初中數(shù)學(xué)輔助線添加及例題大全

初中數(shù)學(xué)輔助線的添加

人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當問題的條件

不夠時，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立

已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用

的策略。

一.添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們，相交后證交角為90。；證線段倍半關(guān)

系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，

添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖

形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有

規(guī)律可循。舉例如下：

(1)平行線是個基本圖形：

當兒何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等

第三條直線

(2)等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角

形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三

角形。

(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線

組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)

系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三

角形斜邊上中線基本圖形。

(5)三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明

當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完

整三角形；當出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點

則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現(xiàn)線段倍

半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半

線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

(6)全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)

兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形

全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當兒何問題中出現(xiàn)

一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形

全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行

線

(7)相似三角形：

相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線型，旋轉(zhuǎn)

型；當出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(中點可看成比為1)可添加平行線

得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段

為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。

(8)特殊角直角三角形

當出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，

利用45角直角三角形三邊比為1：1：V2；30度角直角三角形三邊比為1：

2：J3進行證明

(9)半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添

它所對弦一直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有

一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。

二.基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍%含有中點的題目，常常利

用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了

問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)

和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于

平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采

用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分

等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有

某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、

垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方

形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

(1)連對角線或平移對角線:

(2)過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形

(3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造

線段平行或中位線

(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等

積三角形。

(5)過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加

適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的

添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形內(nèi)平移兩腰

(4)延長兩腰

(5)過梯形上底的兩端點向下底作高

(6)平移對角線

(7)連接梯形一頂點及一腰的中點。

(8)過一腰的中點作另一腰的平行線。

(9)作中位線

當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單

?的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來

解決，這是解決問題的關(guān)鍵。

4.圓中常用輔助線的添法

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起

題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活

掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是

大有幫助的。

(1)見弦作弦心距

有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還須作出相應(yīng)的半徑)，通過垂徑平分

定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

(2)見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用”直徑所對的

圓周角是直角"這一特征來證明問題。

(3)見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑

垂直”這一性質(zhì)來證明問題。

(4)兩圓相切作公切線

對兩圓相切的問題，-一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通

過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

(5)兩圓相交作公共弦

對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以

把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

作輔助線的方法

一：中點、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延

長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)

用某個定理或造成全等的目的.

二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)會等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而

旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的

平分線。

三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定

的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有

時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。

四:連角、平、相仞，和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形

有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；

第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）

五：兩圓若相交，連心公共弦。

如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。

六：兩回相切、寓，連心，公切線。

如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連

心線或內(nèi)外公切線。

七：切線連直往，直角與半國。

如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件

中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助

線。

如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反,

條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角一一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。

如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。

如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助

線，反之，亦成立。

有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。

九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或

高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵.

如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種,

大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄?/p>

線、角、相交線、平行線規(guī)律

規(guī)律1.如果平面上有〃（〃22）個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一條直

線，一共可以畫出1）條.

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律2.平面上的“條直線甦可把平面分成（”（"+1）+1）個部分.

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律3.如果一條直線上有〃個點，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為

錯誤！嵌入對象無

“（〃一1）條.

效。

規(guī)律4.線段（或延長線）上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段長的

一半.

例：如圖，8在線段NC上，M是N8的中點，N是8c的中點.

求證：MN=AC

錯誤！嵌入對象無效。;————―-.

AMBNC

證明：是的中點，N是8c的中點

：.AM=BM=AB,BN=CN=BC

錯誤！嵌入對象無效。錯誤！嵌入對象無效。

MN=MB+BN=AB+BC=

錯誤！嵌入對象無效。錯誤！嵌入對象無效?錯

(AB+BC)

誤！嵌入對象無效。

:.MN=AC

錯誤！嵌入對象無效。

練習(xí)：1.如圖，點C是線段上的一點，M是線段8C的中點.

求證：AM=(AB+BC)

錯誤！嵌入對象無效。:-----------------------p~~B

2.如圖，點8在線段ZC上，M是力8的中點，N是NC的中點.

