考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷7（共97題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷7（共4套）（共97題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=則x=0是f(x)的()．A、連續(xù)點(diǎn)B、第一類間斷點(diǎn)C、第二類間斷點(diǎn)D、不能判斷連續(xù)性的點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=x．因?yàn)閒(0+0)=1，f(0)=f(0一0)=0，所以x=0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)，選(B)．2、曲線的漸近線的條數(shù)為()．A、1條B、2條C、3條D、4條標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以曲線沒有水平漸近線；由．得曲線有兩條鉛直漸近線；由得曲線有一條斜漸近線，選(C)．3、設(shè)f(x)=則∫f(x)dx=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＜一1時(shí)，f(x)=x+C1；當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)=x+C2；4、設(shè)冪級數(shù)(2x一1)2n在x=一4處條件收斂，則級數(shù)(x+1)n在x=一3處()．A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樵趚=一4處條件收斂，所以收斂半徑為R=當(dāng)x=一3時(shí)，因?yàn)閨一3+1|=2＜R=3，所以當(dāng)x=一3時(shí)，級數(shù)絕對收斂，應(yīng)選(A)．5、設(shè)A為三階矩陣，令將A的第一、二兩行對調(diào)，再將A的第三列的2倍加到第二列成矩陣B，則B等于()．A、P1AP2B、P1-1AP2C、P2AP1D、P1-1AP2-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：即B=P1-1AP2-1，選(D)．6、設(shè)A為三階矩陣，B=(β1，β2，β3)，β1為AX=0的解，β2不是AX=0的解，又r(AB)＜min{r(A)，r(B)}，則r(AB)=()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?不是AX=0的解，所以AB≠O，從而r(AB)≥1；顯然β1，β2不成比例，則r(B)≥2，由r(AB)＜min{r(A)，r(B)}得r(AB)＜r(A)，從而B不可逆，于是r(B)＜3，故r(B)=2．再由r(AB)＜r(B)}得r(AB)=1．選(B)．7、設(shè)X1，X2，X3，…，Xn是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機(jī)變量，是樣本均值，記則服從自由度為n一1的t分布的隨機(jī)變量為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)X，Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，其中E(X)=2，E(Y)=一1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相關(guān)系數(shù)為，由切比雪夫不等式得P{|X+Y一1|≤10}≥()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令Z=X+Y，則E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，則P{|X+Y一1|≤10}=P{|Z—E(Z)|≤10}≥選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、過曲線(x≥0)上的一點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面區(qū)域的面積為所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)切點(diǎn)為切線方程為切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=一2a，所求的面積為所求體積為10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得∫0tdx∫xtsin(xy)2dy=∫0tdy∫0ysin(xy)2dx．11、設(shè)π為過直線L：且與平面x一2y+2—3=0垂直的平面，則點(diǎn)M(3，-4，5)到平面π的距離為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：過直線L：的平面束為(2x一z—4)+λ(2y+3z+2)=0，即2x+2λy+(3λ—1)z+2λ—4=0，由{2，2λ，3λ—1}.{1，一2，1|=0得λ=1，從而π：x+y+z一1=0，于是12、設(shè)∑：x2+y2+z2=4，取內(nèi)側(cè)，又函數(shù)u=u(x，y，z)滿足標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)為三維空間的兩組不同的基，令β=β1+2β2一3β3，則β在基α1，α2，α3下的坐標(biāo)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一4，一2，2)知識(shí)點(diǎn)解析：由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)Q，可得Q=(α1，α2，α3)-1(β1，β2，β3)β=β1+2β2—3β3=(β1，β2，β3)(1，2，一3)T=(α1，α2，α3)Q(1，2，一3)T則β在基α1，α2，α3下的坐標(biāo)為(一4，一2，2)．14、設(shè)X～N(1，4)，Y～且X，Y相互獨(dú)立，則P{XY+1＞X+Y}=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P{XY+1＞X+Y}=P{(X一1)(Y一1)＞0}=P{X＞1，Y＞1}+P{X＜1，Y＜1}=P{X＞1}P{Y＞1}+P{X＜1}P{Y＜1}三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)g(x)二階可導(dǎo)，且f(x)=(I)求常數(shù)a，使得f(x)在x=0處連續(xù)；(Ⅱ)求f’(x)，并討論f’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)當(dāng)f(x)在x=0處連續(xù)時(shí)，g(0)=1，當(dāng)f(x)在x=0處連續(xù)時(shí)，a=g’(0)．所以f’(x)在x=0處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)a為實(shí)數(shù)，問方程ex=ax2有幾個(gè)實(shí)根?