高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)4.4.1解三角形的實(shí)際應(yīng)用(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第四章三角函數(shù)與解三角形4.4.1解三角形的實(shí)際應(yīng)用（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一解三角形的最值問(wèn)題1.三角函數(shù)法：在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性，這是求解三角最值問(wèn)題的最常用的方法。另外，在解三角形問(wèn)題中，兩大利器就是正弦定理和余弦定理，它們兩個(gè)的基本操作方法無(wú)非就是“角化邊”或者“邊化角”，將多元問(wèn)題降元，轉(zhuǎn)變成一元問(wèn)題，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性即可求解出最值。2.基本不等式法：利用正弦定理或余弦定理，轉(zhuǎn)化為二元問(wèn)題，再利用基本不等式及其推論求解最值。二組合圖形問(wèn)題雙-余弦定理在由兩個(gè)三角形拼接而成的組合圖形中，如果條件中邊長(zhǎng)比較多可以嘗試在兩個(gè)三角形內(nèi)分別使用余弦定理，再根據(jù)其中一組角的關(guān)系將兩個(gè)等式聯(lián)立解方程。雙-正弦定理在由兩個(gè)三角形拼接而成的組合圖形中，如果條件中角度比較多可以嘗試在兩個(gè)三角形內(nèi)分別使用正弦定理，再將兩式相除，帶入條件進(jìn)行求解。三中線、角平分線、垂線1.中線：向量恒等式結(jié)論2.角平分線：等面積法（大三角形面積等于兩小三角形面積之和）、角分線定理3.垂線：等面積法（同一三角形求兩次面積相等）四解三角形的實(shí)際應(yīng)用高度測(cè)量問(wèn)題：仰角、俯角距離測(cè)量問(wèn)題：方位角、方向角題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一角、邊的最值典例1．在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若且為鈍角.（1）求角與角的關(guān)系；（2）求的取值范圍.變式1-1．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．變式1-2．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.變式1-3．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.(1)求；(2)若，求的最大值.變式1-4．在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，(1)求角A；(2)若，求a的最小值.題型戰(zhàn)法二周長(zhǎng)的最值典例2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為S，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．變式2-1．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若_____________．（請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上空）(1)求角C；(2)若時(shí)，求周長(zhǎng)的最大值．變式2-2．在中，角的對(duì)邊分別為，其中，且.(1)求角的大??；(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.變式2-3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.變式2-4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）若的面積為，求周長(zhǎng)的最小值．題型戰(zhàn)法三面積的最值典例3．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，并且.(1)求b的值；(2)若，求面積的取值范圍.變式3-1．在中，已知向量，，且．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．變式3-2．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍.變式3-3．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，設(shè)．(1)若，求；(2)若，求的面積的最大值．變式3-4．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題，問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且___________.(1)求角B的大??；(2)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，且A為BD的中點(diǎn)，線段CD的長(zhǎng)度為2，求△ABC的面積的最大值.題型戰(zhàn)法四組合圖形問(wèn)題典例4．如圖，在中，，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．變式4-1．如圖，在中，的垂直平分線交邊于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求的值．變式4-2．如圖，在四邊形中，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若的面積為6，求的值.變式4-3．如圖，在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)D，使得，求．變式4-4．如圖，直角中，點(diǎn)M，N在斜邊BC上（M，N異于B，C，且N在M，C之間），，，，設(shè).(1)若，求MN的長(zhǎng)；(2)求面積的最小值.題型戰(zhàn)法五中線、角分線、垂線典例5．已知在中，.(1)求邊的長(zhǎng)；(2)求邊上的中線的長(zhǎng).變式5-1．銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．(1)求角的大??；(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的取值范圍．變式5-2．在①；②；③，這三個(gè)條作中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求的中線長(zhǎng)度的最小值.變式5-3．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大??；(2)若A的角平分線交BC于D，且AD＝3，求△ABC面積的最小值．變式5-4．在中，設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）若，，成等比數(shù)列，求證：；（2）若（為銳角），.求中邊上的高.題型戰(zhàn)法六解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題典例6．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡角為的觀禮臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部B的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（即圖中線段），旗桿底部與第一排在同一水平面上．(1)求旗桿長(zhǎng)度；(2)若國(guó)歌播放的時(shí)間約為50秒，升旗手應(yīng)以約多大的速度勻速升旗？變式6-1．某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).A處有一棟大樓，某學(xué)生選，兩處作為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得的距離為m，，，在處測(cè)得大樓樓頂?shù)难鼋菫?