第三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽

初賽部分

復(fù)賽部分

決賽第一試

決賽第二試

團體決賽口試

初賽試題與解答

（1）光的速度是每秒30萬千米，太陽離地球1億5千萬千米。問：

光從太陽到地球要用幾分鐘（得數(shù)保留一位小數(shù)）？

［分析］知道距離和速度，求通過全程的時間，這是很容易做的一道題。

但是因為給出的數(shù)字很大，同學(xué)們在大數(shù)算術(shù)運算時一定要注意計量單

位，不然便會出錯。

［解法1］將距離單位換為“萬千米”，時間單位用“分”。

光速=30萬千米/秒=1800萬千米/分，

距離=1億5千萬千米=15000萬千米，

時間=距離?速度=1500091800

=8：（分）=8.3（分）.

［解法2］如果時間單位用“秒”，最后必須按題目要求換算為“分”.

光速=30萬千米/秒，

距離=15000萬千米,

時間=15000+30=500（秒），

500*60=8^8.3（分）.

答：光從太陽到地球約需8.3分鐘。

（2）計算

/1+1+Lx”?

,303563，7

［分析］這是一道很簡單的分數(shù)四則運算題，但要在30秒鐘內(nèi)算出正

確答案，需要平時養(yǎng)成簡捷的思維習(xí)慣。同學(xué)們可以比較一下后面的兩種

解法。

［解法1］先求出30,35,63的最小公倍數(shù)。30=2X3X5；35=5X7；

63=3X3X7；所以公倍數(shù)是2X3X3X5X7=630。原式通分，有

卬一21181015

,630630630，7

4915....

=——x—（約分）

6307,1

=6

（解法2）

原式=（-------1------1--------）X-

,2X3X55X73X3X7，7

21+18+1015

=-------------X—

2X3X3X5X77

491

-2X3X7X7-6

［注］兩種解法同樣都用到通分和約分的技巧，只有一點小區(qū)別：解

法2在通分時不急于把公分母算出來，而是邊算邊約分。這一點小小的不

同，卻節(jié)省了求連乘積的運算，約分也簡單些，使計算快了不少哩！

（3）有3個箱子，如果兩箱兩箱地稱它們的重量，分別是83公斤、

85公斤和86公斤。問：其中最輕的箱子重多少公斤？

［分析］如果將3個箱子按重量區(qū)分為大、中、小，在草稿紙上可以這

樣寫：

83=中+小，

85=大+小,

86=大+中.

這樣分析后，便很容易想到簡單的解法。

［解法1］(83+85+86)是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是

(83+85+86)X1-86=41(公斤)

［解法2］(83+85)=中+大+2*小，所以小箱重量=(83+85-86)X

)=41(公斤)

答：最輕的箱子重41公斤。

［注］我們當(dāng)然可以用列方程的方法求解這道題，例如設(shè)3箱的重量

分別是x,y,z,再列出方程。思維過程同上面的分析是一樣的，不過速

度可能會慢些。

(4)請將算式0.1+0.01+0.001的結(jié)果寫成最簡分數(shù)。

［分析］這一道題，主要是檢查同學(xué)們將循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的熟練程

度。

［解法］

1

J西S于一=-1+—+--1-

990900

100+10+1

900

_111

=900

37

=300

(5)將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個

圓柱組成一個物體。求這個物體的表面積。

0.5

［分析］我們知道，底面半徑r、高h的圓柱體表面積是S=2nr2+2

nrh.本題的物體由三個圓柱組成，如果分別求出三個圓柱的表面積，還

得注意減去重疊部分的面積,算起來便麻煩多了。但是仔細觀察后會發(fā)現(xiàn),

向上的三塊表面積之和恰好是大圓柱的一個底面面積，這樣便想到了簡單

的解法。

［解法］物體的表面積恰好等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱

的側(cè)面積。

2XITX1.52+2XnX1.5X1+2XJiX1X1+2XnX0.5X1

=4.5n+3n+2n+JI

=10.5n(平方米)

取n值為3,上式等于41.5(平方米)。

答：這個物體的表面積是41.5平方米。

［注］因為三個圓柱的高都是1米，所以求三個圓柱側(cè)面積之和時，

還可以再簡便些：

2nx(1.5+1+0.5)=6口。

中學(xué)生學(xué)過提取公因子知識，更應(yīng)該想到這樣簡化的算法。這小小的

簡化可以使計算時間縮短幾秒鐘，這在初賽時可是很有用的哩！

(6)一位少年短跑選手，順風(fēng)跑90米用了10秒鐘。在同樣的風(fēng)速

下，逆風(fēng)跑70米，也用了10秒鐘。問：在無風(fēng)的時候，他跑100米要用

多少秒？

［分析］順風(fēng)跑時的速度等于無風(fēng)時速度與風(fēng)速之和，逆風(fēng)跑時的速

度等于它們的差。這樣便可以根據(jù)題目給出的條件計算無風(fēng)時的速度，然

后再求出解答。

［解法1］

順風(fēng)時速度=90+10=9（米/秒），

逆風(fēng)時速度=70+10=7（米/秒），

無風(fēng)時速度=（9+7）xl=8（米/秒），

無風(fēng)時跑100米需要100+8=12.5（秒）.