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=0時(shí)，方程無解；由φ’(x)=2xe-x一x2e-x=x(2一x)e-x=0得x=0或x=2．當(dāng)x＜0時(shí)，φ’(x)＜0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，φ’(x)＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，φ’(x)＜0，1)當(dāng)a≤0時(shí)，方程無解；2)時(shí)，方程有兩個(gè)根，分別位于(一∞，0)內(nèi)及x=2；3)當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，分別位于(一∞，0)，(0，2)，(2，+∞)內(nèi)；4)當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根，位于(一∞，0)內(nèi)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)y=y(x)由x3+3x2y一2y3=2確定，求y=y(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：x3+3x2y一2y3=2兩邊對x求導(dǎo)得3x2+6xy+3x2y’一6y2y’=0．3x2+6xy+3x2y’一6y2y’=0兩邊對x求導(dǎo)得6x+6y+12xy’+3x2y"一12yy’2一6y2y"=0，x=0時(shí)，y"(0)=一1，則x=0為極大值點(diǎn)，極大值為y=一1；x=一2時(shí)，y"(一2)=1，x=一2為極小值點(diǎn)，極小值為y=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤t2，z≥0}，∑為Ω的表面，Dxy為Ω在xOy平面上的投影區(qū)域，L為Dxy的邊界曲線，當(dāng)t＞0時(shí)有求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∑1：x2+y2+z2=t2(z≥0)，∑2：z=0(x2+y2≤t2)，則所以有2πt2f(t2)+即t2f(t2)+t4=∫0trf(r2)dr，兩邊求導(dǎo)得2tf(t2)+2t3f’(t2)+4t3=tf(t2)，令t2=x得f’(x)+f(x)=一2，解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)un(x)滿足un’(x)=un(x)+(n=1，2，…)，且un(1)=的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)(I)當(dāng)a，b為何值時(shí)，β不可由α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)當(dāng)a，b為何值時(shí)，β可由α1，α2，α3線性表示，寫出表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)當(dāng)a≠一6，a+2b一4≠0時(shí)，因?yàn)閞(A)≠所以β不可由α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)當(dāng)a≠一6，a+2b—4=0時(shí)，β可由α1，α2，α3唯一線性表示，表達(dá)式為β=2α1一α2+0α3；當(dāng)a=一6時(shí)，當(dāng)a=一6，b≠5時(shí)，由,β可由α1，α2，α3唯一線性表示，表達(dá)式為β=6α1+1α2+2α3；當(dāng)a=-6，b=5時(shí)，由,β可由α1，α2，α3線性表示，表達(dá)式為β=(2k+2)α1+(k一1)α2+kα3，其中k為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得QTAQ=且A*α=α．(I)求正交矩陣Q；(Ⅱ)求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)顯然A的特征值為λ1=λ2=-1，λ3=2，A*的特征值為μ1=μ2=一2，μ3=1．因?yàn)棣翞锳*的屬于特征值μ3=1的特征向量，所以α是A的屬于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A(yù)的屬于特征值λ1=λ2=一1的特征向量為因?yàn)閷?shí)對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以-x1一x2+x3=0，則A的屬于特征值λ1=λ2=一1的線性無關(guān)的特征向量為β3=α3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，令Y=求：(I)P{X+Y=0}：(Ⅱ)隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)；(Ⅲ)E(Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)P{X+Y=0}=P(Y=一X}=P{|X|＞1}=1一P{X≤1}=1一(1一e-λ)=e-λ．(Ⅱ)FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y，0＜X≤1}+P{Y≤y，X＞1}=P{X≤y，0＜X≤1}+P{X≥一y，X＞1}．當(dāng)y＜一1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{X≥-y}=1一P{X≤一y}=eλy；當(dāng)一1≤y＜0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{X＞1}=e-λ；當(dāng)0≤y＜1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{0＜X≤y}+P{X＞1}=1一e-λy+e-λ；當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{0＜X≤1}+P{X＞1}=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)有n臺(tái)儀器，已知用第i臺(tái)儀器測量時(shí)，測定值總體的標(biāo)準(zhǔn)差為σi(i=1，2，…，n)．用這些儀器獨(dú)立地對某一物理量θ各觀察一次，分別得到X1，X2，…，Xn．設(shè)E(Xi)=θ(i=1，2，…，n)，問k1，k2，…，kn應(yīng)取何值，才能在使用估計(jì)θ時(shí)無偏，并且最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)z＝f(x，y)在點(diǎn)O(0，0)的某鄰域內(nèi)有定義，向量e＋＝i，e－＝－i，與表示相應(yīng)的方向?qū)?shù)，則與都存在是存在的()A、充分條件而非必要條件．B、必要條件而非充分條件．C、充分必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橛卸ɡ?，，存在的必要條件．但不是充分條件，反例如下：設(shè)在點(diǎn)O(0，0)處，．2、＝()A、B、C、0．