第10講圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題萬(wàn)能公式（硬解定理）（高階拓展）（教師版）

第10講圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題萬(wàn)能公式（硬解定理）（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第22題,12分求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用求平面軌跡方程2022年新I卷，第11題,5分求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線判斷直線與拋物線的位置關(guān)系2021年新Ⅱ卷，第20題,12分求橢圓中的弦長(zhǎng)根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題2020年新I卷，第13題,5分求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)無(wú)2020年新Ⅱ卷，第14題,5分求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的弦長(zhǎng)公式及其相關(guān)計(jì)算2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的弦長(zhǎng)萬(wàn)能公式（硬解定理）及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解弦長(zhǎng)公式若直線與圓雉曲線相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)圓錐曲線弦長(zhǎng)萬(wàn)能公式（硬解定理）設(shè)直線方程為:y=kx+圓錐曲線的方程為:fx可化為ax設(shè)直線和曲線的兩交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,yAB

(2)若消去x,得aAB考點(diǎn)一、橢圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知斜率為1的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】解：由橢圓得，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦長(zhǎng)為.故選：C.2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓E的方程；(2)若直線m過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與直線ml與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）由待定系數(shù)法求橢圓方程.（2）運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，，所以，，設(shè)橢圓E的方程為.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，，所以橢圓E的方程為.（2）由（1）知，橢圓E的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以直線m斜率為，由因?yàn)橹本€l與直線m平行，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，聯(lián)立，可得，，，，所以.3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于點(diǎn)，與圓相切且切點(diǎn)為為中點(diǎn).(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線l方程，聯(lián)立直線l方程與橢圓方程可得，，進(jìn)而可求得點(diǎn)M坐標(biāo)，由圓N與直線l相切于點(diǎn)M可得，進(jìn)而可求得，代入可求得，進(jìn)而求出的范圍即可.（2）由弦長(zhǎng)公式可得（），運(yùn)用換元法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖所示，由題意知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為（），，，設(shè)圓N的半徑為r，，，，，所以，又因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閳AN與直線l相切于點(diǎn)M，所以，且，所以，所以，解得，所以，，解得：，所以（），所以，即，所以圓N的半徑r的取值范圍為.（2）由（1）知，，所以（），令，則（），所以，顯然在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的三種解法1.數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；2.構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解；3.構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與交于兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）分類(lèi)討論，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理求，換元結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，得，即①，將代入橢圓方程得，則，由，得，即②，由①②并結(jié)合，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，所以；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，此時(shí)，，所以；③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立，整理得．

