考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷4（共206題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷4（共9套）（共206題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(χ)＝，則f(χ)在χ＝0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但f′(χ)在χ＝0處不連續(xù)D、可導(dǎo)且f′(χ)在χ＝0處連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f′(0)＝當(dāng)χ＞0時(shí)，f′(χ)＝，當(dāng)χ＜0時(shí)，f′(χ)＝所以，＝f′(0)．因此f(χ)在χ＝0處可導(dǎo)，且f′(χ)在χ＝0處連續(xù)．故應(yīng)選D．2、設(shè)f(χ)＝，當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的()．A、等價(jià)無窮小B、同階但不等價(jià)的無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所以，當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的同階但不等價(jià)的無窮?。蕬?yīng)選B．3、設(shè)，且D＝{(χ，y)｜(χ－1)2＋(y－1)2≤2}，則有()．A、I1＜I2＜I3B、I2＜I3＜I1C、I3＜I1＜I2D、I3＜I2＜I1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)被積函數(shù)連續(xù)時(shí)，在同一積分區(qū)域上比較積分大小即可．只要比較被積函數(shù)的大小，由題目知被積函數(shù)為的方冪，因此只需看是否小于或大于1，如圖1—1所示．當(dāng)(χ，y)∈D時(shí)，有0≤≤1，從而有(等號(hào)不恒成立)，所以I1＜I2＜I3．故應(yīng)選A．4、已知n維向量組(i)α1，α2，…，αs(ii)β1，β2，…，βt的秩都為r，則下列命題中不正確的是()．A、若s＝t，則向量組(i)與(ii)等價(jià)B、若向量組(i)是(ii)的部分組，則向量組(i)與(ii)等價(jià)C、若向量組(i)能由(ii)線性表示，則向量組(i)與(ii)等價(jià)D、若向量組(iii)α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩為r，則向量組(i)和(ii)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：取向量組(i)：和向量組(ii)：則向量組(i)的秩為2，向量組(ii)的秩也為2．但顯然(i)與(ii)不等價(jià)．故應(yīng)選A．5、矩陣與()相似．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令矩陣A＝，則A的特征值為1和2．而(A)選項(xiàng)中矩陣的特征值為－1和－2，故矩陣A不與A選項(xiàng)的矩陣相似．又因?yàn)椋?，而B選項(xiàng)中＝0，C選項(xiàng)中＝－2，故矩陣A不與B、C選項(xiàng)的矩陣相似．所以，矩陣A與D選項(xiàng)的矩陣相似．事實(shí)上，均與對(duì)角陣相似．再由相似的傳遞性，相似．故應(yīng)選D．6、設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，記a＝P{X＜Y}，b＝P{Y＜Z}，則()．A、a＞bB、a＜bC、a＝bD、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄—y～N(－1，4)，y—Z～N(－1，9)，則a＝P{X＜Y}＝P{X－Y＜0}＝，b＝P{Y＜Z}＝P{Y－Z＜0}＝，由于分布函數(shù)Ф(χ)單調(diào)增加，所以a＞b．故應(yīng)選A．7、當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是()．A、P(C)＝P(AB)B、P(C)＝P(A)＋P(B)C、P(C)≥P(A)＋P(B)－1D、P(C)≤P(A)＋P(B)－1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意ABC及概率廣義加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，得P(C)≥P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AUB)≥P(A)＋P(B)－1．故應(yīng)選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：故應(yīng)填．9、設(shè)＝∫－∞aχedχ，則常數(shù)a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由題意知ea＝(a－1)ea，解得a＝2．故應(yīng)填2．10、設(shè)函數(shù)f(t)有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，r＝，g(φ，y)＝f()，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，則利用對(duì)稱性可得故應(yīng)填11、設(shè)f(χ)＝若f(χ)在χ＝0處的二階導(dǎo)數(shù)存在，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)χ＜0時(shí)，f′(χ)＝2e2χ；當(dāng)χ＞0時(shí)，f′(χ)＝2aχ＋2；由于f〞(0)存在，則f′(χ)在χ＝0處連續(xù)，且f′(0)＝limf′(χ)＝2，則故f〞＋(0)＝f〞－(0)，即a＝2．故應(yīng)填2．12、設(shè)Dn＝，則Dn中所有元素的代數(shù)余子式之和為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：n!知識(shí)點(diǎn)解析：因第一行元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值，所以1.A11＋1.A12＋…＋1.A1n＝Dn＝n!．因第一行元素與第i行(i≥2)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，所以1.Ai1＋1.Ai2＋…＋1.Ain＝0．故所有元素代數(shù)余子式之和為n!故應(yīng)填n!．13、設(shè)總體X～N(μ，22)，X1，X2，…，Xn為取自總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，要使E(－μ)2≤0．1成立，則樣本容量n至少應(yīng)取_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：40知識(shí)點(diǎn)解析：，解得n≥40．故n≥40．故應(yīng)填40．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、就常數(shù)a的不同取值情況，討論方程χe－χ＝a(a＞0)的實(shí)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(χ)＝χe－χ－a，則f′(χ)＝(1－χ)e－χ，f〞(χ)＝(χ－2)e－χ．令f′(χ)＝0，得駐點(diǎn)χ＝1．由于當(dāng)χ∈(－∞，1)時(shí)，f′(χ)＞0，f(χ)在(－∞，1)單調(diào)增加，當(dāng)χ∈(1，＋∞)時(shí)，f′(χ)＜0，f(χ)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)減少，所以f(χ)在χ＝1處取得極大值，即最大值為f(1)＝e-1－a．則①當(dāng)e-1－a＜0時(shí)，即a＞時(shí)，f(χ)≤f(1)＜0，方程χe-χ＝a無實(shí)根．②當(dāng)e-1－a＝0，即a＝時(shí)，只有f(1)＝0，而當(dāng)χ≠1時(shí)，f(χ)＜f(1)＝0，方程χe-χ＝a只有一個(gè)實(shí)根χ＝1．③當(dāng)e-1－a＞0，即a＜時(shí)，由于(χe-χ－a)＝－∞，f(1)＝e-1－a＞0，f(χ)在(－∞，1)內(nèi)單調(diào)增加，則f(χ)＝0在(－∞，1)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根．又因＝－a＜0，f(1)＝e-1－a＞0，f(χ)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則f(χ)＝0在(1，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根．所以方程χe－χ＝a正好有兩個(gè)實(shí)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2y}．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)D1＝{(χ，y)｜1≤χ2＋y2≤2y且χ≥0}，如圖6—1所示，則當(dāng)χ≥0時(shí)，由得交點(diǎn)M()．令χ＝rcosθ，y＝rsinθ引入極坐標(biāo)系(r，θ)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1，)，從而，在極坐標(biāo)系下D1＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、討論函數(shù)f(χ，y)＝在點(diǎn)(0，0)處(Ⅰ)是否連續(xù)；(Ⅱ)偏導(dǎo)數(shù)是否存在；(Ⅲ)是否可微；(Ⅳ)偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)(χ，y)≠(0，0)時(shí)，｜f(χ，y)｜≤χ2＋y2，故f(χ，y)＝0＝f(0，0)，所以函數(shù)在(0，0)處連續(xù)．(Ⅱ)在(0，0)處，即f(χ，y)在(0，0)處關(guān)于χ的偏導(dǎo)數(shù)存在，且f′χ(0，0)＝0．同理，f′y(0，0)也存在，且f′y(0，0)＝0．(Ⅲ)由(2)知，f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0，函數(shù)在(0，0)處的全增量：△z＝f(△χ，△y)－f(0，0)＝[(△χ)2＋(△y)2]sin＝ρ2sin，其中ρ＝．故△z－[f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y]＝ρ2sin．因?yàn)樗浴鱶＝f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y＋o(ρ)．故函數(shù)f(χ，y)在(0，0)處可微，且dz＝f′χ(0，0)△χ＋f′y(0，0)△y＝0．(Ⅳ)當(dāng)(χ，y)≠(0，0)時(shí)故均不存在所以f′χ(χ，y)，f′y(χ，y)在(0，0)處都不連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)有級(jí)數(shù)(Ⅰ)求此級(jí)數(shù)的收斂域；(Ⅱ)證明此級(jí)數(shù)的和函數(shù)y(χ)滿足微分方程y〞－y＝－1；(Ⅲ)求微分方程y〞－y＝－1的通解，并由此確定該級(jí)數(shù)的和函數(shù)y(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)對(duì)于任意χ，有所以收斂域?yàn)?－∞，＋∞)．(Ⅱ)應(yīng)用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)證明：y(χ)＝2＋，χ∈(－∞，＋∞)即y(χ)滿足微分方程y〞－y＝－1．