新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題2-1 函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期性）（解析版）

專題2-1函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期性）目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01奇偶性基礎(chǔ) 1題型02中心對(duì)稱型函數(shù) 3題型03軸對(duì)稱型函數(shù) 6題型04斜直線軸對(duì)稱型 8題型05“正余弦”型對(duì)稱 10題型06伸縮型對(duì)稱 13題型07一元三次函數(shù)型中心對(duì)稱 15題型08“局部周期”型函數(shù)性質(zhì) 18題型09雙函數(shù)型對(duì)稱 20題型10原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)型雙函數(shù)對(duì)稱 22題型11放大鏡型函數(shù)性質(zhì) 25題型12抽象函數(shù)賦值型性質(zhì) 29題型13對(duì)稱型恒成立求參 31題型14構(gòu)造“對(duì)稱”型函數(shù) 33高考練場 35題型01奇偶性基礎(chǔ)【解題攻略】奇偶函數(shù)的性質(zhì)①偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?關(guān)于y軸對(duì)稱?對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反；②奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相同；③奇函數(shù)在x＝0處有意義時(shí)，必有結(jié)論f(0)＝0；奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運(yùn)算，奇偶性不變； ③奇(偶)函數(shù)的絕對(duì)值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)．【典例1-1】（2023秋·山西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的值是（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，由此可以求出SKIPIF1<0的值，進(jìn)而可以求出SKIPIF1<0.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，顯然函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.【典例1-2】（2023秋·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0為偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增B．SKIPIF1<0為偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減C．SKIPIF1<0為奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增D．SKIPIF1<0為奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義判斷函數(shù)的奇偶性以及結(jié)合指數(shù)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0結(jié)合奇偶性定義，可知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故選；C.【變式1-1】．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用奇函數(shù)的定義求出a值，再由函數(shù)單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】由SKIPIF1<0為奇函數(shù)，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是減函數(shù)，SKIPIF1<0是增函數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0是R上的減函數(shù)，不等式SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.故選：D【變式1-2】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出SKIPIF1<0，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，即可得解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，對(duì)任意SKIPIF1<0方程成立，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B【變式1-3】．（2023秋·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由解析式、奇偶性定義判斷SKIPIF1<0的單調(diào)性、奇偶性，再將條件化為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即可求范圍.【詳解】由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，即為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0.故選：C題型02中心對(duì)稱型函數(shù)【解題攻略】中心對(duì)稱結(jié)論：（1）若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的一個(gè)對(duì)稱中心為SKIPIF1<0（2）若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的一個(gè)對(duì)稱中心為SKIPIF1<0（3）若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的一個(gè)對(duì)稱中心為SKIPIF1<0.【典例1-1】.已知函數(shù)SKIPIF1<0，則存在非零實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】判斷函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性并求出其值域，根據(jù)值域可判斷A錯(cuò)誤；由函數(shù)的奇偶性可推出SKIPIF1<0，此式不成立，故B錯(cuò)誤；由所給等式可知SKIPIF1<0，此時(shí)不成立，故C錯(cuò)誤；由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可知SKIPIF1<0，代入等式可得SKIPIF1<0成立，故D正確.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是定義在R上的奇函數(shù)，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，又函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0，又函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不成立，C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0成立，故D正確.故選：D【典例1-2】函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與函數(shù)SKIPIF1<0圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為___________.【答案】-7【分析】由函數(shù)解析式可得兩函數(shù)圖象均關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱，進(jìn)而探討函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，然后畫出圖象的大致形狀，即可求得兩圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【詳解】易知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0圖象上任意一點(diǎn)為SKIPIF1<0，則它關(guān)于（-1,0）的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，將其代入SKIPIF1<0的解析式得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)（-1,0）對(duì)稱.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減.于是x=-2時(shí)，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，x=0時(shí)，SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0.現(xiàn)作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，如圖：于是得到圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.故答案為：-7.【變式1-1】.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為5，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)SKIPIF1<0，利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出SKIPIF1<0是奇函數(shù)，結(jié)合條件得出SKIPIF1<0的最大值和最小值，從而得出SKIPIF1<0的最小值.解：由題可知，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其定義域?yàn)镾KIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函數(shù)，而SKIPIF1<0，由題可知，函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為5，則函數(shù)SKIPIF1<0的最大值為：5-3=2，由于SKIPIF1<0是奇函數(shù)，得SKIPIF1<0的最小值為-2，所以SKIPIF1<0的最小值為：-2+3=1.故選：B.【變式1-2】已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0使關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的范圍為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】證明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而把不等式變形后應(yīng)用單調(diào)性化簡，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，利用換元法可得結(jié)果．【詳解】顯然函數(shù)定義域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，原不等式可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，(*)設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是增函數(shù)，不等式(*)化為SKIPIF1<0，(**)令SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不等式(**)化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，問題轉(zhuǎn)化為存在SKIPIF1<0，使不等式SKIPIF1<0成立，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為2．∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【變式1-3】.函數(shù)SKIPIF1<0的圖像可能是（）A． B．C． D．天津市耀華中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【答案】D【分析】分析給定函數(shù)的奇偶性可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并求出在0處的導(dǎo)數(shù)值即可判斷作答.【詳解】令SKIPIF1<0，則其的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是排除選項(xiàng)A，B；SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0圖象在原點(diǎn)處切線斜率大于0，顯然選項(xiàng)C不滿足，D滿足.故選：D題型03軸對(duì)稱型函數(shù)【解題攻略】軸對(duì)稱性的常用結(jié)論如下：若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的一條對(duì)稱軸為SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的一條對(duì)稱軸為SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的一條對(duì)稱軸為SKIPIF1<0(4)f(a－x)＝f(b＋x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱；【典例1-1】．（2023上·重慶·高三重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，且對(duì)SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【分析】先根據(jù)條件得到函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，又SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，且對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0恒成立，若不等式SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【分析】由已知判定函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，利用單調(diào)性去函數(shù)符號(hào)解一元二次不等式恒成立問題即可.【詳解】由于SKIPIF1<0，可知函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0軸對(duì)稱，又對(duì)于SKIPIF1<0恒成立，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1-1】．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0為偶函數(shù)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意可得SKIPIF1<0的對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式求解最值即可．【詳解】SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【變式1-2】（2023上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，且SKIPIF1<0有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值為．【答案】39【分析】先得到SKIPIF1<0的圖象也關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，觀察到SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，故由對(duì)稱性可知，SKIPIF1<0的另外兩個(gè)零點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，從而得到方程組，求出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值情況，畫出SKIPIF1<0的圖象，進(jìn)而得到SKIPIF1<0的圖象，根據(jù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到SKIPIF1<0，從而得到答案.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，所以SKIPIF1<0的圖象也關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，顯然SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩個(gè)零點(diǎn)，故由對(duì)稱性可知，SKIPIF1<0的另外兩個(gè)零點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，畫出SKIPIF1<0的圖象如下，

