初中幾何輔助線口訣

初中幾何輔助線口訣

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

圓

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內接圓，內角平分線夢圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。

解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。

分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線

作輔助線的方法

一、中點、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延

長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應

用某個定理或造成全等的目的。

二、垂線、分角線，翻轉全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而

旋轉180度，得到全等形,，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的

平分線。

三、邊邊若相等，旋轉做實驗。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定

的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有

時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。

四、造角、平、相似，和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形

有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；

第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！?/p>

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）

五、兩圓若相交，連心公共弦。

如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。

六、兩圓相切、離，連心，公切線。

如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內切），或相離（內含、外離），那么，輔助線往往是連

心線或內外公切線。

七、切線連直徑，直角與半圓。

如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件

中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助

線。

如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反,

條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角一一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。

八、弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。

如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。

如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助

線，反之，亦成立。

有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內角和圓外角也存在因果關系互相聯(lián)想作輔助線。

九、面積找底高，多邊變三邊。

如遇求面積，（在條件和結論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或

高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。

如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數(shù)學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種,

大多數(shù)為“面積找底高，多邊變三邊”。

具體技巧與輔助線添加

等腰三角形

1.作底邊上的高，構成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；

2.作一腰上的高；

3.過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行邊

2.垂直于下底，延長上底作一腰的平行線

3.平行于兩條斜邊

4.作兩條垂直于下底的垂線

5.延長兩條斜邊做成一個三角形

菱形

1.連接兩對角

2.做高

平行四邊形

1.垂直于平行邊

2.作對角線一一把一個平行四邊形分成兩個三角形

3.做高一一形內形外都要注意

矩形

1.對角線

2.作垂線

很簡單。無論什么題目，第一位應該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD....這類的就是想辦

法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC+BD=另一條AB,就好了。還有一些關于平方

的考慮勾股，A字形等。

解幾何題時如何畫輔助線？

①見中點引中位線，見中線延長一倍

在幾何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關

問題。

②在比例線段證明中，常作平行線。

作平行線時往往是保留結論中的一個比，然后通過一個中間比與結論中的另一個比聯(lián)系起

來。

③對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有

1、過上底的兩端點向下底作垂線

2、過上底的一個端點作一腰的平行線

3、過上底的一個端點作一對角線的平行線

4、過一腰的中點作另一腰的平行線

5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交

6、作梯形的中位線

7、延長兩腰使之相交

初中數(shù)學輔助線的添加淺談

人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的,當問題的條件

不夠時,添加輔助線構成新圖形,形成新關系,使分散的條件集中,建立

已知與未知的橋梁,把問題轉化為自己能解決的問題,這是解決問題常用

的策略。

一.添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們，相交后證交角為90°；證線段倍半關

系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，

添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖

形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有

規(guī)律可循。舉例如下：

（1）平行線是個基本圖形：

當幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的第

三條直線

（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角

形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三

角形。

（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線

組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關

系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三

角形斜邊上中線基本圖形。

(5)三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明

當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完

整三角形；當出現(xiàn)線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點

則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現(xiàn)線段倍

半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半

線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

(6)全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現(xiàn)

兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形

全等三角形：或添對稱軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現(xiàn)

一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形

全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行

線

(7)相似三角形:

相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線型，旋轉

型；當出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(中點可看成比為1)可添加平行線

得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段

為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。

(8)特殊角直角三角形

當出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，

利用45角直角三角形三邊比為1：1：V2；30度角直角三角形三邊比為1：

2：J3進行證明

(9)半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添

它所對弦…直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有

一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。

二.基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利

用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當?shù)霓D移，很容易地解決了

問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質

和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于

平分線段的一些定理。

方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采

用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分

等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有

某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、

垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方

形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

(1)連對角線或平移對角線:

(2)過頂點作對邊的垂線構造直角三角形

(3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造

線段平行或中位線

(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等

積三角形。

(5)過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加

適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的

添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

(1)在梯形內部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形內平移兩腰

(4)延長兩腰

(5)過梯形上底的兩端點向下底作高

(6)平移對角線

(7)連接梯形一頂點及一腰的中點。

(8)過一腰的中點作另一腰的平行線。

(9)作中位線

當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單

一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來

解決，這是解決問題的關鍵。

4.圓中常用輔助線的添法

在平面幾何中，解決與圓有關的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起

題設和結論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活

掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是

大有幫助的。

（1）見弦作弦心距

有關弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通過垂徑平分

定理，來溝通題設與結論間的聯(lián)系。

（2）見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用”直徑所對的

圓周角是直角"這一特征來證明問題。

（3）見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連結過切點的半徑，利用”切線與半徑

垂直"這一性質來證明問題。

（4）兩圓相切作公切線

對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通

過公切線可以找到與圓有關的角的關系。

（5）兩圓相交作公共弦

對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以

把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

作輔助線的方法

一：中或、中傳線，延線，平行線。

如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延

長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應

用某個定理或造成全等的目的。

二：垂線、分角線，翻轉全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而

旋轉180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的

平分線。

三：邊邊若相等，旋轉做實驗。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定

的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有

時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。

四:連角、平、相仞，和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形

有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；

第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！?/p>

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）

五：兩圓若相交，連心公共弦。

如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。

六：兩圓相切、離，連心，公切線。

如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內切），或相離（內含、外離），那么，輔助線往往是連

心線或內外公切線。

七：切線連直往，直角與半圓。

如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件

中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助

線。

如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，

條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角一一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。

八：孤、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。

如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。

如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助

線，反之，亦成立。

有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內角和圓外角也存在因果關系互相聯(lián)想作輔助線。

九：面東找底高，多邊變三邊。

如遇求面積，（在條件和結論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或

高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。

如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數(shù)學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種,

大多數(shù)為“面積找底高，多邊變三邊

三角形中作輔助線的常用方法舉例

一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點

或延長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三

角形三邊的不等關系證明，如：

例1：已知如圖IT：D、E為AABC內兩點，求證:AB+AOBD+DE+CE.

證明：(法一)將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,

在AAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;(1)

在△BDM中，MB+MD>BD；(2)

在ACEN中，CN+NE>CE；(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

AAB+AOBD+DE+EC

(法二：)如圖1-2,延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,

在4ABF和AGFC和AGDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF(三角形兩邊之和大于第三邊)(1)

GF+FOGE+CE（同上）..........................⑵

DG+GE>DE（同上）..............................（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

AAB+AOBD+DE+ECo

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連

接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，

小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：

例如:如圖2-1：已知D為△ABC內的任一點，求證:/BDCN/BAC。

分析I：—因為NBDC芻/BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，

可.適當添加輔助線構造新的三角形使/BDC處于在外角的位置,N

BAC處于在內角的位置;

證法一：延長BD交AC于點E,這時NBDC是AEDC的外角,

/.ZBDOZDEC,同理/DEO/BAC,/.ZBDOZBAC

證法二：連接AD,并延長交BC于F圖2—1

,/ZBDF是4ABD的外角

.\ZBDF>ZBAD,同理，ZCDF>ZCAD

ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD

即：ZBDOZBACo

注志:一利用二圓形處.角定理延.明不等關系吃，——通常.接大逸.放在某三角形的外角位置上，小

角―放在這個三更形的內圓位建上，弄和用不等式性質證明.。

三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構

造全等三角形，如：

例如:如圖3-1:已知蛆為△ABC的中線，且/l=/2,/3=N

4,求證:BE士CF2EF。

分析.：―要延BE±0F：>E匚,一旦利用巨■角形三邊關系定理匹明,…須

柢.BE,_CF,_EF.移到―同一個二圓及史,——近史匕知/]=/Z，_43=

/4,一_可在.角的西邊截取相等的線.段，…利坦二■角形全等對應邊相

等，把EN,FN,EF移到同一個二角形中。.

