概率論與數(shù)理統(tǒng)計(韓旭里)課后習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案

習(xí)題一

1.略.見教材習(xí)題參考答案.

2.設(shè)A,B,C為三個事件，試用A,B,C的運算關(guān)系式表示下列事件：

(1)A發(fā)生，B,C都不發(fā)生；

(2)A與B發(fā)生，C不發(fā)生；

(3)A,B,C都發(fā)生；

(4)A,B,C至少有一個發(fā)生；

(5)A,B,C都不發(fā)生；

(6)A,B,C不都發(fā)生;

(7)A,B,C最多有2個發(fā)生；

(8)A,B,C至少有2個發(fā)生.

【解】(1)A&C(2)ABC(3)ABC

(4)A(jBuC=AB-CuABC*uA-SCBCuA^BCuABCuABC=T^C

(5)7TBC=A\JB\JC(6)Ttge

(7)^BCuASCuABCuA^CuASTu4BCu褚U=Ku"uC

(8)ABuBCuCA=ABCuAu^BCuABC

3.略.見教材習(xí)題參考答案

4.設(shè)A,B為隨機事件，且P(A)=,P(AB)=，求P(榜).

【解】P(Ttt?)=1P(AB)=1[P(A)P(AB)]

=1[]=

5.設(shè)A,B是兩事件，且P(A)=,P(B)=，求：

(1)在什么條件下P(AB)取到最大值？

(2)在什么條件下P(AB)取到最小值？

解］(1)當AB=A時，P(AB)取到最大值為.

(2)當AuB=Q時，P(AB)取到最小值為.

6.設(shè)A,B,C為三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,

求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.

【解】P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)

11113

=_+_+_—=—

443124

7.從52張撲克牌中任意掏出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？

【解】p=C5c3c3c2/C13

1313131352

8.對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：

(1)求五個人的生日都在禮拜日的概率；(2)求五個人的生日都不在禮拜日的概率；

(3)求五個人的生日不都在禮拜日的概率.

解(1)設(shè)｛五個人的生日都在禮拜日｝,大體事件總數(shù)為7s,有利事件僅1個，故

P(A、_11<(亦可用獨立性求解，下同)

—=(_)

1757

(2)設(shè)人2=｛五個人一輩子日都不在禮拜日｝,有利事件數(shù)為65,故

P(A)=656

2一=(/

(3)設(shè)A=｛五個人的生日不都禮拜日｝

51

1

P(A)=1PA5

(1)=1q

9.略.見教材習(xí)題參考答案.'

10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機地掏出n件(n<N).試求其中恰有m件(m<M)正品(記為A)

的概率.若是：

(1)n件是同時掏出的；

(2)n件是無放回逐件掏出的；

(3)n件是有放回逐件掏出的.

【解】(1)P(A)=CmCn.m/C?

MN-MN

(2)由于是無放回逐件掏出，可用排列法計算.樣本點總數(shù)有P.種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為

5種.關(guān)于固定的一種正品與次品的抽取順序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有P,”種，從NM

件次品中取件的排列數(shù)為種，故

nmP?-m

由于無放回慢慢抽取也能夠看成一次掏出，故上述概率也可寫成

能夠看出，用第二種方式簡便得多.

(3)由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為

正品的組合數(shù)為Cm種，關(guān)于固定的一種正、次品的抽取順序，m次取得正品，都有M種取法，共

有種取法，次取得次品，每次都有種取法，共有(種取法，故

MmnmNMNM)nm

P(A)=CmMm(N-M)n-n./Nn

n

M

此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里實驗，每次取得正品的概率為/二則取得m件正品的概率為

N

11.略.見教材習(xí)題參考答案.

12.50只挪釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個鐘釘強度太弱每一個部件用3只切釘.若將3只強度

太弱的鎖釘都裝在一個部件上，則那個部件強度就太弱.求發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？

【解】設(shè)人=｛發(fā)生Y部件強度太弱｝

P(A)=CIC3/C3=

1035()I960

13.一個袋內(nèi)裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是

白球的概率.

