考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷3（共217題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷3（共9套）（共217題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)F(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與xm為同階無窮?。衷O(shè)當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)＝∫0xnf(t)dt與xk為同階無窮小，其中m與n為正整數(shù)．則k＝()A、mn﹢n．B、2n﹢m．C、m﹢n．D、mn﹢n－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與xm為同階無窮小，從而知存在常數(shù)A≠0，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)～Axm，從而，f(xn)～Axnm．于是由題意可知，上式為不等于零的常數(shù)，故k＝nm﹢n．2、設(shè)φ(x)在x＝a的某鄰域內(nèi)有定義，f(x)＝｜x－a｜φ(x)．則“φ(x)在x＝a處連續(xù)”是“f(x)在x＝a處可導(dǎo)”的()A、必要條件而非充分條件．B、充分條件而非必要條件．C、充分必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：下面舉兩個(gè)例子說明應(yīng)選(D)．①設(shè)φ(x)在x＝0處連續(xù)，但f(x)＝｜x｜φ(x)在x＝0處不可導(dǎo)的例子如下：取φ(x)＝1，但f(x)＝｜x｜在x＝0處不可導(dǎo)．②設(shè)φ(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)有定義，但在x＝0處不連續(xù)，而f(x)＝｜x｜φ(x)在x＝0處卻可導(dǎo)的例子如下：設(shè)所以f(x)在x＝0處可導(dǎo)，f’(0)＝1．3、()A、等于0．B、等于﹣1．C、等于1．D、不存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x)在x＝0處存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)＝0，f’(0)＝0，f”(0)≠0．則()A、1／2．B、1／3．C、1／4．D、1／5．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：先作積分變量代換，令x－t＝u，則5、設(shè)常數(shù)a＞0，f(x)＝．則()A、當(dāng)0．B、當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)的最大值是f(0)．C、當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)的最小值是f．D、當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)的最小值是f(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題設(shè)知f’(x)＝ax2’－1，f”(x)＝2ax．當(dāng)0為閉區(qū)間[0，]內(nèi)部的唯一駐點(diǎn)，又因f”(x)>0，故，為極小值，也是最小值．在兩端點(diǎn)處，f(0)＝0，為最大值，則要比較與0的大小，可見當(dāng)06、設(shè)F(u，v)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z＝z(x，y)由方程F(，yz)＝0所確定．又設(shè)題中出現(xiàn)的分母不為零，則()A、0．B、z．C、1／z．D、1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：7、設(shè)A是3階矩陣，有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝0，對應(yīng)的特征向量分別是ξ1，ξ2，ξ3，k1，k2是任意常數(shù)，則非齊次方程組Ax＝ξ1﹢ξ2z的通解是()A、k1ξ1﹢k1ξ2﹢ξ3．B、k1ξ1﹢k2ξ3﹢ξ2C、k1ξ3﹢ξ1－ξ2．D、k1ξ3﹢ξ1﹢ξ2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由題設(shè)Aξ1＝ξ2，Aξ2－ξ2，Aξ3＝0，知，r(A)＝2．因?yàn)锳ξ3＝0，所以ξ3是Ax＝0的基礎(chǔ)解系．又因A(ξ1－ξ2)＝ξ1﹢ξ2，所以ξ1－ξ2是Ax＝ξ1﹢ξ2的一個(gè)特解，故非齊次方程組Ax＝ξ1﹢ξ2的通解為k1ξ3﹢ξ1－ξ2．8、設(shè)α＝(1，2，3)T，β1＝(0，1，1)T，β2＝(－3，2，0)T，β3＝(－2，1，1)T，β4＝(－3，0，1)T，記Ai＝αβiT，i＝1，2，3，4．則下列矩陣中不能相似于對角矩陣的是()A、A1．B、A2．C、A3．D、A4．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因A1＝αβiT≠0，r(Ai)＝r(αβiT)≤r(α)＝1．故r(Ai)＝1，i＝1，2，3，4．故λ＝0至少是3階方陣Ai(i＝1，2，3，4)的二重特征值．則Ai(i＝1，2，3，4)的第三個(gè)特征值分別是故知A4的特征值λ1＝λ2＝λ3＝0，但A4≠0不能相似于對角矩陣．應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)平面區(qū)域D＝{(x，y)｜≤1)，則二重積分I＝＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2／13知識點(diǎn)解析：畫出積分區(qū)域D如圖所示，其實(shí)畫不畫無所謂，但只要抓住下面幾項(xiàng)，經(jīng)過點(diǎn)(0，1)與(1，0)，y由y＝1單調(diào)減少到y(tǒng)＝0，整個(gè)D在0≤x≤l，0≤y≤1之內(nèi)．將該二重積分化為先y后x的逐次積分：10、I＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2知識點(diǎn)解析：令x－1＝u，則12、設(shè)z＝(1﹢x2y)xy2，則_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3xy2(1﹢x2y)xy2ln(1﹢x2y)知識點(diǎn)解析：13、微分方程2y”－5y’﹢2y＝xe2x的通解為y＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中C1，C2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：對應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的一個(gè)特解為y*＝x(Ax﹢B)e2x＝(Ax2﹢Bx)e2x，得(y*)’＝[2Ax2﹢2(A﹢B)x﹢B]e2x，(y*)”＝[4Ax2﹢4(2A﹢B)x﹢2(A﹢2B)]e2x，于是得所以原方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)．如上所填．14、設(shè)A＝是可逆矩陣，且A－1＝，若C＝，則C－1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：經(jīng)觀察，C是由A經(jīng)初等變換得到的，A的第1，2行互換后，再將第3列加到第1列得到C，即C=E12AE31(1)，故C－1＝[E12AE31(1)]－1＝E31－1(1)A－1E12－1＝E31(－1)A－1E12三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、設(shè)函數(shù)y＝f(x)存在二階導(dǎo)數(shù)，且f’(x)≠0．(I)請用y＝f(x)的反函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)表示；(Ⅱ)求滿足微分方程的x與y所表示的關(guān)系式的曲線，它經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，且在此點(diǎn)處的切線斜率為，它經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，且在此點(diǎn)處的切線斜率為，在此曲線上任意點(diǎn)處的f’(x)≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，有(Ⅱ)將(I)中求得的代入所給微分方程(*)中，得將(**)式中z看成函數(shù)，y看成自變量，(**)式成為x對y的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．按通常方法解之，得x＝C1ey﹢C2e－3y﹢再由條件：x＝1時(shí)y＝0，，代入上式得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)D＝{(x，y)｜x2﹢y2≤x﹢y)，計(jì)算二重積分max{x，y}dσ．標(biāo)準(zhǔn)答案：作直線y＝x，將D分成兩部分．D1＝{(x，y)｜y≥x，(x，y)∈D}，D2＝{(x，y)｜y≤x，(x，y)∈D}．僅在y＝x((x，y)∈D)處為D1與D2的公共區(qū)域，不影響二重積分的值．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)a為常數(shù)，討論兩曲線y＝ex與y＝的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及相應(yīng)的a的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：若a＝0，則易知y＝ex與y＝0無公共點(diǎn)，以下設(shè)a≠0．討論y＝ex與y＝交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等同于討論方程ex＝的根的個(gè)數(shù)，亦即等同于討論函數(shù)f(x)＝xex－a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．f’(x)＝(x﹢1)ex0，得唯一駐點(diǎn)x0＝－1．當(dāng)x<－1時(shí)，f’(x)＜0；當(dāng)x>－1時(shí)，f’(x)﹥0．所以minf(x)＝f(－1)＝－e－1－a．又f(－∞)＝f(x)＝－a，f(﹢∞)＝f(x)＝﹢∞．①設(shè)－e－1－a﹥0，即設(shè)a<－e－1，則minf(x)>0，f(x)無零點(diǎn)；②設(shè)－e－1－a＝0，即設(shè)a＝－e－1，則f(x)有唯一零點(diǎn)x0＝－1；③設(shè)－e－1－a﹤0，即設(shè)a>－e－1．又分兩種情形：(i)設(shè)－e－1﹤a﹤0，則有f(－∞)＝－a﹥0，f(－1)＝－e－1－a﹤0，f(﹢∞)>0．