D、1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于為“1∞”型，改寫，則有3、設(shè)y(x)是初值問題的解，則xy＇(x)dx＝()A、－1－b＋2a．B、－1＋b－2a．C、－1－b－2a．D、－1＋b＋2a．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：y＂＋2y＇＋y＝e－x的通解為y＝(C1＋C2x＋Ax2)e－x，其中C1，C2為任意常數(shù)，A為某常數(shù)，而線性方程的通解為一切解．因此y＇＝[(C2－C1)＋(2A－C2)x－Ax2]e－x，可見，無論C1，C2，A是什么常數(shù)，均收斂．于是由分部積分法和題給的式子y＝ex－y＂－2y＇，可得4、設(shè)E是n階單位矩陣，E＋A是n階可逆矩陣，則下列關(guān)系式中不恒成立的是()A、(E－A)(E＋A)2＝(E＋A)2(E－A)．B、(E－A)(E＋A)T＝(E＋A)T(E－A)．C、(E－A)(E＋A)－1＝(E＋A)－1(E－A)．D、(E－A)(E＋A)*＝(E＋A)*(E－A)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因EA＝AE＝A，AA2＝A2A＝A3，AA－1＝A－1A＝E，AA*＝A*A＝｜A｜E，故知A和E，A2，A－1，A*乘法運(yùn)算均可交換．但(E＋A)(E＋A)T≠(E＋A)T(E＋A)．例如，事實(shí)上，(E－A)(E＋A)T＝[2E－(E＋A)](E＋A)T≠(E＋A)T[2E－(E＋A)]＝(E＋A)T(E－A)．故應(yīng)選(B)．對于(A)，(C)，(D)均成立．以(C)為例，有(E－A)(E＋A)－1＝[2E－(A＋E)](E＋A)－1＝2E(E＋A)－1－(A＋E)(A＋E)－1＝(E＋A)－12E－(A＋E)－1(A＋E)＝(A＋E)－1[2E－(A＋E)]＝(A＋E)－1(E－A)．同理，(A)，(D)也成立．5、下列矩陣中，不能相似于對角矩陣的是（）A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對于(D)，因?yàn)槭巧先切尉仃?，則主對角元素即是特征值，故λ1＝λ2＝1，λ3＝2．當(dāng)λ1＝λ2＝1時(shí)，有r(E－D)＝2，所以(E－D)x＝0只有一個(gè)線性無關(guān)解．故D不能相似于對角矩陣，故應(yīng)選(D)．對(A)，由于r(A)＝1，故Ax＝0有2個(gè)線性無關(guān)解，因此對應(yīng)λ＝0有2個(gè)線性無關(guān)特征向量，故；對(B)，因?yàn)锽是實(shí)對稱矩陣，故B～Λ；對(C)，因?yàn)镃是上三角形矩陣，有三個(gè)不同的特征值，故C～Λ．由排除法，故選(D)．6、設(shè)A，B為任意兩個(gè)事件，若P(B)＞0，則下列結(jié)論正確的是()A、P(A｜A∪B)＝P(A｜B)．B、P(A｜A∪B)＜P(A｜B)．C、P(A｜A∪B)＞P(A｜B)．D、P(A｜A∪B)≥P(A｜B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)P(A－B)＝x，P(B－A)＝y(tǒng)，P(AB)＝z，則P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝x，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝y(tǒng)，因此故選(D)．7、一盒中有N張獎(jiǎng)券，中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券張數(shù)X為隨機(jī)變量，若X的數(shù)學(xué)期望為n，則從該盒中抽一張獎(jiǎng)券為中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為()A、X／NB、XN．C、n／ND、nN．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：記事件A＝{從該盒中抽一張獎(jiǎng)券為中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券}，由題設(shè)，有則故選(C)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)8、＝__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對于(*)式的右邊第一個(gè)積分，記為I1，9、設(shè)b為常數(shù)且積分，(存在)，則b＝________，c＝__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用有理分式分解的方法．要使上式存在，充要條件是存在，但不等于零，也不等于無窮．如果A＋B＞0，則，如果A＋B＜0，則，所以A＋B＝0．以此代入式(**)，得b＝2．于是由式(**)得，故10、直線L：，在yOz平面上的投影直線l繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x2＋y2－z2＋4z－4＝0知識(shí)點(diǎn)解析：直線L：在yOz平面上的投影直線l的方程為y＋z＝2，即y＝2－z，它繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為，即x2＋y2＝4－4z＋z2，即如答案所示．11、設(shè)A是3階矩陣，且每行元素之和為2，α，β是線性無關(guān)的3維列向量，滿足Aα＝β，Aβ＝α，則A～∧，其中∧＝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件A的每行元素之和為2，可知，則A有特征值λ1＝2．又由Aα＝β及Aβ＝α知A(α＋β)＝β＋α＝α＋β，A(α－β)＝β－α＝－(α－β)，因?yàn)棣粒戮€性無關(guān)，所以α＋β≠0，α－β≠0．故A有特征值λ2＝1，λ3＝－1．A是3階矩陣，有3個(gè)不同的特征值，故A～Λ，其中．三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)12、設(shè)空間曲線，其中常數(shù)R＞0，從z軸正向朝z軸負(fù)向看去，L為逆時(shí)針轉(zhuǎn)的，求空間第二型曲線積分∮Ly2dx＋x2dy＋x2dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：法一參數(shù)法．由曲線L的第二個(gè)式子有取參數(shù)式，令，如圖所示，由于L為逆時(shí)針轉(zhuǎn)的，所以t從0變化到2π．代入L的第一個(gè)式子，得L的參數(shù)式為代入曲線積分表達(dá)式中，有法二用斯托克斯公式化成第一型曲面積分．取以L為邊界的一個(gè)光滑曲面，就取組成L的曲面S：的法向量由斯托克斯公式，并寫成第一型曲面積分形式，有由于S的法向量指向外側(cè)，故再將上述第一型曲面積分化成二重積分，并注意到，s在平面xOy上的投影區(qū)域?yàn)镈xy＝{(x，y)｜x2＋y2≤Rx}，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、函數(shù)(Ⅰ)將f(x)展開成(x－1)的冪級數(shù)，并求此冪級數(shù)的收斂域；(Ⅱ)在此收斂域上，該冪級數(shù)是否都收斂于f(x)?