解析：因為所以12、函數(shù)f(x，y)=ax2+bxy2+2y在點(1，－1)取得極值，則ab=___________。標準答案：知識點解析：函數(shù)f(x，y)=ax2+bxy2+y分別對x，y求偏導，得因為函數(shù)f(x，y)=ax2+bxy2+2y在點(1，－1)取得極值，所以則因此13、標準答案：知識點解析：本題先對y積分較困難，而先對x積分可以應用湊微分法，因此先交換積分次序得求解上述積分得14、設α1=(2，1，1)T，α2=(－1，2，7)T，α3=(1，－1，－4)T，若β1=(1，2，t+1)2可以由α1，α2，α3線性表示，但是β2=(t，1，0)2不可以由α1，α2，α3線性表示，則t=__________。標準答案：4知識點解析：根據(jù)題意，β1可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1有解；β2不可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解。由于兩個方程組的系數(shù)矩陣相同，因此可以合并在一起進行矩陣的初等變換，即所以當t=4時，方程組x1α1+x2α2+3α3=β1有解，方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，故t=4。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、求不定積分標準答案：令則所以又因為所以知識點解析：暫無解析16、計算二重積分其中D是由x軸、y軸與曲線圍成的區(qū)域，a＞0，b＞0。標準答案：積分區(qū)域如圖中陰影部分所示。因此令則x=a(1－t)2，dx=－2a(1－t)dt，所以知識點解析：暫無解析17、設函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，求函數(shù)y=y(x)的極值和曲線y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點。標準答案：因為令得t=±1。當t=1時，當t=－1時，x=－1，y=1。令得t=0，此時，列表如下由上表可知，函數(shù)y=y(x)的極大值為y(－1)=1，極小值為曲線y=y(x)的凹區(qū)間為凸區(qū)間為曲線y=y(x)的拐點為知識點解析：暫無解析18、對任意的x，y有用變量代換將f(x，y)變換成g(u，v)，試求滿足的常數(shù)a，b。標準答案：由題意得因為(f1’)2+(f2’)2=4，所以(f2’)2=4－(f1’)2，則有(a+b)(v2－u2)(f1’)2+2uv(a+b)f1’f2’+4au2－4bv2=u2+v2。因此(a+b)=0，4a=1，4b=－1，所以知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)數(shù)列{xn}滿足證明存在，并求此極限。標準答案：令則x=1，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增。因此x=1是f(x)唯一的最小值點，且f(x)≥f(1)=1，從而有所以因此xn＜xn+1且0＜xn＜e，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞增且有界。由單調(diào)收斂定理知，極限存在。令則而所以由上述f(x)的性質(zhì)可知知識點解析：暫無解析設函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導，f(0)=1，且滿足等式20、求導數(shù)f’(x)；標準答案：由題意得上式兩邊同時對x求導得(x+1)f"(x)=－(x+2)f’(x)，即有上式兩邊同時積分得ln|f’(x)|=－x－ln(x+1)+C1，所以令x=0，則又因為f(0)=1，所以f’(0)=－1，將其代入f’(x)的表達式得，C=－1，因此知識點解析：暫無解析21、證明當x≥0時，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。標準答案：方法一：由上題中結果知，當x≥0時，f’(x)＜0，f’(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，又因為f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。設φ(x)=f(x)－e－x，則φ(0)=0，當x≥0時，φ’(x)≥0，即φ(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增。因而φ(x)≥φ(0)=0，即f(x)≥e－x。