高教社《工程數(shù)學(xué)》教案

見川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院

教案本

（2019—2020學(xué)年第2學(xué)期）

課程名稱：工程數(shù)學(xué)

課程代碼：010004007

授課學(xué)時(shí)：64

授課班級(jí)：道橋18—1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

地遂18-1,2,3鐵道18-1,2

土檢18-1,2,3,4

授課教師：王洋、鐘韜、霍旻旻

教研室：數(shù)學(xué)教研室

2020年2月26日

課程學(xué)期課表

節(jié)次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

第一

二節(jié)

上

午

第三

四節(jié)

第五

六節(jié)

下

午

第七

八節(jié)

晚

上

教學(xué)進(jìn)程第2周一一第17周

檢查記錄

填寫說(shuō)明：課程學(xué)期課表只填該課程本期的授課班級(jí)、教學(xué)地點(diǎn)

教學(xué)設(shè)計(jì)

授課課題（學(xué)習(xí)情境/

二階、三階行列式

任務(wù)/項(xiàng)目/單元

授課時(shí)間第2周（1）課型理論課

教學(xué)

掌握用對(duì)角線法則計(jì)算二階和三階行列式

目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn)二階和三階行列式的計(jì)算

教學(xué)難點(diǎn)二階和三階行列式的計(jì)算

教學(xué)準(zhǔn)備（環(huán)境、資源、

多媒體

條件等）

導(dǎo)學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)組

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)織與方時(shí)間

法

一.二階與三階行列式參與互動(dòng)PPT展示

行列式的概念起源于解線性方程組,它是從二元與三元思考、聯(lián)想40

戔性方程組的解的公式引出來(lái)的.因此我們首先討論解方程做出選擇講授

且的問(wèn)題.聆聽、參考

殳有二元線性方程組別人意見

al}x]+62%=*

?

司加減消元法容易求出未知量xl,x2的值，當(dāng)alla22-

112a21W0時(shí)，有

_"1〃22—%2b2

內(nèi)一_

Q11〃22

*

_61打一瓦出1

X2-_

1。22—。12。21⑵

yX就是一般二元線性方程組的公式解.但這個(gè)公式很不好記

乙，應(yīng)用時(shí)不方便，因此，我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示（2）這

卜結(jié)果，這就是行列式的起源.我們稱4個(gè)數(shù)組成的符號(hào)

“11〃12

二〃11〃22一〃12〃21

，21

為二階行列式.它含有兩行，兩列.橫的叫行，縱的叫列.行

列式中的數(shù)叫做行列式的元素.從上式知，二階行列式是這

樣兩項(xiàng)的代數(shù)和：一個(gè)是從左上角到右下角的對(duì)角線(又叫

行列式的主對(duì)角線)上兩個(gè)元素的乘積，取正號(hào)；另一個(gè)是

從右上角到左下角的對(duì)角線(又叫次對(duì)角線)上兩個(gè)元素的

乘積，取負(fù)號(hào).

根據(jù)定義，容易得知(2)中的兩個(gè)分子可分別寫成

aa

d\2\\優(yōu)

b\a22-a12b2=,ab-ba=

ban2t2iab

22292l29

aa

6】\2b、\2

D=D=￡>2=

xh

a2\a22%]2

如果記々22b2

則當(dāng)DWO時(shí)，方程組(1)的解⑵可以表示成

仇因2a\\仄

b

b?CLQPa2\2

x,0...D,

X'-D-

a\\a\2XLD一a\\a\2

a2\a229a2\々22,(3)

象這樣用行列式來(lái)表示解，形式簡(jiǎn)便整齊，便于記憶.

首先(3)中分母的行列式是從(1)式中的系數(shù)按其原有的

相對(duì)位置而排成的.分子中的行列式，xl的分子是把系數(shù)

行列式中的第1列換成(1)的常數(shù)項(xiàng)得到的，而x2的分子則

是把系數(shù)行列式的第2列換成常數(shù)項(xiàng)而得到的.