【解】設(shè)A=｛恰有i個白球｝(i=2,3),顯然A2與A?互斥.

C2C118C34

P(.)=43=一,P(4)=一=一

2c3353C335

77

22

故P(4|J4)=P(/)+P(A)=—

232335

14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率別離為和，在兩批種子中各隨機取一粒，求：

(1)兩粒都發(fā)芽的概率；

(2)至少有一粒發(fā)芽的概率；

(3)恰有一粒發(fā)芽的概率.

【解】設(shè)A=｛第i批種子中的T粒^),(1=1,2)

(1)P(AA)=P(A)P(A)=0.7x0.8=0.56

I212

(2)p(43)=0-7+().8-().7x().8=0.94

i2

(3)P(儼UR)=0.8x0.3+0.2x0.7=0.38

15.擲一枚均勻硬幣直到顯現(xiàn)3次正面才停止.

(1)問正好在第6次停止的概率；

(2)問正好在第6次停止的情形下，第5次也是顯現(xiàn)正面的概率.

1115Ci(SSI2

【解】(1)P=C2(_)2(_)3_=_(2)p=4224,

>52223225/325

16.甲、乙兩個籃球運動員，投籃命中率別離為及，每人各投了3次，求二人進球數(shù)相等的概率.

【解】設(shè)A=｛甲進i球｝,i=0,l,2,3,Bj=｛乙進i球｝,i=0,l,2,3,則

PQjAB)=(0.3)3(0.4)3+C>0.7X(0.3)2。0.6x(0.4)2+

八ii333

1=0

C2(0.7)2X0.3C2(0.6)204+(0.7)3(0.6)3

33

17.從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.

C4CCCC13

P="5022=21

10

18.某地某天下雪的概率為，下雨的概率為，既下雪又下雨的概率為，求：

（1）在下雨條件下下雪的概率；（2）此日下雨或下雪的概率.

【解】設(shè)人=｛下葡，B=｛下雪｝.

(1)p(B|4)=一°」=o.2

1P(A)05

(2)p(A|j8)=P(A)+P(B)—P(A8)=0.3+0.5—0.1=0.7

19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.

【解】設(shè)A=｛其中一個為女孩｝,B=｛至少有一個男孩｝,樣本點總數(shù)為23=8,故

P(AB)6/86

P(4A)=

P(A)7/87

或在縮減樣本空間中求，現(xiàn)在樣本點總數(shù)為7.

6

7

20.已知5%的男人和％的女人是色盲，現(xiàn)隨機地挑選一人，這人恰為色盲，問這人是男人的概率（假設(shè)男人和女

人各占人數(shù)的一半）.

【解】設(shè)A=｛這人是男人｝,B=｛這人是色盲｝,則由貝葉斯公式

P(AB)P(A)P^BA)

尸（羋）=

P(B)P(A)P(B\A)+P(A)P(￡|A)

0.5x0.0520

0.5x0.05+0.5x0.002521

21.兩人約定上午9:00-10:00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率.

OII

4

(b)

題22圖

【解】設(shè)兩人抵達時刻為xy則04X,”60.事件"一人要等另一人半小時以上"等價于|xy|>30.如圖陰影部份

制.

302_1

一602一4

22.從(0,1)中隨機地取兩個數(shù)，求：

(1)兩個數(shù)之和小于6的概率；

5

(2)兩個數(shù)之積小于、的概率.

4

【解】設(shè)兩數(shù)為x,y,則7x,y<l.

(1)x+y<6.

5

-144

P=1-255J=.

1-4--25

⑵xy=J..........-

4

pwl-'j'dxji=1+?ln2

2I''J42

、44x/

23.設(shè)P(A)=,P(B)=,P(4B)=,求P(BIAUB)

P^B)P(A)-~P(AB)

【解】P(BAB)=」

P(AiP(4)+P(B)—PMB)

ILu

0.7-0.5_1

-0.7+0.6-0.5~4

24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次競賽中任意掏出3個球，競賽后放回原盒中；第

二次競賽一樣任意掏出3個球，求第二次掏出的3個球均為新球的概率.