求證：MN=BC

錯誤！嵌入對象無效。I——一c

3.如圖，點8在線段4c上，N是/C的中點，M是8c的中點.

求證：MN=AB

錯誤！嵌入對象無效。；--------：,-：

規(guī)律5.有公共端點的〃條射線所構(gòu)成的交點的個數(shù)一共有“(〃一1)個.

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律6.如果平面內(nèi)有〃條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成小于平角的角共有2〃(n-1)個.

規(guī)律7.如果平面內(nèi)有〃條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成"(n-1)對對頂角.

規(guī)律8.平面上若有〃(n>3)個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形一共

可作出n(n-1)(>?—2)個.

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律9.互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90。.

規(guī)律10.平面上有“條直線相交，最多交點的個數(shù)為〃(〃一1)個.

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律11.互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半.

規(guī)律12.當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯角的角平分線互相平行，同旁

內(nèi)角的角平分線互相垂直.

例：如圖，以下三種情況請同學(xué)們自己證明.

規(guī)律13.已知A8〃QE,如圖⑴?⑹，規(guī)律如下:

cZABC+ZBCD+ZCDE=360°

ZBCD=ZABC+ZCDE

ZBCD=ZCDE-ZABC

ZBCD=ZABC-ZCDE

ZCDE=ZBCD+ZABC

ZABC=ZBCD+ZCDE

規(guī)律14.成“8”字形的兩個三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個內(nèi)角和的一半.

例：已知，BE、DE分別平分N/8C和N4DC,若//=45°,NC=55°,求NE的度數(shù).

解：ZA+AABE=ZE+ZADE①

ZC+ZCDE=ZE+ZCBE②

①+②得二

N4+ZABE+ZC+ZCDE=ZE+ZADE+ZE+E

RE

平分4BC、DE平分NADC,

NABE=NCBE,ZCDE=ZADE

.".2ZE=ZA+ZC

:.4E=(ZJ+ZQ

錯誤！嵌入對象無效。

'：AA=45°,ZC=55",

ZE=50°

三角形部分

規(guī)律15.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或

延長某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊

關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題.

例：如圖，已知。、E為△/BC內(nèi)兩點，求證：AB+AOBD+DE+CE.

證法（一）：將。E向兩邊延長，分別交/8、/C于〃、N

在中，AM+AN>MD+DE+NE①

在△8。“中，MB+MD>BD②

在△（?￡1N中，CN+NE>CE③

①+②+③得

AMJt-AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

：.AB+AOBD+DE+CE

證法（二）延長8。交4C于F,延長CE交8產(chǎn)于G,

在△N8F和△GFC和△GOE中有，

①/>8O+OG+GF

@GF+FC>GE+CE

③DG+GE>DE

，①+②+③有

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

：.AB+AC>BD+DE+CE

注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量(或與求

證有關(guān)的量)移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.

練習(xí)：已知：如圖尸為△/8C內(nèi)任一點，

求證：(AB+BC+AC)<R4+PB+PC<AB+BC+AC

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律16.三角形的一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內(nèi)角的

一半.

例：如圖，已知8。為的角平分線，為△NBC的外角/ZCE的平分線，它與BD

的延長線交于D

求證：ZA=2ZZ)

證明：CD分別是/N8C、/NCE的平分線

.".ZACE=2Zi,NABC=2N2

AD

NA=/ACE-ZABC

.??"2N1—2/2/AZ

又?.?/￡)=/l-N2BcR

ZJ=2ND

規(guī)律17.三角形的兩個內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90"加上第三個內(nèi)角的一半.

例：如圖，BD、CD分別平分N/8C、NACB,求證：ZBDC=90"+

錯誤！嵌入對象無效。

證明：CD分別平分NN8C、ZACB

.?.N/+2N1+2/2=180°

.\2(Z1+Z2)=180°-//①

VZBDC=180°-(Zl+Z2)大

.".(Zl+Z2)=180"-/BDC②

把②式代入①式得

2(180°-NBDC)=180°-//

即：360°-2ZBDC=1800-ZJ

：.2ZBDC=180"+NZ

AZBDC=90"+ZA

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律18.三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90°減去第三個內(nèi)角的一半.