例1用二階行列式解線性方程組

2x,+4X2=1

Xj+3X2=2

24

D==2x3-4xl=2wO

解：這時(shí)13

14|21

D,==1X3-4X2=-5D、==2x2-lxl=3練習(xí)

23|,129

因此，方程組的解是

D,-5D23

1D2,2D2,

對(duì)于三元一次線性方程組

al]xl+al2x2+。]3%3=b、

<a2ixi+a22x2+a23x3=h2

aXaX

31l+322+。33工3=4

(4)

作類似的討論，我們引入三階行列式的概念.我們稱符號(hào)

al2al3

。21。22。23=a”422a33+°]2a23a313a21a32

a31a32a33~alia23a32一q2a21a33一％3〃22。31

(5)

為三階行列式，它有三行三列，是六項(xiàng)的代數(shù)和.這六項(xiàng)的聆聽

和也可用對(duì)角線法則來(lái)記憶:從左上角到右下角三個(gè)元素的

乘積取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素的乘積取負(fù)號(hào).

212

-431

例2235

-2x3x5+1x1x24-(-4)x3x2-2x3x2-lx(-4)x5-2x3x1=

=30+2—24—12+20—6=10

a\2ai3

D=〃21a22a23

令a3la32a33

仇ai2a\3a\\仇a\3

bb

2a22a23—a2\2

D[=D2。23

4

。32。33〃3I。33

即a\24

b

2=a2\a222

/

“31。32

當(dāng)DW0時(shí)，(4)的解可簡(jiǎn)單地表示成

去芍吟，與吟(6)

它的結(jié)構(gòu)與前面二元一次方程組的解類似.

例3解線性方程組

2X]—x2+x3=0

<3Xj+2X2—5X3=1

Xi+3X-2%3=4

2練習(xí)

2-110-11

—12-5=13

D=32-5=28Dt

43-2

解：13-2

2012-10

21=21

D2=31-5=47D、=3

14-2134

9

D,13247D.213

所以，?。28,2。28,3。284.

ab0

-ba0=0

例4已知1°1，問(wèn)a,b應(yīng)滿足什么條件？（其中

a,b均為實(shí)數(shù)）.

ab0

-ba0=a2+b2

解：1°1,若要a2+b2=0,則a與b須同時(shí)等

于零.因此，當(dāng)a=0且b=0時(shí)給定行列式等于零.

為了得到更為一般的線性方程組的求解公式,我們需要引入80

A階行列式的概念，為此，先介紹排列的有關(guān)知識(shí).

二.排列

在〃階行列式的定義中，要用到排列的某些知識(shí)，為此先介

紹排列的一些基本知識(shí).

定義1由數(shù)碼1,2,…，〃組成一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)〃

級(jí)排列.

例如，1234是一個(gè)4級(jí)排列，3412也是一個(gè)4級(jí)排列，而聆聽

52341是一個(gè)5級(jí)排列.由數(shù)碼1,2,3組成的所有3級(jí)排

列為:123,132,213,231,312,3列共有3!=6個(gè).

數(shù)字由小到大的〃級(jí)排列1234…〃稱為自然序排列.

定義2在一個(gè)〃級(jí)排列，修中，如果有較大的數(shù)i,排

在較小的數(shù)九的前面30）,則稱/，與，，構(gòu)成一個(gè)逆序，

一個(gè)A級(jí)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作

N（"…力）.

例如，在4級(jí)排列3412中，31,32,41,42,各構(gòu)成一

個(gè)逆序數(shù)，所以，排列3412的逆序數(shù)為M3412）=4.同樣

可計(jì)算排列52341的逆序數(shù)為A1（52341）=7.

容易看出，自然序排列的逆序數(shù)為0.

定義3如果排列工之的逆序數(shù)AQ.怎…，）是奇數(shù)，則

稱此排列為奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列則稱為偶排列.

例如，排列3412是偶排列.排列52341是奇排列.自然排

列123…〃是偶排列.

定義4在一個(gè)〃級(jí)排列力。…，中，如果其中某兩

個(gè)數(shù)工與工對(duì)調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個(gè)

新的〃級(jí)排列工…。…?！?，這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換，

記作（九，L）.

如在排列3412中，將4與2對(duì)換，得到新的排列3214.并

且我們看到：偶排列3412經(jīng)過(guò)4與2的對(duì)換后，變成了奇

排列3214.反之，也可以說(shuō)奇排列3214經(jīng)過(guò)2與4的對(duì)

換后，變成了偶排列3412.

一般地，有以下定理：

定理1任一排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后，其奇偶性改變.