(Ⅲ)y〞－y＝0的特征方程r2－1＝0的特征根為r＝±1，于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y＝C1eχ＋C2e－χ，又特解為y*＝－1，故y〞－y＝－1的通解為y＝C1eχ＋C2e－χ＋1．又冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)y(χ)滿足y〞(χ)－y(χ)＝－1，且y(0)＝2，y′＝(0)＝0，則y(χ)即為微分方程y〞－y＝－1滿足初值條件y｜χ＝0＝2，y′｜χ＝0＝0的特解，即則C1＝C2＝．所以和函數(shù)y(χ)＝＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)齊次線性方程組Aχ＝O的基礎(chǔ)解系為α1＝(1，3，0，2)T，α2＝(1，2，－1，3)T．Bχ＝0的基礎(chǔ)解系為β1＝(1，1，2，1)T，β2＝(0，－3，1，a)T．若Aχ＝0和Bχ＝0有非零公共解，求a的值并求公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)非零公共解為γ，則γ既可由α1和α2線性表示，也可由β1和β2線性表示．設(shè)γ＝χ1α1＋χ2α2＝－χ3β1－χ4β2，則χ1α1＋χ2α2＋χ3β1＋χ4β2＝0．γ≠0χ1，χ2，χ3，χ4不全為零R(α1，α2，β1，β2)＜4a＝0．當(dāng)a＝0時(shí)，則χ1＝2t，χ2＝－t，χ3＝－t，χ4＝t．所以非零公共解為2tα1－tα2＝t(1，4，1，1)T，其中t為非零常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知矩陣A＝和B＝相似，求a，b及一個(gè)可逆矩陣P，使P-1AP＝B．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B相似，所以｜A｜＝｜B｜，且tr(A)＝tr(B)，｜λE－A｜＝＝(λ－3)(λ＋5)＋16＝λ2＋2λ－15＋16＝λ2＋2λ＋1＝(λ＋1)2．故A的兩個(gè)特征值為－1，－1．但(－E－A)＝因此R(－E－A)＝1，所以不能對(duì)角化．設(shè)P＝，滿足P-1AP＝B，即有AP＝PB，從而整理得解得基礎(chǔ)解系為所以可令P＝，則有P-1AP＝B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在以點(diǎn)(0，1)，(1，0)，(1，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量U＝X＋Y的方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：三角形區(qū)域?yàn)镚＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1，χ＋y≥1}；隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合密度為以f(u)表示U＝X＋Y的概率密度，當(dāng)u＜1或u＞2時(shí)，顯然f(u)＝0．設(shè)1≤u≤2，當(dāng)0≤χ≤1且0≤u－χ≤1時(shí)，f(χ，u－χ)＝2，否則f(χ，u－χ)＝0．由隨機(jī)變量之和的概率密度公式，有f(u)＝∫－∞＋∞f(χ，u－χ)dχ＝∫u-112dχ＝2(2－u)．因此E(X＋Y)＝E(U)＝∫－∞＋∞uf(u)du＝2∫12u(2－u)du＝，E(X＋Y)＝E(U*)＝∫－∞＋∞u2f(u)du＝2∫12u2(2－u)du＝，D(U)＝D(X＋y)＝E(X＋Y)2－[E(X＋Y)]2＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為其中λ＞0，μ＞0是常數(shù)，引入隨機(jī)變量Z＝(Ⅰ)求條件概率密度fX｜Y(χ｜y)；(Ⅱ)求Z的分布律和分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由X和Y相互獨(dú)立，故f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)．當(dāng)y＞0時(shí)，(Ⅱ)由于Z＝且故Z的分布律為Z的分布函數(shù)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)，則f(x)有()A、1個(gè)可去間斷點(diǎn)。B、1個(gè)可去間斷點(diǎn)，1個(gè)無窮間斷點(diǎn)。C、1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，1個(gè)可去間斷點(diǎn)。D、1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，1個(gè)無窮間斷點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查間斷點(diǎn)的類型和判斷方法。先找出函數(shù)可能的間斷點(diǎn)，再依次計(jì)算函數(shù)在這些點(diǎn)的極限，利用不同間斷點(diǎn)的定義判斷。由題意，x＝1和x＝0是函數(shù)的可疑間斷點(diǎn)。對(duì)于x＝0，因此x＝0是可去間斷點(diǎn)；對(duì)于x＝1，因此x＝1是無窮間斷點(diǎn)。故本題選B。2、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，B]上連續(xù)，且0＜f(x)＜1，則方程在(a，b)內(nèi)的根有()A、0個(gè)。B、1個(gè)。C、2個(gè)。D、無窮多個(gè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查方程根的個(gè)數(shù)及變限積分求導(dǎo)。先判斷在區(qū)間端點(diǎn)處的正負(fù)及函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷根的個(gè)數(shù)。設(shè)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，且對(duì)F(x)求導(dǎo)可得因此F(x)在(0，b)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)在(0，b)內(nèi)沒有實(shí)根。故本題選A。3、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?)A、(－1，1)。B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。令，將原級(jí)數(shù)變形化簡(jiǎn)，利用比值審斂法求關(guān)于y的級(jí)數(shù)的收斂半徑，結(jié)合端點(diǎn)處級(jí)數(shù)的斂散性得出收斂域，最后再求出原級(jí)數(shù)的收斂域。4、方程的特解形式(0，6，c，d是常數(shù))為()A、ae－3x＋be－2x＋cx＋d。B、axe－3x＋be－2x＋cx3＋dx。C、axe－3x＋bxe－2x＋cx3＋dx2。D、ae－3x＋bxe－2x＋cx3＋dx2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查高階常系數(shù)非齊次微分方程的特解。先利用特征方程求出特征根，再根據(jù)e－3x，3e－2x，x的形式分別設(shè)出各自的特解形式，將特解相加即得原方程的特解形式。特征方程為r4－r3-6r2＝r2(r－3)(r＋2)＝0，特征根分別為r1＝3，r2＝－2，r3＝0(重根)。對(duì)于f1(x)＝e－3x，λ1＝－3不是特征根，可設(shè)y*1＝ae－3x；對(duì)于f2(x)＝－3e－2x，λ2＝-2是特征根，可設(shè)y*2＝bxe－2x；對(duì)于f3(x)＝x，λ3＝0是雙重特征根，可設(shè)y*3＝x2(cx＋d)。因此特解形式為ae－3x＋bxe－2x＋cx3＋dx2。故本題選D。5、設(shè)A是n階可逆方陣(n≥2)，A*是A的伴隨矩陣，則(A*)*＝()A、｜A｜n＋1A。B、｜A｜n－1A。C、｜A｜n＋2A。D、｜A｜n－2A。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查伴隨矩陣的性質(zhì)。主要利用公式AA*＝｜A｜E和結(jié)論｜A*｜＝｜A｜n－1推導(dǎo)。\根據(jù)公式AA*＝｜A｜E，可得(A*)(A*)*＝｜A*｜E，因此(A*)*＝｜A*｜(A*)－1。又因?yàn)椋麬*｜＝｜A｜n－1，，所以故本題選D。6、下列命題正確的是()A、如果AB＝E，則矩陣A一定可逆，且A－1＝B。B、如果A，B是n階可逆矩陣，則AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1。C、如果A，B是n階可逆矩陣，則A＋B也可逆，且(A＋B)－1＝B－1＋A－1。D、如果A，B是n階不可逆矩陣，則A－B一定不可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣可逆的性質(zhì)。只有針對(duì)方陣，才可以討論其可逆性；兩個(gè)n階矩陣是否可逆對(duì)它們的和或差的矩陣的可逆性沒有影響；兩個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆。對(duì)于選項(xiàng)A，沒有指出A和B是否為方陣，因此不能確定A是否可逆，例如，滿足AB＝E，但顯然A不可逆，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，矩陣A，B可逆，則｜A｜≠0，｜B｜≠0，且｜AB｜＝｜A｜｜B｜≠0，因此AB可逆，且(AB)－1＝B－1A－1，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，如果矩陣A，B可逆，但A＝－B，則A＋B＝D，零矩陣不可逆，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，顯然A和B均不可逆，但是A－B是單位矩陣，單位矩陣可逆，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。故本題選B。7、設(shè)隨機(jī)變量x與y均服從正態(tài)分布，其中X～N(μ，9)，Y～N(μ，16)，記p1＝P{X≥μ＋3}，p2＝P{X≤μ－4}，則()A、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，都有p1＝p2。B、無論μ取任何實(shí)數(shù)，都有p1≠p2。C、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，都有p1＞p2。D、對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，都有p1＜p2。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)。先將題中的兩個(gè)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化，再利用正態(tài)分布的性質(zhì)Φ(-x)＝1－Φ(x)得出結(jié)論。用Φ(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的分布函數(shù)，則由于Φ(－1)＝1－Φ(1)，因此p1＝p2，即對(duì)任意實(shí)數(shù)μ，都有p1＝p2。故本題選A。8、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體Ⅳ(μ，σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X是樣本均值，S2是樣本方差，則服從()A、自由度為n－1的X2分布。B、自由度為n的X2分布。C、自由度為n－1的t分布。D、自由度為n的t分布。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查X2分布和t分布的定義和性質(zhì)。