如果在某處收斂而不收斂于f(x)在該處的值，那么收斂于什么?均要求說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將函數(shù)展開成(x－1)的冪級數(shù)，為使式子簡單起見，令u＝x－1，即x＝u＋1．則展開成u的冪級數(shù)．，顯然，在u一±1處上式右邊的冪級數(shù)收斂，所以該冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋?≤u≤1，即(x－1)的冪級數(shù)的收斂域?yàn)?≤x≤2．(Ⅱ)在x＝0處無定義，所以談不上它與該冪級數(shù)相等，那么該冪級數(shù)在x＝0處收斂于什么呢?由于該冪級數(shù)在x＝0處是收斂的，由同濟(jì)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)(下冊)》(第七版)P279性質(zhì)1，和函數(shù)在x＝0處是連續(xù)的，所以，即在x＝0處收斂于．至于該冪級數(shù)的和函數(shù)在x＝2處，由于f(x)在x＝2處連續(xù)，所以即，在x＝2處收斂于f(x)在x＝2處的值，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、eπ與πe誰大誰小，請給出結(jié)論并給予嚴(yán)格證明(不準(zhǔn)用計(jì)算器)．標(biāo)準(zhǔn)答案：eπ與πe比大小，又不準(zhǔn)用計(jì)算器，看來不好下手．這里有個(gè)e，試討論ex與xe(這里的x＞e)，問題就有點(diǎn)眉目．再將它們分別取對數(shù)，比較xlne與elnx的大?。頵(x)＝xlne－elnx，則有故當(dāng)x＞e時(shí)f(x)＞0，即有xlne＞elnx，ex＞xe(x＞e)．令x＝π代入，有eπ＞πe．討論畢．【注】本題可以推廣：設(shè)b＞a≥e，證明：ab＞ba．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)點(diǎn)M(ξ，η，ζ)是橢球面上第一卦限中的點(diǎn)，S是該橢球面在點(diǎn)M處的切平面被三個(gè)坐標(biāo)面所截得的三角形的上側(cè)．求點(diǎn)(ξ，η，ζ)使曲面積分為最小，并求此最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面上點(diǎn)M(ξ，η，ζ)處的法向量為，切平面方程是化簡即得．該切平面被三個(gè)坐標(biāo)面截得的三角形在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)榍驣的最小值等價(jià)于求w＝ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，約束條件是由拉格朗日乘數(shù)法得顯然，當(dāng)ξ＝a或ξ＝0時(shí)，w最?。十?dāng)點(diǎn)(ξ，η，ζ)＝時(shí)，w最大，I的最小值為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、(Ⅰ)設(shè)A，B均是2階方陣，A的主對角元素之和稱為A的跡，記成tr(A)．證明tr(AB)＝tr(BA)；(Ⅱ)設(shè)A，X均是2階方陣，E是2階單位矩陣，討論矩陣方程AX－XA＝E是否有解，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)得證tr(AB)＝tr(BA)．(Ⅱ)法一利用(Ⅰ)的結(jié)論，因tr(AX－XA)＝tr(AX)-tr(XA)＝0≠tr(E)＝2，故AX－XA＝E無解．法二從而兩式相加得0＝2是矛盾方程．故原矩陣方程無解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、(Ⅰ)設(shè)f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3，用可逆線性變換將f化為規(guī)范形，并求出所作的可逆線性變換．并說明二次型的對應(yīng)矩陣A是正定矩陣；(Ⅱ)設(shè)A＝，求可逆矩陣D，使A＝DTD．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將f(x1，x2，x3)用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，得f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3＝(x1－x2＋x3)2＋x22＋5x32－4x2x3＝(x1－x2＋x3)2＋(x2－2x3)2＋x32．得f的標(biāo)準(zhǔn)形為f(x1，x2，x3)＝y(tǒng)12＋y23＋y32；．所作的可逆線性變換為x＝Cy，其中C＝．二次型的規(guī)范形為y12＋y22＋y32，正慣性指數(shù)p＝3＝r(A)，故知對應(yīng)矩陣A是正定矩陣(也可用定義證明，或用順序主子式全部大于零證明)．(Ⅱ)法一由題設(shè)知，A＝是f(x1，x2，x3)的對應(yīng)矩陣，即f(x1，x2，x3)＝xTAX．令x＝Cy，其中C＝，得f＝xTAX＝y(tǒng)TCTCy＝y(tǒng)TEy，故CTAC＝E，A＝(C－1)TC－1＝DTD，其中D＝C－1．法二由(Ⅰ)知，f(x1，x2，x3)＝(x1－x2＋x3)2＋(x2－2x3)2＋x32；＝(x1－x2＋x3，x2－2x3，x3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)＝1／4，P(B)＝1／6，P(A｜B)＝1／2．令，用Nij表示N次試驗(yàn)中事件{X＝z，Y＝y(tǒng)}發(fā)生的次數(shù)，x，y＝0，1，記，，下表稱為兩因素的“四格表”(Ⅰ)若N1·＝30，求N11的方差；(Ⅱ)若N1·，N2·，N·1，N·2都給定，則N11，N12，N22，N22中有幾個(gè)隨機(jī)變量?當(dāng)N1·＝10，N2·＝30，N·1＝20，N·2＝20時(shí)，求EN11；(Ⅲ)若X與Y不相關(guān)，則X與Y獨(dú)立嗎?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)N11服從二項(xiàng)分布B(30，p)，其中p＝P{Y＝1｜X＝1)．(Ⅱ)若N1·，N2·，N·1，N·2都給定，則N11，N12，N21，N22中只有一個(gè)隨機(jī)變量．當(dāng)N1·＝10，N2·＝30，N·1＝20，N·2＝20時(shí)，相當(dāng)于共有40個(gè)樣本，其中10個(gè)A發(fā)生，若從中隨機(jī)抽取N1·＝20個(gè)，則20個(gè)中A發(fā)生的個(gè)數(shù)N11的分布列為P{N11＝k}＝(k＝0，1，…，10)，即N11服從超幾何分布，則．(Ⅲ)若Cov(X，y)＝E(XY)－EXEY＝p11－p1··p·1＝0，則p11＝p1··p·1．