關(guān)于大學(xué)高數(shù)的練習(xí)題

大學(xué)高數(shù)練習(xí)題一、極限與連續(xù)1.計(jì)算下列極限：(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$(2)$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$(3)$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$2.判斷下列函數(shù)的連續(xù)性：(1)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\geq0\\x^2,&x<0\end{cases}$(4)$g(x)=\frac{1}{x}$3.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{1x^2}$在區(qū)間$[1,1]$上的連續(xù)區(qū)間。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)$y=x^33x+2$(2)$y=\ln(x^2+1)$(3)$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$2.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：(1)$f(x)=e^{2x}\sinx$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)(2)$g(x)=\frac{x}{1+x^2}$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)3.求下列函數(shù)的微分：(1)$y=\sqrt{1+4x^2}$(2)$y=\arctan(x^2+1)$三、積分與定積分1.計(jì)算不定積分：(1)$\int(3x^22x+1)dx$(2)$\int\frac{1}{x^2}dx$(3)$\inte^x\sinxdx$2.計(jì)算定積分：(1)$\int_{0}^{1}(2x+3)dx$(2)$\int_{1}^{1}x^3dx$(3)$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$3.求下列函數(shù)的弧長(zhǎng)：(1)$y=\sqrt{x}$，$0\leqx\leq1$(2)$y=\lnx$，$1\leqx\leqe$四、多元函數(shù)微分學(xué)1.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1)$z=x^2+y^2$(2)$z=\ln(xy)$(3)$z=\frac{x}{y}$2.求下列函數(shù)的全微分：(1)$u=x^2+3xy+y^2$(2)$u=\sin(x+y)$3.求函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,2)$處的方向?qū)?shù)。五、無(wú)窮級(jí)數(shù)1.判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$(2)$\sum_{n=1}^{\infty}(1)^n\frac{1}{n}$(3)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$2.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間：(1)$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$(2)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$3.求下列函數(shù)的泰勒展開(kāi)式：(1)$f(x)=e^x$在$x=0$處的泰勒展開(kāi)式(2)$f(x)=\sinx$在$x=0$處的泰勒展開(kāi)式六、常微分方程1.求下列微分方程的通解：(1)$y'+y=e^x$(2)$y''2y'+y=0$2.求下列微分方程的特解：(1)$y''+y=\sinx$(2)$y'+y=x^2$3.求下列初值問(wèn)題的解七、空間解析幾何與向量代數(shù)1.計(jì)算向量$\vec{a}=(2,1,3)$和向量$\vec=(1,4,2)$的：(1)和(2)差(3)數(shù)量積（點(diǎn)積）(4)叉積2.求向量$\vec{c}=(3,6,9)$的模長(zhǎng)和單位向量。3.判斷下列向量組是否線性相關(guān)：(1)$\vec{v}_1=(1,2,3)$，$\vec{v}_2=(2,4,6)$(2)$\vec{w}_1=(1,1,0)$，$\vec{w}_2=(0,1,1)$，$\vec{w}_3=(1,0,1)$八、線性代數(shù)1.解下列線性方程組：(1)$\begin{cases}x+2yz=4\\2xy+3z=6\\x+y+2z=7\end{cases}$(2)$\begin{cases}x+y+z=6\\2xy+3z=8\\3x+2yz=4\end{cases}$2.求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$的行列式。3.計(jì)算矩陣$B=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$的逆矩陣。九、復(fù)變函數(shù)1.計(jì)算下列復(fù)數(shù)的模和輻角：(1)$z=1+i$(2)$z=23i$2.求復(fù)數(shù)$z=3+4i$的共軛復(fù)數(shù)和逆復(fù)數(shù)。3.將復(fù)數(shù)$z=\frac{1}{1i}$表示為$a+bi$的形式。十、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，求$P(X=2)$。2.設(shè)隨機(jī)變量$X$和$Y$相互獨(dú)立，且$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,4)$，求$Z=X+Y$的分布。3.某車(chē)間工人加工一種零件，其尺寸服從正態(tài)分布，均值為25mm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5mm。求加工尺寸在24.5mm至25.5mm之間的概率。答案一、極限與連續(xù)1.(1)1(2)$e$(3)22.(1)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上連續(xù)(2)在$x\neq0$時(shí)連續(xù)3.連續(xù)區(qū)間為$[1,1]$。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.(1)$y'=3x^23$(2)$y'=\frac{2x}{x^2+1}$(3)$y'=\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$2.(1)$f'(0)=1$(2)$g'(1)=\frac{1}{2}$3.(1)$dy=\frac{4x}{\sqrt{1+4x^2}}dx$(2)$dy=\frac{1}{x^2+1}dx$三、積分與定積分1.(1)$\frac{x^3}{3}x^2+x+C$(2)$\frac{1}{x}+C$(3)$e^x(\sinx\cosx)/2+C$2.(1)4(2)0(3)23.(1)$\frac{2}{3}$(2)$2$四、多元函數(shù)微分學(xué)1.(1)$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$,$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$(2)$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{x}$,$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{1}{y}$(3)$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{y}$,$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{x}{y^2}$2.(1)$du=(2x+3y)dx+(3x+2y)dy$(2)$du=(\cosx\siny)dx+(\cosy\sinx)dy$3.在點(diǎn)$(1,2)$處的方向?qū)?shù)為$\nablaf(1,2)\cdot\vec{v}$，其中$\vec{v}$為方向向量。五、無(wú)窮級(jí)數(shù)1.(1)收斂(2)條件收斂(3)發(fā)散2.(1)$(1,1)$(2)$(1,1)$3.(1)$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$(2)$\sinx=\sum_{n=0}^{\infty}(1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$六、常微分方程1.(1)$y=Ce^{x}+\frac{1}{2}e^x$(2)$y=C_1e^x+C_2xe^x$2.(1)$y=\frac{1}{2}\cosx$(2)$y=x^2+\frac{2}{3}x+C$3.依賴(lài)于具體的初值條件，無(wú)法給出一般解。七、空間解析幾何與向量代數(shù)1.(1)$(3,3,5)$(2)$(3,5,1)$(3)3(4)$(5,10,5)$2.