題干所需判斷的隨機(jī)變量是由兩部分組成的，可以分開判斷，利用X2分布或t分布的性質(zhì)求自由度。因?yàn)榭傮wX～N(μ,σ2)，所以。又因?yàn)?。由于和S2獨(dú)立，由X2分布的可加性可得。故本題選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)在x＝2的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f＇(x)＝ef(x)，f(2)＝3，則f(n)(2)＝_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(n-1)!e3n知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查數(shù)學(xué)歸納法求高階導(dǎo)數(shù)。首先通過多次求導(dǎo)找出f(n)(x)的表達(dá)式，再將x＝2代入最終表達(dá)式得出結(jié)果。對(duì)f＇(x)＝ef(x)兩端求導(dǎo)可得f＂(x)＝ef(x)·f＇(x)＝e2f(x)，對(duì)上式兩端繼續(xù)求導(dǎo)可得，對(duì)上式兩端繼續(xù)求導(dǎo)可得f(4)(x)＝2e3f(x)·3f＇(x)＝6e4f(x)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，f(n)(x)＝(n－1)!enf(x)，結(jié)合f(2)＝3可知，f(n)(2)＝(n－1)!enf(2)＝(n－1)!e3n。10、設(shè)f(x，y)＝∫xy0tet2dt，則＝________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x2yex2y2知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查多元函數(shù)求高階偏導(dǎo)和變上限積分求導(dǎo)公式。根據(jù)已知分別求出的表達(dá)式，代入化簡(jiǎn)。已知f(x，y)＝∫xy0tet2dt，則有，因此11、已知函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，且，則f(x)＝__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：，C1,C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查變限積分求導(dǎo)和二階非齊次微分方程求解。首先處理積分∫10f(tx)dt，在等式兩端乘以x，令u＝tx，原式化為含變上限積分的等式；再通過對(duì)變形后的方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)構(gòu)造二階微分方程；最后利-用二階非齊次方程求解步驟求通解。將所給的方程兩端同乘以x可得令u＝tx，上式變?yōu)閮蛇呁瑫r(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得微分方程f＂(x)－4f(x)＝e2x，即y＂－4y＝e2x。y＂－4y＝0的特征根為λ＝±2，因此對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y＝C1e－2x＋C2e2x。設(shè)特解為y*＝Axe2x,代入y＂－4y＝e2x，解得，所以，C1，C2為任意常數(shù)。12、已知f(x)是連續(xù)函數(shù)，且在x＝0的某鄰域內(nèi)滿足－3f(1＋sinx)＝6x＋α(x)，其中α(x)是當(dāng)x→0時(shí)比x高階的無窮小，且f(x)在x＝1處可導(dǎo)，則y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝－2x＋2知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查求切線方程。解答求切線方程類題目的關(guān)鍵是求出切線的斜率，即函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。本題求斜率時(shí)先求出f(1)的值，再利用導(dǎo)數(shù)的極限式定義求出f＇(1)的值。根據(jù)已知，由，得－3f(1)＝0，即f(1)＝0。又可得－3f＇(1)＝6，f＇(1)＝－2。因此切線方程為y＝－2x＋2。13、已知A，B均是3階矩陣，將A中第3行的3倍加到第1行得到矩陣A1，將B中第2列和第3列交換得到矩陣B1，，則AB＝___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查初等矩陣和初等變換。首先根據(jù)初等變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣得到A1，B1的形式，再用A1B1及初等矩陣的逆矩陣表示AB。由于初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣，因此直接對(duì)A1B1施行對(duì)應(yīng)的初等變換(無需進(jìn)行矩陣乘法)即可得出AB。根據(jù)題意14、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，令(X1＋X2＋…＋Xn)，則Y2的數(shù)學(xué)期望為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望。首先根據(jù)已知得出X1＋X2＋…＋Xn服從的分布，并得出其數(shù)學(xué)期望和方差，然后求出D(Y)和E(Y)并將結(jié)果代入E(Y2)＝D(Y)＋[E(Y)]2即可得出Y2的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)殡S機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，所以X1＋X2＋…＋Xn～P(nλ)，因此可得E(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1＋X2＋…＋Xn)＝nλ，則根據(jù)公式D(Y)＝E(Y2)－[E(Y)]2，可得三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)確定a，b，c的值，使得函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝0處連續(xù)且可導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：首先函數(shù)在x＝0的左極限為其次函數(shù)在x＝0的右極限為知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查函數(shù)連續(xù)和可導(dǎo)的條件。先通過計(jì)算x＝0的左、右極限并使其等于f(0)，建立兩個(gè)方程。并令x＝0的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等得出第三個(gè)方程。解方程組即可求出a，b，c的值。16、計(jì)算二重積分的值，其中區(qū)域D是x2＋y2≥1和x2＋(y－1)2≤1所代表的區(qū)域的公共部分。標(biāo)準(zhǔn)答案：本題積分區(qū)域涉及圓的方程，因此采用極坐標(biāo)求解。積分區(qū)域如圖所示。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二重積分的計(jì)算。首先畫出積分區(qū)域的草圖，發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域是關(guān)于y軸對(duì)稱的，因此積分值等于第一象限積分值的2倍。17、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)＝0，。證明存在，使得f＇(η1)＋f＇(η1)＝η31＋η32。標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造輔助函數(shù)，，則F(0)＝F(1)＝0，F(xiàn)(x)滿足拉格朗日中值定理。即f＇(η1)＋f＇(η2)＝η31＋η32成立。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查拉格朗日中值定理。本題有兩個(gè)中值點(diǎn)，因此需要構(gòu)造輔助函數(shù)，并兩次應(yīng)用拉格朗日中值定理。18、在微分方程的通解中求一個(gè)特解y＝y(tǒng)(x)(x＞0)，使得曲線y＝y(tǒng)(x)與直線x＝1，x＝2及y＝0所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為，x≠0。這是一階線性微分方程，由通解公式得由曲線與直線x＝1，x＝2及y＝0所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查一階線性微分方程的求解及旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算。首先由已知微分方程求得通解，然后再利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式表示出含有未知參量的體積值，最后利用導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系確定未知參量，得到函數(shù)表達(dá)式。19、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求收斂域，，令｜x｜＜l，得其收斂區(qū)間為x∈(－1，1)。當(dāng)x＝－1時(shí)，級(jí)數(shù)為，由比較審斂法可知該級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x＝1時(shí)，級(jí)數(shù)為，由萊布尼茨判別法可知該級(jí)數(shù)收斂。因此原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閤∈[－1，1]。接下來求級(jí)數(shù)的和函數(shù)：令知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。首先利用根值判別法求收斂半徑，再分別判斷區(qū)間端點(diǎn)處級(jí)數(shù)的斂散性，得出收斂域。求和函數(shù)時(shí)先將級(jí)數(shù)分解為容易求和函數(shù)的常見函數(shù)形式，結(jié)合逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積分不改變收斂半徑的性質(zhì)得出原級(jí)數(shù)的和函數(shù)。20、設(shè)矩陣，X是一個(gè)2階矩陣。(Ⅰ)求滿足矩陣方程ABX－XAB＝O的所有的X(Ⅱ)矩陣方程是否有解，如果有解，求其解。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)未知矩陣為，代入方程可得則該矩陣方程等價(jià)于齊次線性方程組對(duì)該方程的系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換，其中自由變量為x3，x4，令3＝0，x4＝1和x3＝1，x4＝0，可得基礎(chǔ)解系為α1＝(2，2，1，0)T，α2＝(－1，0，0，1)T，因此(x1，x2，x3，x4)T＝k1α1＋k2α2＝(2k1－k2，2k1，k1，k2)T，則滿足矩陣方程的矩陣X為，k1，k2為任意常數(shù)。(Ⅱ)矩陣方程可轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，因此必有解，對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解為x0＝k1α1＋k2α2＝(2k1－k2，2k1，k1，k2)T，非齊次線性方程組的一個(gè)特解為β＝(－2，－1，0，0)T。因此方程組的通解為x0＝k1α1＋k2α2＋β＝(2k1－k2－2，2k1－1，k1，k2)T。