【解】設(shè)4=｛第一次掏出的3個球中有，個新球｝,i=0,1,2,=｛第二次掏出的3球均為新球｝

由全概率公式，有

P(B)=VP(BlA)P(A)

i=O

C3C3C1C2C3C2C1C3C3C3

F__6_2+9_z_+_=0.089

C3C3C3C3C3C3C3Cs

1515151515151515

25.按以往概率論考試結(jié)果分析，盡力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試合格，不盡力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試

不合格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是盡力學(xué)習(xí)的，試問：

(1)考試合格的學(xué)生有多大可能是不盡力學(xué)習(xí)的人？

(2)考試不合格的學(xué)生有多大可能是盡力學(xué)習(xí)的人？

【解】設(shè)A=｛被調(diào)查學(xué)生是盡力學(xué)習(xí)的｝，則才=｛被調(diào)查學(xué)生是不盡力學(xué)習(xí)的｝.由題意知P(A)=,P(a)=,

又設(shè)B=｛被調(diào)查學(xué)生考試合格｝.由題意知P(B|A)=,P(B~\A)=,故由貝葉斯公式知

尸(/8)=P(AB)=尸(X)P(平)

?P(B)p(A)P(B|A)+P(A)P(平)

02x0.1=1=0.02702

0.8x0.9+02x0.137

即考試合格的學(xué)生中不盡力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占％

P(A/)=P(AB)=P(A)P(3恒

(2)IP(B)P(A)P(耶)+尸(Z)P(平)

=0.8x0.1=4=0.3077

-0.8x0.1+0.2x0.913

即考試不合格的學(xué)生中盡力學(xué)習(xí)的學(xué)生占％.

26.將兩信息別離編碼為A和8傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為，而B被誤收作4的概率為.

信息4與8傳遞的頻繁程度為2：1.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是4的概率是多少？

【解】設(shè)A=｛原發(fā)信息是A｝,則=｛原發(fā)信息是B｝

C=｛收到信息是A｝,則=｛收到信息是B｝

由貝葉斯公式，得

P(A)尸(|CA)

P(A|C)

P(A)P(qA)+P(A)P(dA)

2/3x0,Xl/3x0.01-0-99492

27.在已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意掏出一球，若發(fā)覺這球為白球，試求箱子中原有一白球的概

率(箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種)

1

【解】設(shè)4尸｛箱中原有i個白球｝3=0,1,2),由題設(shè)條件知P(4)=歹i=0,1,2.又設(shè)B=｛抽出一球為白球｝.由貝葉

斯公式知

n/|.)=P(4B)=P(BR)P(4)

'P⑻,P(B|4)P(4)

i=O

2/3xl/31

l/3xl/3+2/3xl/3+lxl/33

28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤以為是次品的概率為，一個次品被誤以

為是合格品的概率為，求在被檢查后以為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.

【解】設(shè)力=｛產(chǎn)品確為合格品｝,B=｛產(chǎn)品被以為是合格品｝

由貝葉斯公式得

P(AB)P(A)P\BA)

P(A\B)=

P(B)P(A)P(B\A)+P(A)P(BlA)

0.96x0.98

0.998

0.96x0.98+0.04x0.05

29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹慎的”，“一樣的”，“靦的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)

生事故的概率依次為，和；若是“謹慎的”被保險人占20%,“一樣的”占50%,“莽撞的”占30%,現(xiàn)知某

被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹慎的”的概率是多少？

【解】設(shè)4=｛該客戶是“謹慎的”｝,B=｛該客戶是“一樣的”｝,

。=｛該客戶是“莽撞的”｝,D=｛該客戶在一年內(nèi)出了事故｝

則由貝葉斯公式得

P(AD)P(A)P(DIA)

P(A|D)=

P(D)P(A)P(D\A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)

0.2x0.05

0.057

0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3

30.加工某一零件需要通過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率別離為,,,，假定各道工序是彼此獨立

的，求加工出來的零件的次品率.

