導(dǎo)數(shù)的概念及其意義練習(xí)-高二年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義練習(xí)

一、單選題

1.函數(shù)〃尤）=-^+1在區(qū)間11,2］上的平均變化率為（）

A.3B.2C.-2D.-3

2.一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移S（單位：m）與時(shí)間r（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為

s?）=6/+’%且這一物體在1W2這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為2（）m/s,則實(shí)數(shù)加的值

為（）

A.2B.1C.-1D.-2

3.在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度/?（單位：

m）與起跳后的時(shí)間r（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系〃⑴=-4.9/+4&+11.該運(yùn)動(dòng)員在r=ls

時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

4.已知/（x）是函數(shù)/（*）的導(dǎo)函數(shù)，若尸（%）=4,則1加〃血二2尸）-）.）=（）

A—oAx

A.-2B.2C.-8D.8

5.已知〃x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若則,八"8二/（3+竭=4,則/⑶=（）

A.0B.-2C.1D.--

2

6.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足他/（2）［（2i）=T,則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2,/（2））

處的切線的斜率是（）

A.2B.—2C.—D.7"

22

7.函數(shù)y=〃x）的圖象如圖所示，/'（X）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令。=/'（2）,。=r（4）,

c=f（4）1Q）,則下列數(shù)值排序正確的是（）

X

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

8.函數(shù)的定義域?yàn)镽,/（3x-l）為奇函數(shù)，且〃x-l）的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱.若

曲線）（x）在x=l處的切線斜率為2,則曲線/（X）在x=2023處的切線方程為（）

A.y=-2x+4046B,y=2x+4046

C.y=2x-4046D.y=-2x-4046

二、多選題

9.物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為S（r）=4.9/（單位：m）,當(dāng)4-0時(shí)，

SU△‘b5⑴.98m/s,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

加

A.9.8m/s是物體從0s到Is這段時(shí)間內(nèi)的速度

B.9.8m/s是物體從1s到（1+Af）s這段時(shí)間內(nèi)的速度

C.9.8m/s是物體在f=ls這一時(shí)刻的速度

D.9.8m/s是物體從1s到（l+4）s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度

10.如圖所示物體甲、乙在時(shí)間0至此范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說(shuō)法正確的是（）

A.在0到，。范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在4時(shí)刻，甲的瞬時(shí)速度等于乙的瞬時(shí)速度

C.在，。至此范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在0至此范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度

11.已知函數(shù)”X）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)（（X）的圖象如圖所示，則對(duì)于任意X226R

（占工々），下列結(jié)論正確的是（）

A.（3-&）［/（芭）-/（々）］＜。B.&-々）［/（占）-/（々）］＞。

C（一+4）＞/（占）+/（占）

fD小+.）

11-|,V

12.已知反雙曲正切函數(shù)f（x）=Rn二一則（）

2\-x

A.，(x)是奇函數(shù)

B./(x)的定義域是［T』］

c.曲線y=/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為y=x

D.函數(shù)g(x)=/(x)-sinx有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

13.函數(shù)/(x)=x+J設(shè)〃x)在區(qū)間［1,2］與［3,5］的平均變化率為“，h,則a,人的大

小關(guān)系為.

14.如圖，已知曲線y=Y,P(0.4,0.16)是曲線上的一點(diǎn)，。是曲線上點(diǎn)P附近的一個(gè)

13

16-已知曲線尸產(chǎn)與尸臚X的兩條公切線的夾角正切值為“則心—

四、解答題

17.若一物體運(yùn)動(dòng)方程如下(位移單位：〃?，時(shí)間單位：$)

3"+2"..3?

s=f。)=?,求:

29+3(r-3)2,0,,t<3

⑴物體在/耳3,5］內(nèi)的平均速度;

(2)物體的初速度%;

(3)物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度.

18.(1)求函數(shù)/(x)=—f+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);

(2)求函數(shù)y=3/在x=l處的導(dǎo)數(shù).

19.蜥蜴的體溫與陽(yáng)光的照射有關(guān)，已知關(guān)系式為7?)=廣+15,其中7(f)為體溫(單

位：。C),r為太陽(yáng)落山后的時(shí)間(單位：min).

(1)求從/=0至f=10,蜥蜴的體溫下降了多少？

(2)從r=o到f=io,蜥蜴的體溫下降的平均變化率是多少？它表示什么實(shí)際意義？

(3)求7'。)并解釋它的實(shí)際意義.

20.已知曲線)，=2x-V上的兩點(diǎn)A(2,0)和8(1,1),求:

(1)割線AB的斜率心B；

(2)過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率人.；

(3)點(diǎn)A處的切線的方程.

2

21.已知三個(gè)函數(shù)力(x)=2x,f2(x')—x,f3(x)—2x.

(1)指出三個(gè)函數(shù)在[0,+8)上的單調(diào)性；

(2)取x/=0,X2=2,X3=4,X4=6,』x=2.求三個(gè)函數(shù)分別在區(qū)間[xi,xi+/x](i=l,2,3,4)

上的平均變化率(列成表格即可)；

(3)分析三個(gè)函數(shù)在㈤?，xi+/x](i=1,2,3,4,…)上隨自變量的增加，其平均變化率的

變化情況.

22.已知兩曲線尸丁+狽和ynf+fer+c?都經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2),且在點(diǎn)P處有公切線.