而在區(qū)間(－∞，－1)內(nèi)f(x)單調(diào)減少，在區(qū)間(－1，﹢∞)內(nèi)f(x)單調(diào)增加，故f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(ii)設(shè)a﹥0．易知f(x)＝xex－a在區(qū)間(－∞，0]內(nèi)無零點(diǎn)，而在區(qū)間(0，﹢∞)內(nèi)，f(0﹢)＝－a﹤0．f(﹢∞)＝﹢∞，f’(x)＝(x﹢1)ex﹥0，所以f(x)在區(qū)間(0，﹢∞)內(nèi)剛好有1個(gè)零點(diǎn)．討論完畢．綜上，有結(jié)論：當(dāng)a<－e－1或a＝0時(shí)，無交點(diǎn)；當(dāng)a＝－e－1時(shí)，有唯一交點(diǎn)(切點(diǎn))；當(dāng)－e－1﹤a﹤0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間(－∞，0]內(nèi)無交點(diǎn)，而在區(qū)間(0，﹢∞)內(nèi)，即第一象限內(nèi)有唯一交點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)一廠房容積為V(立方米)．開始時(shí)經(jīng)測算，空氣中含有某種有害氣體m0(克)．現(xiàn)在打開通風(fēng)機(jī)，每分鐘通入Q(立方米)的新鮮空氣．假設(shè)通入的新鮮空氣中不含這種有害氣體，同時(shí)排出等量的含有有害氣體的混濁空氣，并使廠房內(nèi)空氣始終保持均勻．(I)求廠房內(nèi)該有害氣體的瞬時(shí)含量m(克)與通風(fēng)經(jīng)歷的時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系；(Ⅱ)通風(fēng)經(jīng)歷多少時(shí)間(分鐘)可使廠房內(nèi)該有害氣體量為原始的一半?標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)設(shè)從通風(fēng)機(jī)打開的時(shí)刻算起，在t(分鐘)時(shí)，廠房內(nèi)含有有害氣體為m(克)．經(jīng)歷時(shí)間dt(分鐘)，廠房內(nèi)有害氣體改變了dm(克)(dm<0)．在出這段時(shí)間內(nèi)，由微元法得到這就是要求的從打開通風(fēng)機(jī)時(shí)刻算起廠房內(nèi)有害氣體m與時(shí)刻t的關(guān)系．(Ⅱ)知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)x與y均大于0，且x≠y，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨認(rèn)為y>x>0．因若x>y>0，則變換所給式子左邊的x與y，由行列式性質(zhì)知，左式的值不變．由柯西中值定理，存在一點(diǎn)ξ∈(x，y)，使得上式＝記f(u)＝eu－ueu，有f(0)＝1，當(dāng)u>0時(shí)，f’(u)＝－ueu﹤0，所以f(u)<1，從而知eξ－ξeξ﹤1．于是證得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求．要求寫出詳細(xì)的推導(dǎo)過程．標(biāo)準(zhǔn)答案：將題給積分拆成兩項(xiàng)并將第1項(xiàng)交換積分次序：下面來計(jì)算由于當(dāng)0＜x≤1時(shí)，ex2＞1，則于是可以用洛必達(dá)法則計(jì)算下面極限：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)(I)證明f(x)在x＝0處連續(xù)；(Ⅱ)求區(qū)間(－1，﹢∞)內(nèi)的f’(x)，并由此討論區(qū)間(－1，﹢∞)內(nèi)f(x)的單調(diào)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由題設(shè)當(dāng)x∈(－1，﹢∞)，但x≠0時(shí)f(x)＝，所以所以f(x)在x＝0處連續(xù)．(Ⅱ)下面求區(qū)間(－1，﹢∞)內(nèi)x≠0處的f’(x)：為討論f’(x)的符號，取其分子記為g(x)，即令g(x)＝(1﹢x)ln2(1﹢x)－x2，有g(shù)(0)＝0．g’(x)＝21n(1﹢x)﹢ln2(1﹢x)－2x，有g(shù)’(0)＝0，當(dāng)－1＜x＜﹢∞，但x≠0時(shí)，由泰勒公式有當(dāng)－1＜x＜﹢∞，但x≠0時(shí)，g(x)＝g”(ξ)x2＜0，ξ介于0與x之間．所以當(dāng)－1＜x＜﹢∞，但x≠0時(shí)，f’(x)＜0．又由f’(0)＝，所以f’(x)＜0(－1＜x＜﹢∞)，由定理：設(shè)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)f’(x)＜0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)為嚴(yán)格單調(diào)減少．故f(x)在區(qū)間(－1，﹢∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、討論a，b為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多解．有解時(shí)，求其解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組的增廣矩陣作初等行變換，有所以①當(dāng)a＝－1，b≠36時(shí)，r(A)＝3≠r(Ab)＝4，方程組無解．②當(dāng)a≠－1且a≠b，b任意時(shí)，r(A)＝r(Ab)＝4，方程組有唯一解，唯一解為③當(dāng)a＝－1，b＝36時(shí)，r(A)＝r(Ab)＝3，則增廣矩陣為所以Ax＝0的基礎(chǔ)解系為ξ1＝(﹣2，5，0，1)T；Ax＝b的特解為η1＝(6，﹣12，0，0)T．故Ax＝b的通解為k1ξ1﹢η1＝k1，其中k1是任意常數(shù)．④當(dāng)a＝6，b任意時(shí)，r(A)＝r(Ab)＝3，則增廣矩陣為所以Ax＝0的基礎(chǔ)解系為ξ2＝(－2，1，1，0)T；Ax＝b的特解為η2＝(114－2b，－(12﹢2b)，0，b－36)T．故Ax＝b的通解為k2ξ2﹢η2＝k2，其中k2是任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列命題中正確的個(gè)數(shù)是①若f(χ)在χ＝χ0存在左、右導(dǎo)數(shù)且f′χ(χ0)≠f′－(χ0)，則f(χ)在χ＝χ0處連續(xù)②若函數(shù)極限f(χ)＝A，則數(shù)列極限f(n)＝A③若數(shù)列極限＝A，則函數(shù)極限f(χ)＝A④若不存在，則f(χ)g(χ)不存在A、1個(gè)．B、2個(gè)．C、3個(gè)．D、4個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：要逐一分析．若f(χ)在χ＝χ0存在f′＋(χ0)與f′－(χ0)f(χ)在χ＝χ0右連續(xù)及左連續(xù)f(χ)在χ＝χ0連續(xù)，即①正確．由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系知，若函數(shù)極限一串χn→＋∞(n→＋∞)均有f(χn)＝A．若但只有某串χn→＋∞(n→＋∞)，如f(χ)＝sinπχ，f(n)＝0，f(n)＝0，但f(χ)不存在，于是②正確，③不正確．命題④是錯(cuò)誤的．當(dāng)A＝0時(shí)f(χ)g(χ)可能存在．例如，若取f(χ)＝0，則f(χ)＝0，f(χ)g(χ)＝0，所以④是錯(cuò)誤．因此，只有2個(gè)正確．選B2、數(shù)列極限J＝＝A、0．B、1．C、∞．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限后用洛必達(dá)法則．3、沿f(χ)＝在χ＝0處二階導(dǎo)數(shù)存在，則常數(shù)a，b分別是A、a＝1，b＝1．B、a＝1，b＝．C、a＝1，b＝2．D、a＝2，b＝1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：我們考慮分段函數(shù)其中f1(χ)和f2(χ)均在χ＝χ0鄰域k階可導(dǎo)，則f(χ)在分界點(diǎn)χ＝χ0有k階導(dǎo)數(shù)的充要條件是f1(χ)和f2(χ)有χ＝χ0有相同的k階泰勒公式：f1(χ)＝f2(χ)＝a0＋a1(χ－χ0)＋a2(χ－χ0)2＋…＋a(χ－χ0)k＋o((χ－χ0)k)(χ→χ0)把這一結(jié)論用于本題：取χ0＝0．f1(χ)＝1＋aχ＋χ2f2(χ)＝eχ＋bsinχ2＝1＋χ＋χ2＋o(χ2)＋b(χ2＋o(χ2))＝1＋χ＋(b＋)χ2＋o(χ2)．因此f(χ)在χ＝0時(shí)二階可導(dǎo)a＝1，b＋＝1即a＝1，b＝．故選B．4、設(shè)f′(χ0)＝0，f〞(χ0)＜0，則必定存在一個(gè)正數(shù)δ，使得A、曲線y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)是凹的．B、曲線y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)是凸的．C、曲線y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0]單調(diào)減少，而在[χ0，χ0＋δ)單調(diào)增加．D、曲線y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0]單調(diào)增加，而在[χ0，χ0＋δ)單調(diào)減少．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：f〞(χ0)＝＜0．由極限的不等式性質(zhì)＞0，當(dāng)χ∈(χ0－δ，χ0＋δ)且χ≠χ0時(shí)，＜0當(dāng)χ∈(χ0－δ，χ0)時(shí)，f′(χ)＞0；當(dāng)χ∈(χ0，χ0＋δ)時(shí)，f′(χ)＜0．又f(χ0)在χ＝χ0連續(xù)f(χ)在(χ0－δ，χ0]單調(diào)增加，在[χ0，χ0＋δ）單調(diào)減少．故應(yīng)選D5、以y1＝eχcos2χ，y2＝eχsin2χ與y3＝e－χ為線性無關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是A、y″′＋y〞＋3y′＋5y＝0．B、y″′－y〞＋3y′＋5y＝0．C、y″′＋y〞－3y′＋5y＝0．D、y″′－y〞－3y′＋5y＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：線性無關(guān)特解y1＝eχcos2χ，y2＝eχsin2χ與y3＝e－χ對應(yīng)于特征根λ1＝1＋2i，λ2＝1－2i與λ3＝－1，由此可得特征方程是(λ－1－2i)(λ－1＋2i)(λ＋1)＝0λ3－λ2＋3λ＋5＝0．由此即知以y1＝eχcos2χ，y2＝eχsin2χ與y3＝e－χ為線性無關(guān)特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是y″′＝y(tǒng)〞＋3y′＋5y＝0．故應(yīng)選B．