進(jìn)一步，p·1－p11＝p·1－p1··p·1p21＝(1－p1·)p·1p21＝P2··p·1，同理可得p12＝p1··P·2，p22＝p2··p·2，則X與Y獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)總體X的概率密度為其中θ＞0為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來自總體X的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，求θ的矩估計(jì)量及最大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)，總體x的概率密度為其中θ＞0為未知參數(shù)．令，則θ的矩估計(jì)量為．設(shè)x1，x2，…，xn為樣本對應(yīng)的觀測值，則似然函數(shù)為當(dāng)xi≥θ(i＝1，2，…，n)時(shí)，L(θ)＞0，取對數(shù)，得由于，則lnL(θ)關(guān)于θ單調(diào)增加，因此當(dāng)θ取x1，x2，…，xn中的最小值時(shí)，L(θ)取最大值，則θ的最大似然估計(jì)量為．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f′(1)=a，則數(shù)列極限=()．A、0．B、a．C、2a．D、．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：這是已知導(dǎo)數(shù)求某數(shù)列的極限．若已知f′(b)=a，可求得數(shù)列極限只要其中數(shù)列xn滿足xn=0．為了用條件f′(1)=a，將所求極限，改寫成求導(dǎo)數(shù)的形式．其中因此I=f′(1)·1一f′(1)·0=a，故選項(xiàng)B正確.2、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)且非負(fù)但不恒等于零，記I1=∫01f(x)dx，I2=，I3=，則它們的大小關(guān)系為A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I1＜I2．C、I2＜I1＜I3．D、I3＜I2＜I1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：通過變量替換，把不同區(qū)間上兩個(gè)連續(xù)函數(shù)定積分值大小的比較轉(zhuǎn)化為同一個(gè)區(qū)間上兩個(gè)連續(xù)函數(shù)定積分值大小的比較．因此I3＜I1＜I2，故選項(xiàng)B正確．3、設(shè)f′(x0)=0，f″(x0)＜0，則必定存在一個(gè)正數(shù)δ，使得A、曲線y=f(x)在(x0一δ，x0+δ)是凹的．B、曲線y=f(x)在(x0一δ，x0+δ)是凸的．C、曲線y=f(x)在(x0一δ，x0]單調(diào)減少，而在[x0，x0+δ)單調(diào)增加．D、曲線y=f(x)在(x0一δ，x0]單調(diào)增加，而在[x0，x0+δ)單調(diào)減少．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f″(x0)=由極限的不等式性質(zhì)，當(dāng)x∈(x0-δ，x0+δ)，且x≠x0時(shí)，當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(x0，x0+δ)，f′(x)<0.又f(x)在x=x0連續(xù)=>f(x)在(x0-δ，x0]單調(diào)增加，在[x0，x0+δ)單調(diào)減少．故選項(xiàng)D正確．4、累次積分A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：將J表示成其中D：0≤y≤1，如圖所示，現(xiàn)改換成先y后x的積分順序得5、設(shè)A是5×4矩陣，r（A）=4，則下列命題中錯(cuò)誤的為A、AX=0只有零解．B、AATX=0有非零解．C、對任何5維向量β，AX=β都有解．D、對任何4維向量β，ATX=β都有無窮多解．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A對，因?yàn)閞(A)=未知數(shù)個(gè)數(shù)4．B對，因?yàn)锳AT是5階矩陣，而r(AAT)＜5．C錯(cuò)，因?yàn)榇嬖?維向量β不可用A的列向量組表示，使得AX=β無解．D對，因?yàn)閞(AT)=方程個(gè)數(shù)4，對任何4維向量β，r(AT｜β)不會(huì)大于4．6、設(shè)則下列矩陣中與A合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先可排除A，因?yàn)閞(A)=2，而A矩陣的秩為1，所以它與A不合同．兩個(gè)實(shí)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的特征值的正負(fù)性一樣．(即正，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)對應(yīng)相等．)而相似的充分必要條件是它們的特征值相同．因此應(yīng)該從計(jì)算特征值下手．求出｜λE—A｜=λ(λ+3)(λ一3)，A的特征值為0，一3，3．顯然(C)中矩陣的特征值也是0，一3，3，因此它和A相似，可排除．剩下(B)(D)兩個(gè)矩陣中，只要看一個(gè)．(D)中矩陣的特征值容易求出，為0，一1，1，因此它和A合同而不相似．(也可計(jì)算出(B)中矩陣的特征值為0，1，4，因此它和A不合同．)7、隨機(jī)變量X，Y均在(0，2)上服從均勻分布．事件A={X>a}與B={Y>2a}獨(dú)立，且P(A∪B)=，則a的值為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：從所給的選項(xiàng)中可知a的值都小于1，故下列各式均有意義．P(A)=P{X>a}=1一P{X≤a}=1一P(B)=P{Y>2a}=1—P{X≤2a}=1一·2a=1—a．P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(A)P(B)故選項(xiàng)B正確．8、設(shè)X1，X2，…，X6獨(dú)立同分布．且X1～N(0，4)，Y=a(X1+2X2)2+b(2X3+3X4)2+c(3X5+4X6)2～χ2(3)，則a，b，c的值分別為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的和仍服從正態(tài)分布，故有X1+2X2～N(0，20)，2X3+3X4~N(0，52)，3X5+4X6～(0，100)，根據(jù)χ2分布的典型模式所以應(yīng)有故選項(xiàng)D正確．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)y=f(x)二階可導(dǎo)，f’(x)≠0，它的反函數(shù)是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)=-1，則=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由反函數(shù)求導(dǎo)公式得再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得從而于是10、質(zhì)量為M，長為l的均勻桿AB吸引著質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)C，C位于AB的延長線上并與近端距離為a，已求得桿對質(zhì)點(diǎn)C的引力，其中k為引力常數(shù)．