綜上所述，當x≥0時，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。方法二：因為將f’(x)代入得當x≥0時，所以e－x≤f(x)≤1。知識點解析：暫無解析已知函數(shù)y=f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且f(0)=0，f(1)=1。證明：22、存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1－ξ；標準答案：令F(x)=f(x)－1+x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=－1＜0，F(xiàn)(1)=1＞0，故由零點定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1－ξ。知識點解析：暫無解析23、在(0，1)內(nèi)存在兩個不同的點η，ζ，使得f’(η)f’(ζ)=1。標準答案：在[0，ξ]和[ξ，1]上對f(x)分別應用拉格朗日中值定理，則存在兩個不同的點η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得于是知識點解析：暫無解析已知A，B是三階非零矩陣，且β1=(0，1，－1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齊次線性方程組Bx=0的三個解向量，且Ax=β3有解。24、求a，b的值；標準答案：由B≠O，且β1，β2，β3是齊次線性方程組Bx=0的三個解向量可知，向量組β1，β2，β3必線性相關，則有解得a=36。由Ax=β3有解可知，線性方程組Ax=β3的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，對增廣矩陣作初等變換得所以b=－4，a=3b=－12。知識點解析：暫無解析25、求Bx=0的通解。標準答案：因為B≠O，所以r(B)≥1，則3－r(B)≤2。又因為β1，β2是Bx=0的兩個線性無關的解向量，故3－r(B)≥2，故r(B)=1，所以β1，β2是Bx=0的一個基礎解系，于是Bx=0的通解為x=k1β1+k2β2，其中k1，k2為任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析設A是三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的三維列向量，且滿足Aα1=－2α1－4α3，Aα2=α1+2α2+α3，Aα3=α1+3α3。26、求矩陣A的特征值；標準答案：由已知得記P1=(α1，α2，α3)，則有AP1=P1B。由于α1，α2，α3線性無關，則矩陣P1。可逆，所以P1－1AP1=B，因此矩陣A與矩陣B相似，則矩陣B的特征值為2，2，－1，故矩陣A的特征值為2，2，－1。知識點解析：暫無解析27、求可逆矩陣P使得P－1AP為對角陣。標準答案：由(B－2E)x=0可得，矩陣B對應于特征值λ=2的特征向量為β1=(0，1，－1)T，β2=(1，O，4)T；由(B+E)x=0可得，矩陣B對應于特征值λ=－1的特征向量為β3=(1，0，1)T。令則所以即當時，有知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(u)為u的連續(xù)函數(shù)，并設f(0)=a>0，又設平面區(qū)域σt={(x，y)||x|+|y|≤t，t≥0}，Ф(t)=f(x2+y2)dxdy．則Ф(t)在t=0處的右導數(shù)Ф+(0)=()A、a．B、2πa．C、πa．D、0．標準答案：D知識點解析：令Dt={(x，y)|x2+y2≤t2)，于是由于f(u)連續(xù)且f(0)=a>0，所以存在T>0，當0＜t2＜T時，此外，關于3塊區(qū)域，顯然有此外顯然有Ф(0)=0．于是有令t→0+取極限，右邊由夾逼定理有即Фˊ+(0)=0．2、微分方程y″－2yˊ+y=ex的特解形式為()A、y*=Aex(A≠0)．B、y*=(A+Bx)ex(B≠0)．C、y*=(A+Bx+Cx2)ex(C≠0)．D、y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D≠0)．標準答案：C知識點解析：因為方程右邊ex指數(shù)上的1是特征方程的二重特征根，故特解形式為y*=Ax2ex(A≠0)，即C中C≠0的形式．故應選C．3、設f(x)在x=a處可導，則|f(x)|在x=a處不可導的充分必要條件是()A、f(a)=0，fˊ(a)=0．B、f(a)=0，fˊ(a)≠0．C、f(a)≠0，fˊ(a)=0．D、f(a)≠0，fˊ(a)≠0．