證明：在DA上截取DN=DB,連接NE,NF,則DN=DC,

在ADBE和ADNE中:

DN=輔助線的作法）

,-■<Zl=N2（已知）

ED=ED（公共邊）

.,.△DBE^ADNE（SAS）

；.BE=NE（全等三角形對應邊相等）

同理可得：CF=NF

在4EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

；.BE+CF>EF。

注意:當證也有用土會線時，?？煽寂霸诮堑奈鬟吔厝⑾嗟鹊木€段，構造全等三角形，然

后用全等三角形的性質得到對應元素相等。

四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。

例如：如圖4-1：AD為AABC的中線,且41=/2,/3=/4,…求證：BE+CF>EF

證明：延長ED至M,使DM=DE,連接

CM,MFo在ABDE和aCDM中,

BO=C。（中點的定義）

<Zl=（對頂角相等）

ED=（輔助線的作法）

A,ABDE^ACDM（SAS）

又,.?/1=N2,Z3=Z4（已知）

Zl+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定義）

.*.Z3+Z2=90o,即：NEDF=90°

/.ZFDM=ZEDF=90°

^EAEDF和△MDF中

ZO=M。（輔助線的作法）

ZEDF=（已證）

DF=（公共邊）

/.△EDF^AMDF(SAS)

/.EF=MF（全等三角形對應邊相等）

\?在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

/.BE+CF>EF

注：上題也可加倍FD,證法同上。

注意:…當涉及到有以線段史點為端息的線段時，―三通過延長史借此線段,構造全等三角

形,一.使題中分散的條件集中。.

五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。

例如:如圖5二1：埋為△鯉g的中線，求證:膽士ACN2他。

分析三要延AB±但：>2AD,__電圖_想到二AB.士BD>AD,AC±CD

>AD,所以有-AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左邊比要證

結迨務即±CD,拉丕熊直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD,即犯住中線，土所要證的

線段轉移到同一個二諭形里去。

證明：延長AD至E,使DE=AD,連接BE,則AE=2AD

：AD為aABC的中線（已知）

；.BD=CD（中線定義）

^EAACD和4EBD中

80=CD（已證）

ZADC=/ED3（對頂角相等）圖5—1

AD=E。（輔助線的作法）

/.AACD^AEBD（SAS）

.".BE=CA（全等三角形對應邊相等）

?在4ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

.?.AB+AC>2AD?

（常延長中線加倍，構造全等三角形）

練習：已知aABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角

三角形，如圖5-2,求證EF=2AD。

六、截長補短法作輔助線。

例如:…已知如圖6-1：在4起0中,蝴：>A（：,/1=/2,P為如上任一點。求證：AB-AC

>PB-PCo

殳析:一-果延:一一加一人。：>也-^0“__想至1利用二免修三邊關系.

定理證之,因為欲證的是線毯之差，古攵用西邊之差少于第

三邊，-_叢而想到枸造第二邊、AB—A°,__故可在_AB_上截里.AN

等于_Ag2__聾_AB—AC=BI\I,__---再連接.FN1--則一?0=叫,__區(qū)在4

PNB,PB-PN<BN,￡p：AB-AOPB-PC0

證明：（截長法）

在AB上截取AN=AC連接PN,在4APN和4APC中

'AN=AC（輔助線的作法）

Z1=/2（已知）

AP=AP（公共邊）

/.△APN^AAPC（SAS）

.*.PC=PN（全等三角形對應邊相等）

:在△BPN中，有PB—PNVBN（三角形兩邊之差小于第三邊）

.*.BP-PC<AB-AC

證明：（補短法）延長AC至M,使AM=AB,連接PM,

在4ABP和AAMP中

A8=AM（輔助線的作法）

1/1=/2（已知）

AP=AP（公共邊）

.".△ABP^AAMP（SAS）

；.PB=PM（全等三角形對應邊相等）

又?.?在4PCM中有：CM>PM—PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

.\AB-AC>PB-PC?

七、延長已知邊構造三角形：

例如:一如圖7T：已知AC=BD,ADJ_AC于A,BC_LBD于B,求證：AD=BC

殳析“欲證一AD=、BC,_一先延分別金釐AD;BC'的二圓形全等入有幾杜方重:__AADC與Z\BCD,_

△AOD與△BO。,△ABD,與ABAC,但根據(jù)現(xiàn)有條任，均無法證金等，差逸的相等，且此可談

法蚱出新的電,JLiE此用作為兩個三角修的公共圓。

證明：分別延長DA,CB,它們的延長交于E點,

VADXACBC±BD（已知）

/.ZCAE=ZDBE=90°（垂直的定義）

在ADBE與4CAE中

=（公共角）

??[/DBE=/CAE（已證）

=AC（已知）

.'.△DBE^ACAE(AAS)