【解】設(shè)4產(chǎn)｛第i道工序出次品｝(i=l,2,3,4).

P([j/)=1-PaTHTTk)

i1234

1=1

=1-PQ4)P(A)P(7T)P(7D

1234

=1-0.98x0.97x0.95x0.97=0.124

31.設(shè)每次射擊的命中率為，問至少必需進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于？

【解】設(shè)必需進行n次獨立射擊.

l-(0.8)n>0.9

即為(0.8><0.1

故n211

至少必需進行11次獨立射擊.

32.證明：若P(4I8)=P(4IB),則A,8彼此獨立.

【證】P(A|B)=P(4|為即P(AB)=P(AB)

P(B)P(B)

亦即P(AB)P(B)=P(AB)P(B)

P(AB)[l-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B)

因此P(AB)=P(4)P(B)

故A與B彼此獨立.

111

33.三人獨立地破譯一個密碼,他們能破譯的概率別離為5r3r求將此密碼破譯出的概率?

【解】設(shè)4=｛第i人能破譯｝3=1,2,3),則

3

P(UA)=1—P(4及芬)=1-P(A)P(丁)P(A)

1

/=1123I23

,423

=1--x-x-=0.6

534

34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率別離是,"若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為；如

有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為；若三人都擊中，則飛機必然被擊落，求：飛機被擊落的概率.

【解】設(shè)4=｛飛機被擊落｝,B[｛恰有i人擊中飛機｝,i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)=￡P(guān)(A|B)P(B)

1=0

=XX+XX+XX+

XX+XX+XX+XX

35.已知某種疾病患者的痊愈率為25%,為實驗一種新藥是不是有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定若10個

病人中至少有四人治好則以為這種藥有效，反之則以為無效，求：

(1)盡管新藥有效，且把治愈率提高到35%,但通過實驗被否定的概率.

(2)新藥完全無效，但通過實驗被以為有效的概率.

V

廨[(1)p=^Ck(0.35>(O.65)io-fc=0.5138

110

kdo

(2)p=20(0.25X0.75)IM=0.2241

210

k=4

36.一架起落機開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：

(1)4="某指定的一層有兩位乘客離開”；

(2)B="沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；

(3)C="恰有兩位乘客在同一層離開”；

(4)。="至少有兩位乘客在同一層離開”.

【解】由于每位乘客都可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.

C294

(1)P(A)=r『，也可由6重貝努里模型：

10)

19

P(/)=C2(_)2(_)4

61010

(2)6個人在十層中任意六層離開，故

P6

P(B)=?

106

（3）由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有Ci種可能結(jié)果，再從六人當選二人在該層

10

離開，有C2種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情形，因此可包括以下三種離開方式：①4

6

人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有CiC3。種可能結(jié)果；②4人同時離

948

開，有Cl種可能結(jié)果；③4個人都不在同一層離開，有P4種可能結(jié)果，故

99

pg=。C?(cc。+。+P4)/io

10694899

(4)D=B.故

P(D)=1-P(B)=1-弘

1。6

37.n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率:

(1)甲、乙兩人坐在一路，且乙坐在甲的左側(cè)的概率；

(2)甲、乙、丙三人坐在一路的概率；

(3)若是n個人呷排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.

【解】(1)P=——

in-1

3!(n-3)!

⑵P=-----------,n>3

2(n-1)!

⑶P'=("l)!」；p'=3!("2)!J”

1n\n2n\

38.將線段［0,a］任意折成三折，試求這三折線段能組成三角形的概率

【解】設(shè)這三段長別離為xya-x力.則大體事件集為由

0<x<a,0<y<a,0<a-x-7y<a所組成的圖形，有利事件集為由

x+y>a-x-y

x+（a-x-y）>y

［y+（a-x-y）>x

組成的圖形，即

0<x<"

2

-a

o<y<一

2

a

<+<

xya

如圖陰影部份所示，故所求概率為P=_.