6、設(shè)F(χ，y)在點(diǎn)(χ0，y0)某鄰域有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)(χ0，y0)＝0，則F′y(χ0，y0)≠0是F(χ，y)＝0在點(diǎn)(χ0，y0)某鄰域能確定一個(gè)連續(xù)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)，它滿足y0＝y(tǒng)(χ0)，并有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的_______條件．A、必要非充分B、充分非必要C、充分且必要D、既不充分又不必要標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由隱函數(shù)定理知，在題設(shè)條件下，F(xiàn)′y(χ，y)≠0是方程F(χ，y)＝0在點(diǎn)(χ0，y0)某鄰域能確定一個(gè)連續(xù)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)，滿足y0＝y(tǒng)(χ0)并有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的充分條件，但不是必要條件．如F(χ，y)＝χ3－χy，F(xiàn)(0，0)＝0，F(xiàn)′y(0，0)＝－χ｜χ＝0＝0，但F(χ，y)＝0確定函數(shù)y＝χ2(滿足y(0)＝0)．因此選B．7、設(shè)A是n階可逆矩陣，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩陣，則A、把A-1第2行的3倍加到第4行上得到B-1．B、把A-1第4行的3倍加到第2行上得到B-1．C、把A-1第2行的－3倍加到第4行上得到B-1．D、把A-1第4行的－3倍加到第2行上得到B-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：B＝AE(2，4(3))，B-1＝E(2，4(3))-1A-1＝E(2，4(－3))A-1，因此B-1是把A-1第4行的一3倍加到第2行上得到．8、設(shè)4階矩陣A＝(α1，α2，α3，α4)，已知齊次方程組AX＝0的通解為c(1，－2，1，0)T，c任意．則下列選項(xiàng)中不對的是A、α1，α2，α3線性相關(guān)．B、α1，α2線性無關(guān)．C、α1，α2，α4線性無關(guān)．D、α1，α2，α4線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：條件說明α1－2α2＋α3＝0，并且r(α1，α2，α3，α4)＝3．顯然α1，α2，α3線性相關(guān)，并且r(α1，α2，α3)＝2．α3可用α1，α2線性表示，因此r(α1，α2)＝r(α1，α2，α3)＝2．α1，α2線性無關(guān)．選項(xiàng)A和B都對．r(α1，α2，α4)＝r(α1，α2，α3，α4)＝3，選項(xiàng)C對D錯(cuò)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)F(χ)＝，則F(χ)的定義域是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，＋∞)知識點(diǎn)解析：當(dāng)χ＝1時(shí)，∫2＋∞＝lnlnt｜2＋∞＝＋∞因此僅當(dāng)χ＞1時(shí)原積分收斂，即F(χ)的定義域是：(1，＋∞)．10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：對被積函數(shù)直接進(jìn)行放大與縮小，即11、設(shè)y＝f(χ)在(1，1)鄰域有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，曲線y＝f(χ)在點(diǎn)P(1，1)處的曲率圓方程為χ2＋y2＝2，則f〞(1)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：曲率圓χ2＋y2＝2在(1，1)鄰域確定y＝y(tǒng)(χ)(y(1)＝1)，y＝f(χ)與y＝y(tǒng)(χ)在χ＝1有相同的一階與二階導(dǎo)數(shù)．現(xiàn)由χ2＋y2＝22χ＋2yy′＝0，即χ＋yy′＝0令χ＝1，y＝1y′(1)＝－1，又1＋y′2＋yy〞＝0令χ＝1，y＝1，y′＝－1y〞(1)＝－2．因此f〞(1)＝y(tǒng)〞(1)＝－2．12、設(shè)有擺線χ＝φ(t)＝t＝sint，y＝ψ(t)＝1－cost(0≤t≤2π)的第一拱L，則L繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積S＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：πa2知識點(diǎn)解析：由旋轉(zhuǎn)面面積公式得13、已知函數(shù)y(χ)可微(χ＞0)且滿足方程y(χ)－1＝則y(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝知識點(diǎn)解析：這是含變限積分的方程．先將原方程兩邊求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為常微分方程得在原方程中令χ＝1得y(1)＝1．于是原方程與初值問題等價(jià)．這是齊次方程，令u＝得χ＋u＝u2＋u，即χ＝u2．分離變量得＝lnχ＋C，由y(1)＝1得C＝－1，代入u＝得y＝(χ＞0)．14、已知A＝，A*為A的伴隨矩陣，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：｜A｜＝＝－2于是A*A＝－2E．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、確定常數(shù)a與b的值，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：這是求∞－∞型極限，先轉(zhuǎn)化為求型極限．由型極限有確定的值，確定其中的參數(shù)a與b的值．關(guān)鍵是用到一個(gè)已知的結(jié)論：若極存在，又g(χ)＝0，則必有f(χ)＝0．現(xiàn)只需再求J＝用洛必達(dá)法則得求出J后可得b≠時(shí)，I＝∞，b＝時(shí)，I＝因此符合題目要求的常數(shù)a和b是即知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(χ)＝∫－1χt3｜t｜dt，(Ⅰ)求函數(shù)f(χ)的單調(diào)性區(qū)間與正、負(fù)值區(qū)間．(Ⅱ)求曲線y＝f(χ)與χ軸所圍成的封閉圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)f′(χ)＝f(χ)在(－∞，0]↘，在[0，＋∞)．為求f(χ)的正負(fù)值區(qū)間，先求出使f(χ)＝0的χ值．易知f(－1)＝∫－1－1t3｜t｜dt＝0，f(1)＝∫－11t3｜t｜dt＝0。再由f(χ)的單調(diào)性知，f(χ)＞f(－1)＝0(χ＜－1)，f(χ)＞f(1)＝0(χ＞1)f(χ)＜f(－1)＝0(－1＜χ≤0)，f(χ)＜f(1)(0≤χ＜1)因此f(χ)＞0(χ∈(－∞，－1)或χ∈(1，＋∞))f(χ)＜0(χ∈(－1，1))(Ⅱ)曲線y＝f(χ)與χ軸所圍成的封閉圖形是{(χ，y)｜－1≤χ≤1，f(χ)≤y≤0}如下圖所示：該圖形的面積A＝∫－11｜f(χ)｜dχ＝｜∫－11f(χ)dχ｜(因?yàn)閒(χ)在(－1，1)恒負(fù)值)＝｜χf(χ)｜－11－∫－11χf′(χ)dχ｜＝2∫01χ.χ3｜χ｜dχ＝2∫02χ5dχ＝知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)＝(Ⅰ)求證：f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)，f′(χ)＝(χ＞0)，并求f′(1)；(Ⅱ)求f(χ)在[0，＋∞)的單調(diào)性區(qū)間；(Ⅲ)求f(χ)在[0，＋∞)的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)χ＞0時(shí)，f(χ)與初等函數(shù)e－χ＋相同，故連續(xù)．又＝e0＋0＝1＝f(0)，即f(χ)在χ＝0處右連續(xù)，因此f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)．再求(Ⅱ)考察(0，＋∞)上f′(χ)的符號．只需考察g(χ)＝1－χ2，由g(χ)在(0，＋∞)單調(diào)上升f(χ)在[0，1]單調(diào)下降，在[1，＋∞)單調(diào)上升．(Ⅲ)由(Ⅱ)中單調(diào)性分析知，又f(0)＝1，＝0＋e0＝1，因此f(χ)＝f(0)＝1．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋eχ－2χ＋χe－2χ是某二階線性常系數(shù)微分方程y〞＋Py′＋qy＝f(y)的三個(gè)特解．(Ⅰ)求這個(gè)方程和它的通解；(Ⅱ)設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是該方程滿足y(0)＝0，y′(0)＝0的特解，求∫0＋∞y(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由線性方程解的疊加原理y1(χ)＝y(tǒng)3*(χ)－y2*(χ)＝e－2χ，y2(χ)＝y(tǒng)3*(χ)－y1*(χ)＝χe－2χ均是相應(yīng)的齊次方程的解，它們是線性無關(guān)的．于是該齊次方程的特征根是重根λ＝－2，相應(yīng)的特征方程為(λ＋2)2＝0，即λ2＋4λ＋4＝0．原方程為y〞＋4y′＋4y＝f(χ)．①由于y*(χ)＝χe－χ是它的特解，求導(dǎo)得y*′(χ)＝e－χ(1－χ)，y*〞(χ)＝e－χ(χ－2)．代入方程①得e－χ(χ－2)＋4e－χ(1－χ)＋4χe－χ＝f(χ)f(χ)＝(χ＋2)e－χ原方程為y〞＋4y′＋4y＝(χ＋2)e－χ，其通解為y＝C1e－2χ＋C2χe－2χ＋χe－χ，其中C1，C2為常數(shù)．(Ⅱ)C1，C2，方程的解y(χ)均有不必由初值來定C1，C2，直接將方程兩邊積分得知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)u＝f(2χ＋3y，z)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而z＝z(χ，y)是由方程z＋lnz－∫yχdt＝1確定并滿足z(0，0)＝1的函數(shù)，求．結(jié)果用f′i(o，1)，f〞ij(0，1)表示(i，j＝1，2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：u與χ，y的變量依賴關(guān)系如圖所示：其中χ與χ，y的函數(shù)關(guān)系由以下方程確定：z＋lnz－∫yχdt＝1．由u＝f(2χ＋3y，z)，有將z＋lnz－∫yχdt＝1分別對χ，y求偏導(dǎo)數(shù)有將代入(*)式可得，該式再對y求偏導(dǎo)數(shù)并將的表達(dá)式代入有以χ＝0，y＝0從而z(0，0)＝1代入即得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求累次積分I＝標(biāo)準(zhǔn)答案：將累次積分表示為二重積分其中D2：≤y≤1，y≤χ≤．記D＝D1∪D2，則I＝dσ．D1．D1如圖所示。問題轉(zhuǎn)化為求二重積分I＝dσ．