標準答案：B知識點解析：若f(a)≠0，則存在x=a的某鄰域U(a)，在該鄰域內(nèi)f(x)與f(a)同號．于是推知，當x∈U(a)時，若f(a)>0，則|f(x)|=f(x)；若f(a)<0，則|(x)|=－f(x)．總之，若f(a)≠0，|f(x)|在x=a處總可導．若f(a)=0，則從而知其中x→a+時取“+”，x→a時取“－”，所以f(a)=0時，|f(x)|在x=a處可導的充要條件為|fˊ(a)|=0，即fˊ(a)=0．所以當且僅當f(a)=0，fˊ(a)≠0時，|f(x)|在x=a處不可導．選B．4、(－∞，+∞)內(nèi)零點的個數(shù)為()A、0．B、1．C、2．D、無窮多．標準答案：C知識點解析：f(x)為偶函數(shù)，f(0)<0，，所以在區(qū)間內(nèi)至少有1個零點，當x>0時，所以在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)f(x)至多有1個零點，故在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)f(x)有且僅有1個零點，所以在區(qū)間(－∞，+∞)內(nèi)f(x)有且僅有2個零點．選C．5、考慮一元函數(shù)f(x)的下列4條性質(zhì)：①f(x)在[a，b]上連續(xù)；②f(x)在[a，b]上可積；③f(x))在[a，b]上可導；④f(x)在[a，b]上存在原函數(shù)．以P=>Q表示由性質(zhì)P可推出性質(zhì)Q，則有()A、①=>②=>③．B、③=>①=>④．C、①=>②=>④．D、④=>①=>③．標準答案：B知識點解析：因可導必連續(xù)．連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，故B正確．A是不正確的．雖然由①(連續(xù))可推出②(可積)，但由②(可積)推不出③(可導)．例如f(x)=|x|在[－1，1]上可積，且∫－11|x|dx=2∫01xdx=1，但|x|在x=0處不可導．C是不正確的．由②(可積)推不出④(存在原函數(shù))，例如在[－1，1]上可積，且∫－11f(x)dx=∫－10(－1)dx+∫011dx=－x|－10+x01=－1+1=0．但f(x)在[－1，1]上不存在原函數(shù)．因為如果存在原函數(shù)F(x)，那么只能是F(x)=|x|+C的形式，而此函數(shù)在x=0處不可導，在區(qū)間[－1，1]上它沒有做原函數(shù)的“資格”．D是不正確的．因為由④(存在原函數(shù))推不出①(函數(shù)連續(xù))．例如：它存在原函數(shù)可以驗證Fˊ(x)=f(x)，但f(x)在x=0處并不連續(xù)，即存在原函數(shù)可以不連續(xù)．6、設當x>0時，f(x)連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)=∫0x(2t－x)f(t)dt，則F(x)在x>0時()A、沒有駐點．B、有唯一駐點且為極大值點．C、有唯一駐點且為極小值點．D、有唯一駐點但不是極值點．標準答案：A知識點解析：F(x)=∫0x(2t－x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt－x∫0xf(t)dt，F(xiàn)ˊ(x)=2xf(x)－xf(x)－∫0xf(t)dt=xf(x)－∫0xf(t)dt=∫0x[f(x)－f(t)]dt．由于f(x)嚴格單調(diào)增加，可知當t∈(0，x)時，f(x)>f(t)，故當x>0時，F(xiàn)ˊ(x)=∫0x[f(x)－f(t)]dt>0，也即F(x)在x>0時沒有駐點．故應選A．7、設A，B均是4階方陣，且r(A)=3，A*，B*是矩陣A，B的伴隨矩陣，則矩陣方程A*X=B*一定有解的充要條件是()A、r(B)≤1．B、r(B)≤2．C、r(B)≤3．D、r(B)≤4．標準答案：B知識點解析：由題設條件知，r(A)=3，則r(A*)=1．而當r(B*)=1時，有可能r(A*┊B*)=2．如則r(A*)≠r(A*┊B*)=>A*X=B*無解．故r(B*)=0，此時r(B)≤2，有r(A*)=r(A*┊B*)=1〈=〉A*X=B*有解．8、設．則存在初等矩陣使得B=()A、P1P2A．B、P2P1A．C、AP1P2．D、AP2P1．標準答案：A知識點解析：B是上三角陣，應作初等行變換將A中下三角元素a21=－1，a32=2消為0，故故選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設ak=∫01x2(1－x)kdx，則______．標準答案：知識點解析：10、設常數(shù)a>0．