現(xiàn)將質(zhì)點(diǎn)C在桿的延長線上從距離近端r0處移至無窮遠(yuǎn)時(shí)，則引力做的功為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：以AB為x軸，近端點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸正向指向C．C的坐標(biāo)為x，則桿對C的引力于是，C從r0移至無窮遠(yuǎn)時(shí)，引力做的功11、微分方程y’’+4y=cos2x的通解為y=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：sin2x+C1cos2x+C2sin2x．知識(shí)點(diǎn)解析：y’’+4y=cos2x對應(yīng)的齊次方程的特征方程是r2+4=0．它的兩個(gè)特征根為r1，2=±2i．因此對應(yīng)的齊次方程的通解為y=C1cos2x+C2sin2x.λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，設(shè)非齊次方程的特解為y*=x(Acos2x+Bsin2x)，則(y*)’=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)’’=一x(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．將上兩式代入方程y’’+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．比較上式系數(shù)得A=0，B=．故原方程的通解為y=sin2x+C1cos2x+C1sin2x．12、設(shè)L為曲線：則I=∫L(x2+3y+3z)ds=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：πa3.知識(shí)點(diǎn)解析：由在L上y+z=0=>I=∫L(x2+3y+3z)ds=∫Lx2ds+3∫L(y+z)ds=∫Lx2ds易寫出L的參數(shù)方程：又于是I=∫02πa2cos2t·adt=a3∫02πcos2tdt=πa3.13、已知A是3階矩陣，A的特征值為1，一2，3．則(A*)*的特征值為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一6，12，一18．知識(shí)點(diǎn)解析：利用性質(zhì)：可逆矩陣的行列式除以各特征值，就得到其伴隨矩陣的各特征值．｜A｜=1×(一2)×3=一6，于是A*的特征值為一6，3，一2，｜A*｜=36．則(A*)*的特征值為一6，12，一18．14、擲一枚不均勻的硬幣，設(shè)正面出現(xiàn)的概率為p，反面出現(xiàn)的概率為q=1一p，隨機(jī)變量X為一直擲到正面和反面都出現(xiàn)為止所需要的次數(shù)，則X的概率分布為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：P{X=k}=pq(pk-2+qk+2)．k=2，3，…．知識(shí)點(diǎn)解析：易知X的取值為2，3，…．而{X=k}表示前k一1次出現(xiàn)的是正面而第k次出現(xiàn)的是反面，或前k一1次出現(xiàn)的是反面，而第k次出現(xiàn)的是反面，于是有P{X=k}=pk-1q+qk-1p=pq(pk-2+qk-2)，k=2，3，…．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)已知曲線在直角坐標(biāo)系中由參數(shù)方程給出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0)．15、證明該參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x)，x∈[1，+∞).標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閤’t=1一e-t＞0(t>0)，x’t(0)=0=>x=t+e-t在[0，+∞)單調(diào)上升，值域?yàn)閇x(0)，]=[1，+∞)．=>x=t+e-t在[0，+∞)存在反函數(shù)，記為t=t(x)，它在[1，+∞)連續(xù)(單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù))．再由連續(xù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性=>y=2t(x)+e-2t(x)y(x)在[1，+∞)連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、證明y=y(x)在[1，+∞)單調(diào)上升且是凸的．標(biāo)準(zhǔn)答案：由參數(shù)式求導(dǎo)法(t>0，即x>1)于是y=y(x)在[1，+∞)單調(diào)上升．又因此y=y(x)在[1，+∞)是凸的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求y=y(x)的漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：x→∞<=>t→+∞又因y=y(x)在[1，+∞)連續(xù)，所以y=y(x)只有漸近線y=2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)有一容器由平面z=0，z=1及介于它們之間的曲面S所圍成．過z軸上點(diǎn)(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z軸的平面與該立體相截得水平截面D(z)，它是半徑的圓面．若以每秒v1體積單位的均勻速度往該容器注水，并假設(shè)開始時(shí)容器是空的．18、寫出注水過程中t時(shí)刻水面高度z=z(t)與相應(yīng)的水體積V=V(t)之間的關(guān)系式，并證明水面高度z與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系：標(biāo)準(zhǔn)答案：由截面已知的立體體積公式可得t時(shí)刻容器中水面高度z(t)與體積V(t)之間的關(guān)系是V(t)=∫0z(t)S(z)dz，其中S(z)是水面D(z)的面積，即S(z)=π[z2+(1一z)2]．現(xiàn)由及z(0)=0，求z(t)．將上式兩邊對t求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得這是可分離變量的一階微分方程，分離變量得S(z)dz=v0dt，即[z2+(1一z)2]dz=(*)兩邊積分并注意z(0)=0，得(**)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求水表面上升速度最大時(shí)的水面高度；標(biāo)準(zhǔn)答案：求z取何值時(shí)取最大值．已求得(*)式即(若未解答題1，可對題1告知要證的結(jié)論即(**)式兩邊對t求導(dǎo)得，同樣求得上式)，因此，求取最大值時(shí)z的取值歸結(jié)為求f(x)=x2+(1一z)2在[0，1]上的最小值點(diǎn).由=>f(x)在時(shí)在[0，1]上取最小值．