證明：首先討論對(duì)換相鄰兩個(gè)數(shù)的情況，該排列為：

ag?…ij6出…她C2…G,

將相鄰兩個(gè)數(shù)i與J作一次對(duì)換，則排列變?yōu)?/p>

a、az…aijib}b,-bmCxC2'-c?

顯然對(duì)數(shù)a”初…a”bx,bz，…,A和eg…來(lái)說(shuō)，并

不改變它們的逆序數(shù).但當(dāng)/</時(shí)，經(jīng)過(guò)，與J的對(duì)換后，

排列的逆序數(shù)增加1個(gè)；當(dāng)力J時(shí)，經(jīng)過(guò)/與J的對(duì)換后，

排列的逆序數(shù)減少1個(gè).所以對(duì)換相鄰兩數(shù)后，排列改變了

奇偶性

再討論一般情況，設(shè)排列為

a?…a"bb…bJcQ…a

將/與J作一次對(duì)換，則排列變?yōu)?/p>

功色…aJbb…bjiCic2-'Cn

這就是對(duì)換不相鄰的兩個(gè)數(shù)的情況.但它可以看成是先將i

與仇對(duì)換，再與A對(duì)換，…，最后與4的對(duì)換，即，與它

后面的數(shù)作加次相鄰兩數(shù)的對(duì)換變成排列

a島…aibb…b"Ja…

然后將數(shù)J與它前面的數(shù)/，"…,&作研1次相鄰兩數(shù)的

對(duì)換而成.而對(duì)換不相鄰的數(shù)，與/（中間有加個(gè)數(shù)），相當(dāng)

于作2研1次相鄰兩數(shù)的對(duì)換.由前面的證明知，排列的奇

偶性改變了2研1次，而2研1為奇數(shù)，因此，不相鄰的兩數(shù)

i,J經(jīng)過(guò)對(duì)換后的排列與原排列的奇偶性不同.

定理2在所有的〃級(jí)排列中（〃22）,奇排列與偶排列的個(gè)

〃！

數(shù)相等，各為彳個(gè).

證明：設(shè)在〃!個(gè)〃級(jí)排列中，奇排列共有0個(gè)，偶排列共

有q個(gè).對(duì)這2個(gè)奇排列施以同一個(gè)對(duì)換，如都對(duì)換（1,2）,

則由定理1知0個(gè)奇排列全部變?yōu)榕寂帕?，由于偶排列一?/p>

只有q個(gè)，所以oWq；同理將全部的偶排列施以同一對(duì)換

（1,2）,則q個(gè)偶排列全部變?yōu)槠媾帕?，于是又有qWp,

所以q=口即奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等.

n\

q=p=—

又由于〃級(jí)排列共有制個(gè)，所以q+0=加，2.

定理3任一n級(jí)排列，也…力都可通過(guò)一系列對(duì)換與n級(jí)

自然序排列12…〃互變，且所作對(duì)換的次數(shù)與這個(gè)〃級(jí)排列

有相同的奇偶性.

證明：對(duì)排列的級(jí)數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證之.

對(duì)于2級(jí)排列，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)對(duì)級(jí)排列，結(jié)論成立，現(xiàn)在證明對(duì)于〃級(jí)排列，

結(jié)論也成立.

若，=〃，則根據(jù)歸納假設(shè)力方…i…是〃-1級(jí)排列，可經(jīng)過(guò)

一系列對(duì)換變成12…1）,于是這一系列對(duì)換就把7,7?-

，變成12…若廿n,則先施行，與〃的對(duì)換，使之變

成九",這就歸結(jié)成上面的情形.相仿地,12-

〃也可經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換變成因此結(jié)論成立.

因?yàn)?2…〃是偶排列，由定理1可知，當(dāng),也…力是奇（偶）

排列時(shí)，必須施行奇(偶)數(shù)次對(duì)換方能變成偶排列，所以，

所施行對(duì)換的次數(shù)與排列/也…力具有相同的奇偶性.

思考題：

1.決定了、J的值，使

(1)1245/6力7為奇排列；

(2)3972/15為為偶排列.

2.排列〃(〃-1)(〃-2)…321經(jīng)過(guò)多少次相鄰兩數(shù)對(duì)換變

成自然順序排列？

ab

D=22=0

3.當(dāng)a、8為何值時(shí)，行列式少b'.