由方程組確定的滿足y(a)=a，z(a)=a的函數(shù)組為y=y(x)，z=z(x)，則yˊ(a)=______，zˊ(a)=______．標準答案：－1，0知識點解析：方程兩邊對x求導，得yz+xyˊz+xyzˊ=0及x+yyˊ=azˊ．將(x，y，z)=(a，a，a)代入得yˊ(a)+zˊ(a)=－1，yˊ(a)－zˊ(a)=－1．解得yˊ(a)=－1，zˊ(a)=0．11、設f(u)在u=1的某鄰域內(nèi)有定義且f(1)=0，______．標準答案：知識點解析：式中(*)表示等價無窮小替換．12、______．標準答案：知識點解析：積分區(qū)域如圖所示，并用極坐標表示，得13、微分方程yy″+(yˊ)2=yyˊ滿足初始條件y|x=0=1，yˊ|x=0=的特解是______．標準答案：知識點解析：此為缺x的可降階二階方程．令方程yy″+(yˊ)2=yyˊ化為分解成p=0與不滿足初始條件．解第二個方程，此為p關于y的一階線性微分方程，變形為再將y|x=0=1代入，得C2=0．故解得．14、設n維(n≥3)向量組α1，α2，α3線性無關，若向量組lα1－α1，mα3－2α2，α1－3α3線性相關，則m，l應滿足條件______．標準答案：lm=6知識點解析：α1，α2，α3線性無關〈=〉r(α1，α2，α3)=3．lα2－α1，mα3－2α2，α1－3α3線性相關〈=〉r(lα2－α1，mα3－2α2，α1－3α3)≤2〈=〉r(C)≤2〈=〉|C|=lm－6=0〈=〉lm=6．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、設，常數(shù)a>0，b>0，a≠b．求二重積分I=[(x－1)2+(2y+3)2]dσ．標準答案：其中知識點解析：暫無解析16、已知f(u)有二階連續(xù)導數(shù)，且在x>0時滿足．求z的表達式．標準答案：由整理得(1+u2)f″+2ufˊ=0，其中，f中的自變量為u，解上述方程，得其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析17、設f(x)在區(qū)間(0，+∞)上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加．試求證：在區(qū)間(0，+∞)上也嚴格單調(diào)增加．標準答案：對第1個積分作變量代換，令則不論哪種情形，總有Fˊ(x)>0(當x>0且x≠1)．此外易知Fˊ(1)=0．所以當0＜x＜+∞時，F(xiàn)(x)嚴格單調(diào)增加．知識點解析：暫無解析18、設平面區(qū)域D用極坐標表示為D={(r，θ)|cosθ≤r≤cosθ，sinθ≤r≤sinθ}．求二重積分標準答案：如圖所示D為陰影部分，為清楚起見，4個圓只畫出有關的4個半圓．D關于直線y=x對稱，被積函數(shù)也關于y=x對稱．交點A，B，C的直角坐標分別為則知識點解析：暫無解析19、設0＜x＜1，證明：標準答案：等價于證明當0＜x＜1時，經(jīng)計算，F(xiàn)(1)=0，又從而知，當0＜x＜1時，φ(x)＜0，即有F″(x)＜0．因Fˊ(1)=0，所以當0＜x＜1時，F(xiàn)ˊ(x)>0．又因F(1)=0，所以當0＜x＜時，F(xiàn)(x)＜0．證畢．知識點解析：暫無解析20、設三角形三邊的長分別為a，b，c，此三角形的面積為S．求此三角形內(nèi)的點到三邊距離乘積的最大值，并求出這三個相應的距離．標準答案：設P為三角形內(nèi)的任意一點，該點到邊長分別為a，b，c的邊的距離分別為x，y，z，由三角形的面積公式有求f=xyz在約束條件ax+by+cz－2S=0下的最大值，令W=xyz+λ(ax+by+cz－2S)，由拉格朗日乘數(shù)法，令解得唯一駐點為．顯然，當P位于三角形的邊界上時，f=0，為最小值；當P位于三角形內(nèi)部時，f存在最大值，由于駐點唯一，故當知識點解析：暫無解析設f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，常數(shù)k>0．并設φ(x)=∫xbf(t)dt－k∫axf(t)dt，證明：21、存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；標準答案：由題設易知φ(a)=∫abf(t)dt，φ(b)=－k∫abf(t)dt，φ(a)φ(b)=－k[∫abf(t)dt]2≤0．如果∫ab=0，則φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫abf(t)dt≠0，則φ(a)φ(b)<0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．綜上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．