例：如圖，BD、C。分別平分NE8C、Z.FCB,求證：Z5DC=90°-

錯誤！嵌入對象無效。

證明：?:BD、CD分別平分/E8C、NFCB

：.ZEBC=2Z\.ZFCB=2Z2

A2Z1=ZA+ZACB①

2Z2=ZA+ZABC②

①+②得

2(Z1+Z2)=ZA+ZABC+ZACB+ZA

2(Z1+Z2)=180°+//

(Z1+Z2)=90°+

錯誤！嵌入對象無效。

,：4BDC=180°-(Zl+Z2)

:.NBDC=180°-(90°+4)

錯誤！嵌入對象無效。

ZBDC=90°-/A

錯誤！嵌入對象無效。

規(guī)律19.從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差

(的絕對值)的一半.

例：己知，如圖，在△/8C中，NONB,8c于。，/E平分N8/C.

求證：/EAD=(NC-NB)

錯誤！嵌入對象無效。

證明：平分/B/C

/.ZBAE=NCAE=

錯誤！嵌入對象無效。

ZBAC

VZ5/1C=18O,-(ZS+ZC)

.".ZEAC=(180o-(Z5+ZQ)

錯誤！嵌入對象無效。

'：AD±BC

：.ADAC=9^'-ZC

ZEAD=ZEAC-ADAC

:.NEAD=(180°-(ZS+ZQ)-(90°-ZQ

錯誤！嵌入對象無效。

=90°-(ZS+

錯誤！嵌入對象無效。

ZQ-900+ZC

=(ZC-Z5)

錯誤！嵌入對象無效。

如果把AO平移可以得到如下兩圖，J_5C其它條件不變，結(jié)論為NEFZ)=

錯誤!

嵌入對象無效。

注意：同學(xué)們在學(xué)習(xí)幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解

一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力.

規(guī)律20.在利用三角形的處角大壬任何和它丕相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證

不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角

的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.

例：已知。為△N8C內(nèi)任一點，求證：ZBDC>ABAC

證法(-)：延長8。交NC于E,

:NBDC是4EDC的外角，

NBDC>ZDEC/入

同理：ZDEOZBAC

ZBDOABACB^——B^——

uCFC

證法(二)：連結(jié)并延長交BC于產(chǎn)

NBDF是A4BD的外角，

NBDF>NBAD

同理

NBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD

即：ZBDC>ABAC

規(guī)律21.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，/。為△/8C的中線且/I=/2,Z3=Z4,

求證：BE+CF>EF

證明：在D4上截取。N=Q8,連結(jié)NE、NF,則DN=DC

在ABDE和ANDE中，

DN=DB

Z1=Z2

ED=ED)

：.叢BDEQ/XNDE/y\

:?BE=NE

同理可證：CF=NFD

在△￡■?%中，EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

規(guī)律22.有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，為△/8C的中線，且N1=N2,Z3=Z4,求證：BE+CF>EF

證明：延長到使。M=DE,連結(jié)CM、FM

4BDE和中,

BD=CD

Zl=Z5

ED=MD

：.△BDEW4CDM

：.CM=BE

又：N1=N2,Z3=Z4

Z1+Z2+Z3+Z4=180°

AZ3+Z2=90°

即NEDF=90°

ZFDM=NEDF=90"

△ED尸和中

ED=MD

M

ZFDM=NEDF

DF=DF

：.AEDF/AMDF

：.EF=MF

在△CM尸中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此題也可加倍尸D,證法同上）

規(guī)律23.在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，為△/BC的中線，求證：AB+AO2AD