課后作業(yè)課后習(xí)題

學(xué)生在本次教學(xué)、實(shí)

訓(xùn)中主要存在的問(wèn)題

填寫說(shuō)明：導(dǎo)學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)可參考“課程導(dǎo)入、學(xué)習(xí)目標(biāo)、課前測(cè)試、交互式學(xué)習(xí)、課后測(cè)

試、小結(jié)的六步教學(xué)法進(jìn)行。

授課課題(學(xué)習(xí)情境/任務(wù)/項(xiàng)

n階行列式、行列式的性質(zhì)

目/單元

授課時(shí)間第2周(2)課型理論課

教學(xué)

掌握n階行列式的定義及其行列式的性質(zhì)

目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn)行列式的計(jì)算

教學(xué)難點(diǎn)n階行列式的定義

教學(xué)準(zhǔn)備(環(huán)境、資源、條件

多媒體

等)

導(dǎo)學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)組

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)織與方時(shí)間

法

n階行列式：PPT展示

參與互動(dòng)

一.導(dǎo)課10

思考、聯(lián)想

本節(jié)我們從觀察二階、三階行列式的特征入手.引出〃階行講授

做出選擇

列式的定義.

聆聽、參考

已知二階與三階行列式分別為

別人意見

a

\\。12__

。21。22

a\\a\2。13

C-121^^>223?1a?a?a

。31。32。33—〃11〃23〃32-"12〃21a33-4|3〃22〃31

其中元素的第一個(gè)下標(biāo)，表示這個(gè)元素位于第i行，稱為

行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)J表示此元素位于第j.列，稱為列標(biāo).40

二.行列式的定義

我們可以從中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

(1)二階行列式是2!項(xiàng)的代數(shù)和，三階行列式是3!項(xiàng)的代

數(shù)和；

(2)二階行列式中每一項(xiàng)是兩個(gè)元素的乘積，它們分別取自

不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項(xiàng)是三個(gè)元素的

乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)是按自然序排

列時(shí)，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號(hào)；為奇排列，則

取負(fù)號(hào).

作為二、三階行列式的推廣我們給出〃階行列式的定義.

定義1由排成〃行〃列的4個(gè)元素即(了，戶1,2,…，77)

組成的符號(hào)

a\\a\2…a\n

Cl2\a22…a2n

????????????

冊(cè)2…ann

稱為〃階行列式.它是〃!項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)是取自不同行

和不同列的〃個(gè)元素的乘積，各項(xiàng)的符號(hào)是：每一項(xiàng)中各元

素的行標(biāo)排成自然序排列，如果列標(biāo)的排列為偶排列時(shí)，則

取正號(hào)；為奇排列，則取負(fù)號(hào).于是得

a\\a\2…a\n

“21”22…a2n

????????????

y....

%a,,2…(T)N"SF2/2上…%

(1)

X

其中浦2J”表示對(duì)所有的〃級(jí)排列工方?"求和.

(1)式稱為n階行列式按行標(biāo)自然順序排列的展開

式.(T嚴(yán)"2"%產(chǎn)2方…為“稱為行列式的一般項(xiàng).

當(dāng)上2、3時(shí)，這樣定義的二階、三階行列式與上面§1.1中

用對(duì)角線法則定義的是一致的.當(dāng)上1時(shí)，一階行列為以』=

國(guó)1.如

a\\a\2。13ai4

。21。22。23。24

。31。32。33。34

當(dāng)爐4時(shí)，4階行列式如lfl42%3?44

表示4!=24項(xiàng)的代數(shù)和，因?yàn)槿∽圆煌?、不同?個(gè)元素

的乘積恰為4!項(xiàng).根據(jù)A階行列式的定義，4階行列式為

a?]a?^^13^^14

。21。22。23。24

4a"：=九

a41a42a43a44M…Zi

例如a拯3a3㈤2行標(biāo)排列為1234,元素取自不同的行；列標(biāo)排

列為4312,元素取自不同的列，因?yàn)?V(4312)=5,所以該項(xiàng)

取負(fù)號(hào)，即-a“a23a31al2是上述行列式中的一項(xiàng).

為了熟悉〃階行列式的定義，我們來(lái)看下面幾個(gè)問(wèn)題.

例1在5階行列式中，如。23a35&1兩這一項(xiàng)應(yīng)取什么符號(hào)？

解：這一項(xiàng)各元素的行標(biāo)是按自然順序排列的，而列標(biāo)的排

列為23514.

因M23514)=4,故這一項(xiàng)應(yīng)取正號(hào).