.-.ED=ECEB=EA(全等三角形對應邊相等)

.?.ED-EA=EC-EB

即：AD=BCo

（當條件丕是時，國通過添加輔期線得出就的條件，為證您創(chuàng)造條件。）

八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。

例如：如圖.8-1：AB〃CD，_AD〃BC...求證：AB=CDo

殳析:圖為用邊形，我們長堂了三角形的有關卻遲，必須把它轉化為三角形表解決。

證明：連接AC（或BD）

VAB/ZCDAD/7BC（已知）

.*.Z1=Z2,Z3=Z4（兩直線平行，內錯角相等）

在△ABC與4CDA中

21=/2（已證）

：＜AC=CA（公共邊）

Z3=N4（已證）

/.△ABC^ACDA（ASA）

/.AB=CD（全等三角形對應邊相等）

九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

例如:如圖9-1：在母4鯉（：史,純=人品/84，=90。,/1=/2,￡旦工現(xiàn)的延長于旦一。

求證：BD=2CE

分析:一要證BD=2CE,想到要構造線段2CE，.回此Cg包

4ABe的平分線垂直，…想到是賢其.延長°

證明：分別延長BA,CE交于點F。

VBE1CF（已知）

.?.ZBEF=ZBEC=90°（垂直的定義）

在ABEF與4BEC中，

圖9—1

21=N2（已知）

:［臺石二3磯公共邊）

ZBEF=N8EC（已證）

.-.△BEF^ABEC（ASA）.-.CE=FE=-CF（全等三角形對應邊相等）

2一

VZBAC=90°BE±CF（已知）

.".ZBAC=ZCAF=90°Zl+ZBDA=90°Zl+ZBFC=90°

，NBDA=NBFC

在AABD與AACF中

ZBAC=ZCAF(3ffi)

<ZBDA=ZBFC(BVE)

A5=AC(已知)

AABD^AACF(AAS).\BD=CF(全等三角形對應邊相等)，BD=2CE

十、連接已知點，構造全等三角形。

例如:已知：如圖10-1；筑、現(xiàn)相交于°點,且線=r。,用=8。,求證：/4=/2。

分析:…要證：4A=ND,衛(wèi)證.它們所在的巨■角形△ABO.和ADCO全等，.而只有AB=DC和對頂角、

兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另爭其它的一三角形全等，由AB=DC,AC=

BD,_若連接、.BC,JjiJAABC和ADCB全等，…所以，…延得4A=/D。

證明：連接BC,在AABC和4DCB中

‘AB=DC(已知)

'?>《AC=03(已知)

BC=CB(公共邊)

AAABC^ADCB(SSS)

/.ZA=ZD（全等三角形對應邊相等）

d-一、取線段中點構造全等三有形。

例如:如圖Ji-1：AB=DC,/A=/D求證:N?C=NDCB。

分析—電AB=DC,_NA=/D,__想到如里AD的史點_N“連接_明，NC再由SAS.公理有AABN

空△DCN」——故..BN=CN,—./ABN=_4DgN?！ぎ嫹残柩觃4NBC=4NCB,.疊町、BC.的中點一連接

MN.則更_S§S.公理直ANBIVI空ANC此一回?以/NBC=_NNCB,。.問題得.延。.

證明：WAD,BC的中點N、M,連接NB,NM,NC。則AN=DN,BM=CM,在AABN和ADCN

'AN=DN（輔助線的作法）

中,；<ZA=/￡>（已知）

AB=0c（已知）

AABN^ADCN(SAS)