現(xiàn)改為先y后χ的積分順序可得知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(χ)在[a，b]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f′(χ)＞0．(Ⅰ)證明至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)；(Ⅱ)對(Ⅰ)中的ξ∈(a，b)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令φ(χ)＝f(b)(χ－a)＋f(a)(b－χ)－∫abf(χ)dχ(a≤χ≤b)，即證φ(χ)在(a，b)零點(diǎn)．因f(χ)在[a，b]連續(xù)且f(a)＜f(χ)＜f(b)(χ∈(a，b))且f(a)(b－a)＜∫abf(χ)dχ＜f(b)(b－a)φ(a)＝f(a)(b－a)－∫abf(χ)dχ＜0，φ(b)＝f(b)(b－a)－∫abf(χ)dχ＞0，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)＝0，即∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)．(Ⅱ)先要得到的表達(dá)式，為此先將上式改寫成∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)[(b－a)－(ξ－a)]，從而于是將b看作變量，對右端分式應(yīng)用洛必達(dá)法則即得分子、分母同除b－a得知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)α1，α2，α3都是矩陣A的特征向量，特征值兩兩不同，記γ＝α1＋α2＋α3．①證明γ，Aγ，A2γ線性無關(guān)，γ，Aγ，A2γ，A3γ線性相關(guān)．②設(shè)α1，α2，α3的特征值依次為1，－1，2，記矩陣B＝(γ，Aγ，A2γ)，β＝A3γ，求解線性方程組BX＝β．標(biāo)準(zhǔn)答案：①設(shè)α1，α2，α3的特征值為a，b，c，由于它們兩兩不同，α1，α2，α3線性無關(guān)，γ＝α1＋α2＋α3，Aγ＝aα1＋bα2＋cα3，A2γ＝a2α1＋b2α2＋c2α3，A3γ＝a3α1＋b3α2＋c3α3，則γ，Aγ，A2γ對α1，α2，α3的表示矩陣為，其行列式為范德蒙行列式，并且(因?yàn)閍，b，c兩兩不同)值不為0，于是r(γ，Aγ，A2γ)＝r(α1，α2，α3)＝3，因此γ，Aγ，A2γ無關(guān)．γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3線性表示，因此線性相關(guān)．②γ＝α1＋α2＋α3，Aγ＝α1－α2＋2α3，A2γ＝α1＋α2＋4α3，A3γ＝α1－α2＋8α3，B＝(γ，Aγ，A2γ)＝(α1，α2，α3)β＝A3γ＝(α1，α2，α3)則BX＝β具體寫出就是由于α1，α2，α3線性無關(guān)，它和同解．解此方程組得唯一解(－2，1，2)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)二次型χTAχ＝χ12＋4χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，矩陣B＝，滿足AB＝0．①用正交變換化χTAχ為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所作變換．②求(A－3E)6．標(biāo)準(zhǔn)答案：A＝①先作正交矩陣Q，使得Q-1AQ是對角矩陣．條件說明B的3個(gè)列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重?cái)?shù)大于1．于是A的特征值為0，0，6．(tr(A)＝6．)求屬于特征值0的兩個(gè)單位正交特征向量：對B的第1，2兩個(gè)列向量α1＝(1，0，1)T，α2＝(2，－1，0)T作施密特正交化：η1＝α1／‖α1‖＝(1，0，1)T，求屬于特征值6的一個(gè)單位特征向量：屬于特征值6的特征向量與α1，α2都正交，即是方程組{χ1＋χ3＝0，2χ1的非零解，求出α3＝(1，2，－1)T是屬于6的一個(gè)特征向量，單位化η3＝α3／‖α3‖＝(1，2，－1)T，記Q＝(η1，η2，η3)，則Q是正交矩陣，Q-1AQ＝作正交變換χ＝Qy，它χTAχ化為標(biāo)準(zhǔn)二次型6y32．②A的特征值為0，0，6，則A－3E的特征值為－3，－3，3，(A－3E)6的3個(gè)特征值都是36．于是(A－3E)6～36E(A－3E)6＝36E．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)則x=0是f(x)的()A、振蕩間斷點(diǎn)。B、跳躍間斷點(diǎn)。C、可去間斷點(diǎn)。D、無窮間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由已知得，當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=0點(diǎn)的左、右極限存在但不相等，所以x=0為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。故本題選B。2、設(shè)f(x)有一個(gè)原函數(shù)則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題意可得所以故本題選A。3、若f"(x)不變號，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的曲率圓為x2+y2=2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)()A、有極值點(diǎn)，無零點(diǎn)。B、無極值點(diǎn)，有零點(diǎn)。C、有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)。D、無極值點(diǎn)，無零點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由已知得f(x)為凸函數(shù)，因此f"(x)＜0。對曲率圓x2+y2=2關(guān)于x求導(dǎo)得2x+2yy’=0，所以f’(1)=－1。曲線在點(diǎn)(1，1)處的曲率為所以f"(1)=－2。在閉區(qū)間[1，2]上，f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間(1，2)內(nèi)無極值點(diǎn)。由拉格朗日中值定理知，在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)<－1，因?yàn)閒(1)=1＞0，所以f(2)＜0。由零點(diǎn)定理知，在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。故本題選B。4、設(shè)則F(x)在x=0處()A、極限存在但不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導(dǎo)。C、可導(dǎo)。D、可導(dǎo)性與a值有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)x≤0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，因?yàn)樗訤(x)在x=0處連續(xù)。而所以F(x)在x=0處的可導(dǎo)性與a值有關(guān)。故本題選D。5、已知當(dāng)x→時(shí)，arcsinx－arctanax與bx[x－ln(1+x)]是等價(jià)無窮小，則ab=()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：根據(jù)等價(jià)無窮小的定義有所以則a=1，b=1，因此ab=1。故本題選B。6、方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式為()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：齊次微分方程y"－3y’+2y=0對應(yīng)的特征方程為λ2－3λ+2=0．特征根為λ1=1，λ2=2，則方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解為y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。故本題選D。7、向量組α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，－1，-3，4)T，α3=(6，4，4，6)T，α4=(7，7，9，1)T，α5=(3，2，2，3)T的一個(gè)極大線性無關(guān)組是()A、α1，α2，α5。B、α1，α3，α5。C、α2，α3，α4。D、α3，α4，α5。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：對α1，α2，α3，α4，α5構(gòu)成的矩陣作初等行變換可見r(α1，α2，α3，α4，α5)=3。由上述矩陣可知，三個(gè)非零行的非零首元在1，2，4列，所以α1，α2，α4為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。選項(xiàng)中無此答案，現(xiàn)結(jié)合選項(xiàng)來看，由于上述矩陣的第3列和第5列成比例，所以α3，α5線性相關(guān)，即同時(shí)包含α3，α5的選項(xiàng)錯(cuò)誤，故排除B、D。又因?yàn)樯鲜鼍仃嚨牡?行的非零元只有1個(gè)，且在第4列，所以α4必在極大無關(guān)組中，故本題選C。實(shí)際上，對于C項(xiàng)，上述矩陣對應(yīng)的三階子式所以α2，α3，α4是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。8、設(shè)A，B均為n階矩陣，A可逆，且A與B相似，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()①AB與BA相似；②A2與B2相似；③AT與BT相似；④A－1與B－1相似。A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳與B相似，所以存在可逆矩陣P，使得P－1AP=B，于是P－1A2P=B2，PTAT(PT)－1=BT，P－1A－1P=B－1，則有A2與B2相似，AT與BT相似，A－1與B-1相似。又因?yàn)锳可逆，所以A－1(AB)A=BA，即AB與BA相似。故本題選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且滿足則曲線y=f(x)在點(diǎn)(－1，f(－1))的切線方程為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=4(x+1)知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗约匆驗(yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－1)=0。根據(jù)可得所以f’(1)=－4。