設(shè)，，則，，所以．因?yàn)?，所以可用替換表達(dá)式中的得，所以．

令，因?yàn)?，所以，，，所以，因?yàn)?，則，所以；綜上所述：的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法定睛：解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題的常用方法：1.利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或方程根的判別式構(gòu)造不等式，從而確定待求量的取值范圍；2.利用已知參數(shù)的范圍，求待求量的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立參數(shù)與待求量間的等量關(guān)系；3.利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出待求量的取值范圍；4.利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為關(guān)于其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定待求量的取值范圍，如本題將表示為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，再利用換元法及二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求的取值范圍．1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為，求k的值．【答案】【分析】利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，聯(lián)立消去整理得，解得，所以弦長(zhǎng)，整理得即解得，.3．（2023秋·西藏林芝·高三校考階段練習(xí)）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求解，（2）由弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的方?為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且短軸長(zhǎng)為2，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知得直線的方程為，設(shè)，將直線代入，得，易得，所以，，所以.4．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）在橢圓）中，，過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)最大值為.【分析】（1）利用兩點(diǎn)的斜率公式及橢圓中的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)橫截式方程設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及基本不等式即可求解.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為，所以，即，又，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由題知，作出圖形如圖所示設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為.當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的方程是；當(dāng)時(shí)，直線的方程是，也符合的形式，將直線的方程代入橢圓方程得，且，設(shè)，則.所以又，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由，解得，所以的最大值為.5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)E，F(xiàn)的距離之和為4，且E，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為2．(1)以點(diǎn)E，F(xiàn)所在的直線為x軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡C的方程．(2)直線l過(guò)點(diǎn)F，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）．若點(diǎn)Q的坐標(biāo)之和，求弦AB的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義分析運(yùn)算即可；（2）分類(lèi)討論斜率是否存在，根據(jù)題意結(jié)合點(diǎn)差法分析可得，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，結(jié)合題意解得，再利用弦長(zhǎng)公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）以點(diǎn)E，F(xiàn)所在的直線為x軸，線段EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)由題意可知，所以點(diǎn)M的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．因?yàn)?，，即，，則，故點(diǎn)M的軌跡C的方程．（2）由（1）不妨取，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則直線，此時(shí)AB的中點(diǎn)為即為點(diǎn)，可得，不合題意；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，點(diǎn)，，則，可得，則，兩式作差得，則，即，可得，故直線，聯(lián)立得方程組，解得，即，因?yàn)?，解得或，所以直線AB的方程為或．①若直線AB的方程為，聯(lián)立得方程組，消去y并整理得，則，，所以；②若直線AB的方程為，聯(lián)立得方程組，消去y并整理得，則，，所以．綜上所述：弦AB的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題的求解方法涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．（2）弦中點(diǎn)問(wèn)題的解法點(diǎn)差法在解決有關(guān)弦中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率問(wèn)題時(shí)可簡(jiǎn)化運(yùn)算，但要注意直線斜率是否存在．考點(diǎn)二、雙曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.【答案】(1)=1(2)3【分析】（1）根據(jù)雙曲線的準(zhǔn)線方程公式，結(jié)合雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.（2）根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、雙曲線弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，因?yàn)殡p曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，所以有，又因?yàn)殡x心率為2，所以有代入中，可得，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓷l直線與雙曲線的相交弦相等.又因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值小于漸近線斜率的絕對(duì)值，所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線l的斜率為，方程為與雙曲線方程聯(lián)立為：，設(shè)，則有，2．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等軸雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M，N在雙曲線C上，當(dāng)直線MN過(guò)C的右焦點(diǎn)且斜率為2時(shí)，．(1)求雙曲線C的方程；(2)若線段MN的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)Q，且，求O到直線MN的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)雙曲線，寫(xiě)出直線MN方程，聯(lián)立方程組，設(shè)，，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算化簡(jiǎn)求出，即可求解；（2）設(shè)直線MN方程為，易知，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示，由題意可知Q為的外接圓圓心，設(shè)圓的一般方程，結(jié)合雙曲線方程化簡(jiǎn)計(jì)算可得，得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線，雙曲線的右焦點(diǎn)為，則直線，其中．聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得．設(shè)，，則，．，解得，故．故雙曲線C的方程為．（2）易知直線MN一定不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)其方程為．聯(lián)立，整理得，若，則，則，此時(shí)點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線MN過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)O到直線MN的距離為0，所以，則．由于，，故Q為的外接圓圓心，可設(shè)外接圓方程為，則，則，即，整理得，由題知，故．所以，故原點(diǎn)到直線MN的距離為．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，軸，且.(1)求雙曲線及其漸近線的方程；(2)如圖，若過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與雙曲線及其兩條漸近線從左至右依次交于，，，四點(diǎn)，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出，再由雙曲線的定義求出，即可得出方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出，再聯(lián)立直線與漸近線方程得出的橫坐標(biāo)，再由弦長(zhǎng)公式求出，再由即可得解.【詳解】（1）由題意知，，即，由軸，可知，代入雙曲線方程可得，又，即，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）可知，，所以，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，，，由可知雙曲線的漸近線方程為和，聯(lián)立可得，同理可得由可得，，化簡(jiǎn)可得，即，整理得，，解得.2．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率是，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于與直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題知，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）由題設(shè)，直線，進(jìn)而與雙曲線聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，直線的斜率為，同理可得，進(jìn)而根據(jù)可得，進(jìn)而可證明結(jié)論.【詳解】（1）解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，其漸近線方程為，因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以，因?yàn)殡p曲線的離心率是，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，直線.聯(lián)立整理得，所以，.故.設(shè)直線的斜率為，同理可得.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以，則，即，所以.3．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分別交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由通徑長(zhǎng)、離心率列方程組求得得雙曲線方程；（2）直線方程代入雙曲線方程，利用直線與雙曲線左右相交求得的范圍，由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得弦長(zhǎng)，再求得的坐標(biāo)得線段長(zhǎng)，然后計(jì)算比值，由的范圍各結(jié)論．【詳解】（1）由題可知，，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題可知，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，聯(lián)立消去，得，所以，解得，且，所以.聯(lián)立可得，同理可得，所以，所以，其中，則，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，再由弦長(zhǎng)公式得弦長(zhǎng)，不需要求得兩交點(diǎn)的具體坐標(biāo)．考點(diǎn)三、拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（海南·高考真題）斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來(lái)可以利用弦長(zhǎng)公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，又∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得，解法一：解得