例2寫出4階行列式中，帶負(fù)號(hào)且包含因子的項(xiàng).

解：包含因子國(guó)同3項(xiàng)的一般形式為

(1)〃］陷23%/3a勺4

按定義，工可取2或4,工可取4或2,因此包含因子加法的

項(xiàng)只能是

23a32aM或a“a23a34aq2

但因M1324)=l為奇數(shù)

M1342)=2為偶數(shù)

所以此項(xiàng)只能是-a“a23a3祖”

例3計(jì)算行列式

ab00

cd00

Xyef

uvgh

解這是一個(gè)四階行列式，按行列式的定義，它應(yīng)有4!=24

項(xiàng).但只有以下四項(xiàng)

adeh,adfg,bceh,bcfg

不為零.與這四項(xiàng)相對(duì)應(yīng)得列標(biāo)的4級(jí)排列分別為1234,1243,

2134和2243,而川(1234)=0,A'(1243)=l,M2134)=l和

”(2143)=2,所以第一項(xiàng)和第四項(xiàng)應(yīng)取正號(hào)，第二項(xiàng)和第三項(xiàng)

應(yīng)取負(fù)號(hào)，即

a。00

cd00

xyef

""g'=adeh-adfg-bceh+bcfg

例4計(jì)算上三角形行列式

a\\"12…

。=0?22a2?

oo

其中a”#0(7=1,2,…，ri).

解：由〃階行列式的定義，應(yīng)有加項(xiàng)，其一般項(xiàng)為

44%上…。磯

但由于〃中有許多元素為零，只需求出上述一切項(xiàng)中不為零

的項(xiàng)即可.在。中，第〃行元素除4〃外，其余均為0.所以

工=〃；在第A-1行中，除a一1”|和a-13外,其余元素都是零，

因而，-只取〃-1、〃這兩個(gè)可能，又由于為“、a“”位于同

一列，而工=〃.所以只有工T=A-L這樣逐步往上推，不

難看出，在展開式中只有國(guó)島2…a”"一項(xiàng)不等于零.而這項(xiàng)的

列標(biāo)所組成的排列的逆序數(shù)是M12-v)=0故取正號(hào).因此，

由行列式的定義有

a\\a\2…a\n

°a22'-,a2n

Dn=

????????????

00…ci

?in~ao”4o22...a

即上三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積.

同理可求得下三角形行列式

an0…0

。21a>2,*'0

an2…二句]儂…為〃

特別地，對(duì)角形行列式

%0???0

0々22*?，0

a

00nn=aila22-

上(下)三角形行列式及對(duì)角形行列式的值，均等于主對(duì)角線

上元素的乘積.

例5計(jì)算行列式

00???0aln

o0-a2n_10

????????????

an]0…00

解這個(gè)行列式除了a能……為這一項(xiàng)外，其余項(xiàng)均為零，

現(xiàn)在來(lái)看這一項(xiàng)的符號(hào)，列標(biāo)的〃級(jí)排列為〃(〃-1)…21,

n?(n-1)

(〃-1)…21)=U-1)+(/?-2)+-+2+1=2,所以

00???0

00…0

n(n-l)

a2

n\°…°°=(-D%“出,1…％1

同理可計(jì)算出

fllla\2.................ain\01"°a\n

a2\a22…a2n-\0??0…a2n-\a2n

……

a0

n\…0.......。|=4",,,.....a*ann=

(T)2…%i

由行列式的定義，行列式中的每一項(xiàng)都是取自不同的行不同

的列的〃個(gè)元素的乘積，所以可得出：如果行列式有一行(列)

的元素全為0,則該行列式等于0.

在〃階行列式中，為了決定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，我們把〃個(gè)元

素的行標(biāo)排成自然序排列，即'%2?"嘰事實(shí)上，數(shù)的乘

法是滿足交換律的，因而這〃個(gè)元素的次序是可以任意寫的，

一般地，〃階行列式的項(xiàng)可以寫成

aaa

hhiij2""iJn(2)

其中IIJ；J2…工是兩個(gè)〃階排列,它的符號(hào)由下面的

定理來(lái)決定.

定理1A階行列式的一般項(xiàng)可以寫成

(_墳(宿…3叫伍7")&...

Iaai?J?(3)

其中714—2；,工工…工都是〃級(jí)排列.