因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，則f’(1)=-f’(－1)=－4，即f’(－1)=4，因此所求切線方程為y=4(x+1)。10、設(shè)則f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=3知識點(diǎn)解析：函數(shù)可化為顯然函數(shù)在x=3處不可導(dǎo)。11、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗?2、函數(shù)f(x，y)=ax2+bxy2+2y在點(diǎn)(1，－1)取得極值，則ab=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：函數(shù)f(x，y)=ax2+bxy2+y分別對x，y求偏導(dǎo)，得因?yàn)楹瘮?shù)f(x，y)=ax2+bxy2+2y在點(diǎn)(1，－1)取得極值，所以則因此13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題先對y積分較困難，而先對x積分可以應(yīng)用湊微分法，因此先交換積分次序得求解上述積分得14、設(shè)α1=(2，1，1)T，α2=(－1，2，7)T，α3=(1，－1，－4)T，若β1=(1，2，t+1)2可以由α1，α2，α3線性表示，但是β2=(t，1，0)2不可以由α1，α2，α3線性表示，則t=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點(diǎn)解析：根據(jù)題意，β1可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1有解；β2不可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解。由于兩個(gè)方程組的系數(shù)矩陣相同，因此可以合并在一起進(jìn)行矩陣的初等變換，即所以當(dāng)t=4時(shí)，方程組x1α1+x2α2+3α3=β1有解，方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，故t=4。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、設(shè)曲線L過點(diǎn)(1，－1)，L上任意一點(diǎn)P(x，y)處的切線交x軸于點(diǎn)T，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PT|=|OT|，求曲線L的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線方程為y=y(x)，則y(1)=－1。過點(diǎn)P(x，y)的切線方程為Y－y=y’(X－x)，則切線與x軸的交點(diǎn)為因?yàn)閨PT|=|OT|，所以上式兩邊同時(shí)平方可得y’(x2－y2)=2xy，該一階微分方程為齊次方程，令則兩邊取積分得解得將初始條件y(1)=－1代入，則故曲線L的方程為x2+y2+2y=0。知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閒(1)=0，所以令則知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有于是知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求函數(shù)f(x)=x2ln(1+x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)n=1時(shí)，則f’(0)=0；當(dāng)n=2時(shí)，則f"(0)=0；當(dāng)n≥2時(shí)，利用萊布尼茨公式求解，令u(x)=x2，v(x)=ln(1+x)，則u’=2x，u"=2，u(n)=0(n≥3)，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令x∈[1，2]，則F’(x)=f(x)－x2，x∈[1，2]。由拉格朗日中值定理得F(2)－F(1)=F’(ξ)(2－1)，其中F(1)=0，F(xiàn)’(ξ)=f(ξ)－ξ2，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足20、證明f"(x)+f’(x)一2f(x)=1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，將f(x)變形整理得對上式求導(dǎo)得再在上式兩邊同時(shí)乘以ex可得對上式求導(dǎo)得exf’(x)+exf"(x)=ex+2exf(x)，即有f"(x)f’(x)－2f(x)=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題可知，非齊次線性微分方程為f"(x)f’(x)－2f(x)=1，其對應(yīng)的齊次線性微分方程為f"(x)+f’(x)－2f(x)=0，上式對應(yīng)的特征方程為λ2+κ－2=0，解得λ1=1，λ2=－2，故齊次線性微分方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)。又設(shè)非齊次線性微分方程的特解為f"(x)=a，則故非齊次線性微分方程的通解為又因?yàn)閒(0)=0,f’(0)=1，所以故知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)其中Da為曲線所圍成的區(qū)域。22、求Ia；標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域Da如下圖陰影部分所示。由于積分區(qū)域關(guān)于y軸對稱，所以其中Da’為Da在y軸右側(cè)的部分。令x=rcosθ，y=rsinθ，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求a的值使Ia取得最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：令I(lǐng)a’=0，則a1=－2，a2=0，a3=3，由數(shù)軸標(biāo)根法可得Ia的單調(diào)區(qū)間如下表所示所以當(dāng)a=3時(shí)，Ia取得最小值。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)向量α1，α2，…，αn－1是n－1個(gè)線性無關(guān)的n維列向量，ξ1，ξ2是與α1，α2，…，αn－1均正交的n維非零列向量。證明：24、ξ1，ξ2線性相關(guān)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=(α1，α2，…，αn-1)T，則A是(n－1)×n矩陣，且r(A)=n－1。由已知條件可知αiTξj=o(i=1，2，…，n－1；j=1，2)，即Aξj=0(j=1，2)，這說明ξ1，ξ2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解向量。但Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)為n－r(A)=1，所以解向量ξ1，ξ2線性相關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、α1，α2，…，αn-1，ξ1線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)k1α1+k2α2+…+kn－1αn-1+k0ξ1=0，對等號兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置得k1α1T+k2α2T+…+kn-1αn－1T+k0ξ1T=0，上式兩邊同時(shí)右乘ξ1得k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn－1αn－1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0，在上式中αiT=0(i=1，2，…，n－1)，所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0得ξ1Tξ1≠0，所以k0=0，從而k1α1+k2α2+…kn－1αn－1=0。又因?yàn)棣?，α2，…，αn－1線性無關(guān)，所以k1=k2=…=kn－1=k0=0，故α1，α2，…，αn－1，ξ1線性無關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的各行元素之和均為2，向量α1=(1，－1，0)T，α2=(1，0，－1)T是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解。26、求矩陣A的特征值與特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榫仃嘇的各行元素之和均為2，所以則λ=2是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應(yīng)的特征向量。所以對應(yīng)λ=2的全部特征向量為kα=k(1，1，1)T(k≠0)。向量α1，α2是線性方程組Ax=0的解，所以Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0α1，Aα2=0α2，而且α1，α2線性無關(guān)，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1，α2是其對應(yīng)的特征向量，因此對應(yīng)λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(1，－1，0)T+k2(1，0，－1)T，其中k1，k2不同時(shí)為0。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求一個(gè)正交矩陣Q，使QTAQ=A為對角陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳為實(shí)對稱矩陣，所以α與α1，α2正交，則只需將α1，α2正交化。由施密特正交化法得，取η2=α1，再將α，η2，η3單位化，得將q1，q2，q3構(gòu)成正交矩陣則Q－1=QT，且知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=x－sinax與g(x)=x2ln(1－bx)是等價(jià)無窮小，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題可采用排除法。當(dāng)x→0時(shí)，ln(1－bx)與-bx為等價(jià)無窮小，則所以a3=－6b，故排除B、C。另外是存在的，即滿足1－acosxax→0(x→0)，故a=1，排除D。故本題選A。2、則f(x)在x=0處()A、極限不存在B、極限存在，但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：f+’(0)，f－(0)都存在，則f(x)在x=0處右連續(xù)和左連續(xù)，所以f(x)在x=0處連續(xù)；但f+’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)。故本題選C。