故SKIPIF1<0的圖象是將SKIPIF1<0圖象位于SKIPIF1<0軸下方部分沿著SKIPIF1<0軸翻折到SKIPIF1<0軸上方即可，如下：

要想SKIPIF1<0有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：39【變式1-3】．（2023上·陜西榆林·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/0.25【分析】根據(jù)對(duì)稱性和奇函數(shù)分析可得SKIPIF1<0，進(jìn)而結(jié)合指對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型04斜直線軸對(duì)稱型【解題攻略】關(guān)于斜直線軸對(duì)稱，可以借鑒圓錐曲線中直線的對(duì)稱性來處理（1）點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0；（2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決.如果斜直線軸對(duì)稱，還有以下經(jīng)驗(yàn)公式：如果對(duì)稱軸所在的直線斜率是SKIPIF1<0，即直線是SKIPIF1<0型，可以利用反解對(duì)稱軸法直接求出對(duì)稱變換式子SKIPIF1<0(1)如果SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0；(2)如果SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．【典例1-1】（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中校考）已知函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0的函數(shù)圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由于點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例1-2】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考）已知定義域?yàn)镾KIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且其圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，若當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】求得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0,根據(jù)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上，則關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1-1】（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若曲線SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0的值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】直線關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，可從定義域出發(fā)判斷對(duì)稱軸的位置，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法即可得到實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值，檢驗(yàn)后，即可SKIPIF1<0的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，即函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，又因?yàn)榍€SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則定義域也關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，即SKIPIF1<0，由對(duì)稱的性質(zhì)可知?jiǎng)tSKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0代入函數(shù)得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0驗(yàn)證是否關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱：SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立；則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1-2】（2023上·上海浦東新·高三華師大二附中?？迹┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0，且關(guān)于直線SKIPIF1<0成軸對(duì)稱圖形，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上任取點(diǎn)SKIPIF1<0，可得該點(diǎn)關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱點(diǎn)，代入函數(shù)式并比較求出b，再將給定點(diǎn)代入求出a得解.【詳解】在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象任取點(diǎn)SKIPIF1<0，則該點(diǎn)關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象上，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，又函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06．1．Y=x對(duì)稱【變式1-3】（2021上·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】令SKIPIF1<0，根據(jù)對(duì)稱性可知解得SKIPIF1<0的值即為所求SKIPIF1<0.【詳解】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，SKIPIF1<0.故選：A.題型05“正余弦”型對(duì)稱【解題攻略】SKIPIF1<0（1）兩中心SKIPIF1<0；（2）兩垂直軸SKIPIF1<0則SKIPIF1<0；（3）一個(gè)中心SKIPIF1<0，一條軸SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【典例1-1】函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且SKIPIF1<0為偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值集合是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)條件判斷函數(shù)周期為SKIPIF1<0，求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的解析式，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，且SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周期為4，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，做出函數(shù)SKIPIF1<0圖像，如下圖所示：令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)直線與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，同理SKIPIF1<0，直線與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則要使函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)與直線SKIPIF1<0只有一個(gè)交點(diǎn)，則SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周期為4，SKIPIF1<0范圍也表示為SKIPIF1<0，所以所有SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選:D.【典例1-2】.定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)f（x）滿足f（－x）＋f（x－2）＝0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（已知SKIPIF1<0），則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)條件，推出函數(shù)SKIPIF1<0的對(duì)稱性，周期性和單調(diào)性，將自變量SKIPIF1<0轉(zhuǎn)到區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，再根據(jù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的圖像關(guān)于直線SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，∴SKIPIF1<0的周期為4，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，由對(duì)稱性知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由條件知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故選：A.【變式1-1】已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足條件SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0是周期函數(shù)；B．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱；C．函數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的偶函數(shù)；D．函數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的單調(diào)函數(shù)．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期函數(shù)，故A正確.對(duì)于B，函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，向左平移SKIPIF1<0個(gè)單位得到SKIPIF1<0，橫坐標(biāo)再擴(kuò)大為原來的SKIPIF1<0倍，所以SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，故B正確.對(duì)于C，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為偶函數(shù)，故C正確.對(duì)于D，由于SKIPIF1<0是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，SKIPIF1<0軸兩側(cè)函數(shù)對(duì)應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性相反，故D錯(cuò)誤.故選：D【變式1-2】已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先證明SKIPIF1<0為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)A：∵SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0兩邊求導(dǎo)可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，A成立；對(duì)B：令SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，B成立；∵SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0兩式相加可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0成中心對(duì)稱則SKIPIF1<0，D成立又∵SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)以上性質(zhì)只能推出SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，C不一定成立故選：C.【變式1-3】.定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．則方程SKIPIF1<0所有的根之和為（