(1)求兩點(diǎn)間的距離；(2)求大樓的高度.（第（2）問(wèn)不計(jì)經(jīng)緯儀的高度，計(jì)算結(jié)果精確到m.參考數(shù)據(jù)：，，）變式6-2．已知村莊在村莊的東偏北方向，且村莊之間的距離是千米，村莊在村莊的北偏西方向，且村莊在村莊的正西方向，現(xiàn)要在村莊的北偏東方向建立一個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)，使得農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)到村莊的距離是到村莊的距離的倍.(1)求村莊之間的距離；(2)求農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)到村莊的距離之和.變式6-3．如圖，某輪船從海島A出發(fā)沿正北方向航行，燈塔B在海島A北偏西75°的方向上，且與海島A相距，燈塔C在海島A北偏東30°的方向上，且與海島A相距，該輪船航行到D處時(shí)看到燈塔B在北偏西135°的方向上．(1)求D與海島A的距離；(2)求D與燈塔C的距離．變式6-4．海岸上建有相距海里的雷達(dá)站C，D，某一時(shí)刻接到海上B船因動(dòng)力故障發(fā)出的求救信號(hào)后，調(diào)配附近的A船緊急前往救援，雷達(dá)站測(cè)得角度數(shù)據(jù)為,.(1)救援出發(fā)時(shí)，A船距離雷達(dá)站C距離為多少？(2)若A船以30海里每小時(shí)的速度前往B處，能否在3小時(shí)內(nèi)趕到救援？第四章三角函數(shù)與解三角形4.4.1解三角形的實(shí)際應(yīng)用（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一解三角形的最值問(wèn)題1.三角函數(shù)法：在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性，這是求解三角最值問(wèn)題的最常用的方法。另外，在解三角形問(wèn)題中，兩大利器就是正弦定理和余弦定理，它們兩個(gè)的基本操作方法無(wú)非就是“角化邊”或者“邊化角”，將多元問(wèn)題降元，轉(zhuǎn)變成一元問(wèn)題，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性即可求解出最值。2.基本不等式法：利用正弦定理或余弦定理，轉(zhuǎn)化為二元問(wèn)題，再利用基本不等式及其推論求解最值。二組合圖形問(wèn)題雙-余弦定理在由兩個(gè)三角形拼接而成的組合圖形中，如果條件中邊長(zhǎng)比較多可以嘗試在兩個(gè)三角形內(nèi)分別使用余弦定理，再根據(jù)其中一組角的關(guān)系將兩個(gè)等式聯(lián)立解方程。雙-正弦定理在由兩個(gè)三角形拼接而成的組合圖形中，如果條件中角度比較多可以嘗試在兩個(gè)三角形內(nèi)分別使用正弦定理，再將兩式相除，帶入條件進(jìn)行求解。三中線、角平分線、垂線1.中線：向量恒等式結(jié)論2.角平分線：等面積法（大三角形面積等于兩小三角形面積之和）、角分線定理3.垂線：等面積法（同一三角形求兩次面積相等）四解三角形的實(shí)際應(yīng)用高度測(cè)量問(wèn)題：仰角、俯角距離測(cè)量問(wèn)題：方位角、方向角題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一角、邊的最值典例1．在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若且為鈍角.（1）求角與角的關(guān)系；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化即可求解.（2）由（1）可得，由，解得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，由正弦定理得，∴.∵B為鈍角，∴A為銳角，∴，∴.（2）.∵，∴，∴，∴，∴.變式1-1．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.（2）由題設(shè)有，根據(jù)已知及余弦定理有，再由正弦邊角關(guān)系及和差角正弦公式可得，即可得，進(jìn)而求最值.(1)由，故，而，所以，故.(2)由，故，即，由余弦定理知：，即，所以，即，又，故，由，則或（舍），所以，則，即，，而，所以，當(dāng)時(shí)有最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，注意綜合應(yīng)用正余弦定理得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)、三角恒等變換得到的關(guān)系及角的范圍，進(jìn)而求最值.變式1-2．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?(2)解：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?變式1-3．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.(1)求；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．（2）利用正弦定理得到、，則，再利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：，，即，即，得，即，，，又，所以．(2)解：因?yàn)椋?，由正弦定理其中，由于，所以?dāng)時(shí)，變式1-4．在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，(1)求角A；(2)若，求a的最小值.【答案】(1)(2)2【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及正弦定理將邊化角，再結(jié)合二倍角公式計(jì)算可得；（2）由數(shù)量積的定義求出，再由余弦定理及基本不等式計(jì)算可得；(1)解：在，由，所以，即，再由正弦定理得，，因?yàn)?，∴，因?yàn)?，所以，?(2)解：由，即，所以.由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的最小值為2.題型戰(zhàn)法二周長(zhǎng)的最值典例2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為S，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式結(jié)合正弦余弦定理化簡(jiǎn)即可得到答案;（2）先利用余弦定理及基本不等式得到，然后根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，即可求出周長(zhǎng)的取值范圍..(1)由，又，由，則.由正弦定理得，所以.由余弦定理得，因?yàn)椋?(2)由余弦定理得，∴，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又，（三角形任意兩邊之和大于第三邊）∴，∴周長(zhǎng)的取值范圍為．變式2-1．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若_____________．（請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上空）(1)求角C；(2)若時(shí)，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)18【解析】【分析】（1）若選①，首先根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到，若選②，首先根據(jù)正弦定理得到，再利用輔助角公式即可得到，若選③，首先根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到.（2）利用余弦定理再結(jié)合基本不等式求解即可.(1)若選①，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所?