證明：若根據(jù)〃階行列式的定義來(lái)決定(2)的符號(hào)，就要把這

A個(gè)元素重新排一下，使得它們的行標(biāo)成自然順序，也就是排

成

牝。2權(quán)…(4)

于是它的符號(hào)是(-1嚴(yán)―

現(xiàn)在來(lái)證明(1)與(3)是一致的.我們知道從(2)變至U(4)可經(jīng)

過(guò)一系列元素的對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn).每作一次對(duì)換，元素的行標(biāo)與

列標(biāo)所組成的排列力，…就同時(shí)作一次對(duì)換，也就

是…，)與N(j\%…心同時(shí)改變奇偶性，因而它的和

N(i3…4)工…工)

的奇偶性不改變.這就是說(shuō)，對(duì)(2)作一次元素的對(duì)換不改變

(3)的值，因此在一系列對(duì)換之后有

(-1)2(不2?7n)+N(jj2…力)=(—])N(12??1?)+N(j/h'???“)=(―1)N(j|'。?Jn')

這就證明了(1)與⑶是一致的.

例如，a21a32囪同3是4階行列式中一項(xiàng)，它和符號(hào)應(yīng)為(~

1)~⑵也(-1)"'=-1.如按行標(biāo)排成自然順序，就是

由飽誨2a43,因而它的符號(hào)是(-1)M”23)=(-1)3=-1

同樣，由數(shù)的乘法的交換律，我們也可以把行列式的一般項(xiàng)

4戶2h…a*中元素的列標(biāo)排成自然順序123…〃，而此時(shí)相應(yīng)

的行標(biāo)的〃級(jí)排列為了也…“則行列式定義又可敘述為

a\\"12…4”

陶陶…a2，，=x(f,力42…%”

????????????

%%2%，，

行列式的性質(zhì)：

一.導(dǎo)課

當(dāng)行列式的階數(shù)較高時(shí)，直接根據(jù)定義計(jì)算〃階行列式的值

是困難的，本節(jié)將介紹行列式的性質(zhì)，以便用這些性質(zhì)把復(fù)

雜的行列式轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的行列式（如上三角形行列式等）來(lái)

計(jì)算.50

將行列式〃的行列互換后得到的行列式稱為行列式〃的轉(zhuǎn)置

行列式，記作即若

%]42…a\naWa2\an\

a

D=2122…a2nD，=《2a22?一an2

an\%2…ann則4〃a2n….

反之，行列式〃也是行列式〃的轉(zhuǎn)置行列式，即行列式〃與

行列式〃互為轉(zhuǎn)置行列式.

二.行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1行列式。與它的轉(zhuǎn)置行列式〃的值相等.

證：行列式〃中的元素&,（工戶1,2,…，〃）在〃中位于

第J行第/列上，也就是說(shuō)它的行標(biāo)是j,列標(biāo)是了,因此,

將行列式〃按列自然序排列展開，得

T

ri-Xn（i\^（J1J2??,>?）n

JlJl'Jn

這正是行列式。按行自然序排列的展開式.所以少

這一性質(zhì)表明，行列式中的行、列的地位是對(duì)稱的，即對(duì)于

“行”成立的性質(zhì)，對(duì)“列”也同樣成立，反之亦然.

性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).

證：設(shè)行列式

“11a\2…％”

ai\ai2%,。行）

D=??.?.?......

as\as2asn（s行）

an\an2ann

將第/行與第5行（1W/VSW〃）互換后，得到行列式

,,

??4“（i行）

"ain（s行）

-a?n

顯然，乘積—…囹…旬…冊(cè)，，，在行列式〃和〃中，都是取

自不同行、不同列的〃個(gè)元素的乘積，根據(jù)§3定理1,對(duì)

于行列式僅這一項(xiàng)的符號(hào)由

…i…s…n)+N(h…力…js…j")

決定；而對(duì)行列式〃，這一項(xiàng)的符號(hào)由

…s…i…〃)+N(6…3…八…j”)

決定.而排列1…，…S…〃與排列1…S…，…刀的奇偶性相反,

所以

(—Y)NQ，5〃)+N(力…力?/…)(_])N(l?'s'#+N(Ji…j廣-js…九)

即〃中的每一項(xiàng)都是〃中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的相反數(shù)，所以y-〃.