答：無風(fēng)時跑100米需要12.5秒。

［解法2］當(dāng)然也可以列方程求解。

設(shè)風(fēng)速為v,無風(fēng)時跑100米需用x秒。那么無風(fēng)時跑速是二，它應(yīng)是

x

順風(fēng)跑的速度減去風(fēng)速V,或是逆風(fēng)跑時的速度加上風(fēng)速V。列出方

程

10090

10070

-------1-

X10

解方程，得x=12.5（秒），v=8（米/秒）.

［注］比較兩種解法，解法1直接快當(dāng)，解法2表達清楚，但花時間

多些。所以在初賽時，列方程求解往往要慢些。

（7）一個矩形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占矩形面積

的15%,黃色三角形的面積是21平方厘米。問：矩形的面積是多少平方

厘米？

15%

［分析］考察黃、綠兩個三角形，它們的底邊都等于矩形的一邊，它們

的高相加恰好等于矩形的另一邊，所以它們的面積之和等于矩形面積的一

半。

［解法1］黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50%,而

綠色三角形面積占矩形面積的15%,所以黃色三角形面積占矩形面積的

50%-15%=35%?已知黃色三角形面積是21平方厘米，所以矩形面積等

于21?35%=60（平方厘米）

［解法2］用記號S黃、S綠和S分別表示黃色三角形、綠色三角形和

矩形的面積，根據(jù)上面的分析知道

S黃+S年S/2,

或S黃=$/2-S綠.

題目給出

…3

=SX15%=——S,

綠20

--137

ms^=-s--s=-s,

S=^S=32x21=60（平方厘米）?

7s7

答：矩形面積是60平方厘米。

（8）有一對緊貼的傳動膠輪，每個輪子上都畫有一條通過軸心的標(biāo)

志線。主動輪的半徑是105厘米，從動輪的半徑是90厘米。開始轉(zhuǎn)動時,

兩個輪子上的標(biāo)志線在一條直線上。問：主動輪至少轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)后，兩輪的