則滿足矩陣方程的矩陣X為，k1，k2為任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣方程。該題第一問求解矩陣方程時(shí)可通過變形將其轉(zhuǎn)化為求解齊次線性方程組的解，根據(jù)齊次線性方程組求通解的步驟求出通解即為X的四個(gè)元素。第二問等價(jià)于求非齊次線性方程組的解的存在性。21、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，其中二次型矩陣A的主對(duì)角元素的和為3。AB＝O，其中(Ⅰ)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所做的正交變換；(Ⅱ)求該二次型的具體表達(dá)式。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)已知條件，因此矩陣B的3個(gè)列向量均為A的對(duì)應(yīng)于特征值A(chǔ)＝0的特征向量，其中β1＝(1，2，1)T，β2＝(－2，1，0)，2β－β＝(4，3，2)T，故λ＝0至少為矩陣A的二重特征值。根據(jù)A的主對(duì)角元素的和為3可得A還有一個(gè)特征值為3，因此屬于矩陣A的特征值分別為0，0，3。矩陣A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，因此屬于特征值3的特征向量與屬于特征值0的兩個(gè)特征向量均正交，可得方程組解得β3＝(x1，x2，x3)T＝(1，2，－5)T。故存在正交變換x＝Qy，其中知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。第一問通過矩陣方程及主對(duì)角線元素的和可得出矩陣A的特征值，利用屬于不同特征值的特征向量正交的性質(zhì)求出A的所有特征向量，從而得出正交矩陣。第二問利用第一問的逆向變化計(jì)算矩陣的乘積即可得出矩陣A的具體形式。22、設(shè)隨機(jī)變量U在[－3，3]上服從均勻分布，記隨機(jī)變量(Ⅰ)求Cov(X，Y)，并判斷隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性；(Ⅱ)求D[(1＋X)Y]。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)已知X和Y的全部取值只有－1和1，且P{X＝－1，Y＝1}＝P{U≤－2，U＞1}＝0，因此(X，Y)的分布律及邊緣分布律為根據(jù)相互獨(dú)立的性質(zhì)可知隨機(jī)變量X和Y不獨(dú)立。(Ⅱ)根據(jù)隨機(jī)變量乘積的方差公式D[(1＋X)Y]＝D(y＋XY)＝D(Y)＋D(XY)＋2Cov(Y，XY)＝D(Y)＋D(XY)＋2E(XYz)-2E(Y)E(XY)，由上一問可知，因此通過計(jì)算可得隨機(jī)變量XY和XY2的分布律如下因此可分別計(jì)算得知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查協(xié)方差的計(jì)算、獨(dú)立性的判斷及隨機(jī)變量乘積的方差的計(jì)算。先通過已知條件寫出(X，Y)的分布律及邊緣分布律，然后計(jì)算X和Y的期望，利用公式Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)計(jì)算協(xié)方差，并通過判斷協(xié)方差是否等于0驗(yàn)證X和Y是否獨(dú)立。23、某機(jī)械工程師為了解多臺(tái)同種儀器的精準(zhǔn)度，抽取其中n臺(tái)對(duì)某零件的同一物理量θ各檢測(cè)一次，得到的測(cè)量結(jié)果分別為X1，X2，…，Xn。記錄n次測(cè)量結(jié)果的誤差分別為，(i＝1，2，…，n)，其概率密度為，假設(shè)Xi的絕對(duì)誤差為。(Ⅰ)求Zi的概率密度；(Ⅱ)利用Z1，Z2，…，Zn求未知參數(shù)θ的矩估計(jì)量；(Ⅲ)求的數(shù)學(xué)期望和方差。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)已知的概率密度為設(shè)Zi的分布函數(shù)為FZi(z)。當(dāng)z＜0時(shí)，顯然FZi(z)＝0；當(dāng)z≥0時(shí)，因此可得Zi的概率密度為(Ⅱ)隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望是(Ⅲ)的數(shù)學(xué)期望知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查求未知參數(shù)的矩估計(jì)量以及期望和方差的求解。第一問根據(jù)誤差和絕對(duì)誤差的關(guān)系求Zi的分布函數(shù)，對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)后得概率密度；第三問直接利用連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算公式對(duì)矩估計(jì)量務(wù)求期望和方差。考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)，且則()．A、x=0為極大值點(diǎn)B、x=0為極小值點(diǎn)C、(0，f(0))為拐點(diǎn)D、x=0不是極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)連續(xù)，所以f(0)=0，再由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，f(x)＞0=f(0)，即x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，應(yīng)選B．2、曲線的漸近線條數(shù)為()．A、3條B、2條C、1條D、0條標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：所以曲線的斜漸近線為y=x+2，故曲線有3條漸近線，選A．3、下列命題正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方法一：方法二：應(yīng)選D．4、設(shè)f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，且則()．A、f(x，y)在(0，0)處不可偏導(dǎo)B、f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)但不可微C、f’x(0，0)=f’y(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)處可微分D、f’x(0，0)=f’y(0，0)：0且f(x，y)在(0，0)處可微分標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)A為三階矩陣，則()．A、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=1B、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=2C、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=1D、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：方法一：當(dāng)t≠2時(shí)為AX=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，從而3－r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠O得r(A)≥1，即r(A)=1，應(yīng)選A．方法二：當(dāng)t≠2時(shí)，B為可逆矩陣，從而r(AB)=r(A)=1，應(yīng)選A．6、設(shè)α，β為四維非零的正交向量，且A=αβT，則A的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為()．A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)X=λX，則A2X=λ2X，因?yàn)棣粒抡?，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT·αβT=O，于是λ2X=0，故λ1λ2λ3λ4=0，因?yàn)棣?，β為非零向量，所以A為非零矩陣，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．因?yàn)?－r(0E－A)=4－r(A)=3，所以A的線性無關(guān)的特征向量是3個(gè)，選C．7、(7)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=0．2F1(z)+0．8F1(2x)，其中F。1(y)是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則D(X)為()．A、0．36B、0．44C、0．64D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X1～E(1)，其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為得D(X)=E(X2)－[E(X)]2=0．8－0．36=0．44，選B．8、設(shè)X1，X2，X3，X4，X5是來自總體N(1，4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則a=()．A、2B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：z知識(shí)點(diǎn)解析：兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)y=y(x)由確定，則曲線y=y(x)在x=0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線為___________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2x+1知識(shí)點(diǎn)解析：令x=0得y=1．故所求的切線方程為y－1=2x，即y=2x+1．13、設(shè)若A～B，則y________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：由A～B得tr(A)=tr(B)，即x－3=0，于是x=3．顯然A，B的特征值為λ1=λ2=1，λ3=－2，因?yàn)锳～B且B為對(duì)角矩陣，所以A可對(duì)角化，從而r(E－A)=1，14、設(shè)X～N(0，1)，Y～N(0，4)且X，Y相互獨(dú)立，則P{max(X，Y)＞0)=_____________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄～N(0，1)，Y～N(0，4)，三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、設(shè)過L上一點(diǎn)作切線，求切線與拋物線所圍成面積的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求切線與坐標(biāo)軸圍成的面積其次求最優(yōu)解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、已知un(x)滿足un(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，…)，標(biāo)準(zhǔn)答案：un(x)=un(x)+xn－1一ex，即y＇－y=xn－1ex解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)．