若選②，因?yàn)椋?，因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以，?若選③，因?yàn)?，所以，即，所以，，所?(2)由①②③可得，由余弦定理：，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以周長(zhǎng)的最大值是.變式2-2．在中，角的對(duì)邊分別為，其中，且.(1)求角的大??；(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根據(jù)求出的取值范圍，即可得解；(1)解：因?yàn)?，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因?yàn)?，所以?2)解：因?yàn)?、，由余弦定理，即，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周長(zhǎng)的取值范圍為變式2-3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求角A的大??；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得結(jié)果；（2）由余弦定理及均值不等式即可得到結(jié)果.(1)∵，∴，∴，∴，又，∴；(2)由余弦定理，得，即．因?yàn)?，所以．即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．所以．故周長(zhǎng)的最大值.變式2-4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）若的面積為，求周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）9.【解析】【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊化角的運(yùn)算，化簡(jiǎn)可得，求正切值，由角的范圍可求出具體值；（2）由面積公式可知，由余弦定理可求出的最小值，由基本不等式可求出的最小值，從而求出周長(zhǎng)最小值.【詳解】解：（1）由正弦定理：化簡(jiǎn)，可得，所以，即．又，所以．（2）結(jié)合三角形的面積公式得到，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以周長(zhǎng)的最小值為．題型戰(zhàn)法三面積的最值典例3．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，并且.(1)求b的值；(2)若，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，從而求得的值.（2）利用余弦定理求得的取值范圍，結(jié)合三角形的面積公式求得三角形面積的取值范圍.(1)由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R為的外接圓半徑.因?yàn)椋瑥亩?，整理得；又在中，，從而，則.(2)由及余弦定理，又為銳角三角形，因此，即，解得.又，因此面積的取值范圍是.變式3-1．在中，已知向量，，且．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由，可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面積公式計(jì)算可得；(1)解：設(shè)中，角的對(duì)邊分別為，∵，∴又，，∴，即，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，又∵

∴.(2)解：由（1）得，又∵∴即且∴面積又由基本不等式得即當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)∴面積故面積的最大值為變式3-2．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求A；(2)若是銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化角或根據(jù)余弦定理將角化邊.（2）根據(jù)正弦定理和面積公式求解即可.(1)(解法一)因?yàn)?，所以則，即因?yàn)椋?，因?yàn)樗?(解法二)由全弦定理，得整理得.所以，因?yàn)樗?(2)因?yàn)?，所以?所以因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以解得.所以，所以.變式3-3．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，設(shè)．(1)若，求；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合正、余弦定理對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由余弦定理，即可得解；（2）由余弦定理得出，再結(jié)合三角形面積公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，推出關(guān)于的函數(shù)，從而得解．(1)解：，結(jié)合正、余弦定理，可得，化簡(jiǎn)得，，代入，得，由余弦定理知，，，．(2)解：由（1）知，，由余弦定理知，，的面積，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．變式3-4．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題，問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且___________.(1)求角B的大??；(2)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，且A為BD的中點(diǎn)，線段CD的長(zhǎng)度為2，求△ABC的面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定理，在三角形中實(shí)現(xiàn)邊角互化，借助和差公式即可求解.（2）在中，根據(jù)余弦定理可得，然后根據(jù)不等式即可求解最大值，即可求解面積的最大值.(1)若選①；在中，因?yàn)楣视煽傻糜烧叶ɡ淼茫?，則，又，故.選②∴∴.若選③由及正弦定理.．又，所以.即，因?yàn)椋?，又，?綜上所述：選擇①②③，都有(2)在中，由余弦定理知∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為2，面積取得最大值題型戰(zhàn)法四組合圖形問(wèn)題典例4．如圖，在中，，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）同角三角函數(shù)關(guān)系可得，再應(yīng)用差角正弦公式求、，進(jìn)而求.（2）應(yīng)用正余弦定理分別求出BC、AC即可得結(jié)果.(1)∵，∴，則．所以，所以．(2)在中，由正弦定理得，則BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．變式4-1．如圖，在中，的垂直平分線交邊于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求的值．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的長(zhǎng)；（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值【詳解】解：（1）在中，，整理得，即，所以或．（2）因?yàn)椋桑?）得，所以．在中，由余弦定理得．所以．由，得．在中，由正弦定理得，即，所以．變式4-2．如圖，在四邊形中，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若的面積為6，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得的長(zhǎng)；（2）利用面積得出，結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解：（1）由題可知.