標(biāo)志線又在一條直線上？

R=/asr—BD

主場憑、、..從動牝

Jr—go

R=/O5

［分析］我們將兩輪緊貼的點叫做接觸點。通過觀察不難看出，當(dāng)兩

輪各有一個標(biāo)志線端點在接觸點相遇時，兩輪的標(biāo)志線便會在同一直線

上。所以這道題是問：在開始轉(zhuǎn)動后，第一次出現(xiàn)有兩個標(biāo)志線端點同時

到達接觸點時，主動輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？

［解法1］兩個傳動膠輪的轉(zhuǎn)數(shù)與它們的半徑成反比，所以

主動輪轉(zhuǎn)數(shù)r906

從動輪轉(zhuǎn)數(shù)=記=礪一1

為了敘述方便，用m和n2分別代表主動輪和從動輪標(biāo)志線端點通過

接觸

點的次數(shù)。因為主動輪和從動輪都是每轉(zhuǎn)9轉(zhuǎn)就有一個標(biāo)志線端點通過接觸

點，所以

nj_6

n27

當(dāng)主動輪標(biāo)志線第6次通過接觸點時，從動輪標(biāo)志線端點恰好通過接

觸點7次，這時主動輪轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。

［解法2］主動輪標(biāo)志線兩端點間的圓弧長恰是半個圓周，即“R,從

動輪標(biāo)志線兩端點間的圓弧長是“r,它們的比是

nR：nr=R:r=105:90,

求兩個標(biāo)志線端點同時到達接觸點的問題，可以化成求105和90的

公倍數(shù)問題。它們的公倍數(shù)是630,630+105=6。所以主動輪轉(zhuǎn)了6個半

圈，即轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。

答：主動輪轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。

(9)小明參加了四次語文測驗，平均成績是68分。他想在下一次語

文測驗后，將五次的平均成績提高到70分以上，那么，在下次測驗中，

他至少要得多少分？

［分析］對于這道題，只需知道總分=平均分X次數(shù)，便很容易做出來。

［解法1］要想五次測驗平均成績至少70分，那么五次總分至少是70

X5=350分。前四次總分是68X4=272分，所以第五次測驗至少要得

350-272=78分。

［解法2］要從平均68分提高到至少70分，前四次測驗總分少了

（70-68）X4=8分。所以第五次至少要得70+8=78分。

答：第五次測驗至少要得78分。

［注］比較兩種解法，解法2當(dāng)然要簡便些。在初賽和決賽口試時，

時間很寶貴。即使是簡單的題目，也要用盡量快捷的方法，以便贏得哪怕

是幾秒鐘的時間。

北京市一位小同學(xué)來信對這道題的敘述提出意見：“將五次的平均成

績提高到70分以上”究竟是否包含70分？這意見提得很好。為了表達更

明確，這句話應(yīng)改為“將五次的平均成績提高到最少70分。”謹向那位

小同學(xué)致謝。

（10）圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個數(shù)與黑色小三角

形的個數(shù)之比。

［分析］一看到題目，當(dāng)然會先試試計算黑、白兩種小三角形的個數(shù),

這是很容易做到的。

［解法］

白色小三角形個數(shù)=1+2+…+6="--~-=21,

黑色小三角形個數(shù)=1+2+…+7=~j一=28,

所以它們的比

284

答：白色與?黑色小三角形個數(shù)之比是3:。

4

［思考］用同樣的圖形，可以問不少有趣的計數(shù)問題。例如：設(shè)小三

角形面積為1,那么在圖中面積為4（或9,或16）的三角形有多少個？

你能想出簡便的算法嗎？

(11)下面的算式里，每個方框代表一個數(shù)字。問：這6個方框中的

數(shù)字的總和是多少？

□□□

+□□□

1991

［分析］像這樣類型的題目，一般都要先抓住式中的某些特點，確定

其中的一、兩個數(shù)字，再逐步推斷其余的數(shù)，最后給出解答。

［解法1］每個方框中的數(shù)字只能是。?9,因此任兩個方框中數(shù)字之

和最多是18?，F(xiàn)在先看看被加數(shù)與加數(shù)中處于“百位”的兩個數(shù)字之和。

這個和不可能小于18,因為不管它們后面的兩個二位數(shù)是什么，相加后

必小于200,也就是說最多只能進1。這樣便可以斷定，處于“百位”的

兩個數(shù)字之和是18,而且后面二位數(shù)相加進1。

同樣理由，處于“十位”的兩個數(shù)字之和是18,而且兩個“個位”

數(shù)字相加后進1。因此，處于“個位”的兩個數(shù)字之和必是11。

6個方框中數(shù)字之和為18+18+11=47o

［解法2］被加數(shù)不會大于999,所以加數(shù)不會小于1991-999=992。

同樣，被加數(shù)不會小于992。也就是說，加數(shù)和被加數(shù)都是不小于992,

不大于999的數(shù)。這樣便確定了加數(shù)和被加數(shù)的“百位”數(shù)字和“個位”

數(shù)字都是9,而兩個個位數(shù)字之和必是11。

9X4+ll=47o

答：總和為47o

(12)在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？

［分析］適合要求的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字。試將它們列

出來：

十位數(shù)字個位數(shù)字

10

20,1

30,1,2

90,1,2,…，8

一找出規(guī)律，便很容易求出答案了。

［解法］適合要求的兩位數(shù)共有

(1+9)X9

l+2+3+-+9=-~~之—=45.

答：這樣的兩位數(shù)共有45個。

(13)有甲、乙兩個同樣的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛滿了

含50%酒精的溶液。先將乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，攪勻后，再

將甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。問這時乙杯中的酒精是溶液的幾分之

幾？

［分析］對這類關(guān)于濃度計算的問題，只要能搞清楚溶質(zhì)(這里是酒

精)含量和溶液總量的變化，便很容易解決。

［解法］列出每一次變化時二杯中溶液總量和酒精含量的數(shù)值：

甲杯乙杯

總量(杯)含酒精(杯)總量含酒精

開始時1011

22

第一次111111

-X-=一■—

22424

第二次11111113

—X—=—-4--■="

2428488

最后，乙杯酒精量是溶液總量的《+1='

OO

答：乙杯的酒精是溶液的器

O

(14)射箭運動的箭靶是由10個同心圓組成，兩個相鄰的同心圓半

徑之差等于最里面的小圓半徑。最里面的小圓叫做10環(huán)，最外面的圓環(huán)

叫做1環(huán)。問：10環(huán)的面積是1環(huán)面積的幾分之幾？

［分析］10環(huán)部分是一個圓，I環(huán)部分是一個圓環(huán)，面積都很容易計

算。雖然題目沒有給出各圓的半徑，但因為只問面積比，所以知道各圓半

徑的關(guān)系便足夠了。

［解法］設(shè)10環(huán)小圓半徑r=l,那么1環(huán)的外圓半徑是10,內(nèi)圓半

徑是9。

10環(huán)面積=Jir2=口

1環(huán)面積=nXIO2-nX92=19n，

兀_1

19K=19

答：10環(huán)面積是1環(huán)面積的

［思考］如果進一步去思考，這個箭靶中還會有不少數(shù)學(xué)問題哩！例

如設(shè)10環(huán)面積是1,那么很容易算出10,9,8,…，2,1環(huán)的面積依

次是1,3,5,…，17,19,是一串很有規(guī)律的奇數(shù)，你能想出其中的

道理嗎？

華羅庚爺爺曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，

地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！比绻愀矣谒伎?，善

于思考，光是在體育競賽項目中，你就會發(fā)現(xiàn)許許多多美妙的數(shù)學(xué)問題。

(15)王師傅在某個特殊崗位上工作、他每上8天班后，就連續(xù)休息

2天。如果這個星期六和星期天他休息，那么，至少再過幾個星期后他才

能又在星期天休息？

［分析］這個星期六和星期天休息，下次休息星期天可能有兩種情況:

或者在星期六和星期天休息，或者在星期天和星期一休息。我們要注意對

這兩種情況分別討論。

［解法］在第一種情況，相當(dāng)于每隔9天休息1天，問什么時候再休

息星期天？這是求7與10的最小公倍數(shù)問題。它們的最小公倍數(shù)是70,

而70-?7=10,所以要再過10周才會又在星期六和星期天休息。

在第二種情況下，假如再過n周后休息星期天和星期一，那么7n+l

應(yīng)是10的倍數(shù)，所以n只能是7,17,27,…，n至少是7。

綜合兩種情況，便能得到答案。

答：至少再過7周。

［思考］將題目略為改動一下，變成：“每上8天班連續(xù)休息3天，

這個星期五、六、日休息。”其它依舊。問題便稍為復(fù)雜一些，你會解嗎？

復(fù)賽試題與解答

1.計算：

（31+4375）+1,

［分析］分數(shù)、小數(shù)合在一起的四則運算，是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要訓(xùn)練內(nèi)容，要

求算得準、算得快。這個題目，是用繁分的形式給出了加、減、乘、除的混合運

算，它的另一個形式是

埠一|、2后）+［3》+4.375］+19羨

算這個題時，要注意兩點：

（1）在乘、除運算中，代分數(shù)要化為假分數(shù)，及時約分；

（2）在加、減運算中，如果分數(shù)、小數(shù)同時出現(xiàn)，要么都化為分數(shù)，要么

都化為小數(shù)。

［解法1］

212v33

存式_8314

麻八，一3735179

'128,9

21_H

"§"一＞

一T799-

-----X------

24179

[解法2]

21233

---------X—

原式=J3：與

1128，179

21_11_

T-Tv56

-X

179v956

24179

147-88

=~21-

［注］兩種方法的共同之處是在前兩步中，都將乘、除運算中的帶分數(shù)化

成了假分數(shù)，及時進行了約分；將4375化成了分數(shù)3名5，這兩步很關(guān)鍵。兩

O

種方法的不同之處是解法1運用了乘法對加法的分配律，解法2則是采用了

化簡繁分式的通常方法一一分子、分母乘以同一個不為零的數(shù)。這里，還要

1121757

指出：----3的小數(shù)形式0.5,0.25,0.75,0.125,

244oooo

0.375,0.625,0.875,一定要很熟悉，在具體計算時，可以節(jié)省時間。

2.某年的10月里有5個星期六，4個星期日。問：這年的10月1日是星

期幾？

［分析］這個題目，主要考查邏輯推理能力。解決這個題的關(guān)鍵是要判定：

10月里的第一個星期六或者第一個星期日是10月幾日？這個問題一解決，10

月1日是星期幾就很容易推算出來。當(dāng)然，解這個題，還應(yīng)當(dāng)知道：10月是大

月，有31天。我們知道，一年中的大月是1月、3月、5月、7月、8月、10月、

12月。人們會發(fā)現(xiàn)其中的不協(xié)調(diào)：到7月為止，都是單月為大月，但后面卻突

然改雙月為大月了。為什么這么改呢？這里還有一段故事呢！原來，現(xiàn)在的歷法,

開始制定于古羅馬時代。當(dāng)時，有一個羅馬皇帝，叫奧古斯特，他出生于8月，

為了顯示他的不平凡和尊貴，下令將8月改成大月，于是后面的雙月都是大月了，

這個劃分一直沿用至今，在英語中，8月是August,讀出來就是“奧古斯特”。

［解法1］10月有31天，而31=4X7+3,所以，這個月有4個星期零3天。

要判定10月1日是星期幾，可以先推算這個月的第一個星期六是幾日：

如果10月1日是星期六，那么10月2日、9日、16日、23日、30日都是

星期日，出現(xiàn)了5個星期日，與題設(shè)的“10月里有…4個星期日”不符，所以

10月1日不是星期六。用同樣的方法，可以推算出10月2日也不是星期六。

如果10月3日是星期六，那么，10月4日、11日、18日、25日是星期日，

恰好有4個星期日，符合題目條件。倒推回去，可以知道10月1日是星期四。

［解法2］可以先判定10月里的第一個星期日是10月幾日。請少年朋友們

自己去完成。

［注］從解法1,我們可以清楚地看出來，問題的解決是以判定10月里第一

個星期六是10月幾日為突破口的，所使用的方法，叫做反證法，這是很重要的

數(shù)學(xué)方法。少年朋友們盡可能及早熟悉這個方法。止匕外，還應(yīng)該指出：除了判定

10月里的第一個星期六或星期日是10月幾日之外，也可判定第一個星期五、星

期四……星期一是10月幾日。

3.電子跳蚤每跳一步，可從一個圓圈跳到相鄰的圓圈。現(xiàn)在，一只紅跳蚤

從標(biāo)有數(shù)字“0”的圓圈按順時針方向跳了1991步，落在一個圓圈里。一只黑跳

蚤也從標(biāo)有數(shù)字“0”的圓圈起跳，但它是沿著逆時針方向跳了1949步，落在另

一個圓圈里。問：這兩個圓圈里數(shù)字的乘積是多少？

［分析］認真讀兩遍題，仔細研究一下右邊的圖，便不難發(fā)現(xiàn)：不管是紅跳

蚤、還是黑跳蚤，不管它們是從哪一個圓圈起跳，只要是沿著一個方向跳，每一

步都跳到相鄰的圓圈中，那么，一共12個圓圈，跳12步就回到開始起跳位置，

又重復(fù)進行前面的過程，這樣，不管它跳的步數(shù)有多么大，只要算出跳了多少圈

（這個圈是指大圓圈）又多少步，就知道它落在標(biāo)有數(shù)字多少的圓圈中了。當(dāng)然,

要注意它跳的方向。

［解］電子跳蚤每跳12步就回到了原來位置。

1991=165X12+11

，紅跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“0”的圓圈出發(fā)，按順時針方向跳了1991步時，是跳

