全國統(tǒng)考高考數(shù)學大一輪復習選修4-5不等式選講1備考試題文含解析

一輪復習精品資料(高中)PAGEPAGE1選修4-5不等式選講練好題·考點自測1.〖改編題〗若a,b,c∈R,且滿足|a-c|<b,給出下列結論:①a+b>c;②b+c>a;③a-c>b;④|a|+|b|>|c|.其中錯誤的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.〖2019浙江,16,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,則實數(shù)a的最大值是3.〖2017浙江,17,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=|x+4x-a|+a在區(qū)間〖1,4〗上的最大值是5,則a的取值范圍是4.〖2020全國卷Ⅱ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)當a=2時,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范圍.拓展變式1.〖2020全國卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)在圖1中畫出y=f(x)的圖象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.圖12.〖2018全國卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.3.〖2019全國卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.證明:(1)1a+1b+1c≤a2(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.4.〖2021湖南模擬〗已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|.(1)當a=1時,求不等式f(x)≤7的解集;(2)已知a>-1,且f(x)的最小值等于3,求實數(shù)a的值.答案選修4-5不等式選講1.A由題意得,a-c又|a-c|=|c-a|≥|c|-|a|,∴|c|-|a|<b=|b|,∴|a|+|b|>|c|.④正確.故選A.2.43f(t+2)-f(t)=〖a(t+2)3-(t+2)〗-(at3-t)=2a(3t2+6t+4)-2,因為存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,所以-23≤2a(3t2+6t+4)-2≤23有解.因為3t2+6t+4≥1,所以23(3t2+6t+4)≤a≤43(3t23.(-∞,92〗∵x∈〖1,4〗,∴x+4x∈〖4,5〗.分類討論:①當a≥5時,f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函數(shù)f(x)在區(qū)間〖1,4〗上的最大值為2a-4=5,∴a=92,舍去;②當a≤4時,f(x)=x+4x-a+a=x+4x≤5,此時符合題意;③當4<a<5時,〖f(x)〗max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},則|4-a|+a≥|5-a|+a4.(1)當a=2時,f(x)=7-2因此,不等式f(x)≥4的解集為{x|x≤32或x≥112(2)因為f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故當(a-1)2≥4,即a≥3或a≤-1時,f(x)≥4.當-1<a<3時,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值范圍是(-∞,-1〗∪〖3,+∞).1.(1)由題設知f(x)=-y=f(x)的圖象如圖D1所示.圖D1(2)函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)y=f(x+1)的圖象,如圖D2所示.圖D2由-x-3=5(x+1)-1,解得x=-76,故函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x+1)的圖象的交點坐標為(-76,-116).由圖D2可知當且僅當x<-76時,函數(shù)y=f(x故不等式f(x)>f(x+1)的解集為(-∞,-762.(1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,故不等式f(x)>1的解集為(12,+∞)(2)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立.若a≤0,則當x∈(0,1)時,|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集為(0,2a),所以2a≥1,故0<a綜上,a的取值范圍為(0,2〗.