故時(shí)水表面上升速度最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求灌滿容器所需時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：歸結(jié)求容器的體積，即V=∫01S(z)dz=π∫01[z2+(1-z)2]dz=因此灌滿容器所需時(shí)間為或由于灌滿容器所需時(shí)間也就是z=1時(shí)所對應(yīng)的時(shí)間t，于是在(**)中令z=1得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)z=z(x，y)是由9x2—54xy+90y2—6yz一z2+18=0確定的函數(shù)，21、求證z=z(x，y)一階偏導(dǎo)數(shù)并求駐點(diǎn)；標(biāo)準(zhǔn)答案：利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0．即(18x一54y)dx+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0．從而為求隱函數(shù)z=z(x，y)的駐點(diǎn)，應(yīng)解方程組②可化簡為x=3y，由③可得z=30y一9x=3y，代入①可解得兩個(gè)駐點(diǎn)x=3，y=1．z=3與x=一3，y=一1．z=一3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：z=z(x，y)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn)．為判定z=z(x，y)在兩個(gè)駐點(diǎn)處是否取得極值，還需求z=z(x，y)在這兩點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)．注意，在駐點(diǎn)P=(3，1，3)，Q=(一3，一1，一3)處，由(3y+z)=9x一27y=>在駐點(diǎn)P，Q處再由(3y+z)=90y一27x一3z=>在駐點(diǎn)P，Q處于是可得出在P點(diǎn)處3y+z=6，因AC—B2=，且，故在點(diǎn)(3，1)處z=z(x，y)取得極小值z(3，1)=3．在Q點(diǎn)處3y+z=一6．因AC—B2=，且故在點(diǎn)(一3，一1)處z=z(x，y)取得極大值z(一3，—1)=一3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、證明等式并指出等式成立的區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：將展開成x的冪級數(shù)．先求出由逐項(xiàng)積分得再逐項(xiàng)積分得逐項(xiàng)積分保持收斂區(qū)間不變，在x=±1處逐項(xiàng)積分后的級數(shù)收斂，又f(x)在x=±1連續(xù)，故展開式在[一1，1]成立．因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)曲面積分其中S+為上半橢球面：(0≤z≤c)的上側(cè)．24、求證：其中Ω是上半橢球體；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)S+的方程，J可簡化成要將曲面積分J化為三重積分，可用高斯公式．由于S+不是封閉曲面，故要添加輔助面取法向量n向下，S+與S1+所圍的區(qū)域記為Ω，它的邊界取外側(cè)，于是在Ω上用高斯公式得其中S1+上的曲面積分為零，因?yàn)镾1+與zx平面及zx平面均垂直，又在S1+上z=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求曲面積分J．標(biāo)準(zhǔn)答案：求曲面積分J轉(zhuǎn)化為求上題中的三重積分．怎樣計(jì)算這個(gè)三重積分：因?yàn)棣甘前霗E球體，不宜選用球坐標(biāo)變換與柱坐標(biāo)變換．我們用先二(先對x，y積分)后一(后對z積分)的積分順序求由于z∈[0，c]，與z軸垂直的平面截Ω得區(qū)域D(z)為又這個(gè)橢圓的兩個(gè)半軸分別為面積是于是可以用同樣方法計(jì)算但是，由坐標(biāo)的輪換對稱性，有J1=J2=J3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)α1，α2，α3都是矩陣A的特征向量，特征值兩兩不同，記γ=α1+α2+α3·26、證明γ，Aγ，A2γ線性無關(guān)，γ，Aγ，A2γ，A3γ線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)α1，α2，α3的特征值為a，b，c，由于它們兩兩不同，α1，α2，α3線性無關(guān)，γ=α1+α2+α3，Aγ=aα1+bα2+cα3，A2γ=a2α1+b2α2+c2α3，A3γ=a3α1+b3α2+c3α3，則γ，Aγ，A2γ對α1，α2，α3的表示矩陣為其行列式為范德蒙行列式，并且(因?yàn)閍，b，c兩兩不同)值不為0，于是r(γ，Aγ，A2γ)=r(α1，α2，α3)=3，因此γ，Aγ，A2γ無關(guān)．γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3線性表示，因此線性相關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)α1，α2，α3的特征值依次為1，一1，2，記矩陣B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ，求解線性方程組BX=β．標(biāo)準(zhǔn)答案：γ=α1+α2+α3，Aγ=α1-α2+2α3，A2γ=α1+α2+4α3，A3γ=α1-α2+8α3，B=(γ，Aγ，A2γ)=(α1，α2，α3)β=A2γ=(α1，α2，α3)則BX=β具體寫出就是由于α1，α2，α3線性無關(guān)，它和同解．解此方程組得唯一解(一2，1，2)T．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)二次型xTAx=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩陣滿足AB=0．28、用正交變換化xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所作變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作正交矩陣Q，使得Q-1AQ是對角矩陣．條件說明B的3個(gè)列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重?cái)?shù)大于1．于是A的特征值為0，0，6．(tr(A)=6．)求屬于特征值0的兩個(gè)單位正交特征向量：對B的第1，2兩個(gè)列向量α1=(1，0，1)T，α2=(2，一1，0)T作施密特正交化：η1=α1/∥α∥1=(1，0，1)T，η2=β2/∥β2∥=(1，一1，一1)T．求屬于特征值6的一個(gè)單位特征向量：屬于特征值6的特征向量與α1，α2都正交，即是方程組的非零解，求出α3=(1，2，一1)T是屬于6的一個(gè)特征向量，單位化η3=α3／∥α3∥=(1，2，-1)T．記Q=(η1，η2，η3)，則Q是正交矩陣，Q-1AQ=作正交變換x=Qy，它xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)二次型6y32．