圖11—1

/.ZABN=ZDCNNB=NC（全等三角形對應邊、角相等）

在△NBM與aNCM中

NB=NC（已證）

7（輔助線的作法）

NM=NM（公共邊）

/.△NMB^ANCM,(SSS)ZNBC=ZNCB(全等三角形對應角相等)二/NBC+/ABN=/

NCB+ZDCN即/ABC=/DCB。

巧求三角形中線段的比值A

例1,如圖1,在AABC史，BD：DC=1：3,AE：ED=2；3,\

幽gG//T\\

nr\r

解：過點D作DG〃AC,交BF于點G

所以DG：FC=BD：BC

因為BD：DC=1：3所以BD：BC=1：4

即DG：FC=1：4,FC=4DG

因為DG：AF=DE：AE又因為AE：ED=2：3

所以DG：AF=3：2t

AF=-DG-DG

即3所以AF：FC=3：4DG=團\1：6

例2.如圖2,BC=CD,AF=FC，求EF：

解：過點C作CG〃DE交AB于點G,則有EF：GC=AF：AC

因為AF=FC所以AF：AC=1：2

EF=-GC

即EF：GC=1：2,2

因為CG：DE=BC：BD又因為BC=CD

所以BC：BD=1：2CG：DE=1：2即DE=2GC

13

2GC--GC=-GC

因為FD=ED—EF=22所以EF：FD=

13

-GC：-GC=1：3

22

小結:以上兩例中,箍助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點、

處,JL所作的輔助線與結彳侖史出現(xiàn)的線段生行。請再看兩例,讓我們感更其中的

奧妙！

例3.如圖3，BD：DC=1：3,AE：_期=2：3,求AF：FD。

解：過點B作BG〃AD,交CE延長線于點G。

所以DF：BG=CD：CB

因為BD：DC=1：3所以CD：CB=3：4

3

DF=-BG

即DF：BG=3：4,4

因為AF：BG=AE：EB又因為AE：EB=2：3

2

AF=-BG

所以AF：BG=2：3即3

3

所以AF：DF/-5G=8：9

4

例&如圖4，BD：DC三!：3,AF=FD,,求EF：FC-

解：過點D作DG〃CE,交AB于點G

所以EF：DG=AF：AD

因為AF=FD所以AF：AD=1：2

EF=-DG

即EF：DG=1：22

因為DG：CE=BD：BC,又因為BD：CD=1：3,所以BD：BC=1：4

即DG：CE=1：4,CE=4DG

17

4DG--DG=-DG

因為FC=CE—EF=22

17

-DG：-DG

所以EF：FC=22=1：7

練習:

1.Jingl5>BD=DC,AE：ED=1：5,求AF：FB。

2.JjnS6AD；,DB=1：3,AE：EC=3：1,BF：FCo

答案：1、1：10；2.9：1

BFC

初中幾何輔助線

初中幾何常見輔助線口訣

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉換，變?yōu)椤骱涂凇?/p>

平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。

上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

圓形

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。

注意點

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

二由角平分線想到的輔助線

口訣:

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相

等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。

①從角平分線上一點向兩邊作垂線；

②利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。

通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下

考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。

與角有關的輔助線

（一）、截取構全等

幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與

猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學們能

掌握相關的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地

去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以

介紹。

如圖IT,NAOC=NBOC,如取OE=OF,并連接DE、DF,則有△OEDg/^OFD,

從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

例L如圖1-2,AB〃CD,BE平分NBCD,

CE平分NBCD,點E在AD上，求證：BC=AB+CD。

分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構造全等三角形，即

利用解平分線來構造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證

明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段

或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線

段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的

線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。

簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達到證明

的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自己證明。此

題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于?點來證明。自己試一試。

例2.已知：如圖1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB,求證DCLAC

分析：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段

相等。其它問題自己證明。

例3.已知：如圖1-4,在AABC中，NC=2NB,AD平分NBAC,求證：AB-

AC=CD

分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明

中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的

和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的

線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的

延長來證明呢？

練習

1.已知在AABC中，AD平分NBAC,ZB=

2ZC,求證：AB+BD=AC

2.已知：在AABC中，ZCAB=2ZB,AE平分NCAB交BC于E,AB=2AC,

求證：AE=2CE

3.已知：在AABC中，AB〉AC,AD為NBAC的平分線，M為AD上任一點。

求證：BM-CM>AB-AC

4.已知：D是AABC的NBAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、

DCo求證：BD+CD>AB+ACo

（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等

過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明

問題。

例1.如圖2-1,已知AB〉AD,ZBAC=ZFAC,CD=BCo

求證：ZADC+ZB=180

分析：可由C向NBAD的兩邊作垂線。近而證NADC

與NB之和為平角。

例2.如圖2-2,在AABC中，ZA=90,AB=AC,ZABD=ZCBDo

求證：BC=AB+AD

分析：過D作DE±BC于E,則AD=DE=CE,則構造出

全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題,

從中利用了相當于截取的方法。

例3.已知如圖2-3,AABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：ZBAC

的平A站出文H占P

A4B3C2D1

2.已知在AABC中,ZC=90，AD平分NCAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3.已知：如圖2-5,ZBAC=ZCAD,AB>AD,CE±AB,