4

39.某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個將它們?nèi)ピ囬_（抽樣是無放回的）.證明試開儲欠（上1,2，…,n）

才能把門打開的概率與k無關(guān).

Phi1

【證】p=.〃”一——,k=1,2…，

Pkn

n

40.把一個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體，在這些小立方體中，隨機地掏出一個，試求它有i面涂有

顏色的概率P(A),.(1=0,1,2,3).

【解】設(shè)4=｛小立方體有i面涂有顏色｝,i=0,1,2,3.

在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，如此的小立方體共有8個.

只有位于原立方體的棱上(除去八個角外)的小立方體是兩面涂色的，如此的小立方體共有12X8=96個.

同理，原立方體的六個面上(除去棱)的小立方體是一面涂色的，共有8X8X6=384個.其余1000-

(8+96+384)=512個內(nèi)部的小立方舒|無色的，故所求概方霜

P(4)=J_=0.512,P(A)=J_=0.384,

。1000-1000

968

P(4)=__=0.096,P(A)=____=0.008.

210004WOO

41.對任意的隨機事件A,B,C,試證

P(A8)+P(AC)-P(.BC)WP(A).

【證】P(A)>P[A(B\JC)]^P(AB\JAC)

=P(AB)+P(4C)-P(ABC)

>P(AB)+P(AC)-P(BQ

42.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)別離為1,2,3的概率.

【解】設(shè)4=｛杯中球的最大個數(shù)為i｝,i=l,2,3.

/

將3個球隨機放入4個杯子中，全數(shù)可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時，每一個杯中最多放一

球，故

C33!3

P(A)=4=

1438

而杯中球的最大個數(shù)為3,即三個球全放入一個杯中，故

CiI

P(A)=_1=一

34316

因此PG4)=I—P(A)—P(/)=I—P—LL

2I381616

C1C2C19

或P(4)=433=_

24316

43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求顯現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【解】擲2n次硬幣，可能顯現(xiàn)：4=｛正面次數(shù)多于反面次數(shù)｝,B=｛正面次數(shù)少于反面次數(shù)),C=｛正面次數(shù)等于

反面次數(shù)｝,A,B,C兩兩互斥.

可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P(A)干蠟.因此

P(⑷_______-

2

由2n重貝努里實驗中正面顯現(xiàn)n次的概率為]]

P(C)=Cn()n(>

故p(4)=l“_C"_L]

22n22"

44.擲〃次均勻硬幣，求顯現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.

【解】設(shè)4=｛顯現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)｝,B=｛顯現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)｝,由對稱性知P(4)=P(B)

(1)當“為奇數(shù)時，正、反面次數(shù)可不能相等.由P(4)+P(B)=1得P(2)=P(B)=

(2)當n為偶數(shù)時，由上題知

1n1

P(^)=_[l-C2(_)"]

2“2

45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.

【解】令甲=甲擲出的正面次數(shù)，甲7甲擲出的反面次數(shù).

乙"=乙擲出的正面次數(shù)，乙？乙擲出的反面次數(shù).

正反

顯然有

(甲>乙)=(甲W乙)=(n+1-甲Wn-乙)

正正正正反反

=(甲21+乙)=(甲/乙)

由對稱性知p(除〉乙5=p(黃〉藝)

正正反反

因此P(甲>乙)』_

正正2

46.證明“確信的原則”(Sure-thing)：若PG4|C)^P(B\O,P(A\C)^p(B\C),則P(A)2P(B).