證明：延長/。至E,使。E=4）,連結(jié)8E

為△/8C的中線

：.BD=CD

在△/CD和△E8。中

BD=CD

Zl=Z2

AD=ED

:.△ACD/AEBD

,//\ABE中有AB+BE>AE

：.AB+AC>2AD

規(guī)律24.截長補短作輔助線的方法

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

當已知或求證中涉及到線段。、b、c、d有下列情況之一時用此種方法:

①

②=C

?a±b=c±d

例：已知，如圖，在△/8C中，AB>AC,Zl=Z2,P為AD上任一點，

求證：AB-AOPB-PC

證明：⑴截長法：在48上截取/N=/C,連結(jié)PN

在和中，

AN=AC

Zl=Z2

AP^AP

：./XAPN^^APC

：.PC=PN

,：ABPN中有PB-PCVBN

：.PB-PC<AB~AC

⑵補短法：延長ZC至使=連結(jié)PM

在△Z8P和中

AB=AM

Z1=Z2

AP=AP

\ABP%4AMP

:.PB=PM

又V在△PCM中有CA/>PM~PC

J.AB-AOPB-PC

練習(xí)：1.已知，在△NBC中，N3=6014。、CE是△N8C的角平分線，并且它們交于點O

求證：AC=AE+CD

2.已知，如圖，AB//CDZI=Z2,Z3=Z4.D

求證：BC=AB+CD

BC

規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟：

①觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。

②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所

在的三角形全等.

③如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.

例:如圖，已知，BE、CD相交于尸，NB=/C,Zl=Z2,求證：DF=EF

證明：VZADF=ZB+Z3

NAEF=ZC+Z4

又：N3=N4

ZS=ZC

ZADF=ZAEF

在AADF和△NEF中

NADF=ZAEF

Zl=Z2

AF=AF

：.△ADa/\AEF

：.DF=EF

規(guī)律26.在一個圖形中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相

等.

例：已知，如圖RfZX/BC中，AB=AC,NBAC=90",過工作任一條直線4V,作8Z）_L/N

于。，CEJ_ZN于E,求證：DE=BD~CE

證明：?:NBAC=90°,BDLAN

.".Zl+Z2=90°Zl+Z3=90°

,Z2=Z3

■:BDL4NCELAN

；.NBDA=NAEC=90°

在△Z8D和△◎￡中，

ABDA=ZAEC

Z2=Z3

AB=AC

:.AABD妾ACAE

J.AE-AD=BD-CE

：.DE=BD~CE

規(guī)律27.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.

例：4。為△/8C的中線，且CF_L/。于尸，。的延長線于E

求證：BE=CF

證明：（略）

規(guī)律28.條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.

例：已知/C=8。，ADLAC^A,BCBD于B

求證：AD=BC

證明：分別延長。/、C8交于點E

'：ADA-ACBCLBD

：.ZCAE=NDBE=90"

在△D8E和△%￡中

NDBE=NCAE

BD=AC

ZE=ZE

：.4DBE迫ACAE

：.ED=EC,EB=EA

：.ED-EA=EC-EB

：.AD=BC

規(guī)律29.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.

例：已知，如圖，AB//CD,AD//BC

求證：AB=CD

證明：連結(jié)ZC（或8。）

,:AB〃CD,AD//BC

.\Z1=Z2

在△48C和△CD4中，

Zl=Z2

AC=CA

Z3=Z4

，AABC義ACDA

：.AB=CD

練習(xí)：已知，如圖，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求證：BE=DF

規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”.

例：已知，如圖，在R/ZXXBC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE_L8。的延長線

于E

求證：BD=2CE

證明：分別延長84CE交于F

■:BELCF

：.ZBEF=ZBEC=90°

在△8EF和△8EC中

Zl=Z2

BE=BE

ZBEF=ZBEC

:.△BEF/ABEC

：.CE=FE

錯誤！嵌入對象無效。

'：ABAC=90",BE1.CF

：.ZBAC=/C4F=90°

Z1+ABDA=90”

Zl+ZBFC=90°

ABDA=ZBFC

在△48。和△ZCF中

ABAC=ZCAF

ABDA=NBFC

AB=AC

：./\ABD^/\ACF

：.BD=CF

：.BD=2CE

練習(xí)：已知，如圖，NACB=3NB,N1=/2,CD_L/D于

求證：AB-AC=2CD

規(guī)律31.當證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形.