）A．6 B．12 C．14 D．10【答案】D【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0為奇函數(shù)，關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱且周期為4，再根據(jù)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而畫出簡圖，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解零點(diǎn)和即可.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為奇函數(shù)，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一個(gè)周期為4，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0中心對(duì)稱．由SKIPIF1<0，∴所有實(shí)根之和為SKIPIF1<0.故選：D．題型06伸縮型對(duì)稱【解題攻略】伸縮變換y＝f(ax)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標(biāo)伸長為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)【典例1-1】（2023秋·湖南懷化·高三統(tǒng)考）已知SKIPIF1<0不是常函數(shù)，且是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的奇函數(shù)，若SKIPIF1<0的最小正周期為1，則（

）A．SKIPIF1<0 B．1是SKIPIF1<0的一個(gè)周期C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和奇函數(shù)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】SKIPIF1<0的最小正周期為1，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2為周期的周期函數(shù)，因此SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A，SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由周期得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤，故選：C.【典例1-2】（2023·河南·長葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（2x＋1）為偶函數(shù)，f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，3）成中心對(duì)稱，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①SKIPIF1<0的一個(gè)周期為2

②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④直線SKIPIF1<0是SKIPIF1<0圖象的一條對(duì)稱軸A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可判①的正誤；根據(jù)周期性的應(yīng)用，可判②的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，進(jìn)行分組求和，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可判③的正誤；根據(jù)函數(shù)的軸對(duì)稱性的性質(zhì)，可判④的正誤.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0成軸對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0的圖象是由函數(shù)SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個(gè)單位，所以函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0成中心對(duì)稱，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，對(duì)于①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，SKIPIF1<0，故②正確；對(duì)于③，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故③正確；對(duì)于④，SKIPIF1<0，而函數(shù)SKIPIF1<0不是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0不恒成立，故④錯(cuò)誤.故選：B.【變式1-1】（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)，SKIPIF1<0是奇函數(shù)，且SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A．函數(shù)SKIPIF1<0的周期為2 B．函數(shù)SKIPIF1<0的周期為3C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)賦值法結(jié)合周期定義得出函數(shù)SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，再由周期的性質(zhì)判斷CD.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，故AB不正確；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確；SKIPIF1<0的值不確定，故C不正確.故選：D.【變式1-2】．（2022秋·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1<0是偶函數(shù)，則一定有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】推導(dǎo)出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，進(jìn)一步可推導(dǎo)出函數(shù)SKIPIF1<0為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0為周期函數(shù)，且周期為SKIPIF1<0，對(duì)于A選項(xiàng)，SKIPIF1<0，A對(duì)；對(duì)于BCD選項(xiàng)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0的值無法確定，BCD均錯(cuò).故選：A.【變式1-3】（2022秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的奇函數(shù)，SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的偶函數(shù)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由條件得到函數(shù)SKIPIF1<0的對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性求值，即可求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的奇函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，且SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0是定義域?yàn)?/p>