(I)若f(a)=0，f(b)<0,f’+(a)＞0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若證明：存在η∈(a，b)，使得f"(η)=f(η)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)因?yàn)閒＇+(a)＞0，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因?yàn)閒(c)f(b)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因?yàn)閒(a)=f(x0)=0，由羅爾定理，存在x1∈(a，x0)，使得f＇(x1)=0．令φ(x)=f(x)f＇(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(a，x1)(a，b)，使得φ＇(ξ)=0．而φ＇(x)=f(x)f"(x)+f＇2(x)，所以f(ξ)f"(ξ)+f＇2(ξ)=0．(Ⅱ)令因?yàn)镕(a)=F(b)=0，所以由羅爾定理，存在c∈(a，b)，使得F＇(c)=0，即f(c)=0．令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h＇(ξ1)=h＇(ξ2)=0，則h＇(x)=ex[f(x)+f＇(x)]，所以f(ξ1)+f＇(ξ1)=0，f(ξ2)+f＇(ξ2)=0．再令G(x)=e－x[f(x)+f＇(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根據(jù)羅爾定理，存在η∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得G＇(η)=0，而G’(x)=e-x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f"(η)=f(η)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)拋物線y=x2與它的兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為S，其中一條切線與拋物線相切于點(diǎn)A(a，a2)(a＞0)．(I)求S=S(a)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)a取何值時(shí)，面積S(a)最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)設(shè)另一個(gè)切點(diǎn)為(x0，x02)，則拋物線y=x2的兩條切線分別為L(zhǎng)1:y=2ax－a2，L2:y=2x0x－x02知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得且A*α=α．(I)求正交矩陣Q；(Ⅱ)求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)顯然A的特征值為λ1=λ2=－1，λ3=2，A*的特征值為μ1=μ2=－2，μ3=1．因?yàn)棣翞锳*的屬于特征值μ3=1的特征向量，所以α是A的屬于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A(yù)的屬于特征值λ1=λ2=－1的特征向量為因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，所以－x1－x2+x3=0，則A的屬于特征值λ1=λ2=－1的線性無關(guān)的特征向量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、某流水線上產(chǎn)品不合格的概率為各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)檢測(cè)到不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢查．設(shè)從開始生產(chǎn)到停機(jī)檢查生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為X，求E(X)及D(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：X的分布律為P{X=k}=(1－p)k-1p(k=1，2，…)．則D(X)=E(X2)－[E2=190－100=90．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)總體X的分布函數(shù)為(X1，X2，…，X10)為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其觀察值為1，1，3，1，0，0，3，1，0，1．(I)求總體X的分布律；(Ⅱ)求參數(shù)θ的矩估計(jì)值；(Ⅲ)求參數(shù)θ的極大似然估計(jì)值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)總體X的分布律為(Ⅱ)E(X)=1×2θ+3×(1－3θ)=3—7θ，(Ⅲ)似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)=θ3(2θ)5(1－3θ)2，lnL(θ)=3lnθ+5ln2θ+2In(1－3θ)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)函數(shù)f(χ)＝ln(1＋aχ2)－，且f〞(0)＝4，則常數(shù)a，b取值為()．A、a＝0，b為任意常數(shù)B、b＝0，a為任意常數(shù)C、a＝2，b為任意常數(shù)D、b＝2，a為任意常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由此得f〞(0)＝2a＝4，可知a＝2，而b為任一實(shí)數(shù)．故應(yīng)選C．2、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，f(1)≠0，∫01f(χ)dχ＝0，則Ф(χ)＝χf(χ)＋∫0χf(t)dt出在閉區(qū)間[0，1]上()．A、必定沒有零點(diǎn)B、有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C、至少有兩個(gè)零點(diǎn)D、有無零點(diǎn)無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：易見，Ф(0)＝0，不選A．令F(χ)＝χ∫0χf(t)dt，則F(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F′K(χ)＝χf(χ)＋∫0χf(t)dt，并且F(0)＝F(1)＝0，由羅爾中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F′(ξ)＝0，即ξf(ξ)＋∫0ξf(t)dt＝0，可見，χ＝ξ∈(0，1)是Ф(χ)的零點(diǎn)．故應(yīng)選C．3、下列反常積分發(fā)散的是()．A、B、C、D、∫0＋∞χ10e－χdχ標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：以上都收斂，故應(yīng)選B．事實(shí)上，故發(fā)散．故應(yīng)選B．4、積分∫aa＋2πcosχln(2＋cosχ)dχ的值()．A、與a有關(guān)B、是與a無關(guān)的正數(shù)C、是與a無關(guān)的負(fù)數(shù)D、為零標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因被積函數(shù)f(χ)＝cosχln(2＋cosχ)是以2π為周期的周期函數(shù)，則∫aa+2πcosχln(2＋cosχ)dχ＝∫02πcosχln(2＋cosχ)dχ＝∫－ππcosχln(2＋cosχ)dχ，可見此積分與a無關(guān)．又因?yàn)閏osχln(2＋cosχ)是偶函數(shù)，則∫－ππcosχln(2＋cosχ)dχ＝2∫0πcosχln(2＋cosχ)dχ＝2∫0πl(wèi)n(2＋cosχ)dsinχ＝2[sinχln(2＋cosχ)｜0π＋]＝＞0，則∫aa+2πcosχln(2＋cosχ)dχ＞0，且與a無關(guān)．故應(yīng)選B．5、設(shè)向量組α1，α2，…，αm和向量組β1，β2，…，βt的秩相同，則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()．①兩向量組等價(jià)；②兩向量組不等價(jià)；③若t＝m，則兩向量組等價(jià)；④若兩向量組等價(jià)，則t＝m；⑤若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βt線性表示，則兩向量組等價(jià)；⑥若β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αm線性表示，則兩向量組等價(jià)．A、5B、4C、3D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若兩個(gè)兩向量組等價(jià)，則秩相同，但反之，未必成立．反例：向量組(Ⅰ)只含一個(gè)向量，向量組(Ⅱ)只含一個(gè)向量．則顯然(Ⅰ)和(Ⅱ)的秩均為1，但不等價(jià)．若在秩相同的條件下，一個(gè)向量組可由另一個(gè)線性表示，則兩個(gè)向量組等價(jià)，故⑤、⑥正確．故應(yīng)選D．6、α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Aχ＝b．的三個(gè)解向量，且R(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3＝(0，1，2，3)T．c表示任意常數(shù)，則線性方程組Aχ＝b的通解χ＝()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)線性方程組解的性質(zhì)，可知2α1－(α2＋α3)＝(α1－α2)＋(α1－α3)是非齊次線性方程組Aχ＝b導(dǎo)出組Aχ＝0的一個(gè)解．因?yàn)镽(A)＝3，所以Aχ＝0的基礎(chǔ)解系含4－3＝1個(gè)解向量，而2α1－(α2＋α3)＝(2，3，4，5)T≠0，故是Aχ＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．因此Aχ＝b的通解為α1＋k(2α1一α2－α3)＝(1，2，3，4)T＋k(2，3，4，5)T，k∈R，即C正確．對(duì)于其他幾個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)中(1，1，1，1)T＝α1－(α2＋α3)，B選項(xiàng)中(0，1，2，3)T＝α2＋α3，D選項(xiàng)中(3，4，5，6)T＝3α1－2(α2＋α3)，都不是Ax=b的導(dǎo)出組的解．所以選項(xiàng)A、B、D均不正確．故應(yīng)選C．7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y服從正態(tài)分布N(－1，2)與N(1，2)，并且X與Y不相關(guān)，aX＋Y與X＋bY亦不相關(guān)，則()．A、a－b＝1B、a－b＝0C、a＋b＝1D、a＋b＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：X～N(－1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)＝2，D(Y)＝2．又Cov(X，Y)＝0，Cov(aX＋Y，X＋bY)＝0．由協(xié)方差的性質(zhì)有Cov(aX＋Y，X＋bY)＝aCov(X，X)＋Coy(Y，X)＋abCov(X，Y)＋bCov(Y，Y)＝aD(X)＋bD(Y)故a＋b＝0．故應(yīng)選D．8、設(shè)X1，X2，X3，X4為來自總體N(0，σ2)(σ＞0)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量的分布為()．A、N(0，2)B、t(2)C、χ2(2)D、F(2，2)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄1～N(0，σ2)，所以X1－X2～N(0，2σ2)，即～N(0，1)．而～χ2(2)，自t分布定義～t(2)．