【證】由P(A|C)2P(BIC),得

P(AC)〉P(BC)

P(C)-P(C)'

即有P(AC)>P(BC)

同理由P(A\C')>P(B\C),

得P(硝>P(BC),

故P(4)=P(AC)+P(AC)>P(BC)+P(BG=P(B)

47.一列火車共有n節(jié)車箱，有k(k》n)個旅客上火車并隨意地選擇車箱.求每一節(jié)車箱內(nèi)至少有一個旅客的概率.

【解】設(shè)4=｛第i節(jié)車箱是空的｝,(i=l,…,n),則

(n-l>1

P(A)=1--------二(1一一"

inkn

P(AA)=(1-外

<'Jn

n-1

P(AAA)=(1------)k

「2Mn

其中中2,…,如是1，2,n中的任n-1個.

顯然n節(jié)車箱全空的概率是零，于是

S=Ep(4)=n(l-l)"O(l_J>

n

/=inn

S=XP(4/)=C2(l-3)k

2ijnn

\<i<j<n

n/AA〃-1

s=EP(44…4)=Cn-i(l-)k

n-1n1弧nn

S=0

P([2)4)=S—S+S-?…+(—l)n+lS

T'I23"

12n-1

=C>(l__>-C2(l-_>+...+(-l)nCn-l(l-—)k

nn?n"n

故所求概率為,c,

?12n-1

1-P(J/l)=l-Cl(l-_>+C2(l-_>-...+(-1>ICn-l(l-)k

,=|1nnnnnH

48.設(shè)隨機實驗中，某一事件4顯現(xiàn)的概率為e>0.試證明：不論e>0如何小，只要不斷地獨立地重復(fù)做此實驗,

則4早晚會顯現(xiàn)的概率為1.

【證】

在前n次實驗中，4至少顯現(xiàn)一次的概率為

1-(1-￡)nfl(n->00)

49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽).在袋中任取一只，將它拋擲r次，已

知每次都取得國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？

【解】設(shè)4=｛拋擲硬幣r次都取得國徽｝

B=｛這只硬幣為正品｝

由題知P(B)=m,P(g)=

m+n

P⑷B)=_L,P(/國=1

2r

則由貝葉斯公式知

P(BM)=生竺1=P(B)P(*B)

P(A)P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)

m1

m+〃?方m

~~1+，?1m+2「”

m+〃2r

50.巴拿赫(Banach)火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任

取一盒并從中任取一根.試求他第一次發(fā)覺一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴

時(不是發(fā)覺空)而另一盒恰有r根的概率又有多少？

【解】以B、B記火柴取自不同兩盒的事件，則有P(B)=P(B)=1.(1)發(fā)覺一盒已空，另一盒恰剩r根，

?2)22

說明已取了2〃-r次，設(shè)〃次取自為盒(已空)，r次取自嗎盒，第2〃-r+1次拿起8「發(fā)覺已空。把取

2〃-r次火柴視作2〃-r重貝努里實驗，則所咨概手為

P=20(不)"(--)n-r?—=G-—

I2n-r222n-r22f

式中2反映”與馬盒的對稱性(即也能夠是盒先取空).

(2)前2n-r-l次取火柴，有n-1次取自]盒jn-rj欠取自B2弓,第2n-r次取自B1盒,故概率為

P-2C?-I(_)n-l(_)n-r—=C?-l(—)2n-r-l

22n-r-l2222n-r-l2

51.求n重貝努里實驗中A顯現(xiàn)奇數(shù)次的概率.

【解】設(shè)在一次實驗中4顯現(xiàn)的概率為p.則由

(q+p)"=C(>p()qn+Cipq，i+C2P2q.2+…+(2叩叫<>=1

nnnn

(q-p)n=Copoqn+Clpqn-l+C2P2qn-2-…+(-1)nCnp〃qo

nnnn

以上兩式相減得所求概率為

P=C】pqn-l+C3p3q〃-3+...

1nn

1

=_[l-(g-p)n]

=l[l-(l-2p)n]

若要求在n重貝努里實驗中4顯現(xiàn)偶數(shù)次叫概率，則只要將兩式相加，即得