了165個12步后跳到了標(biāo)有數(shù)字“11”的圓圈。

同理，由1949=165X12+5知道黑跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“0”的圓圈按順時針方向

跳了162個12步后跳到了標(biāo)有數(shù)字“7”的圓圈。

，所求的乘積是11義7=77。

答：乘積是77。

［思考］電子跳蚤“每跳12步回到原來位置”，這是一種周期變化。在日常

生活中有周期現(xiàn)象的事物還有許多，如：一周是7天，一天是24小時，一年是

12個月，又如：鐘擺的運動，日、月的運動等，研究周期現(xiàn)象，也是數(shù)學(xué)的一

個重要任務(wù)呢！

這個題目，還可以變得更復(fù)雜一些，如：電子跳蚤跳步時有這樣的周期性：

第一步跳1個小圓圈（即到相鄰圈），第二步跳2個小圓圈（即到隔1個圈的小

圓圈處），第三步跳3個小圓圈（即到隔2個圈的小圓圈處），如此重復(fù)下去，……

其它條件同原題一樣，那么，怎么解呢？相信少年讀者們能自己解決。

4.173口是個四位數(shù)字.數(shù)學(xué)老師說：“我在這個口中先后填入3個數(shù)字，

所得到的3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3

個數(shù)字的和是多少？

（分析）解這個題的關(guān)鍵是：怎樣的自然數(shù)，才能被9整除？被11整除？

被6整除？這里，要注意：被6整除，就是被2和3整除------定是被3整除的

偶數(shù)。

（解）?.?能被9整除的四位數(shù)的各位數(shù)字的和是9的倍數(shù)，并且四位數(shù)173

口的數(shù)字的和是

1+7+3+口=11+口，

口內(nèi)的數(shù)字最大不超過9,

，口內(nèi)只能填7.

???能被11整除的四位數(shù)的個位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所

得到的差是11的倍數(shù)。

（7+口）-（1+3）=3+口

應(yīng)是11的倍數(shù)。

?.?□內(nèi)的數(shù)字最大不超過9,

，口內(nèi)只能填8。

???能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù)，并且數(shù)字和是3的倍數(shù)，而

1+7+3+口=11+口

???口內(nèi)只能填4。

7+8+4=19

答：所求的和是19。

（注）這個題目中，考查了能被9,11,6整除的三類自然數(shù)的特征。下面

給出能被2、4、5、7、8整除的自然數(shù)的特征：

如果自然數(shù)A能被自然數(shù)a整除，我們就寫作alA.下面就用這個符號來

說明問題一一

當(dāng)A的個位數(shù)字是0、2、4、6、8這五個數(shù)中的一個時，2IA；

當(dāng)A的最后兩位數(shù)是4的倍數(shù)時，4IA；

當(dāng)A的個位數(shù)字是0或5時，則5IA；

當(dāng)去掉A的個位數(shù)字后得到的新數(shù)與A的個位數(shù)字的2倍的差是7的倍數(shù)時,

7IA；

當(dāng)A的最后三位數(shù)是8的倍數(shù)時，8|A.

上面這些結(jié)論，少年朋友們要盡可能記住。

5.我們知道:9=3X3,16=4X4,這里，9、16叫做“完全平方數(shù)”，在前

300個自然數(shù)中，去掉所有的“完全平方數(shù)”，剩下的自然數(shù)的和是多少？

(分析)這個題目并不難，只要仔細地找出不超過300的自然數(shù)中的“完全

平方數(shù)”，求出它們的和，再從前300個自然數(shù)的總和中減去這個和，就得到結(jié)

果了。

(解)不超過300的完全平方數(shù)，有：

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,

289.它們的和是1785?

前300個自然數(shù)的和是

1+300

1+2+3+…+300=(――)X300=45150

45150-1785=43365.

答：剩下的自然數(shù)的和是43365。

(思考)上面的解法中，求前300個自然數(shù)的和，用的是少年朋友們十分熟

悉的少年時代的高斯的算法。即：

如果n是自然數(shù)，那么，

1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=-y-xn.

用這個公式去算

1+2+3H---F298+299+300,當(dāng)然比逐個累加要快得多了！由此，少年

朋友們很容易會想到：

求—+3T---H5+1&+17：

有沒有公式呢？

答案是：有！這就是

3+/”+八的上始”

6

用這個公式算不超過300的完全平方數(shù)的和是很容易的：

,,.217X18X35

12+22+32-+172=----------=51X35=1785

這個公式的推導(dǎo)，只要用一個公式

(x+1)3=xs+3x;+3x4-1

就可以了：在這個公式中，我們依次用1,2,3,…，n-2,n-1,n去替換

x,得到n個等式

23=h+3-1-+3?1+1

33=23+3?7+3?2+1

43=33+3?34-3?3+1

(n—1)3=(n—2)3+3(n-2):+3(n—2)+1

n3=(n-l)3+3(n~l)2+3(n-l)+1

(n+1)3=n3+3n，+3n+1

將這n個等式加起來，那么

等式的左邊="+23+33+…+n3+(n+1)3,

等式的右邊包含四部分：

第一歹I」的和是13+23+33+—I-(n—1)s+n3；

第二列的和是3(1。+2,+33+…+n"),讀者已經(jīng)看到，括號里正是要推導(dǎo)

的公式的左邊；

第三列的和是3(1+2+3+…+n),這就是

3.n(n+1)

-2~

第四列的和是n個1相加，當(dāng)然得n.