知識點解析：暫無解析22、若增設條件f(x)≠0，則(I)中的ξ是唯一的，并且必定有ξ∈(a，b)．標準答案：若增設條件f(x)≠0，則φˊ(x)=－f(x)－kf(x)=－(k+1)f(x)≠0．由于f(x)連續(xù)且f(x)≠0，所以f(x)>0或者f(x)<0，所以φ(x)在[a，b]上嚴格單調(diào)，則φ(x)至多有一個零點，又由上一題知φ(a)φ(b)<0，則上一題中的ξ是唯一的．且ξ∈(a，b)．知識點解析：暫無解析23、設方程組有通解k1ξ1+k2ξ2=k1(1，2，1，－1)T+k2(0，－1，－3，2)T．方程組有通解λ1η1+λ2η2=λ1(2，－1，－6，1)T+λ2(－1，2，4，a+8)T．已知方程組有非零解，試確定參數(shù)α的值，并求該非零解．標準答案：方程組(***)有非零解，即方程組(*)，方程組(**)有非零公共解，設為β，則β屬于方程組(*)的通解，也屬于方程組(**)的通解，即β=k1ξ1+k2ξ2=λ1η1+λ2η2，其中k1，k2不全為零，且λ1，λ2不全為零．得k1ξ1+k2ξ2－λ1η1－λ2η2，(*ˊ)(*ˊ)式有非零解〈=〉r(ξ1，ξ2，－η1，－η2)<4．對(ξ1，ξ2，－η1，－η2)作初等行變換，故當a=－8時，方程組(***)有非零解．當a=－8時，方程組(*ˊ)的系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換化為方程組(*ˊ)的非零公共解為其中k是任意非零常數(shù)．知識點解析：暫無解析A是3階矩陣，有特征值λ1=λ2=2，對應兩個線性無關的特征向量為ξ1，ξ2，λ3=－2的特征向量是ξ3．24、問ξ1+ξ2是否是A的特征向量?說明理由；標準答案：ξ1+ξ2仍是A的對應于λ1=λ2=2的特征向量．因已知Aξ1=2ξ1，Aξ2=2ξ2，故A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=2ξ1+2ξ2=2(ξ1+ξ2)．知識點解析：暫無解析25、ξ2+ξ3是否是A的特征向量?說明理由；標準答案：ξ2+ξ3不是A的特征向量．假設是，設其對應的特征值為μ，則有A(ξ2+ξ3)=μ(ξ2+ξ3)，得2ξ2－2ξ3－μξ2－μξ3=(2－μ)ξ2－(2+μ)ξ3=0，因2－μ和2+μ不同時為零，故ξ2，ξ3線性相關，這和不同特征值對應的特征向量線性無關矛盾，故ξ2，ξ3不是A的特征向量．知識點解析：暫無解析26、證明任意三維非零向量β都是A2的特征向量，并求對應的特征值．標準答案：因A有特征值λ1=λ2=2，λ3=－2，故A2有特征值μ1=μ2=μ2=4．對應的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3線性無關．故存在可逆矩陣P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得P－1A2P=4E，A2=P(4E)P－1=4E，從而對任意的β≠0，有A2β=4Eβ=4β，故知任意三維非零向量β都是A2的對應于μ=4的特征向量．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f"(x)在x=0處連續(xù)，且=1，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點D、f(0)非f(x)的極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由=1得f"(0)=0，由極限保號性可知，存在1＞δ＞0，當｜x｜＜δ時，＞0．當x∈(－δ，0)時，因為ln(1+x)＜0，所以f"(x)＜0；當x∈(0，δ)時，因為ln(1+x)＞0，所以f"(x)＞0，于是(0，f(0))為y=f(x)的拐點，選(C)．2、設y=x3+3ax2+3bx+c在x=－1處取最大值，又(0，3)為曲線的拐點，則()．A、a=1，b=－1，c=3B、a=0，b=－1，c=3C、a=－1，b=1，c=3D、a=1，b=1，c=3標準答案：B知識點解析：y’=3x2+6ax+3b，y"=6x+6a，則有解得a=0，b=－1，c=3，選(B)．3、設z=xy+，其中F為可微函數(shù)，則為()．A、z－xyB、z+xyC、z－2xyD、z+2xy標準答案：B知識點解析：由得=xy+xF－yF’+xy+yF’=2xy+xF=2xy+z－xy=z+xy，選(B)．