故應(yīng)選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知f(χ)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f′(χ)＝[f(χ)]2，則f(χ)的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(χ)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：n![f(χ)]n+1知識(shí)點(diǎn)解析：由題意f′(χ)＝[f(χ)]2，則f〞(χ)＝[(f(χ))2]′＝2f(χ)f′(χ)＝2[f(χ)]3，f″′(χ)＝[2(f(χ))3]′＝3!f2(χ).f(χ)＝3![f(χ)]4，由歸納知f(n)(χ)＝n![f(χ)]n+1．故應(yīng)填n![f(χ)]n+1．10、設(shè)f(χ)在χ＝1可導(dǎo)，f′(1)＝1，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：9知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得故應(yīng)填9．11、交換積分次序＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖4—1所示．記D＝D1＋D2，則故應(yīng)填．12、設(shè)f(χ)＝，則∫0πf(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：故應(yīng)填2．13、設(shè)｜A｜＝，那么行列式｜A｜所有元素的代數(shù)余子式之和為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于A*＝(Aij)，只要能求出A的伴隨矩陣，就可求出Aij．因?yàn)锳*＝｜A｜A-1，而｜A｜＝又由分塊矩陣求逆，有故．故應(yīng)填．14、設(shè)X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則Y＝1－e－2X的概率密度fY(y)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄服從以2為參數(shù)的指數(shù)分布，所以X的概率密度為由Y＝1－e-2X得χ＝h(y)＝－，所以Y的概率密度為三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、若＝3，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算二重積分I＝標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知積分區(qū)域(如圖2—1所示)D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，1－≤χ}，利用極坐標(biāo)，則有D＝{(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤2sinθ}．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)在[－2，2]上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f0)＝0，F(xiàn)(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt，證明：級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镕(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt∫02χf(u)du＝uf(u)｜02χ－∫02χuf′(u)du＝2χf(2χ)－∫02χuf′(u)du，則．由拉格朗日中值定理，得又因?yàn)閒′(χ)在[－2，2]上連續(xù)，則f′(χ)在[－2，2]上有界，即存在正數(shù)M＞0，有｜f′(χ)｜≤M，χ∈[－2，2]．因此又因?yàn)槭諗?，則收斂．所以絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知χ＋y－z＝ez，χeχ＝tant，y＝cost，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知χ，y都是t的函數(shù)，因此，方程χ＋y－z＝ez確定了z是t的函數(shù)，對(duì)方程兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得由χeχ＝tant，得，從而由y＝cost得＝－sint，＝－cost．當(dāng)t＝0時(shí)，χ＝0，y＝1，z＝0，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為χ和y(單位：噸)時(shí)，總收益函數(shù)為R(χ，y)＝42χ＋27y－4χ2－2χy－y2，總成本函數(shù)為C(χ，y)＝36＋8χ＋12y(單位：萬元)．除此之外，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸還需分別支付排污費(fèi)2萬元，1萬元．(Ⅰ)在不限制排污費(fèi)用支出的情況下，這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少噸時(shí)總利潤(rùn)最大?總利潤(rùn)是多少?(Ⅱ)當(dāng)限制排污費(fèi)用支出總額為8萬元的條件下，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題意知，利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(χ，y)＝R(χ，y)－C(χ，y)＝(2χ＋y)＝－4χ2－2χy－y2＋32χ＋14y－36．解方程組該實(shí)際問題一定有最大值，當(dāng)χ＝3，y＝4時(shí)，取得最大利潤(rùn)L(3，4)＝40．(Ⅱ)若排污費(fèi)用2χ＋y＝8時(shí)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(χ，y，λ)＝－4χ2－2χy－y2＋32χ＋14y－36＋λ(2χ＋y－8)．令此時(shí)最大利潤(rùn)L(2．5，3)＝37．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)有方程組(Ⅰ)求方程組(i)與(ii)的基礎(chǔ)解系與通解；(Ⅱ)求方程組(i)與(ii)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將方程組(i)改寫為令取，得(i)的基礎(chǔ)解系α1＝(0，－1，1，0)T，α2＝(－1，0，0，1)T，故方程組(i)的通解為k1α1＋k2α2，k1，k2為常數(shù)．又將方程組(ii)改寫為令取，得(ii)的基礎(chǔ)解系β1＝(0，1，0，－2)T，β2＝(－2，0，1，0)T，故方程組(ii)的通解為k1β1＋k2β2，k1，k2為常數(shù)．(Ⅱ)聯(lián)立方程組(i)和(ii)，求得的通解即為公共解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，可得從而解得基礎(chǔ)解系ξ＝(－2，－1，1，2)T．所以方程組(i)和(ii)的公共解為kξ，k為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知矩陣A＝與B＝相似．(Ⅰ)求χ，y，z的值；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使P-1AP＝B．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征多項(xiàng)式為｜λ－A｜＝(λ－1)2(λ－3)，故A的特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝3．于是，A與對(duì)角矩陣相似，又因?yàn)锳與B相似，故B也與對(duì)角矩陣相似，因此，B的特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝3，且R(E－B)＝1，又因?yàn)棣郑?＝λ1＋λ2＋λ3＝5，得χ＝0．由E－B＝得y＝－2，z＝3．(Ⅱ)經(jīng)計(jì)算可知，將實(shí)對(duì)稱矩陣A化為對(duì)角矩陣的相似變換矩陣可取為P1＝，即P1-1AP1＝把矩陣B化為對(duì)角矩陣的相似變換矩陣可取為P2＝，即則P-1AP＝P2P1-1AP1P2-1＝P2P2-1＝B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，在X＝χ(O＜χ＜1)的條件下，隨機(jī)變量y在區(qū)間(0，χ)上服從均勻分布．求：(Ⅰ)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；(Ⅱ)y的概率密度；(Ⅲ)概率P{X＋Y＞1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)X的概率密度為fX(χ)＝在X＝χ(0＜χ＜1)的條件下，Y的條件概率密度為當(dāng)0＜y＜χ＜1時(shí)，隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為f(χ，y)＝fX(χ)fY｜X(y｜χ)＝，在其他點(diǎn)處，有f(χ，y)＝0，即(Ⅱ)當(dāng)0＜y＜1時(shí)，Y的概率密度為fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ＝＝－lny；當(dāng)y≤0或y≥1時(shí)，fY(y)＝0．因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)有兩臺(tái)儀器，每臺(tái)無故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布．首先開動(dòng)一臺(tái)，發(fā)生故障時(shí)停用，而另一臺(tái)自動(dòng)開動(dòng)，求兩臺(tái)儀器無故障工作的總時(shí)間T的：(Ⅰ)概率密度f(t)；(Ⅱ)數(shù)學(xué)期望和方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)T＝X1＋X2，其中X1，X2分別表示兩臺(tái)儀器無故障時(shí)的工作時(shí)間．因?yàn)閄i～E(5)(i＝1，2)且相互獨(dú)立，故X1，X2的密度函數(shù)為則由卷積公式f(t)＝∫－∞＋∞fX(t－y)fY(y)dy，可得(Ⅱ)因?yàn)閄i～E(5)(i＝1，2)且相互獨(dú)立，由E(Xi)＝，D(Xi)＝(i＝1，2)，可得E(T)＝E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)＝，D(T)＝D(X1＋X2)＝D(X1)＋D(X2)＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)則f(n)(3)=A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0，f(0))是曲線f(x)的拐點(diǎn)．D、f(0)不是f(x)的極值，點(diǎn)(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用極限的保號(hào)性分析求解．由及f’’(x)連續(xù)可知f’’(0)=0；再由極限的保號(hào)性知，存在x=0的某鄰域U(0，δ)，使得于是在U(0，δ)內(nèi)，當(dāng)x＜0時(shí)，f’’(x)＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f’’(x)＜0，即點(diǎn)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．