〖易錯警示〗本題的易錯點有三個:一是零點分區(qū)間時,不注意端點值能否取到,導致結果出錯;二是不會轉化,如本題,不懂得利用x∈(0,1),把含雙絕對值的不等式恒成立問題轉化為含單絕對值的不等式恒成立問題;三是混淆不等式恒成立問題與不等式有解問題,導致所求的結果出錯.3.(1)因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,且abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2,當且僅當(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c當且僅當a=b=c時兩等號同時成立,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.〖方法技巧〗本題考查利用基本不等式證明不等式,對于本題第(1)問,證明的關鍵是利用“1”的代換.在利用基本不等式時需注意取等號的條件能否成立.4.(1)當a=1時,f(x)=|x+1|+2|x-1|.當x<-1時,f(x)≤7即-3x+1≤7,解得x≥-2,故-2≤x<-1.當-1≤x≤1時,f(x)≤7即-x+3≤7,解得x≥-4,故-1≤x≤1.當x>1時,f(x)≤7即3x-1≤7,解得x≤83,故1<x≤8綜上,f(x)≤7的解集為〖-2,83〗(2)因為a>-1,所以f(x)=-3作出y=f(x)的大致圖象,如圖D3所示.由y=f(x)的圖象知,f(x)min=f(a)=a+1=3,解得a=2,所以實數(shù)a的值為2.圖D3選修4-5不等式選講練好題·考點自測1.〖改編題〗若a,b,c∈R,且滿足|a-c|<b,給出下列結論:①a+b>c;②b+c>a;③a-c>b;④|a|+|b|>|c|.其中錯誤的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.〖2019浙江,16,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,則實數(shù)a的最大值是3.〖2017浙江,17,4分〗已知a∈R,函數(shù)f(x)=|x+4x-a|+a在區(qū)間〖1,4〗上的最大值是5,則a的取值范圍是4.〖2020全國卷Ⅱ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)當a=2時,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范圍.拓展變式1.〖2020全國卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知函數(shù)f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)在圖1中畫出y=f(x)的圖象;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.圖12.〖2018全國卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.3.〖2019全國卷Ⅰ,23,10分〗〖文〗已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.證明:(1)1a+1b+1c≤a2(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.4.〖2021湖南模擬〗已知函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|.(1)當a=1時,求不等式f(x)≤7的解集;(2)已知a>-1,且f(x)的最小值等于3,求實數(shù)a的值.答案選修4-5不等式選講1.A由題意得,a-c又|a-c|=|c-a|≥|c|-|a|,∴|c|-|a|<b=|b|,∴|a|+|b|>|c|.④正確.故選A.2.43f(t+2)-f(t)=〖a(t+2)3-(t+2)〗-(at3-t)=2a(3t2+6t+4)-2,因為存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,所以-23≤2a(3t2+6t+4)-2≤23有解.因為3t2+6t+4≥1,所以23(3t2+6t+4)≤a≤43(3t23.(-∞,92〗∵x∈〖1,4〗,∴x+4x∈〖4,5〗.分類討論:①當a≥5時,f(x)=a-x-4x+a=2a-x-4x,函數(shù)f(x)在區(qū)間〖1,4〗上的最大值為2a-4=5,∴a=92,舍去;②當a≤4時,f(x)=x+4x-a+a=x+4x≤5,此時符合題意;③當4<a<5時,〖f(x)〗max=max{|4-a|+a,|5-a|+a},則|4-a|+a≥|5-a|+a4.(1)當a=2時,f(x)=7-2因此,不等式f(x)≥4的解集為{x|x≤32或x≥112(2)因為f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|≥|a2-2a+1|=(a-1)2,故當(a-1)2≥4,即a≥3或a≤-1時,f(x)≥4.當-1<a<3時,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值范圍是(-∞,-1〗∪〖3,+∞).1.(1)由題設知f(x)=-y=f(x)的圖象如圖D1所示.圖D1(2)函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)y=f(x+1)的圖象,如圖D2所示.圖D2由-x-3=5(x+1)-1,解得x=-76,故函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x+1)的圖象的交點坐標為(-76,-116).由圖D2可知當且僅當x<-76時,函數(shù)y=f(x故不等式f(x)>f(x+1)的解集為(-∞,-762.(1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,故不等式f(x)>1的解集為(12,+∞)(2)當x∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時|ax-1|<1成立.若a≤0,則當x∈(0,1)時,|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集為(0,2a),所以2a≥1,故0<a綜上,a的取值范圍為(0,2〗.

〖易錯警示〗本題的易錯點有三個:一是零點分區(qū)間時,不注意端點值能否取到,導致結果出錯;二是不會轉化,如本題,不懂得利用x∈(0,1),把含雙絕對值的不等式恒成立問題轉化為含單絕對值的不等式恒成立問題;三是混淆不等式恒成立問題與不等式有解問題,導致所求的結果出錯.3.(1)因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,且abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2,當且僅當(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c當且僅當a=b=c時兩等號同時成立,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.〖方法技巧〗本題考查利用基本不等式證明不等式,對于本題第(1)問,證明的關鍵是利用“1”的代換.在利用基本不等式時需注意取等號的條件能否成立.4.(1)當a=1時,f