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求(A一3E)6．標(biāo)準(zhǔn)答案：A的特征值為0，0，6，則A一3E的特征值為一3，一3，3，(A一3E)6的3個(gè)特征值都是36．于是(A一3E)6~36E=>(A一3E)6=36E.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析有甲、乙、丙三個(gè)口袋，其中甲袋裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙袋裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，2個(gè)黑球；丙袋裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球．現(xiàn)任取一袋，從中任取2個(gè)球，用X表示取到的紅球數(shù)，Y表示取到的白球數(shù)，Z表示取到的黑球數(shù)，試求：30、(X，Y)的聯(lián)合分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的聯(lián)合分布，即有從而(X，Y)與(Y，Z)的聯(lián)合分布與邊緣分布可列表如下：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、cov(X，Y)+cov(Y，Z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY—EXEY)+(EYZ—EYEZ)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)總體X的概率函數(shù)為又X1，X2，…，XN是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求未知參數(shù)θ的矩估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于不能用EX的初等函數(shù)將θ表示出來，所以要再計(jì)算X的二階矩，即解方程，可得．于是θ的矩估計(jì)量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當(dāng)x→0時(shí)，無窮小α=的階數(shù)由高到底的次序?yàn)?)A、α，β，γB、β，γ，αC、γ，α，βD、γ，β，α標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：應(yīng)選(B)．2、下列命題正確的是()．A、若f(x)在x0處可導(dǎo)，則一定存在δ＞0，在｜x一x0｜＜δ內(nèi)f(x)可導(dǎo)B、若f(x)在x0處連續(xù)，則一定存在δ＞0，在｜x—x0｜＜δ內(nèi)f(x)連續(xù)C、若存在，則f(x)在x0處可導(dǎo)D、若f(x)在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在x0處連續(xù)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)==0得f(x)在x=0處可導(dǎo)(也連續(xù))．對任意的a≠0，因?yàn)椴淮嬖?，所以f(x)在x=a處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，即x=0是f(x)唯一的連續(xù)點(diǎn)和可導(dǎo)點(diǎn)，(A)，(B)不對；令f(x)==0≠f(0)，所以f(x)在x=0處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，(C)不對；因?yàn)閒(x)在x0處連續(xù)且在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，所以由微分中值定理有3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，g(x)連續(xù)，且f’(x)=lncosx+∫0xg(x一t)dt，=一2，則()．A、f(0)為f(x)的極大值B、f(0)為f(x)的極小值C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故(0，f(0))為y=f(x)的拐點(diǎn)，應(yīng)選(C)．4、當(dāng)x=一2時(shí)，級數(shù)的收斂半徑為()．A、R=2B、R=4C、R=1D、R=標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)A為可逆矩陣，令P1=，則A—1P1100AP2—1等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P1=E23，因?yàn)镋ij—1=Eij，所以Eij2=E，即P1100=E．P2=E13(4)，因?yàn)镋ij—1(k)=Eij(一k)，所以P2—1=，于是A—1P1100AP2—1=P2—1，選(B)．6、設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1=一1，λ2=2，λ3=4，對應(yīng)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，令P=(一3ξ1，2ξ2，5ξ3)，則P—1(A*+2E)P等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A*+2E對應(yīng)的特征值為μ1=10，μ2=一2，μ3=0，對應(yīng)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，則一3ξ1，2ξ2，5ξ3仍然是A*+2E的對應(yīng)于特征值μ1=一2，μ2=10，μ3=0的特征向量，于是有P—1(A*+2E)P=，選(B)．7、下面4個(gè)隨機(jī)變量的分布中，期望值最大，方差最小的是()．A、X～N(5，)B、Y～U(5，7)，即區(qū)間(5，7)上的均勻分布C、Z服從指數(shù)分布f(z)=D、T服從指數(shù)分布f(t)=標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，(X1，X2，…，Xn)為總體的簡單樣本，，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)函數(shù)y=y(x)由xy==___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識(shí)點(diǎn)解析：x=0代入，得y=0．11、設(shè)由x=zey+z確定z=z(x，y)，則dz(e，0)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將x=e，y=0代入得z=1．x=zey+z兩邊求微分得dx=zey—zdy+(z+1)ey+zdz，將x=e，y=0，z=1代入得dz(e，0)=dy．12、y"一2y’一3y=e—x的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e—x