根據(jù)加、減法的概念，可以得到

(n+1)3=儼+3(l2+22+32+-+n2)+3?

也就是

n3+3n2+3n+l=l3+3(l2+22+32+-+n2)+包產(chǎn)+n,

從這個等式中，可以得到

l2+2--+32+-+n2

n3+3n2+3nn2+nn

323

3

2n+3n2+n

6

_n(n+l)(2n+l)

二6

以上的推導(dǎo)過程中，用到初中代數(shù)的一些知識，少年朋友可能有不懂之處，

那么，可以去請教自己的數(shù)學(xué)老師.

6.如圖，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2

厘米的正方形，然后，沿虛線折疊成長方體容器。這個容器的體積是多少立方厘

米？

（分析）這是一個極其簡單的體積計算題，相信每位少年朋友都能正確地求

出結(jié)果。

（解）容器的底面積是

（13-4）X（9-4）=45（平方厘米）,

高為2厘米，所以容器的體積是

45X2=90（立方厘米）.

答：容器的體積是90立方厘米。

7.在射箭運動中，每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶），或者是不超

過10的自然數(shù)。甲、乙兩名運動員各射了5箭，每人5箭得到的環(huán)數(shù)的積都是

1764,但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙的總環(huán)數(shù)。

(分析)這個題目，有一定的難度，難在題目的已知條件與要求的結(jié)果之間

的關(guān)系不那么明顯。遇到這種情況，心里要平靜，要集中精力仔細地分析題目中

的條件。

題目告訴我們：

每射一箭的環(huán)數(shù)，只能是下列11個數(shù)中的一個

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

而甲、乙5箭總環(huán)數(shù)數(shù)的積1764W0,這說明在甲、乙5箭得到的環(huán)數(shù)里沒

有“0”和“10”，而

1764=1X2X2X3X3X7X7

是由5箭的環(huán)數(shù)乘出來的，于是推知每有兩箭中的環(huán)數(shù)都是“7”，從而可

知另外3箭的環(huán)數(shù)是5個數(shù)

1,2,2,3,3

經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆纸M之后相乘而得到的，讀者不難分析出可能的情形有5種：

(1)1,4,9；

(2)1,6,6；

(3)2,2,9；

(4)2,3,6；

(5)3,3,4o

下面、只要根據(jù)甲、乙的總環(huán)數(shù)之差是4這一條件即可求出結(jié)果了。

(解)???每人的環(huán)數(shù)的積=1764W0,

兩人每箭射中的環(huán)數(shù)里沒有“0”和“10”.

每箭射中的環(huán)數(shù)都是1764的因子，而

1764=1X2X2X3X3X7X7,

并且環(huán)數(shù)是不超過10的自然數(shù).?.必有兩箭是7環(huán)，其它3箭的環(huán)數(shù)是

1?2?2?3?3因子。

如果最小的因子是1,那么，另外兩個因子是4、9或者是6、6；

如果最小的因子是2,那么，另外兩個因子是2,9或者是3、6；

如果最小的因子是3,那么，另外兩個因子是3、4o

因此，兩人5箭的環(huán)數(shù)有5種可能:

7,7,1,4,9,和=28；

7,7,1,6,6,和=27；

7,7,2,2,9,和=27；

7,7,2,3,6,和=25；

7,7,3,3,4,和=24；

?.?甲、乙的總環(huán)數(shù)相差4,甲的總環(huán)數(shù)少,

甲的總環(huán)數(shù)是24,乙的總環(huán)數(shù)是28。

答：甲、乙的總環(huán)數(shù)分別是24、28o

（注）1990年，第十一屆亞運會在我國首都北京舉行，我們中國人民為此

感到驕傲，全國的少年朋友們當(dāng)然更是歡欣鼓舞。為了紀念這件事，第三屆華杯

賽主試委員會立意要編幾個與體育比賽有關(guān)的題目，復(fù)賽部分的第七、八、十五

題正是在這樣的目的下編出來的。

8.下圖中有6個點，9條線段.一只甲蟲從A點出發(fā)，要沿著某幾條線段

爬到F點。行進中，同一個點或同一條線段只能經(jīng)過1次。這只甲蟲最多有多少

種不同的走法？

（分析）可以用分類的思想解這個題：甲蟲由A出發(fā)只有3種走法，即先走

AB；先走AE；先走AD。

往下，再作類似的分析，即可求解。

（解）從A點出發(fā)，經(jīng)過的第一條線段，有3種可能（1）AB；（2）AE；（3）

ADo

在每一種可能情形下，各有3種走法。所以，一共有3X3=9種走法.