4、設D為xOy平面上的有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可偏導且滿足=－z，若f(x，y)在D內(nèi)沒有零點，則f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在邊界上取到B、最大值和最小值只能在區(qū)域內(nèi)部取到C、有最小值無最大值D、有最大值無最小值標準答案：A知識點解析：因為f(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上一定取到最大值與最小值，不妨設f(x，y)在D上的最大值M在D內(nèi)的點(x0，y0)處取到，即f(x0，y0)=M≠0，此時，這與=－z≠0矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D內(nèi)取到，同理f(x，y)在D上的最小值優(yōu)不可能在D內(nèi)取到，選(A)．5、曲線y=x2與y=所圍成的圖形繞x軸旋轉一周的旋轉體的體積為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：6、設三階常系數(shù)齊次線性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x，則該微分方程為()．A、y’’’－y"－y’+y=0B、y’’’+y"－y’－y=0C、y’’’+2y"－y’－2y=0D、y’’’－2y"－y’+2y=0標準答案：A知識點解析：因為y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x為三階常系數(shù)齊次線性微分方程的三個特解，所以其對應的特征方程的特征值為λ1=λ2=1，λ3=－1，其對應的特征方程為(λ－1)2(λ+1)=0，即λ3－λ2－λ+1=0，則微分方程為y’’’－y"－y’+y=0，選(A)．7、設四階矩陣A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3線性無關，而α4=2α1－α2+α3，則r(A*)為()．A、0B、1C、2D、3標準答案：B知識點解析：由α1，α2，α3線性無關，α4=2α1－α2+α3得向量組的秩為3，于是r(A)=3，故r(A*)=1，選(B)．8、設三階矩陣A的特征值為－1，－1，3，其對應的線性無關的特征向量為α1，α2，α3，令P=(2α1+α2，α1－α2，2α3)，則P－1A*P=()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：｜A｜=3，A*的特征值為－3，－3，1，顯然α1，α2，α3也為A*的線性無關的特征向量，且2α1+α2，α1－α2，2α3為A*的線性無關的特征向量，故應選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、過曲線y=(x≥0)上的一點A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面區(qū)域的面積為，所圍區(qū)域繞x軸旋轉一周而成的體積為________．標準答案：知識點解析：設切點為A(a，)，切線方程為切線與x軸的交點為(－2a，0)，所求的面積為所求體積為10、f(x)=x4ln(1－x)，當n＞4時，f(n)(0)=________．標準答案：知識點解析：設f(x)=f(0)+f’(0)x+…++…，再由麥克勞林公式的唯一性得11、已知函數(shù)z=u(x，y)eax+by，且=0，若z=z(x，y)滿足方程+z=0，則a=_______，b=________．標準答案：a=1，b=1知識點解析：12、=________．標準答案：知識點解析：13、=________．標準答案：知識點解析：14、設則B*A=________．標準答案：知識點解析：因為B=AE12(2)E13，所以｜B｜=｜A｜.｜E12(2)｜.｜E13｜=－3，又因為B*=｜B｜B－1，所以B*=－3E13－1E12－1(2)A－1=－3E13E12(－2)A－1，三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計算極限標準答案：當x→0時，，則知識點解析：暫無解析16、設u=f(x+y，x－y，z)由z=∫x+zy+zp(t)dt確定z為x，y的函數(shù)，又f連續(xù)可偏導，p可導，且p(y+z)－p(x+z)－1≠0，求標準答案：將u=f(x+y，x－y，z)及z=∫x+zy+zp(t)dt兩邊對x求偏導得知識點解析：暫無解析17、設f(x)在[0，2]上二階可導，且f"(x)＜0，f’(0)=1，f’(2)=－1，f(0)=f(2)=1．證明：2≤∫02f(x)dx≤3．標準答案：首先f"(x)＜0，所以f(x)在(0，2)內(nèi)不可能取到最小值，從而f(0)=f(2)=1為最小值，故f(x)≥1(x∈[0，2])，從而∫02f(x)dx≥2．