3、已知?jiǎng)tA、df(x，y)｜(0,0)=0．B、fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在．C、僅fx’(0，0)存在．D、僅fy’(0，0)存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因不存在，故fx’(0，0)不存在．又故fy’(0，0)存在．4、設(shè)x∈(一1，1)，則冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為A、ln(1一x2)．B、C、ln(1+x2)．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因x∈(一1，1)時(shí)，故由冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，有5、設(shè)A為3階可逆矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的(-1)倍加到第2列得C，記則矩陣C的伴隨矩陣C*等于A、P一1A*P．B、PA*P一1．C、PTA*P．D、PA*PT．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件有6、設(shè)向量α=(1，1，一1)T是矩陣的一個(gè)特征向量，則A、矩陣A能相似對(duì)角化，且秩r(A)=3B、矩陣A不能相似對(duì)角化，且秩r(A)=3．C、矩陣A能相似對(duì)角化，且秩r(A)＜3D、矩陣A不能相似對(duì)角化，且秩r(A)＜3．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α=(1，l，一1)T是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量，則有Aα=λα，即解得λ=一1，a=2，b=0，于是顯然r(A)一3，且A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=一1．矩陣A能否相似對(duì)角化取決于λ1=λ2=2是否有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量．由可知二重特征值λ=2有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可相似對(duì)角化．7、設(shè)X和Y是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，若D(X+Y)=D(X－Y)，則A、X和y相互獨(dú)立．B、X和Y不獨(dú)立．C、D(XY)=DX.DY．D、E(XY)=EX.EY．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由D(X+Y)=D(X—Y)，得DX+DY+2cov(X，Y)=DX+DY一2cov(X，Y)，故cov(X，Y)=0，即有E(XY)一EX.EY=0．即E(XY)=EX.EY．8、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，考慮下列命題：①X2+Y2服從χ2分布；②X／｜Y｜服從t分布；③X2／Y2服從F分布；④X－Y服從正態(tài)分布，其中正確的個(gè)數(shù)為A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件與χ2分布、t分布、F分布的定義和性質(zhì)可知X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，X2+Y2～χ2(2)；又由正態(tài)分布的性質(zhì)知，X—Y～N(0，2)，故四個(gè)命題都正確．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設(shè)當(dāng)x→0時(shí),是等價(jià)的無窮小，則常數(shù)a=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2．知識(shí)點(diǎn)解析：x→0時(shí)，因x→0時(shí)，10、函數(shù)z=z(x，y)由方程y=xf(z)+φ(y，z)確定，其中f’，φ分別具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)，且xf’+φz’≠0，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊微分，得dy=f.dx+xf’.dz+φy’.dy+φz’.dz．解dz，得11、已知某商品的需求量x對(duì)價(jià)格p的彈性為η=一3p3，而市場(chǎng)對(duì)該商品的最大需求量為1(萬件)，則需求函數(shù)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=e-p3．知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)彈性定義，有積分，得x=Ce-p3．由題設(shè)知p=0時(shí)，x=1，從而C=1．于是所求的需求函數(shù)為x=e-p3．12、設(shè)三維列向量α1,α2,α3線性無關(guān)，且向量β1=α1+2α2+3α3，β2=α2+α3β3=α1+α3，則秩r(β1，β2，β3)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因(β1，β2，β3)=(α1+2α2+3α3，α2+α3，α1+α3)由α1,α2,α3線性無關(guān)易知α2+α3，α1+α3線性無關(guān)，故r(α2+α3，α1+α3)=2，從而r(β1，β2，β3)=2．13、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X服從正態(tài)分布N(0．1)，Y在區(qū)間[一1．3]上服從均勻分布，則概率P{max(X，Y)≥0}=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)=∫0xtg(x—t)dt，其中試求f(x)，并問f(x)在(0，+∞)內(nèi)是否可導(dǎo)?標(biāo)準(zhǔn)答案：令x—t=u，則f(x)=∫x0(x－u)g(u)(一du)=∫0x(x一u)g(u)du．可見f(x)在處可導(dǎo)，因此f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知某商品的需求量Q和供給量S都是價(jià)格p的函數(shù)：其中常數(shù)a＞0，b＞0，又價(jià)格p是時(shí)間t的函數(shù)，且滿足假設(shè)當(dāng)t=0時(shí)價(jià)格為1，試求16、價(jià)格函數(shù)p(t)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件得分離變量，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、極限，并解釋此極限值的含義．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Q(p)=S(p)，即可見上述極限值為當(dāng)需求量等于供給量時(shí)的均衡價(jià)格．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)區(qū)域D由曲線y=一x3，直線x=1與y=1圍成，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖所示，用y=x3分區(qū)域D為D1，D2兩部分．顯然D1，D2分別關(guān)于y軸、x軸對(duì)稱，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、將函數(shù)展開成(x一1)的冪級(jí)數(shù)，指出級(jí)數(shù)的收斂范圍，并利用展開式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：因f(x)=lnx—ln(1+x)，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、已知兩個(gè)向量組(Ⅰ)：α1=(1，2，3)T，α2=(1，0，1)T與(Ⅱ)β1=(一1，2，k)T，β2=(4，1，5)T，試問k取何值時(shí)(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)?并寫出等價(jià)時(shí)(Ⅰ)與(Ⅱ)相互表示的線性表示式標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)矩陣(α1，α2，β1，β2)作初等行變換，得可見k=1時(shí)，β1，β2均可由α1，α2線性表示，此時(shí)由當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)矩陣(β1，β2，α1，α2)作初等行變換，得可見α1，α2均可由β1，β2線性表示，因此k=1時(shí)，向量組(I)與(Ⅱ)等價(jià)．由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)矩陣已知A的特征值之和為4，且某個(gè)特征值為2．21、求a，b的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由，得a+b+2=4．又由矩陣A有一個(gè)特征值為2，知行列式｜2E—A｜=0，即得a=0，從而b=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求可逆矩陣P，使(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因A是實(shí)對(duì)稱矩陣，故(AP)TAP=PTA2P，其中求可逆矩陣P，使(AP)TAP為對(duì)角矩陣，即相當(dāng)于對(duì)A2作合同變換，使之對(duì)角化．可求出A2的特征值、特征向量，再把A2的特征向量正交單位化后，以其為列組成的矩陣即為所求．但這樣做比較繁瑣，故考慮借助二次型求解．考慮二次型xTA2x=4x12+4x22+5x32+5x42+8x3x4，用配方法將它化為標(biāo)準(zhǔn)形，得令則由線性變換知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為(I)求常數(shù)k；(Ⅱ)求關(guān)于X，Y的邊緣概率密度fX(x)，fY(y)，并問X與Y是否獨(dú)立?(Ⅲ)計(jì)算P{X+Y≤1}；(Ⅳ)求Z=Y—X的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)(X，Y)的概率密度f(x，y)的非零區(qū)域如圖所示．由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=1，得∫01dx∫0xk(x+y)dy=1，k=2．(Ⅱ)fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、某人接連不斷、獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊，直到擊中為止，以X表示命中時(shí)已射擊的次數(shù)．假設(shè)他共進(jìn)行了10輪這樣的射擊，各輪射擊的次數(shù)分別為1，2，3，4，4，5，3，3，2，3，試求此人命中率P的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件可得X的分布律為P{X=k}=(1一P)k-1p，k=1，2，3，…．①求矩估計(jì)．因②求最大似然估計(jì)．似然函數(shù)L(p)=P{X1=1，X2=2，X3=3，…，X10=3)=p10(1一P)20，于是lnL(p)=10lnp+20ln(1一P)．令得是p的最大似然估計(jì)值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)的導(dǎo)數(shù)在χ＝a處連續(xù)，又＝－1，則()．