新高考數(shù)學(xué)二輪考點(diǎn)培優(yōu)專題（精講+精練）30 阿波羅尼斯圓和蒙日?qǐng)A的問題（原卷版）

素養(yǎng)拓展30阿波羅尼斯圓和蒙日?qǐng)A的問題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、阿波羅尼斯圓1.阿波羅尼斯圓的定義在平面上給定兩點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0點(diǎn)在同一平面上且滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡是線段SKIPIF1<0的中垂線）2.阿波羅尼斯圓的證明設(shè)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0，其軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓．證明：由SKIPIF1<0及兩點(diǎn)間距離公式，可得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0①，（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，得SKIPIF1<0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段SKIPIF1<0的垂直平分線；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程①兩邊都除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化為標(biāo)準(zhǔn)形式即為：SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程是以SKIPIF1<0為圓心，半徑為SKIPIF1<0的圓．圖①圖②圖③【定理】SKIPIF1<0為兩已知點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的定比為SKIPIF1<0的內(nèi)外分點(diǎn)，則以SKIPIF1<0為直徑的圓SKIPIF1<0上任意點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0兩點(diǎn)的距離之比為SKIPIF1<0．證明：以SKIPIF1<0為例．如圖②，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，由相交弦定理及勾股定理得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0同時(shí)在到SKIPIF1<0兩點(diǎn)距離之比等于SKIPIF1<0的圓上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，SKIPIF1<0圓SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0兩點(diǎn)的距離之比恒為SKIPIF1<0．同理可證SKIPIF1<0的情形．3.阿波羅尼斯圓的相關(guān)結(jié)論【結(jié)論1】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)B在圓SKIPIF1<0內(nèi)，點(diǎn)A在圓SKIPIF1<0外；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)A在圓SKIPIF1<0內(nèi)，點(diǎn)B在圓SKIPIF1<0外．【結(jié)論2】因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的一條切線．若已知圓SKIPIF1<0及圓SKIPIF1<0外一點(diǎn)A，可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B，反之亦然．【結(jié)論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0．【結(jié)論4】過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為切點(diǎn)），則SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的內(nèi)、外角平分線．【結(jié)論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分SKIPIF1<0和外分SKIPIF1<0所得的兩個(gè)分點(diǎn)，如圖所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)分點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外分點(diǎn)，此時(shí)必有SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．證明：如圖①，由已知可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．由等角的余角相等可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．【結(jié)論6】過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0重合的弦SKIPIF1<0，則AB平分SKIPIF1<0．證明：如圖③，連結(jié)SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．二、蒙日?qǐng)A1.蒙日?qǐng)A的定義在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A，如圖1．證明：設(shè)橢圓的方程為SKIPIF1<0，則橢圓兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0交點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是蒙日?qǐng)A：SKIPIF1<0．①當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0斜率均存在且不為SKIPIF1<0時(shí)，可設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），過SKIPIF1<0的橢圓的切線方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由其判別式值為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是這個(gè)關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程的兩個(gè)根，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足方程SKIPIF1<0．②當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0有斜率不存在或斜率為SKIPIF1<0時(shí)，可得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0也在圓SKIPIF1<0上．綜上所述：橢圓SKIPIF1<0兩條互相垂直的切線SKIPIF1<0交點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是蒙日?qǐng)A：SKIPIF1<0．2.蒙日?qǐng)A的幾何性質(zhì)【結(jié)論1】過圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．證明：設(shè)SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由其判別式的值為0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是這個(gè)關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程的兩個(gè)根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【結(jié)論2】設(shè)SKIPIF1<0為蒙日?qǐng)AO：SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0．【結(jié)論3】設(shè)SKIPIF1<0為蒙日?qǐng)AO：SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0為原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0（垂徑定理的推廣）．【結(jié)論4】過圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，O為原點(diǎn)，則SKIPIF1<0平分橢圓的切點(diǎn)弦SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，由切點(diǎn)弦公式得到SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由點(diǎn)差法可知，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，如圖SKIPIF1<0是中點(diǎn)．【結(jié)論5】設(shè)SKIPIF1<0為蒙日?qǐng)ASKIPIF1<0SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，交蒙日?qǐng)AO于兩點(diǎn)C，D，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值SKIPIF1<0．【結(jié)論6】設(shè)SKIPIF1<0為蒙日?qǐng)ASKIPIF1<0上任一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0為原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的斜率乘積為定值：SKIPIF1<0．【結(jié)論7】設(shè)SKIPIF1<0為蒙日?qǐng)ASKIPIF1<0上任一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0為原點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．【結(jié)論8】設(shè)SKIPIF1<0為蒙日?qǐng)ASKIPIF1<0上任一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面上兩點(diǎn)，則滿足SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)的點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求點(diǎn)SKIPIF1<0所在圓SKIPIF1<0的方程.（2）已知圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)(點(diǎn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的左邊)，斜率不為0的直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0.【典例2】已知橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．（I）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0到橢圓SKIPIF1<0的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程．【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.阿波羅尼斯圓一、單選題1．我們都知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且該平面內(nèi)的點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．10 B．20 C．30 D．402．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0短軸的端點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0面積的最小值為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比SKIPIF1<0，那么點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為SKIPIF1<0，定點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸上一點(diǎn)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），那么點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離比為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．?dāng)?shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，得到動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是阿氏圓SKIPIF1<0.若對(duì)任意實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恒有公共點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)不共線時(shí)，則SKIPIF1<0C．在C上存在點(diǎn)M，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<07．已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為SKIPIF1<0的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為6的正方體SKIPIF1<0的一個(gè)側(cè)面SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題8．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．曲線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切C．曲線SKIPIF1<0被直線SKIPIF1<0截得的弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0D．曲線SKIPIF1<0上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的距離為19．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓．”后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有公共點(diǎn)C．曲線SKIPIF1<0被SKIPIF1<0軸截得的弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<010．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0，則（