例：已知，如圖，AC,8。相交于O,SiAB=DC,AC=BD,

求證：Z.A=NDA

證明：（連結(jié)8C,過程略）

規(guī)律32.當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.

例：已知，如圖，AB=DC,N4=ND

求證：ZABC=ZDCB

證明：分別取Z。、BC中點、N、M,An

連結(jié)NB、NM、NC（過程略）/\

規(guī)律33.有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩

邊距離相等證題.

例：已知，如圖，Zl=Z2,P為AV上一點，且心J_8C于。，AB+BC=2BD,

求證：ZBAP+ZBCP=180°

證明：過P作PE_L8/于E

■:PD1.BC,Zl=Z2

：.PE=PD

在RtABPE和Rt/\BPD中

BP=BP

PE=PD

:.RtABPEmRt/\BPD

：.BE=BD

■:AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE~AE

：.AE=CD

".'PE1.BE,PDA.BC

NPEB=NPDC=90°

在△尸E4和△PAC中

PE=PD

NPEB=NPDC

AE=CD

：.△PEAQXPDC

：.ZPCB=NEAP

"：ZBAP+ZEAP=180°

：.ZBAP+ZBCP=180°

練習(xí)：1.已知，如圖，PA.PC分別是△N8C外角4c與/NC/的平分線，它們交于產(chǎn),

PDLBM于M,PFLBN于'F,求證：8P為NM8N的平分線

2.已知，如圖，在△NBC中，AABC=\W°,ZACB=20°,CE是/ZC8的平分線,

。是/C上一點，若NCBD=20",求NCED的度數(shù)。

規(guī)律34.有等腰三角形時常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例：已知，如圖，AB=AC,BDLAC^D,

求證：ZBAC=2ZDBC

證明：（方法一）作/8/C的平分線交.BC于E,則Nl=/2=

錯誤！嵌入對象

ABAC

無效。

又,：AB=AC

J.AELBC

：.Z2+ZACB=90°

'：BD±AC

：.ZDBC+N4cB=900

Z2=ZDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）過/作NELBC于E（過程略）

（方法三）取8c中點E,連結(jié)/E（過程略）

⑵有底邊中點時，常作底邊中線

例：已知,如圖，△ABC中，AB=AC,。為BC中點，DE1.4B于E,DFLACTF,

求證:DE=DF

證明:連結(jié)ZD

?.?。為8c中點，

：.BD=CD

又「/BMC

，力。平分/8/C

".'DEA.AB,DFLAC

：.DE=DF

⑶將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題

例：已知，如圖，△/8C中，AB=AC,在郵延長線和4C上各取一點E、F,使/E=

AF,求證：EFLBC

證明：延長8￡1到N,使ZN=/8,連結(jié)CN,則/8=ZN=ZC

Z5=NACB,ZACN=ZANC

'：ZB+ZACB+ZACN+ZANC=180°

：.2ZBCA+2ZACN=180"

ZBCA+ZACN=90°

即ZBCN=90"