例1計(jì)算行列式

429-30

63-571

E>=50000

80040

70350

解：將第一、二行互換，第三、五行互換，得

63-571

429-30

D=(-l)270350

80040

50()00

將第一、五列互換，得

13-576

029-34

D=(-1)300357=-1-2-3-4-5=-5!=-120

00048

00005

推論若行列式有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值

等于零.

證：將行列式〃中對(duì)應(yīng)元素相同的兩行互換，結(jié)果仍是〃，

但由性質(zhì)2有

D=-D,所以氏0.

性質(zhì)3行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列

式符號(hào)的外面.即

?11?12,,?a\na\\?12,??a\n

ka

ka*kan.?,i?=kai\ai\,-?ain

an\am,-■a,u,anlan2,-a?n

證：由行列式的定義有

左端/TLF

k?-l嚴(yán)…&

=jlj?…jn

=右端.

此性質(zhì)也可表述為：用數(shù)4乘行列式的某一行（列）的所有元

素，等于用數(shù)4乘此行列式.

推論：如果行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行

列式的值等于零.

證：由性質(zhì)3和性質(zhì)2的推論即可得到.

性質(zhì)4如果行列式的某一行（列）的各元素都是兩個(gè)數(shù)的

和，則此行列式等于兩個(gè)相應(yīng)的行列式的和，即

aa

知卬2…知a}2…a]n\\n

?=CC

々?1+C“bi2+c/2.?bin+c/>fEl壇…瓦〃+i\i2

…。nn%]a〃2…a“nan\an2

Z（-i產(chǎn)必乜…（然+,）??a%

證：左端…

Z（_i嚴(yán)必…%…,

hh''Jn

aHa\2…a\na\\a\1…a\n

g加瓦十Ci\Ci2.一Cin

="m???annan\an2…ann

=右端.

性質(zhì)5把行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)A加到另

一行（列）的相應(yīng)元素上，行列式的值不變.即

a1132,,ai?

行有水力口一*

D=??到第?5行，?

a51as2…見"

an\an2ann

a

c\2…ahi

aa

i\i2…ain

k%kaa

+G他2+42???in+sn

an2…ann

證：住【性質(zhì)4

a

\\。12即《2…

ai\ail%"ai2

ka

kcij、ka「inas2

a“242…a“”

右端=+=k-0

a\\a\2**,

ai\ai2***ain

%as2-,as?

a”2a

+nn=左端

作為行列式性質(zhì)的應(yīng)用，我們來(lái)看下面幾個(gè)例子.

例2計(jì)算行列式

3111

1311

D=

1131

1113

解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是各行4個(gè)數(shù)的和都是6,我們把第

2、3、4各列同時(shí)加到第1歹I」，把公因子提出，然后把第

1行X(-D加到第2、3、4行上就成為三角形行列式.具

體計(jì)算如下：

611111111111

631113110200

D==6=6=6x23=48

613111310020

611311130002

例3計(jì)算行列式

0-1-12

1-102

D=

-12-10

2110

解：

0-1-12fj-102xlx(-2)1-102

1-102J-1-12

0-1-12xlx3

D--12-10---12-10J

01-12J

211021104-----1031-4

1-1021-102

0-1-120-1-12

=-=-lx(-l)x(-2)x(-2)=4

00-2400-24

00-22000-2

labc+d

1bca+d

D==0

1cda+b

例4試證明：Idab+c

證：把2、3列同時(shí)加到第4列上去，則得

laba+b+c+d1ab1

1bca+b+c+d1bc1

D==(〃+/?+c+d)=0

1cd4+0+C+。1cd1

Idaa+b+c+d1da1

xa2???4

a

xa2??,?

D=axa2x???冊(cè)

%aa?■■X

例5計(jì)算加1階行列式23

解：將〃的第2列、第3列、…、第列全加到第1列上,

n

然后從第1列提取公因子日得J

1a1a2???an

1x???a?

O=Cv+Z%)1a2x???an

i=[???????????????

1a2a3???x

X(_0)」i

X5)------1

100???0

1x-a}0…0

(x+Z%)1a2~a\工一出0

i=\

1a2-a{a3-a2--x-an

〃

(%+2卬)(彳一4)(％-。2＞《一?！?