j_

AE=2(AB+AD).求證：ZD+ZB=180。

4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點,

F為BC

上的點，ZFAE=ZDAE0求證：AF=AD+CF。

5.已知：如圖2-7,在Rt^ABC中，ZACB=90,CD±AB,垂足為D,A

E平分NCAB交CD于F,過F作FH〃AB交BC于H。求證CF=BH。

圖2-7

（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形

從角的一邊上的一點作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形,

垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三

角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一

邊相交）。

例1.已知：如圖3T,ZBAD=ZDAC,AB〉AC,CDLAD于D,H是BC中點。

求證：DH=；（AB-AC）\

分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。/\c

圖示3TF

例2.已知：如圖3-2,AB=AC,ZBAC=90,AD為NAA,

BC的平分線，CELBE.求證：BD=2CEoe

圖3-2

分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線

與另外一邊相交，近而構造出等腰三角形。

例3.已知：如圖3-3在4ABC中，AD、AE分別NBAC的內、外角平分線,

過頂點B作BFAD,交AD的延長線于F,連結FC并延長/

交AE于M。

求證：AM=MEo

分析：由AD、AE是NBAC內外角平分線，可得EA

±AF,從而有BF〃AE,所以想到利用比例線段證相等。

例4.已知：如圖3-4,在4ABC中，AD平分NBAC,AD=AB,CMLAD交AD

延長線于M。求證：AM=—(AB+AC)

2

分析：題設中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作4AB

D關于AD的對稱AAED,然后只需證DM=‘EC,另外A

2

1E

由求證的結果AM=-(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可/\

2/\

嘗試作4ACM關于CM的對稱AFCM,然后只需證DF=C

F即可。

練習：

1.已知：在AABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點，AE是NBAC的平分

線，且CELAE于E,連接DE,求DE。

2.已知BE、BF分別是4ABC的NABC的內角與外角的平分線，AFXBF

于F,AELBE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=；BC

(四)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線

有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰

三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交,

從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。

c,A

H

GBC

圖4-2

圖4-1

例4如圖，AB>AC,Z1=Z2,求證：AB-AOBD-CDo

例5如圖，BOBA,BD平分NABC,且AD=CD,求證：ZA+ZC=180o

例6如圖，AB〃CD,AE、DE分另U平分NBAD各NADE,求證：AD=AB+CDO

練習：

1.已知，如圖，ZC=2ZA,AC=2BCo求證：AABC是直角三角形。

A

B

2.已知：如圖，AB=2AC,Z1=Z2,DA=DB,求證：DC±AC

3.已知CE、AD是AABC的角平分線，ZB=60°,求證：AC=AE+CD

4.已知：如圖在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線，求證:

BC=AB+AD

三由線段和差想到的輔助線

口訣：

線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法:

1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等

于另一條;

2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線

段等于長線段。

對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第

三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。

一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可

連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，

再運用三角形三邊的不等關系證明，如：

例1、已知如圖1-1：D、E為AABC內兩點，求證:AB+AOBD+DE+CE.

證明：（法一）

將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,

在3MN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）

在ABDM中，MB+MD>BD;（2）

在ACEN中，CN+NE>CE;（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

.-.AB+AC>BD+DE+EC

（法二：圖1-2）

延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G在3BF

和AGFC和AGDE中有:

AB+AF>BD+DG+GF(三角形兩邊之和大于第三邊)...(1)

GF+FOGE+CE（同上）（2）

DG+GE>DE（同上）（3）

由（1）+（2）+（3）得：

圖2—1

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

.-.AB+AC>BD+DE+ECO

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來

時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的

位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：

例如:如圖24：已知D為△ABC內的任一點,求證:/BDO/BAC。

因為NBDC與NBAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當

添加輔助線構造新的三角形，使NBDC處于在外角的位置，NBAC處于在內角

的位置；

證法一：延長BD交AC于點E,這時/BDC是AEDC的外角，

..NBDONDEC,同理NDEO