3、設(shè)則I，J，K的大小關(guān)系為()A、I＜J＜KB、I＜K＜JC、J＜I＜KD、K＜J＜I。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此同時(shí)，又因?yàn)樗跃C上可知，I＜K＜J。故本題選B。4、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是()A、y’"－y"－y’+y=0。B、y’"+y"－y’－y=0。C、y’"－6y"+11y’－6y=0。D、y’"－2y"－y’+2y=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex是所求三階常系數(shù)齊次線性微分方程的三個(gè)特解可知，λ1=－1，λ2=－1，λ3=1是所求方程的三個(gè)根，其特征方程為(λ－1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2－λ－1=0，其對應(yīng)的微分方程為y’"+y"－y’－y=0。故本題選B。5、設(shè)f(x)和φ(x)在(－∞，+∞)上有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)≠0，φ(x)有間斷點(diǎn)，則()A、φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)B、φ2(x)必有間斷點(diǎn)。C、f[φ(x)]必有間斷點(diǎn)。D、必有間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：取f(x)=1，x∈(－∞，+∞)，則f(x)，φ(x)滿足題設(shè)條件。由于φ[f(x)]=1，φ2(x)=1，f[φ(x)]=1都是連續(xù)函數(shù)，故可排除A、B、C。故本題選D。6、周期函數(shù)y=f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，且則y=f(x)在點(diǎn)(5，f(5))處的切線斜率為()A、B、0C、－1D、－2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閥=f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=f(x+4k)，其中k為整數(shù)，故有f’(x)=f’(x+4k)。取x=1，k=1可得，f’(1)=f’(5)。又因?yàn)樗砸虼薴’(1)=－2。故本題選D。7、下列矩陣中，A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：A項(xiàng)，r(A)≠r(B)；B項(xiàng)，tr(A)≠tr(B)；C項(xiàng)，|A|≠|(zhì)B|；由矩陣相似的必要條件可知，A、B、C三項(xiàng)錯(cuò)誤。由排除法可知，本題選D。實(shí)際上，對于D項(xiàng)，r(A)=3，特征值為1(三重)，r(A－E)=2；r(B)=3，特征值為1(三重)，r(B－E)=2，所以矩陣A和B相似。8、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2－2x3)2+[－3x1+(a－1)x2+7x3]2+(x1+ax3)2正定，則參數(shù)a的取值范圍是()A、a=－2。B、a=－3。C、a＞0。D、a為任意值。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方法一：f(x1，x2，x3)是平方和的形式，所以f(x1，x2，x3)≥0。上述方程組的系數(shù)行列式為所以a取任意值，上述方程組都有唯一零解，即對任意的x≠0，都有f(x1，x2，x3)＞0，f正定。故本題選D。方法二：其中A=BTB且AT=A。其中a為任意值，所以對任意的a，矩陣B均可逆，則A=BTB正定，即f(x1，x2，x3)是正定二次型。故本題選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：已知函數(shù)可化為令則因此10、曲線直線x=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：所圍成的平面圖形如下圖陰影部分所示，直接利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式可得11、交換積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可以確定積分區(qū)域D，如下圖陰影部分所示，則有交換積分次序12、設(shè)二元函數(shù)z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：2edx+(e+2)dy知識點(diǎn)解析：二元函數(shù)對x和y分別求偏導(dǎo)，得所以13、微分方程y’+y=e－xcosx滿足y(0)=0的特解為____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e－xsinx知識點(diǎn)解析：微分方程的通解為由y(0)=0得C=0，故所求特解為y=e－xsinx。14、已知線性方程組無解，則a=____________。標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識點(diǎn)解析：對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換得因?yàn)榫€性方程組無解，所以系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，所以a=－2。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)15、設(shè)曲線L過點(diǎn)(1，－1)，L上任意一點(diǎn)P(x，y)處的切線交x軸于點(diǎn)T，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PT|=|OT|，求曲線L的方程。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線方程為y=y(x)，則y(1)=－1。過點(diǎn)P(x，y)的切線方程為Y－y=y’(X－x)，則切線與x軸的交點(diǎn)為因?yàn)閨PT|=|OT|，所以上式兩邊同時(shí)平方可得y’(x2－y2)=2xy，該一階微分方程為齊次方程，令則兩邊取積分得解得將初始條件y(1)=－1代入，則故曲線L的方程為x2+y2+2y=0。知識點(diǎn)解析：暫無解析16、已知求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗杂忠驗(yàn)閒(1)=0，所以令則知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有于是知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求函數(shù)f(x)=x2ln(1+x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)n=1時(shí)，則f’(0)=0；當(dāng)n=2時(shí)，則f"(0)=0；當(dāng)n≥2時(shí)，利用萊布尼茨公式求解，令u(x)=x2，v(x)=ln(1+x)，則u’=2x，u"=2，u(n)=0(n≥3)，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令x∈[1，2]，則F’(x)=f(x)－x2，x∈[1，2]。由拉格朗日中值定理得F(2)－F(1)=F’(ξ)(2－1)，其中F(1)=0，F(xiàn)’(ξ)=f(ξ)－ξ2，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足20、證明f"(x)+f’(x)一2f(x)=1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，將f(x)變形整理得對上式求導(dǎo)得再在上式兩邊同時(shí)乘以ex可得對上式求導(dǎo)得exf’(x)+exf"(x)=ex+2exf(x)，即有f"(x)f’(x)－2f(x)=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題可知，非齊次線性微分方程為f"(x)f’(x)－2f(x)=1，其對應(yīng)的齊次線性微分方程為f"(x)+f’(x)－2f(x)=0，上式對應(yīng)的特征方程為λ2+κ－2=0，解得λ1=1，λ2=－2，故齊次線性微分方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)。又設(shè)非齊次線性微分方程的特解為f"(x)=a，則故非齊次線性微分方程的通解為又因?yàn)閒(0)=0,f’(0)=1，所以故知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)其中Da為曲線所圍成的區(qū)域。22、求Ia；標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域Da如下圖陰影部分所示。由于積分區(qū)域關(guān)于y軸對稱，所以其中Da’為Da在y軸右側(cè)的部分。令x=rcosθ，y=rsinθ，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求a的值使Ia取得最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：令I(lǐng)a’=0，則a1=－2，a2=0，a3=3，由數(shù)軸標(biāo)根法可得Ia的單調(diào)區(qū)間如下表所示所以當(dāng)a=3時(shí)，Ia取得最小值。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)向量α1，α2，…，αn－1是n－1個(gè)線性無關(guān)的n維列向量，ξ1，ξ2是與α1，α2，…，αn－1均正交的n維非零列向量。證明：24、ξ1，ξ2線性相關(guān)；標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)=(α1，α2，…，αn-1)T，則A是(n－1)×n矩陣，且r(A)=n－1。由已知條件可知αiTξj=o(i=1，2，…，n－1；j=1，2)，即Aξj=0(j=1，2)，這說明ξ1，ξ2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解向量。但Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)為n－r(A)=1，所以解向量ξ1，ξ2線性相關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、α1，α2，…，αn-1，ξ1線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)k1α1+k2α2+…+kn－1αn-1+k0ξ1=0，對等號兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置得k1α1T+k2α2T+…+kn-1αn－1T+k0ξ1T=0，上式兩邊同時(shí)右乘ξ1得k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn－1αn－1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0，在上式中αiT=0(i=1，2，…，n－1)，所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0得ξ1Tξ1≠0，所以k0=0，從而k1α1+k2α2+…kn－1αn－1=0。