所以解法二：設(shè)，則,過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長(zhǎng)公式，屬基礎(chǔ)題.2．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)任意作直線分別交拋物線于，交橢圓于.當(dāng)垂直于軸時(shí)，.(1)求和的方程；(2)是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)存在常數(shù)，使為定值，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）由已知的方程為，代入拋物線方程可推得，即可得出，將直線方程代入橢圓方程可推得.結(jié)合已知得出關(guān)于方程組，求解即可得出橢圓的方程；（2）假設(shè)存在常數(shù).設(shè)直線的方程為：與拋物線以及橢圓的方程，得出關(guān)于的方程，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式，表示出，.代入化簡(jiǎn)整理可得，當(dāng)，即時(shí)，假設(shè)成立.【詳解】（1）由已知可得，的方程為，代入拋物線方程可得，，解得，所以.由題意知，得，所以，拋物線方程是.所以直線的方程為，焦點(diǎn)，所以.將直線的方程代入橢圓方程可得，，解得，所以.由已知可得，，解得，所以，橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在常數(shù)，使為定值.設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立方程，消化簡(jiǎn)得.則恒成立，且，所以.設(shè)，，聯(lián)立方程，消化簡(jiǎn)得.則恒成立，且，所以，.所以，.因?yàn)闉槎ㄖ?，所以有，所?所以，假設(shè)成立.所以，存在常數(shù)，使為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可表示出弦長(zhǎng).3．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B為E上兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，F(xiàn)恰好是的重心.(1)求E的方程；(2)若，P，Q為拋物線上相異的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)(2)11【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及重心F的坐標(biāo)表示點(diǎn)B，將B的坐標(biāo)代入拋物線方程可求出，可得拋物線的方程；（2）設(shè)直線PQ的方程為，，，聯(lián)立直線PQ與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理和，求出，再根據(jù)拋物線的定義求出，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得，，設(shè)F恰好是的重心，，解得，將代入，得，，解得，E的方程為；（2）設(shè)直線PQ的方程為，，，由方程組，得，即，且，，，，，，，即，，，或，若，直線PQ過(guò)N點(diǎn)，不合題意，舍去，，此時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為11.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為：．2．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？级＃┮阎獟佄锞€，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)和，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）由題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積，建立方程，可得答案；（2）利用分類(lèi)討論，明確直線的斜率存在，聯(lián)立方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合基本不等式，可得答案.【詳解】（1）

直線方程為，將其代入拋物線可得，由已知得，解得，故拋物線的方程為．（2）

因?yàn)?，若直線分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則直線中有一條與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以直線的斜率均存在且不為0．設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．聯(lián)立，得，則，設(shè)，則，設(shè)，則，則，所以，同理可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為6．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)即可；（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可.法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，，則.，易知?jiǎng)t令,令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問(wèn)題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.設(shè),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由于,從而,從而又,故,由此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.