A、χ＝a是f(χ)的極小值點(diǎn)B、χ＝a是f(χ)的極大值點(diǎn)C、(a，f(a))是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)D、χ＝a不是f(χ)的極值點(diǎn)，(a，f(a))也不是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因f(χ)在χ＝a點(diǎn)連續(xù)，由＝－1得＝f′(a)＝0，即χ＝a是f(χ)的駐點(diǎn)．又f〞(a)＝＝－1＜0，由極值的第二充分條件，知χ＝a為f(χ)的極大值點(diǎn)．由拐點(diǎn)的判定可得，因f〞(a)＝－1＜0，則(a，f(a))不是曲線y＝f(χ)的拐點(diǎn)．故應(yīng)選B．2、已知邊際收益函數(shù)MR＝－k，其中常數(shù)a＞0，b＞0，k＞0，則需求函數(shù)Q＝Q(p)的表達(dá)式為()．A、Q＝－bB、Q＝－aC、Q＝－bD、Q＝－a標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)總收益函數(shù)為R＝R(Q)，則R(0)＝0，且邊際收益函數(shù)為MR＝－k，于是又因?yàn)镽(Q)＝PQ，從而P＝，推得Q＝故應(yīng)選A．3、設(shè)f(χ，y)在(0，0)處連續(xù)，且＝2，則f(χ，y)在(0，0)處()．A、不存在偏導(dǎo)數(shù)B、存在偏導(dǎo)數(shù)但不可微C、可微且f′χ(0，0)≠0，f′y(0，0)≠0D、可微且f′χ(0，0)＝0，f′y(0，0)＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由＝2，知[f(χ，y)－1]＝0，即f(χ，y)＝f(0，0)＝1．由極限與無窮小的關(guān)系，得＝2＋α(χ，y)，其中(χ，y)＝0．則f(χ，y)－f(0，0)＝2(χ2＋y2)＋α(χ，y)(χ2＋y2)＝0(ρ)(ρ＝→0)，故f(χ，y)－f(0，0)＝0.△χ＋0.△y＋0(ρ)．由可微定義知f(χ，y)在(0，0)點(diǎn)可微且f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0．故應(yīng)選D．4、設(shè)有以下命題：①若正項(xiàng)級(jí)數(shù)μn收斂，則μn2收斂；②若＜1，則μn收斂；③若(μ2n-1，μ2n)收斂，則μn收斂；④若μn收斂，(－1)nμn發(fā)散，則μ2n發(fā)散．則以上命題正確的是()．A、①②B、①④C、②④D、①③④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：命題①正確，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法判定即可．因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)μn收斂，知＝0，又＝0．由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法(極限形式)知μn2收斂．命題②錯(cuò)誤，因μn不一定是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，所以沒有此判定方法，如μn＝(－1)n，則＝－1＜1，但(－1)n發(fā)散．命題③錯(cuò)誤，(μ2n-1＋μ2n)收斂，但μn不一定收斂，如μn＝(－1)n-1，則(μ2n-11＋μ2n)＝0收斂但μn發(fā)散．命題④正確，因μn收斂，(－1)nμn發(fā)散，由級(jí)數(shù)性質(zhì)知發(fā)散，μ2n發(fā)散．故應(yīng)選B．5、設(shè)A，B均為n階矩陣，且AB＝A＋B，下列命題：①若A可逆，則B可逆；②若A＋B可逆，則B可逆；③若B可逆，則A＋B可逆；④A－E恒可逆．則以上命題正確的有()個(gè)．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于(A－E)B＝AB－B＝A＋B－B＝A，若A可逆，則B可逆，即①正確．若A＋B可逆，則｜AB｜＝｜A＋B｜≠0，則｜B｜≠0，即B可逆，②正確．由于A(B－E)＝B，｜A｜｜B－E｜＝｜B｜，若B可逆，則｜A｜≠0，即A可逆，從而A＋B＝AB可逆，③正確．對(duì)于④，由AB＝A＋B，可得(A－E)(B－E)＝E，故A－E恒可逆．故應(yīng)選D．6、設(shè)3維列向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，γ1＝α1＋α2－α3，γ2＝3α1－α2，γ3＝4α1－α3，γ4＝2α1－2α2＋α3，則向量組γ1，γ2，γ3，γ4的秩為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：B＝(λ1，λ2，λ3，λ4)＝(α1，α2，α3)＝＝AC．由α1，α2，α3，線性無關(guān)，A可逆，所以，R(B)＝R(C)．故R(B)＝R(C)＝2．故應(yīng)選B．7、設(shè)X為隨機(jī)變量，若矩陣A＝的特征值全為實(shí)數(shù)的概率為0．5，則()．A、X服從區(qū)間[0，2]的均勻分布B、X服從二項(xiàng)分布B(2，0．5)C、X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布D、X服從正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ2＋2λ＋X)，其特征值全為實(shí)數(shù)的概率為P{22－4X≥0}＝P{X≤1}＝0．5，可見當(dāng)X服從[0，2]上的均勻分布時(shí)成立．故應(yīng)選A．8、設(shè)總體X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn+1為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．記T＝(Xi+1－Xi)2，則E(T)＝()．A、λB、2λC、λ2D、2λ2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄～π(λ)，所以E(Xi)＝D(Xi)＝λ，則故應(yīng)選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：故應(yīng)填．10、設(shè)f(χ)有一個(gè)原函數(shù)ln(χ＋)，則∫01χf′(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：又因?yàn)閒(χ)＝，故f(1)＝，所以∫01χf′(χ)dχ＝故應(yīng)11、已知冪級(jí)數(shù)在χ＝2處發(fā)散，在χ＝－1處收斂，則冪級(jí)數(shù)(χ－1)n的收斂域是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令χ－＝t，由題設(shè)知冪級(jí)數(shù)antn在t＝2－處發(fā)散，從而antn當(dāng)｜t｜＞時(shí)發(fā)散．又因?yàn)閍ntn在t＝－1－處收斂，則可知antn當(dāng)｜t｜＜時(shí)收斂．由此可知antn的收斂半徑為R＝，進(jìn)而可得antn的收斂域?yàn)?，令t＝χ－1，代入即得冪級(jí)數(shù)an(χ－1)n的收斂域?yàn)棣郑?∈，即χ∈故應(yīng)填12、微分方程y〞－3y′＋2y＝χeχ的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1eχ＋C2e2χ－(χ2＋χ)eχ知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)的齊次方程為y〞－3y′＋2y＝0，其特征方程為λ2－3λ＋2＝0，解得λ1＝2，λ2＝1，則齊次方程y〞－3y′＋2y＝0的通解為C1eχC2e2χ．設(shè)y〞－3y′＋2y＝χeχ的一個(gè)特解為y*＝χ(Aχ＋B)eχ，將y*代入方程得A＝－，B＝－1，則特解y*＝(χ2＋χ)eχ，所以原方程的通解為y＝C1eχ＋C2e2χ－(χ2＋χ)eχ．故應(yīng)填y＝C1eχ＋C2e2χ－(＋χ2)eχ．13、設(shè)3階實(shí)對(duì)陣矩陣A滿足A2－3A＋2E＝O，且｜A｜＝2，則二次型f＝χTAχ的標(biāo)準(zhǔn)形為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y12＋y22＋y32知識(shí)點(diǎn)解析：由A2－3A＋2E＝O，得A的特征值為1或2．又因?yàn)椋麬｜＝2，即特征值乘積為2，故A的特征值為1，1，2．所以二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為y12＋y22＋2y32故應(yīng)填y12＋y22＋y32．14、在總體N(1，4)中抽取一容量為5的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，X2，X3，X4，X5，則概率P{min{X1，X2，X3，X4，X5}＜1}_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P{min{X1，X2，X3，X4，X5}＜1}＝1－P{min{X1，X2，X3，X4，X5}≥1}＝1－P{X1≥1，X2≥1，…，X5≥1}＝1－[P{X1≥1}]5＝1－[1－Ф(0)]5＝1－故應(yīng)填三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、已知f′(χ)，g′(χ)，且f(0)＝g(0)＝0，試求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f′(χ)＝知，又f(0)＝0，代入f(χ)表達(dá)式得C＝0，故f(χ)＝ln(χ＋)．由g′(χ)＝，則g(χ)＝＝ln(1＋χ)＋C1，又g(0)＝0得C1＝0，知g(χ)＝ln(1＋χ)．于是故當(dāng)χ→0時(shí)，ln(χ＋)～χ，所以，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)常數(shù)a＞0，求∫arcsin．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)可導(dǎo)，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)．證明：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(χ)＝[∫0χf(t)dt]2－∫0χf3(t)dt，易知F(0)＝0，且F(z)在[0，1]可導(dǎo)，則F′(χ)＝2f(χ)∫0χf(t)dt－f3(χ)＝f(χ)[2∫0χf(t)dt－f2(χ)]．記g(χ)＝2∫0χf(t)dt－f2(χ)，則g(χ)在(0，1)可導(dǎo)，即g′(χ)＝2f(χ)－2f(χ)f′(χ)＝2f(χ)[1－f′(χ)]，由于0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)，則f(χ)在[0，1]內(nèi)遞增．則當(dāng)0＜χ≤1時(shí)，f(χ)＞f(0)＝0，于是g′(χ)＞0，χ∈(0，1)，則g(χ)在[0，1]遞增，即當(dāng)0＜χ≤1時(shí)，g(χ)＞g(0)＝0，所以，當(dāng)0＜χ≤1時(shí)，F(xiàn)′(χ)＝f(χ)g(χ)＞0，即F(χ)在0≤χ≤1時(shí)遞增，故當(dāng)0＜χ≤1時(shí)，F(xiàn)(χ)＞F(0)＝0，特別地，有F(1)＞0，即[∫01f(χ)dχ]2－∫01f3(χ)dχ＞0，所以[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)μ＝二階連續(xù)可導(dǎo)，又因?yàn)椋?，且＝1．當(dāng)χ＞0時(shí)，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝2，f二階連續(xù)可導(dǎo)，知f(1)＝f(χ)＝0，由對(duì)稱性知即f(