）．A．軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．在SKIPIF1<0軸上存在異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)不共線時(shí)，射線SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線D．在SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<011．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)不共線時(shí)，則SKIPIF1<0C．在SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0三、填空題12．阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡方程是．13．阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為3，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的范圍為.14．阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最大時(shí)，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)為.15．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是滿足SKIPIF1<0的阿氏圓上的任一點(diǎn)，若拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與此阿氏圓相交所得的最長(zhǎng)弦與最短弦的和為.16．已知平面上兩定點(diǎn)A、B，則所有滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為SKIPIF1<0的圓．這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓．已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．四、解答題17．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為定值SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0無(wú)公共點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍.18．平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足SKIPIF1<0且k不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P滿足：SKIPIF1<0其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.(1)直線SKIPIF1<0上任取一點(diǎn)Q，作圓SKIPIF1<0的切線，切點(diǎn)分別為M，N，求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點(diǎn)并寫出該定點(diǎn)坐標(biāo).19．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)SKIPIF1<0與兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線SKIPIF1<0上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為SKIPIF1<0，定點(diǎn)分別為橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)SKIPIF1<0與右頂點(diǎn)SKIPIF1<0，且橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過右焦點(diǎn)SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方），點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的兩點(diǎn)，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的取值范圍；②將點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．2.蒙日?qǐng)A一、單選題1．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．則橢圓SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A的半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A為SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的蒙日?qǐng)A為SKIPIF1<0，則橢圓Γ的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．定義：圓錐曲線SKIPIF1<0的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線與橢圓相切于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為直角時(shí)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A為圓SKIPIF1<0，若圓SKIPIF1<0不透明，則一束光線從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，經(jīng)SKIPIF1<0軸反射到圓SKIPIF1<0上的最大路程是（

）A．2 B．4 C．5 D．86．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，其蒙日?qǐng)A方程為SKIPIF1<0，M為蒙日?qǐng)A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0面積的最大值為36，則橢圓SKIPIF1<0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形SKIPIF1<0的四邊均與橢圓SKIPIF1<0相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0 B．橢圓SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A方程為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為正方形，則SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0 D．長(zhǎng)方形SKIPIF1<0的面積的最大值為188．研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)圓叫做橢圓的蒙日?qǐng)A．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A的半徑．若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A為C：SKIPIF1<0，過C上的動(dòng)點(diǎn)M作SKIPIF1<0的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ交SKIPIF1<0于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．M到SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0D．若動(dòng)點(diǎn)D在SKIPIF1<0上，將直線DA，DB的斜率分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0二、多選題10．加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖乙）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓SKIPIF1<0相切，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為SKIPIF1<0 B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為SKIPIF1<0C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為SKIPIF1<0 D．長(zhǎng)方形R的面積最大值為1811．法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的兩條切線，分別與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則（

）A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0D．若動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，將直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<012．在橢圓SKIPIF1<0中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓SKIPIF1<0上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圓由法國(guó)數(shù)學(xué)家SKIPIF1<0最新發(fā)現(xiàn).若橢圓SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．橢圓SKIPIF1<0外切矩形面積的最大值為SKIPIF1<0B．點(diǎn)SKIPIF1<0為蒙日?qǐng)ASKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最大值時(shí)SKIPIF1<0C．過橢圓SKIPIF1<0的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)SKIPIF1<0，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0D．若橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，過橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0和原點(diǎn)作直線SKIPIF1<0與蒙日?qǐng)A相交于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<013．）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已