.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二個(gè)的關(guān)鍵是通過(guò)放縮得，同時(shí)為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，對(duì)右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可.【能力提升】1．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，即可得到答案；（2）設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，即可得到答案；【詳解】（1）兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形，，橢圓過(guò)點(diǎn)，，又，解得：，橢圓的方程為：；（2），設(shè)，聯(lián)立方程得：，，，，，，，；2．（2022·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，的最大面積為，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、為橢圓上兩點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦距得到，結(jié)合三角形面積的最大值得到，利用求得，得到橢圓的方程；（2）根據(jù)已知設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式得到，判斷單調(diào)性即可求得最大值.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，，，的最大面積為，，，，橢圓的方程為；（2）由題知，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得：，∴，得，，，∴，設(shè)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，故.3．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考三模）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與交與兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸與點(diǎn)，證明的值是定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到<4，再利用雙曲線的定義求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得，再根據(jù)線段MN的垂直平分線，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)求解.【詳解】（1）解：因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，消去y得：，所以，設(shè)MN中點(diǎn)坐標(biāo)為G，則，所以，，直線GP的方程為:，，所以，所以=1.4．（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且.(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線右焦點(diǎn)為，且，由求解；（2）設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，求得，與雙曲線C的漸近線方程聯(lián)立，求得，根據(jù)求解.【詳解】（1）解：由題意得，解得故C的方程為.（2）顯然直線率存在，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，因?yàn)榕c雙曲線C的左，右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，故，解得，此時(shí)有.，，由，解得，同理可得，所以.因?yàn)?，?因?yàn)?，故，故?shí)數(shù)的取值范圍是.5．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，（在第一象限），且當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)若，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)直線l得方程，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求解；（2）設(shè)直線l的方程與拋物線聯(lián)立，先求出M，N點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出直線MB方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線PN的方程，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)直線距離公式求解.【詳解】（1）由題意直線l的斜率，所以l得方程為，聯(lián)立方程，解得，，由弦長(zhǎng)公式得：

，

，解得，拋物線方程為；（2）由（1）知：拋物線方程為，設(shè)