答：共有9種走法。

（注）這個題目已經(jīng)簡化了，原來出的題要復(fù)雜一些：仍是6個點，但是多

了兩條線段（如圖）。

XX

DEF

請少年朋友自己做吧。

9.下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點（共

同的頂點算一個），以其中不在一條直線上的3個點為頂點，可以構(gòu)成三角形。

在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？

1分析）解決這個問題，主要是運用兩個結(jié)論：

（1）同底等高的兩個三角形的面積相等。

（2）平行的兩條直線間的距離處處相等。

（解）設(shè)原正方形的邊長是3,則小正方形的邊長是1,陰影三角形的面積

是

1?2?3=3

2

所求的三角形可分兩種情形：

（1）三角形的一邊長2,這邊上的高是3。這時，長為2的邊只能在原正方

形的邊上，這樣的三角形有

2X4X4=32（個）；

（2）三角形的一邊長3,這邊上的高是2,這時，長為3的邊是原正方形的

一邊或平行于一邊的分割線。其中，與（1）重復(fù)的三角形不再算入，這樣的三

角形有

8X2=16（個）

答：所求的三角形共48個（包括圖中開始給出的三角形）.

（注）解這個題目，容易出現(xiàn)兩種錯誤，一是“少”：如忽略了底是3、高

是2的三角形，這樣就少了16個；二是“多”：在計算底是3、高是2的三角

形時，沒有考慮其中有16個在情形（1）中已經(jīng)計算了，于是得出錯誤結(jié)果：54.

10.已知:

1

s=-ii—

----+----++..?.??+----

198019811982-----------1991

求：S的整數(shù)部分。

〔分析）這個題目看起來是不好下手的，顯然不能對分母中的12個分數(shù)進

行通分求和，那實在是太繁了。

由于題目只要求S的整數(shù)部分,所以只要知道S在哪兩個整數(shù)之間就可以了。

困難在于S的分母含有12個分數(shù)，太多了！必須設(shè)法減少分數(shù)的個數(shù)！

我們發(fā)現(xiàn)：

1980198119821991

干是----+----+-----+...+----

1980198119821991

<------+-------+-------1-…H---------

1980198019801980

12_1

1980=165

并且-------+--------+--------+???+--------

1980198119821991

--------1--------+K

199119911991--------1991

12

'1991

這樣，就知道S的分母在福和士之間，也就知道S在16年口粵=165萼

之間，于是，達到了目的！

（解）根據(jù)“一個分數(shù)，當(dāng)分子不變而分母變大時，分數(shù)值變??；如果分子

不變而分母變小時，分數(shù)值變大?！边@個原理，可以知道

------+------+-------+???+------

1980198119821991

>12X1991=1997

/.S>-4-=165并且S<譬=165^-

11212

165

AS的整數(shù)部分是165O

（思考）上面的解法中，主要是運用了“放”、“縮”的思想，這個思想很

有用。本題中是用來進行數(shù)值估計。下面是兩個類似的題，讀者自己練習(xí)：

（1）己知S=1——p---------—,求S的整數(shù)部分.

+----+???+

198119822000

（2）請在下面等式的方框中填上相同的一個自然數(shù)，使等式成立:

11113

-------+--------+--------=——

1+□3+口5+口24

11.今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍。幾年后，祖父的年齡將

是小明的年齡的5倍。又過幾年以后，祖父的年齡將是小明的年齡的4

倍。求：祖父今年是多少歲？

（分析）當(dāng)小明剛一出生、祖父與他就有了年齡差，隨著祖孫兩人年

齡的增長，祖父與小明的年齡的比值逐漸變小，但年齡差始終保持不變，

這是一。

說“祖父的年齡是小明的年齡的a倍”，實際就是說“祖父與小明的

年齡差是小明年齡的（aT）倍"，因為小明的年齡是自然數(shù)，所以也就

是說“祖父的年齡是a-1的倍數(shù)”，這是二.只要把握住以上這兩點，這

個題目就可以迎刃而解了.

（解）祖父的年齡比小明的年齡大，這個年齡差是不變的.

?.?今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍,

???年齡差是小明年齡的5倍，一定是5的倍數(shù)，

同理，由

“幾年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍”，

“又過幾年以后，祖父的年齡是小明的年齡的4倍”，知道年齡差是

4,3的倍數(shù)，所以，一定是

5X4X3=60

的倍數(shù).而60的倍數(shù)是：60,120,…，合理的選擇是60.于是，

今年

小明的年齡是60+5=12（歲）

祖父的年齡是12X6=72（歲）

答：祖父今年是72歲。

（思考）會代數(shù)的少年朋友，可以用列方程或方程組的方法解這個題

目：

設(shè)今年小明x歲，那么今年祖父6x歲。

y年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍，所以

5（x+y）=6x+y即x=4y

又過z年以后，祖父的年齡是小明的年齡的4倍，所以

4（x+y+z）=6x+y+z即2x=3y+3z

?.?祖父今年6x歲，

，6x<100（想一想：這個100是怎么來的？）

/502

xS.-=16—

XVx=4y

...x24（想一想：為什么？）

2

由44x<16］及x=4y知道x可能是4,8,12,16.