又因?yàn)棣?，α2，…，αn－1線性無關(guān)，所以k1=k2=…=kn－1=k0=0，故α1，α2，…，αn－1，ξ1線性無關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的各行元素之和均為2，向量α1=(1，－1，0)T，α2=(1，0，－1)T是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解。26、求矩陣A的特征值與特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榫仃嘇的各行元素之和均為2，所以則λ=2是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應(yīng)的特征向量。所以對應(yīng)λ=2的全部特征向量為kα=k(1，1，1)T(k≠0)。向量α1，α2是線性方程組Ax=0的解，所以Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0α1，Aα2=0α2，而且α1，α2線性無關(guān)，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1，α2是其對應(yīng)的特征向量，因此對應(yīng)λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(1，－1，0)T+k2(1，0，－1)T，其中k1，k2不同時(shí)為0。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求一個(gè)正交矩陣Q，使QTAQ=A為對角陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳為實(shí)對稱矩陣，所以α與α1，α2正交，則只需將α1，α2正交化。由施密特正交化法得，取η2=α1，再將α，η2，η3單位化，得將q1，q2，q3構(gòu)成正交矩陣則Q－1=QT，且知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(χ)＝，若f(χ)在χ＝0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，則k為()．A、3B、4C、5D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(z)在χ＝0處可導(dǎo)，所以k－2＝3，即k＝5，選C．2、χeχ+1＝的根的個(gè)數(shù)為()．A、沒有根B、恰有一個(gè)根C、恰有兩個(gè)根D、有三個(gè)根標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：令f(χ)＝xeχ＋1－，由f′(χ)＝(χ＋1)eχ＋1＝0得χ＝－1，f〞(χ)＝(χ＋2)eχ＋1，由f〞(－1)－1＞0得χ＝－1為最小值點(diǎn)，最小值為m＝f(－1)＝－＜0，方程χeχ＋1＝有且僅有一個(gè)根．故選B．3、設(shè)函數(shù)f(χ)是連續(xù)且單調(diào)增加的奇函數(shù)，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，則φ(χ)是()．A、單調(diào)增加的奇函數(shù)B、單調(diào)減少的奇函數(shù)C、單調(diào)增加的偶函數(shù)D、單調(diào)減少的偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du＝2∫0χ(χ－u)du－χ∫0χf(χ－u)du＝－2∫0χuf(χ－u)d(χ－u)＋χ∫0χ(χ－u)d(χ－u)2∫χ0(χ－t)f(t)dt＋χ∫χ0f(t)dt＝2∫0χ(χ－t)f(t)dt－χ∫0χf(t)dt＝2χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt－χ∫0χf(t)dt＝χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt因?yàn)棣?－χ)＝－χ∫0－χf(t)dt－2∫0－χtf(t)dt，χ∫0χf(－u)du－2∫0χ(－u)f(－u)d(－u)＝－χ∫0χf(u)du＋2∫0χuf(u)du＝－φ(χ)，所以φ(χ)為奇函數(shù)；又φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)，當(dāng)χ＞0時(shí)，φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(0≤ξ≤χ)，當(dāng)χ≤0時(shí)，φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(χ≤ξ≤0)，所以φ(χ)為單調(diào)減少的奇函數(shù)，選B．4、設(shè)函數(shù)f(χ)具有一階導(dǎo)數(shù)，下述結(jié)論中正確的是()．A、若f(χ)只有一個(gè)零點(diǎn)，則f′(χ)必至少有兩個(gè)零點(diǎn)B、若f′(χ)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則f(χ)必至少有兩個(gè)零點(diǎn)C、若f(χ)沒有零點(diǎn)，則f′(χ)至少有一個(gè)零點(diǎn)D、若f′(χ)沒有零點(diǎn)，則f(χ)至多有一個(gè)零點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：若f(χ)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理，f′(χ)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故若f′(χ)沒有零點(diǎn)，則f(χ)至多一個(gè)零點(diǎn)，選D．5、設(shè)函數(shù)y＝f(χ)的增量函數(shù)△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)＝＋o(△χ)，且f(0)＝π，則f(－1)為()．A、πB、πeπC、πD、πe－π標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由△y＝＋o(△χ)得y＝f(χ)為可導(dǎo)函數(shù)，且y′＝或者y′－＝0，則y＝f(χ)＝Cearctanχ，因?yàn)閒(0)＝π，所以C＝π，于是f(χ)＝πearctanχ，故f(－1)＝π，選C．6、設(shè)A為m×n矩陣，且r(A)＝m＜n，則下列結(jié)論正確的是()．A、A的任意m階子式都不等于零B、A的任意m個(gè)列向量線性無關(guān)C、方程組AX＝b一定有無數(shù)個(gè)解D、矩陣A經(jīng)過初等行變換化為(Em0)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳與都是m行，所以r(A)＝r()＝m＜n，所以方程組AX＝b一定有無數(shù)個(gè)解，選C．7、設(shè)A，B為三階矩陣且A不可逆，又AB＋2B＝O且r(B)＝2，則｜A＋4E｜＝()．A、8B、16C、2D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：令B＝(α1，α2，α3)，由AB＋2B＝O得Aai＝－2α1i(i＝1，2，3)，由r(B)＝2得λ＝－2至少為A的二重特征值，又由r(A)＜3得λ3＝0，故λ1＝λ2＝－2，λ3＝0，A＋4E的特征值為λ1＝λ2＝2，λ3＝4，故｜A＋4E｜＝16．故選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、極限＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)f(χ)二階可導(dǎo)且滿足∫0χt2f(t)dt＝χ3＋f(χ)，則f(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－3＋3知識點(diǎn)解析：對∫0χt2f(t)dt＝χ3f(χ)兩邊求導(dǎo)得χ2f(χ)＝3χ2＋f′(χ)，整理得f′(χ)－χ2f(χ)＝－3χ2，解得當(dāng)χ＝0時(shí)，f(χ)＝0，于是C＝－3，故f(χ)＝－3＋3．10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：11、y＝y(tǒng)(χ)由確定，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(e-1－e-2)知識點(diǎn)解析：當(dāng)t＝0時(shí)，χ＝0，y＝－1，＝2t－1，由tey＋y＋1＝0，得ey＋tey＝0，解得＝－e-1．12、若f(χ)＝2nx(1－χ)n，記Mn＝f(x)，則Mn＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令f′(χ)＝2n(1－χ)n－2n2χ(1－χ)n-1＝0，得χ＝，由f(0)＝f(1)＝0，得13、設(shè)A＝，且ABAT＝E＋2BAT，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由ABAT＝E＋2BAT，得ABAT－(AT)-1AT＋2BAT，因?yàn)锳T可逆，所以AB＝(AT)-1＋2B或B＝(A－2E)-1(AT)-1[AT(A－2E)]-1，解得B＝．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、令χ＝cost(0＜t＜π)將方程(1－χ2)y〞－χy′＋y＝0化為y關(guān)于t的微分方程，并求滿足y｜χ＝0＝1，y′｜χ＝0＝2的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程得＋y＝0，該方程的通解為y＝C1cost＋C2sint，原方程的通解為y＝C1χ＋C2，將初始條件y｜χ＝0＝1，y′｜χ＝0＝2代入得C1＝2，C2＝1，故特解為y＝2χ＋．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)方程＝0在變換，下化為＝0，求常數(shù)a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入整理得從而故a＝－2．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求曲線y＝－χ2＋1上一點(diǎn)P(χ0，y0)(其中χ0≠0)，使過P點(diǎn)作拋物線的切線，此切線與拋物線及兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：切線方程為y＝－2χ0χ＋χ02＋1，令y＝0，得切線與χ軸的交點(diǎn)為A，令χ＝0，得切線與y軸的交點(diǎn)為B(0，1＋χ02)．