因為f"(x)＜0，所以有所以∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx≤∫01(1+x)dx+∫12(3－x)dx=3．知識點解析：暫無解析18、設拋物線y=x2與它的兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為S，其中一條切線與拋物線相切于點A(a，a2)(a＞0)．(Ⅰ)求S=S(a)的表達式；(Ⅱ)當a取何值時，面積S(a)最小?標準答案：(Ⅰ)設另一個切點為(x0，x02)，則拋物線y=x2的兩條切線分別為L1：y=2ax－a2，L2：y=2x0x－x02．因為L1⊥L2，所以x0=，兩條切線L1，L2的交點為x1=，y1=ax0，L1，L2及拋物線y=x2所圍成的面積為知識點解析：暫無解析19、計算，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}．標準答案：知識點解析：暫無解析20、設曲線y=y(x)位于第一象限且在原點處與x軸相切，P(x，y)為曲線上任一點，該點與原點之間的弧長為l1，點P處的切線與y軸交于點A，點A，P之間的距離為l2，又滿足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲線y=y(x)．標準答案：由已知條件得y(0)=0，y’(0)=0，P(x，y)處的切線為Y－y=y’(X－x)，令X=0，則Y=y－xy’，A的坐標為(0，y－xy’)，兩邊對x求導整理得1+y’2=2(x+1)y’y"．積分得ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即1+p2=C1(x+1)，再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲線為知識點解析：暫無解析21、設曲線y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的一個特解，此曲線經(jīng)過原點且在原點處的切線平行于x軸．(Ⅰ)求曲線y=y(x)的表達式；(Ⅱ)求曲線y=y(x)到x軸的最大距離；(Ⅲ)計算積分∫0+∞y(x)dx．標準答案：(Ⅰ)微分方程的特征方程為2λ2+λ－1=0，特征值為λ1=－1，λ2=，則微分方程2y"+y’－y=0的通解為令非齊次線性微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的特解為y0(x)=x(ax+b)e－x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解為y0(x)=x2e－x，原方程的通解為由初始條件y(0)=y’(0)=0得C1=C2=0，故y=x2e－x．(Ⅱ)曲線y=x2e－x到x軸的距離為d=x2e－x，令d’=2xe－x－x2e－x=x(2－x)e－x=0，得x=2．當x∈(0，2)時，d’＞0；當x＞2時，d’＜0，則x=2為d=x2e－x的最大值點，最大距離為d(2)=(Ⅲ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e－xdx=2．知識點解析：暫無解析22、設非齊次線性方程組有三個線性無關解α1，α2，α3．(Ⅰ)證明系數(shù)矩陣的秩r(A)=2；(Ⅱ)求常數(shù)a，b的值及通解．標準答案：(Ⅰ)令r(A)=r，因為系數(shù)矩陣至少有兩行不成比例，所以r(A)≥2．α1－α2，α1－α3為對應的齊次線性方程組的兩個解．令k1(α1－α2)+k2(α1－α3)=0，即(k1+k2)α1－k1α2－k2α3=0．因為α1，α2，α3線性無關，所以k1=k2=0，即α1－α2，α1－α3線性無關，于是對應的齊次線性方程組的基礎解系至少含兩個線性無關解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)=2．知識點解析：暫無解析23、(Ⅰ)設A，B為n階可相似對角化矩陣，且有相同特征值，證明：矩陣A，B相似．(Ⅱ)設，求可逆矩陣P，使得P－1AP=B．標準答案：(Ⅰ)設A，B的特征值為λ1，λ2，…，λn，因為A，B可相似對角化，所以存在可逆矩陣P1，P2，使得于是P1－1AP1=P2－1BP2，或(P1P2－1)－1A(P1P2－1)=B，令P=P1P2－1，則P－1AP=B，即矩陣A，B相似．A的屬于λ1=－1的線性無關特征向量為A的屬于特征值λ2=λ3=1的線性無關的特征向量為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學二）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)