2-

又從2x=3y+3z,BPy+z=—x,知道x是3的倍數(shù)，所以x=12,于是6x=72。

12.某個班的全體學(xué)生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有

4名學(xué)生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到

優(yōu)秀，這部分學(xué)生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：

短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球

1718156652

求這個班的學(xué)生數(shù).

（分析）這是一個與集合概念有關(guān)的問題，但是完全可以用小學(xué)數(shù)學(xué)

知識來解決，其中，主要是包含與排除的方法.例如

短跑達到優(yōu)秀的人數(shù)中，包含了4部分人：

短跑、游泳、籃球都達到優(yōu)秀的人，

短跑、游泳達到優(yōu)秀但籃球沒達到優(yōu)秀的人，

短跑、籃球達到優(yōu)秀但游泳沒達到優(yōu)秀的人，

短跑達到優(yōu)秀但游泳、籃球沒達到優(yōu)秀的人。

如果要求其中一部分人，就要排除另外幾部分人。

明白了上面的道理，題目就不難求解。

在具體求解時，可以運用圖形，使題目中的數(shù)量關(guān)系變得直觀，一目

了然.

［解）先求至少有一個項目達到優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，看下面這個圖：

圖中時三個圓圈分別代表短跑、游泳、籃球達到優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，其

中的

“1”表示三個項目都優(yōu)秀的人數(shù)，是：2；

“2”表示籃球、游泳達到優(yōu)秀，但短跑沒有達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：

6-2=4；

“3”表示籃球、短跑達到優(yōu)秀，但游泳沒有達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：

5-2=3；

“4”表示游泳、短跑達到優(yōu)秀，但籃球沒有達到優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，是:

6-2=4；

“5”表示只有短跑一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：

17-(2+3+4)=8；

“6”表示只有游泳一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：

18-(2+4+4)=8；

“7”表示只有籃球一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，是：

15-(2+4+3)=6,

只有一個項目達到優(yōu)秀的人數(shù)是

2+4+3+4+8+8+6=35

還有4個人在三個項目上未達到優(yōu)秀，所以全班學(xué)生數(shù)是35+4=39

答：這個班有39名學(xué)生。

(注)集合，是很有用的數(shù)學(xué)概念。它的一個用途就是分類。在上面

的解法中，我們正是運用分類的思想將“至少有一個項目達到優(yōu)秀”學(xué)生

人數(shù)分為7類，從而求出了正確結(jié)果.在作分類時，應(yīng)注意使任意兩類沒

有相同的部分。

13.恰好能被6、7、8、9整除的五位數(shù)有多少個？

1分析)能被6、7、8、9整除，只須能被它們的最小公倍數(shù)整除，

求出這個最小公倍數(shù)之后，在五位數(shù)中，即從10000到99999的自然數(shù)中，

推算那個最小公倍數(shù)的倍數(shù)有多少個，即是問題的答案了。

(解)6、7、8、9的最小公倍數(shù)是504；

五位數(shù)中，最小的是10000,最大的是99999；

..10000s424

?-------=19-----

504504

???能被504整除的最小的五位數(shù)是

504X20=10080；

??9999920

,3OT-1985O4

，能被504整除的最大的五位數(shù)是

504X198=99792；

，五位數(shù)中，能被504整除的有

(99792-10080)4-504+1=179(個).

答：有179個.

(注)解這個題目時，容易出現(xiàn)的錯誤是：以為“能被6、7、8、9

整除”就必須“能被6X7X8X9=3024整除”，這樣求得的結(jié)果只是正確

結(jié)果的一部分。

14.計算：1-3+5-7+9T1+…T999+2001

(分析)對于這個題目，可以有3種基本思路：

(1)將題中各數(shù)的順序變動一下，即：從第二個數(shù)開始，相鄰兩數(shù)

交換位置，得到

1+5-3+9-7+13-11+―+2001-1999

可以看出在1這個數(shù)的后面是500個2的和。

(2)將加上的數(shù)，減去的數(shù)分別集中：

(1+5+9+13H----12001)-(3+7+11+…+1999)

(3)從代數(shù)的角度來看，原式是

(1-3)+(5-7)+(9-11)H-----H(1997-1999)+2001

=-2X500+2001=1001

(解)：原式=1+(5-3)+(9-7)+(13-11)4-----卜(2001-1999)。

從1到2001共有1001個奇數(shù)，1不在內(nèi)，則有1000個奇數(shù)，上面

的每個括號內(nèi)都是“相鄰奇數(shù)，大減小”，所以，共有500個括號，每個

括號內(nèi)的值都是2,所以

原式=1+500X2=1001

15.五環(huán)圖由內(nèi)圓直徑為8,外圓直徑為10的五個圓環(huán)組成，其中

兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等.已知五個圓環(huán)蓋住

的總面積是112.5,求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率n取3.14）o

（分析）這是關(guān)于整體與部分的關(guān)系的問題。我們將五個圓環(huán)彼此不

相交時蓋住的面積看作整體，那么現(xiàn)在這個圖中的五環(huán)蓋住的面積就是這

個整體的較大的部分，而8個小曲邊四邊形蓋住的面積就是這個整體的較

小的部分，這兩個部分的和就是整體。只要認識到這個關(guān)系，就很容易求

解了.

（解）每個圓環(huán)的面積是