1)當(dāng)χ0＞0時(shí)，因?yàn)椋?，所以所圍成圖形面積為因?yàn)椋?，所以當(dāng)χ10＝時(shí)，所圍成的面積最小，所求的點(diǎn)為P()．2)當(dāng)χ0＜0時(shí)，因?yàn)椋?，所以所圍成的面積為因?yàn)椋?，所以當(dāng)χ0＝－時(shí)，所圍成的面積最小，所求點(diǎn)為P()．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)＝0，在(0，a)內(nèi)二階可導(dǎo)且f〞(χ)＞0．證明：∫0aχf(χ)dχ＞f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝∫0χtf(t)dt－∫0χf(t)dt，φ(0)＝0．因?yàn)閒〞(χ)＞0，所以f′(χ)單調(diào)增加，故f′(ξ)＜f′(χ)，于是φ〞(χ)＞0(0＜χ＜a)．由得φ′(χ)＞0(0＜χ≤a)，再由得φ(χ)＞0(0＜χ≤a)，于是由φ(a)＞0，故∫0aχf(χ)dχ＞∫0af(χ)dχ．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算二重積分，其中積分區(qū)域D＝{(χ，y)｜0≤χ2≤y≤χ≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)u＝f(χ2＋y2，χz)，z＝z(z，y)由eχ＋ey＝ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由eχ＋ey＝ez得再由u＝f(χ2＋y2，χz)得＝2χ(2yf〞11＋χey-zy〞12)＋(eyy-z－χeχ+y-2z)f′2＋(z＋χeχ-z)(2yf〞21＋χeyy-zf〞22)＝4χy〞11＋(2χ2eyy-z＋2yz＋2χyeχ-z)f〞12＋(ey-z－χeχ+y-2z)f′2＋χeyy-z(z＋χeχ-z)f〞22．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求微分方程y〞＋y′－2y＝χeχ＋sin2χ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋λ－2＝0，特征值為λ1＝－2，λ2＝1，y〞＋y′－2y＝0的通解為y＝C1e-2χ＋C2eχ．設(shè)y〞＋y′－2y＝χeχ(*)y〞＋y′＝2y＝sin2χ(**)令(*)的特解為y1(χ)＝(aχ2＋bχ)eχ，代入(*)得a＝，b＝－，由y〞＋y′－2y＝sin2χ得y〞＋y′＝2y＝(1－cos2χ)，顯然y〞＋y′－2y＝有特解y＝－．對y〞＋y′－2y＝－cos2χ，令其特解為y＝Acos2χ＋Bsin2χ，代入得，則y2(χ)＝，所以原方程的通解為y＝C1e-2χ＋C2eχ＋知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)，討論當(dāng)a，b取何值時(shí)，方程組AX＝b無解、有唯一解、有無數(shù)個(gè)解；有無數(shù)個(gè)解時(shí)求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：情形一：a≠0當(dāng)a≠0且a－b＋1≠0時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)a≠0且a－b＋1＝0時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解，由得方程組的通解為情形二：a＝0當(dāng)b≠1時(shí)，方程組無解；當(dāng)b＝1時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解，由得方程組的通解為知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得QTAQ＝，又α＝且A*α＝α．(Ⅰ)求正交矩陣Q；(Ⅱ)求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)顯然A的特征值為λ1＝λ2＝－1，λ3＝2，A*的特征值為μ1＝μ2＝－2，μ3＝1．因?yàn)棣翞锳*的屬于特征值μ3＝1的特征向量，所以α是A的屬于特征值λ3＝2的特征向量，令α＝α3．令A(yù)的屬于特征值λ1＝λ2＝－1的特征向量為ξ＝，因?yàn)閷?shí)對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以－χ1－χ2＋χ3＝0，則A的屬于特征值λ1＝λ2＝－1的線性無關(guān)的特征向量為知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)＝F(x)＝∫－1xf(t)dt，則F(x)在x＝0處()A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：法一寫出F(x)的表達(dá)式進(jìn)行討論．由f(x)的表達(dá)式知，當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)(x)＝∫－1xf(t)dt＝∫－1xf(－t)dt＝當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)(x)＝∫－1xf(t)dt＝∫－10f(t)dt＋∫0xf(t)dt＝∫－10(－t)dt＋∫0xetdt＋＝｜－10＋et｜0x＝即由上可知F(x)在x＝0處連續(xù)，在看是否可導(dǎo)．所以選(C)．法二有下述定理：設(shè)f(x)在[a，b]上除點(diǎn)c∈(a，b)外連續(xù)，而點(diǎn)x＝c是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．又設(shè)F(x)＝∫x0xf(t)dt，x0∈(a，b)．則：①F(x)在[a，b]上必連續(xù)；②當(dāng)x∈[a，b]但x≠c時(shí)，F(xiàn)’(x)＝f(x)；③F’(c)必不存在，并且F’﹢(c)＝f(c﹢﹢)，F(xiàn)’－(c)＝f(c－)．在做選擇題時(shí)可套用此結(jié)論．由此定理可知應(yīng)選(C)．2、當(dāng)x→0時(shí)，下列3個(gè)無窮小按后一個(gè)無窮小比前一個(gè)高階的次序排列，正確的次序是()A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、γ，α，βD、α，γ，β標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：綜上所述，無窮小的階從低到高排列應(yīng)是α，γ，β，選(D)．3、()A、1．B、0．C、－1．D、﹢∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則“φ(0，0)＝0”是“f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微”的()A、必要條件而非充分條件．B、充分條件而非必要條件．C、充分必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：先證充分性．設(shè)φ(0，0)＝0，由于φ(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，所以按可微定義，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，且df(x，y)＝0·△x﹢0·△y，即fx’(0，0)＝0，f’(0，0)＝0．再證必要性．設(shè)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，則f’x(0，0)與f’y(0，0)必都存在．其中當(dāng)x→0﹢時(shí)，取“﹢”，當(dāng)x→0－時(shí)，取“－”．由于f’x(0，0)存在，所以φ(0，0)＝－φ(0，0)，從而φ(0，0)＝0．證畢．5、設(shè)，n＝0，1，2，…．則下列關(guān)于an的關(guān)系式成立的是()A、an﹢2＝an﹢1﹢an．B、an﹢3＝an．C、an﹢4＝an﹢2﹢an．D、an﹢6＝an．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由f(x)＝，得f(0)＝1，再由f(x)(x2－x﹢1)＝x﹢1，(*)兩邊對x求一階導(dǎo)數(shù)，得f’(x)(x2－x﹢1)﹢f(x)(2x－1)＝1．將x＝0代入，得f’(0)－f(0)＝1，f’(0)＝f(0)﹢1＝2．將(*)式兩邊對．x求n階導(dǎo)數(shù)，n≥2，有f(n)(x)(x2－x﹢1)﹢C1nfn－1(x)(2x－1)﹢C2n(x)·2＝0，將x＝0代入，得f(n)(0)－C1nfn－1(0)﹢2C2nfn－2(0)＝0，即fn(0)＝nfn－1(0)－n(n－1)f(n－2)(0)，n＝2，3，…．或?qū)懗蒩n﹢2＝an﹢1－an，n＝0，1，2，…．(**)現(xiàn)在驗(yàn)算(A)～(D)中哪一個(gè)正確．顯然，由遞推公式(**)知，(A)的左邊an﹢2＝an﹢1－an，僅當(dāng)an＝0時(shí)才有(A)的左邊等于(A)的右邊，故(A)不正確．再驗(yàn)算(B)．(B)的左邊an﹢3＝an﹢2－an﹢1＝an﹢1－an－an﹢1＝－an，所以僅當(dāng)an＝0時(shí)，(B)的左邊等于(B)的右邊，故(B)不正確．再驗(yàn)算(C)．(C)的左邊an﹢4＝an﹢3－an﹢2＝an﹢2－an﹢1－an﹢2＝－an﹢1．(C)的右邊an﹢2﹢an＝an﹢1－an﹢an＝an﹢1．(C)的左邊等于(C)的右邊，得an﹢1＝0，n＝0，1，2…．但這不正確．所以(C)也不正確．余下只有(D)．以下可直接驗(yàn)算(D)正確．由已證(**)式，所以對一切n，有an﹢6＝an﹢5－an﹢4＝an﹢4－an﹢3－an﹢4＝－an﹢3，從而an﹢6＝－an﹢3＝－(an)＝an，n＝0，1，2，…．所以(D)正確．6、設(shè)A，B，C為常數(shù)，則微分方程y”﹢2y’﹢5y＝e－xcos2x有特解形式()A、e－x(A﹢Bcos2x﹢Csin2x)．B、e－x(A﹢Bxcos2x﹢Cxsin2x)．C、e－x(Ax﹢Bcos2x﹢Csin2x)．D、e－x(Ax﹢Bxcos2x﹢Cxsin2x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：原方程可寫成y”﹢2y’﹢5y＝．特征方程是r2﹢2r﹢5＝0，特征根r1，2＝－1±2i．對應(yīng)于自由項(xiàng)e－x的一個(gè)特解形式為y1*＝Ae－x．對應(yīng)于自由項(xiàng)e－xcos2x的一個(gè)特解形式為y*2＝xe－x(Bcos2x﹢Csin2x)．所以原方程的一個(gè)特解形式為y*1﹢y*2＝e－x(A﹢Bxcos2x﹢Cxsin2x)．故應(yīng)選(B)．7、已知n維向量組α1，α2，α3，α4是線性方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系，則向量組aα1﹢bα4，aα2﹢bα3，aα3﹢bα2，aα4﹢bα1也是Ax＝0的基礎(chǔ)解系的充分必要條件是()A、a＝b．B、a≠－b．C、a≠b．D、a≠±b．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知