.'.NC±BC

\"AE=AF

：.NAEF=ZAFE

又：ZBAC=NAEF+ZAFE

ZBAC=ZACN+ZANC

：./BAC=2NAEF=2ZANC

ZAEF=NANC

：.EF//NC

J.EFVBC

⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線

例：已知，如圖，在△48C中，AB=AC,。在48上，￡在ZC延長線上，且BD=CE,連

結(jié)DE交BC于F

求證：DF=EF

證明：（證法一）過。作。N〃/E,交8C于N,則/DNB=NACB,NNDE=NE,

*:AB=AC9

：.ZB=ZACB

：.ZB=/DNB

：.BD=DN

又?:BD=CE

：.DN=EC

在△DW'和中

Z1=Z2

/NDF=/E

DN=EC

：./\DN厘AECF

：.DF=EF

（證法二）過后作￡忖〃48交8c延長線于則（過程略）

⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線

例：已知，如圖，ZViBC中，AB=AC,E在力。上，。在A4延長線上，￡LAD=AE,連

結(jié)DE

求證：DE1.BC

證明：（證法一）過點E作律〃8。交43于E則

/AFE=NB

ZAEF=ZC

\'AB=AC

：.ZB=ZC

：.ZAFE=ZAEF

'：AD=AE

：./AED=NADE

又,?ZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180”

：?2/AEF+2/4ED=900

即N在。=90"

：.DE.LFE

^：EF//BC

：.DE1,BC

（證法二）過點。作。N〃8c交。的延長線于M（過程略）

（證法三）過點4作8c交QE于（過程略）

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形一一等邊三角形

例：已知，如圖，△45C中，AB=AC,ABAC=80°，為形內(nèi)一點，若NPBC=10°

Z.PCB=30"求/為8的度數(shù).

解法一：以Z5為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE

則N84石=/48￡=60"

AE=AB=BE

AB=AC

：.AE=ACNABC=ZACB

：.ZAEC=ZACE

ZEAC=ZBAC-ZBAE

=80。-60°=20°

:.NACE=、(180"

錯誤！嵌入對象無效。

-ZEAQ=800/

?：N4CB=(180°

錯誤！嵌入對象無效。、

-ZBAQ=50°E

NBCE=ZACE-NACB

=80"-50"=30”

ZPCB=30°

ZPCB=/BCE

"?ZABC=ZACB=50°,/ABE=600

NEBC=ZABE~ZABC=600-50°=10°

'：NPBC=10°

/PBC=NEBC

在△PBC和△EBC中

ZPBC=ZEBC

BC=BC

ZPCB=ABCE

:APBCqMBC

：.BP=BE

?：AB=BE

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBR4

'：NABP=NABC-ZPBC=500~10"=40”

，ZPAB=(180°-ZABP)=70"

錯誤！嵌入對象無效。

解法二:以ZC為一邊作等邊三角形，證法同一。

解法三：以8C為邊作等邊三角形△8CE,連結(jié)/E,則

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

,:EB=EC

.?.E在BC的中垂線上

同理4在BC的中垂線上

：.EA所在的直線是BC的中垂線

：.EALBC/\\

ZAEB=ZBEC=30"

錯誤！嵌入對象無效。------A。

=NPCB

由解法一知：ZABC=50"

ZABE=ZEBC-NABC=10"=NPBC

"：ZABE=ZPBC,BE=BC/AEB=ZPCB

：.A4BE@/\PBC

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBPA

'：NABP=ZABC-NPBC=50°—100=40"

/.ZPAB=（180°-ZJ5P）=（180°

錯誤！嵌入對象無效。錯誤！嵌入對象無效。

-40°）=70°

規(guī)律35.有二倍角時常用的輔助線

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

例：已知，如圖，在中，Zl=Z2,ZABC=2ZC,

求證：AB+BD=AC

證明：延長N8到E,使BE=BD,連結(jié)OE

^\ZBED=ZBDE

'：NABD=ZE+NBDE

：.ZABC=2ZE

"：ZABC=2ZC

:.NE=NC忒

在&4ED和A4CD中/

Z￡=ZCB/\

Z1=Z2

AD=ADE

/XAED^/XACD

：.AC=AE

\"AE=AB+BE

：.AC=AB+BE

B|JAB+BD=AC

⑵平分二倍角

例：已知，如圖，在△/BC中，8D_LNC于。，ZBAC=2ZDBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作/A4c的平分線4E交8c于E,則/A4￡=/C/E=/D8C

,：BD1AC

：.ZCBD+ZC=900

.\ZCAE+ZC=90°