，直線l的方程為，顯然時(shí)存在的，如圖：聯(lián)立方程，得，，①，直線MB的方程為：，即，，②，直線PN的方程為：，令得，，，，由①②得：；綜上，拋物線方程為，.6．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知為拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由點(diǎn)在拋物線上求出，計(jì)算得拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）先設(shè)直線再聯(lián)立方程組求出兩根和和兩根積，再應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得.【詳解】（1）由點(diǎn)在拋物線上得，即∴拋物線的準(zhǔn)線方程為.（2）設(shè)直線AB的方程為，,由直線與的傾斜角互補(bǔ)得，即∴聯(lián)立得∴，∴，即，∴∴．7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．(1)求拋物線的方程；(2)記拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與直線垂直，交拋物線于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先得到拋物線的準(zhǔn)線方程，依題意可得，解得、、，即可得解；（2）由（1）可得，，即可求直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，依題意可得，解得或，又、、，所以，所以拋物線方程為.（2）由（1）可得，，，因?yàn)橹本€直線，所以，所以直線的方程為，即，由，消去整理得，設(shè)，，所以，所以，所以.8．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·海拉爾第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，橢圓上一點(diǎn)到和的距離之和為，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于點(diǎn)（不與重合），是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由橢圓的定義可求得的值，根據(jù)橢圓的離心率求得的值，再求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線不與軸垂直，分兩種情況討論，一是直線與軸重合，二是直線的斜率存在且不為零，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出、，即可求得的值.【詳解】（1）解：由橢圓的定義可得，則，因?yàn)?，，則，因此，橢圓的方程為.（2）解：若直線與軸垂直，此時(shí)，線段的垂直平分線為軸，不合乎題意；若直線與軸重合，此時(shí)，線段的垂直平分線為軸，則點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，此時(shí)，；若直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，線段的中點(diǎn)為，所以，線段的垂直平分線所在直線的方程為，在直線方程中，令可得，故點(diǎn)，所以，，由弦長(zhǎng)公式可得，因此，.綜上所述，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．9．（2022·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，右焦點(diǎn)為F(，0)，且離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點(diǎn)，求|OT||MN|的取值范圍．【答案】(1)；(2)[，3].【分析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?，易求，當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【詳解】（1）由題可得，∴=2，=∴橢圓C的方程為：；（2）當(dāng)直線MN斜率為0時(shí)，不妨取直線MN為=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，，因?yàn)橹本€MN與圓相切，所以，即，又因?yàn)橹本€MN與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)：由，得，則，所以MN中點(diǎn)T坐標(biāo)為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].10．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓定義求軌跡方程；（2）設(shè)出直線l為：，，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，從而表達(dá)出弦長(zhǎng)，再求出AB中點(diǎn)，進(jìn)而表達(dá)出AB的垂直平分線，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到的長(zhǎng)，得到為定值.【詳解】（1）由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，所以C的方程為（2）設(shè)直線l為：，則聯(lián)立得：，設(shè)，則，，，則，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線為，令得：，所以，，【點(diǎn)睛】直線與橢圓結(jié)合問(wèn)題，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出弦長(zhǎng)或面積，進(jìn)而求解定值或取值范圍等.【真題感知】函數(shù)22一、解答題1．（陜西·高考真題）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于，兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【詳解】試題分析：（1）由題意可得，解出，的值，即可求出橢圓的方程；（2）由題意可得以為直徑的圓的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得：圓心到直線的距離，可得的取值范圍，利用弦長(zhǎng)公式可得，設(shè)，把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到弦長(zhǎng)，由，即可解得的值.試題解析：（1）由題意可得解得橢圓的方程為由題意可得以為直徑的圓的方程為圓心到直線的距離為由，即，可得設(shè)聯(lián)立整理得可得：，解方程得，且滿足直線的方程為或考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.2．（湖南·高考真題）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為，．當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【詳解】（Ⅰ）左、右焦點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，即左、右焦點(diǎn)，的重點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為圓心；設(shè)圓心的坐標(biāo)為，有，解得，所以圓的方程為；（Ⅱ）依題意，設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離，所以，由得，設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故直線方程為或.3．（遼寧·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．（Ⅰ）寫(xiě)出C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？【答案】（Ⅰ）曲線C的方程為．（Ⅱ）時(shí)，．【分析】（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足消去y并整理得，故．，即．而，于是．所以時(shí)，，故．當(dāng)時(shí)，，．，而，所以．【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?．（陜西·高考真題）如圖，設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上投影，M為上一點(diǎn)，且.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程，設(shè)出，得到，代入中，得到軌跡方程；（2）求出過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程，聯(lián)立第一問(wèn)所求的曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】（1）設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，故，所以，因?yàn)镻是圓上的點(diǎn)，所以，即；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，與聯(lián)立得：，易得，設(shè)直線與的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，，故被C所截線段的長(zhǎng)度為.5．（上海·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn)．（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率．【答案】（1）．（2）．【詳解】試題分析：（1）設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可以得到，從而解得的值．（2）設(shè)，，直線與雙曲線方程聯(lián)立，得到一元二次方程，根據(jù)與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，且．由|AB|=4構(gòu)建關(guān)于的方程進(jìn)行求解．試題解析：（1）設(shè)．由題意，，，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，即，解得．故雙曲線的漸近線方程為．（2）由已知，．設(shè)，，直線．由，得．因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且．由，，得，故，解得，故的斜率為．【考點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生的計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類(lèi)題目時(shí)，利用的關(guān)系，確定雙曲線（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過(guò)聯(lián)立直線方程與雙曲線（圓錐曲線）方程得到方程組，應(yīng)用一元二次