二i-\

例6解方程

111???11

11-x1?-?11

112-x???11

=0

111(n-2)-x1

111???1(n-l)-jc

解法一：

111-??11x(-l)

11-x1???11

112-x…11

111(〃-2)—x1

111???1(n-1)-;r

11111

00—x000

001-x…00

=(-x)(l-x)---[(n-3)-x][(n-2)7]

000???(n-3)-x0

000-??0(H-2)-X

所以方程的解為*=0,也=1，…，"-2=〃-3,xn-{=n-2.

解法二：根據(jù)性質(zhì)2的推論，若行列式有兩行的元素相同，

行列式等于零.而所給行列式的第1行的元素全是1,第2

行，第3行，…第〃行的元素只有對(duì)角線上的元素不是1,

其余均為1.因此令對(duì)角線上的某個(gè)元素為1,則行列式必

等于零.于是得到

1-A=1

2-x=l

(n-2)-x=\

(z?-1)-A=1

有一成立時(shí)原行列式的值為零.所以方程的解為不=0,如

=1,…，x?-2=n-3,x-i=z?-2.

例7計(jì)算〃階行列式

xa2a3???an

a1％a3…an

D=qa2x???anxw《(i=1,2,…〃)

a{a2a3???x

解：將第1行乘以(-1)分別加到第2、3、…、〃行上得

xa2a3???明

ax-xx-a20…0

D=ax-x0x-ci30

ax-x00…x-a?

從第一列提出x-a”從第二提出x-a2，…，從第〃列提出x

便得到

Xa2a3%

x-a]x-a2x-a3x-ax

-110-??0

D-(x-tZj)(x-)???(x-a)

n-101???0

-100-??1

-^=1+—

由x-qx-4并把第2、第3、…、第〃列都加于第1

歹U，有

1+f^i____________—...

占x-6x-ax-a

23x-an

0100

D=(x-a)(x-a)---(x-a)0]…

]2nQ0

0001

=(xa})(x生)…(尢〃〃)(1+￡')

例8試證明奇數(shù)階反對(duì)稱行列式

°ai2…a\n

D=122"=0

-a\n-a2n0

aa

°~n~\n

aa

DT=\20?"~2n

??????????

證：〃的轉(zhuǎn)置行列式為a'"%1?-°

從2/中每一行提出一個(gè)公因子(-1),于是有

°a]2…a]n

T—a,-,0,,,

Dr=(-1)"122"=(_])，，￡)

????????????

~a'n一%”0,但由性質(zhì)1知道

U二D

：.仄(-1)7?

又由〃為奇數(shù)，所以有分-D,

即2氏0,因此次0.

思考題：

1.證明下列各題：

1aa31aa2

1h/=(〃+Z?+c)lbh2

1cc31cc2

2.計(jì)算下列〃階行列式：

—4q000

0-a2a2???00

??????????????????

000--a?

111???11

課后作業(yè)課后習(xí)題

學(xué)生在本次教學(xué)、實(shí)訓(xùn)中

主要存在的問(wèn)題

授課課題（學(xué)習(xí)情境/任務(wù)/項(xiàng)

行列式的計(jì)算、克拉默法則

目/單元

授課時(shí)間第3周（1）課型理論課

教學(xué)掌握行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計(jì)算簡(jiǎn)單的〃階行列式

目標(biāo)熟練應(yīng)用克拉默法則

教學(xué)重點(diǎn)代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)

教學(xué)難點(diǎn)行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計(jì)算簡(jiǎn)單的〃階行列式

教學(xué)準(zhǔn)備（環(huán)境、資源、條件

多媒體

等）

導(dǎo)學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)組

教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)織與方時(shí)間

法

一.導(dǎo)課參與互動(dòng)PPT

本節(jié)我們要研究如何把較高階的行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式思考、聯(lián)想展示

的問(wèn)題，從而得到計(jì)算行列式的另一種基本方法一一降階做出選擇

法.為此，先介紹代數(shù)余子式的概念.聆聽、參考講授30

二.行列式按一行（列）展開公式別人意見

定義在〃階行列式中，劃去元素所在的第/行和第J列后，

余下的元素按原來(lái)的位置構(gòu)成一個(gè)n-1階行列式，稱為元素

a門的余子式，記作元素a〃的余子式前面添上符號(hào)（-

1）'"稱為元素即的代數(shù)余子式,記作即4尸為1嚴(yán)即

例如：在四階行列式

a\\a\2。13。14

〃21422〃23〃24a\\%2"14

L）=

。32。33。34“31。32。34

"41"42