⑴求a,b,c的值;

(2)求公切線所在的直線方程；

(3)若拋物線＞=丁+泣+。上的點(diǎn)M到直線y=4x-5的距離最短，求點(diǎn)例的坐標(biāo)和最短

距離.

答案

D

2.A

3.D

4.C

5.B

6.B

7.C

8.A

9.ABD

10.CD

11.AD

12.AC

13.a<h

14.x+0.4

15.5x+y-2=0

16.4

e

17.(1)解：由已知在，e[3,5]B寸，其時(shí)間變化量為加=2,

其位移變化量為f⑸-〃3)=3x25+2-(3x9+2)=48,

故所求平均速度為y=f=24m/s；

Af2

(2)解：求物體的初速度%,即求物體在，=0時(shí)的瞬時(shí)速度.

因?yàn)槲矬w在f=0附近位移的平均變化率為

M/(0+A/)-/(0)29+3(0+Ar-3)z-29-3(0-3)2

——=-------------------------=----------------------------------------------------=—1o

所以物體在f=0處位移的瞬時(shí)變化率為lim—=lim(3Af-18)=-18,

即物體的初速度%=T8m/s.

(3)解：因?yàn)槲矬w在，=1附近位移的平均變化率為

屈/(1+Ar)-/(1)29+3(]+Ar-3)2-29-3(1-3)2

----===-12,

ArAz-------------------------------------Z

故物體在t=l時(shí)的瞬時(shí)速度為Iim—=lim(34-12)=-12,即物體在t=l時(shí)的瞬時(shí)速度為

A3)X°

-12m/s.

18.(1)VAy=X-l+Ax)-X-l)=-(-l+Ax)2+(-l+Ax)+2

=3AJV—(AJV)2,

,Ay=3Ar-(W=3_M.

AxAx

二.((-1)=lim包=lim(3-Ax)=3.

4t->()ArAr->0

(2)VA)?=^1+Ax)-/(1)=3(1+Ar)2-3=6Ar+3(Ax)2,

.?.包=6+3Ax

Ax

(⑴=lim”=lim(6+3Ac)=6.

加T°Ax&CTO

19.(1)T(IO)-r(O)=黑+15—(黑+15]=-16,即從f=O到/=1O,蜥蜴的體溫下降

10+510+5J

了16℃.

(2)蜥蜴的體溫下降的平均變化率為7(⑼一,⑼=-1.6(°C/min),

它表示從f=0到f=10這段時(shí)間內(nèi)，蜥蜴的體溫平均每分鐘下降1.6℃.

120,(120,1

(3)???7(5+加)-7(5)5+加+5+-〔示一人12,

△fAr10+Az

...當(dāng)加趨于0時(shí)，丁5+V⑸趨于-1.2,即T'(5)=—1.2°C/min,

它表示太陽(yáng)落山后5min時(shí)，蜥蜴的體溫下降的速度為L(zhǎng)2°C/min.

20.(1)由已知可得，kAB=-——=—1.

(2)令y=/(x),包=〃x+?)〃x)=2(x+Ar)_(x+Ar)2_(2…2)

ArAx-Ax

2Ax-2xAx-(Ax)2

=2-2x-Ax,

Ax

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，r(x)=lim竺=lim(2-2x-M=2-2x.

①當(dāng)切點(diǎn)為A點(diǎn)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知原產(chǎn)r(2)=2-2x2=—2；

②當(dāng)切點(diǎn)不是A點(diǎn)時(shí).

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo^Xo-Xo)(%。2),則如?=2-2X(),

又怎T=2/f90=T。,所以有2-2%=-x°,解得/=2,

與一2

因?yàn)槊獽2,所以此時(shí)無(wú)解.

綜上所述，過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率2.

(3)由(2)知，曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率%.=-2,

代入點(diǎn)斜式方程有，y=-2(x-2),整理可得切線的方程為2x+y-4=0.

21.⑴根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知.函數(shù)力(x)=2r,及(x)=f,/Xx)=2x在

[0,+8)上都是增函數(shù).

⑵列表：

包

[0,2][2,4][4,6][6,8]

函數(shù)Ar區(qū)間

fi(x)=2x2222

及(x)=/261014

3

fi(x)=2x62496

2

(3)由上表可知：函數(shù)力(x)=2x隨著自變量的增大，在自變量增量/x的條件下，各區(qū)間上的

函數(shù)平均變化率都相等，這說(shuō)明函數(shù)呈勻速增長(zhǎng)狀態(tài)；

函數(shù)及(x)=/在各區(qū)間上的平均變化率不相等，并且越來(lái)越大，這說(shuō)明函數(shù)值隨自變量增長(zhǎng)

的速度越來(lái)越快；

函數(shù)力(x)=2x在各區(qū)間上的平均變化率不相等，并且越來(lái)越大，這說(shuō)明力(x)的函數(shù)值隨自

變量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，并且比及(x)的增長(zhǎng)速度快的多.

22.(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)定義可知，兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是

邸(x+Ax)3+?(x+Ax)-(x3+ar)

y.=hm——=hm----------------------------=3x+Q?

Ax->oA-Ax->oA,

Ay(x+Ax)"+Z?(x+++6X+C)

=lim—=lim--------------------------------=2x+b-

—Ax-Ar

將P(l,