2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市建三江管理局第一中學(xué)高三下學(xué)期第三周測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2024-2025學(xué)年黑龍江省佳木斯市建三江管理局第一中學(xué)高三下學(xué)期第三周測(cè)試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.2.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.3.,則與位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交4.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.5.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.6.關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),某同學(xué)通過(guò)下面的隨機(jī)模擬方法來(lái)估計(jì)的值:先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對(duì),其中,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),再統(tǒng)計(jì),能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)來(lái)估計(jì)的值.若,則的估計(jì)值為()A. B. C. D.7.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.8.已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.9.設(shè)復(fù)數(shù),則=()A.1 B. C. D.10.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A. B.C. D.11.雙曲線:(),左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.12.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,,,,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn),,則球O的體積為_(kāi)_____.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和且,設(shè),則的值等于_______________.15.已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,則的值為_(kāi)_16.已知,則________.(填“>”或“=”或“<”).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程:(Ⅱ)設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.18.(12分)如圖,在中,已知,,,為線段的中點(diǎn),是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成,記二面角的大小為.(1)當(dāng)平面平面時(shí),求的值;(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.19.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.20.(12分)已知矩形中,,E,F(xiàn)分別為,的中點(diǎn).沿將矩形折起,使,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段,的中點(diǎn),連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知拋物線與直線.(1)求拋物線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值;(2)設(shè)點(diǎn)是直線l上的動(dòng)點(diǎn),是定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,求證A,Q,B共線;并在時(shí)求點(diǎn)P坐標(biāo).22.(10分)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A=(k≠0)的一個(gè)特征向量為α=,A的逆矩陣A-1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(3,1)變?yōu)辄c(diǎn)(1,1).求實(shí)數(shù)a,k的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

通過(guò)拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過(guò)作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時(shí),有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.3.D【解析】結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交.選D.4.A【解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開(kāi)后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項(xiàng)漸近線為,B選項(xiàng)漸近線為,C選項(xiàng)漸近線為,D選項(xiàng)漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率,然后再利用隨機(jī)模擬方法得到,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率,二者概率相等即可估計(jì)出.【詳解】因?yàn)?,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),所以有,,若,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng),則,由幾何概型的概率計(jì)算公式知,所以.故選:B.本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一個(gè)中檔題.7.C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖,然后補(bǔ)成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球,然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計(jì)算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示:將其補(bǔ)成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.8.B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點(diǎn)睛:橢圓的定義:到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡不存在.9.A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】復(fù)數(shù),則故選:A.本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】分析:根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解:因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為,所以,又,則故選D.點(diǎn)睛:此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種:(1)定義法,若()或(),數(shù)列是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)公式法,若數(shù)列中,且(),則數(shù)列是等比數(shù)列.11.B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程,再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,列方程即可求出,進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為,一條漸近線的方程為,由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,可得,所以漸近線方程為,即為,故選:B本題考查雙曲線的漸近線的方程,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,屬于中檔題.12.D【解析】

討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解:,,,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以為的外心,因?yàn)?,所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設(shè),則,所以,所以球O體積,.故答案為:本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14.7【解析】

根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,可得,進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列,再計(jì)算可得,進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,又,解得,當(dāng)時(shí),由,所以,,即,故數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,故,又,,所以,.故答案為:.本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值,考查了推理能力與計(jì)算能力,計(jì)算得是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15.1【解析】

根據(jù)弦長(zhǎng)為半徑的兩倍,得直線經(jīng)過(guò)圓心,將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得.【詳解】解:圓的圓心為(1,1),半徑,

因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2,

所以直線經(jīng)過(guò)圓心(1,1),

,解得.故答案為:1.本題考查了直線與圓相交的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.16.【解析】

注意到,故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知,,故有.又由,故有.故答案為:.本題考查對(duì)數(shù)式比較大小,涉及到換底公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù),可得曲線C1的極坐標(biāo)方程,然后先計(jì)算曲線C2的普通方程,最后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,可得結(jié)果.(Ⅱ)將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立,可得A,B的極坐標(biāo),然后簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由所以曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的普通方程為則曲線的極坐標(biāo)方程為(Ⅱ)令,則,,則,即,所以,,故.本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,以及極坐標(biāo)方程中的幾何意義,屬基礎(chǔ)題.18.(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐標(biāo)系,根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個(gè)平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖,以為原點(diǎn),在平面內(nèi)垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,由得,取,則因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為由平面平面,得所以即.(2)設(shè)二面角的大小為,當(dāng)平面的一個(gè)法向量為,綜上,二面角的余弦值為.本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.19.(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ),,兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯(cuò)位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)椋?,兩式相減可得,,故,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,∴,又,所以,故,所以;(Ⅱ)由題設(shè)可得,所以,所以,①則,②①-②得:,所以,得證.本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、錯(cuò)位相減法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.20.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)取中點(diǎn)R,連接,,可知中,且,由Q是中點(diǎn),可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn)R,連接,,則在中,,且,又Q是中點(diǎn),所以,而且,所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面內(nèi)作交于點(diǎn)G,以E為原點(diǎn),,,分別為x,y,x軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,所以,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得,又平面的一個(gè)法向量為,所以.因此,二面角的余弦值為本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,難度一般.21.(1);(2)證明見(jiàn)解析,或【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出;(2)設(shè),,,,表示出直線,的方程,利用表示出,,即可求定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)設(shè)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,時(shí)取等號(hào)),則拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值;(2)設(shè),,,,,,直線,的方程為分別為,,由兩條直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)得,為方程的兩根,,

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