在中，，所以.（2），則.又，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角較多時(shí)一般選用正弦定理，已知邊較多時(shí)一般選用余弦定理.變式4-3．如圖，在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)D，使得，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理邊化角可求得，進(jìn)而結(jié)合同角基本關(guān)系的平方關(guān)系即可求出結(jié)果.（2）求出，進(jìn)而在中結(jié)合正弦定理即可求出結(jié)果.(1)在中，由正弦定理得，又在中，，所以上式可化為．因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭卿J角三角形，．解得．(2)由（1）得：，又是銳角三角形，所以，所以．在中，由正弦定理得：，即，解得．變式4-4．如圖，直角中，點(diǎn)M，N在斜邊BC上（M，N異于B，C，且N在M，C之間），，，，設(shè).(1)若，求MN的長(zhǎng)；(2)求面積的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）且為銳角，，然后在和中，利用正弦定理可分別求得，，；（2）在和中，由正弦定理分別求得和（均用含的式子表示），所以，然后令，求得其在上的最大值，即可得到面積的最小值.(1)解：，，，，且為銳角，，在中，，由正弦定理得：，代入數(shù)據(jù)求得，，，在中，，，由正弦定理得：，解得．(2)由正弦定理可知，在中，，在中，，，令，，，當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)面積取得最小值，為．題型戰(zhàn)法五中線、角分線、垂線典例5．已知在中，.(1)求邊的長(zhǎng)；(2)求邊上的中線的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先由正弦定理求出AB，再用余弦定理求出或，通過(guò)驗(yàn)證得到正確答案；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，用余弦定理進(jìn)行求解.(1)由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，綜上：(2)因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以.變式5-1．銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且．(1)求角的大?。?2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理化邊為角，結(jié)合商數(shù)關(guān)系及和角公式化簡(jiǎn)求得，即可得出答案；（2）由已知結(jié)合余弦定理及向量數(shù)量積的性質(zhì)表示，然后結(jié)合正弦定理和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，在結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.(1)解：因?yàn)?，所以，即，又因，所以，所以，因?yàn)?，所以?2)解：由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以，所以，所以，所以中線CD長(zhǎng)的取值范圍為.變式5-2．在①；②；③，這三個(gè)條作中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大??；(2)若，求的中線長(zhǎng)度的最小值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用余弦定理即可求得答案；若選②，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，求得答案；若選③，則根據(jù)正弦定理，邊化角，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式化簡(jiǎn)，求得答案；（2）根據(jù)可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.(1)選擇條件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得,因?yàn)?，所以；選擇條件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以；選擇條件③：由及正弦定理，得：，因?yàn)?，所以.在中，，則，故.因?yàn)椋?，則，故；(2)因?yàn)?，所以，整理得，在三角形中，由余弦定理?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，所以，即，即長(zhǎng)度的最小值為.變式5-3．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若A的角平分線交BC于D，且AD＝3，求△ABC面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊向角轉(zhuǎn)化，然后利用三角函數(shù)的公式變形可得答案；（2）由可得，然后利用基本不等式可得答案.(1)由正弦定理，得，得，得，因?yàn)?，所以，?(2)因?yàn)?，所?因?yàn)?，即（?dāng)且僅當(dāng)b＝c＝6時(shí)，等號(hào)成立），所以．故△ABC面積的最小值為.變式5-4．在中，設(shè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）若，，成等比數(shù)列，求證：；（2）若（為銳角），.求中邊上的高.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由，，成等比數(shù)列得，再利用余弦定理及基本不等式求出的范圍，從而證明；（2）先利用二倍角公式解得；再由正弦定理求得；下面可采用種方法求解.方法一：由余弦定理求得，再利用邊上的高代入即得；方法二：先由同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系算出，進(jìn)而算出，再利用邊上的高代入即得【詳解】解：（1）證明：因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）又因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以（2）在中，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，，所以由正弦定理，解得?：由，得.由余弦定理，得.解得或（舍）所以邊上的高.法2：由，得.又因?yàn)?，所以所以或（舍）（或：因?yàn)?，且，所以為銳角，）又因?yàn)樗浴嗨赃吷系母?【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式等知識(shí)，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用公式的計(jì)算能力.題型戰(zhàn)法六解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題典例6．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡角為的觀禮臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部B的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（即圖中線段），旗桿底部與第一排在同一水平面上．(1)求旗桿長(zhǎng)度；(2)若國(guó)歌播放的時(shí)間約為50秒，升旗手應(yīng)以約多大的速度勻速升旗？【答案】(1)30（米）(2)0.6（米/秒）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意在△BCD中利用正弦定理，可求，再在Rt△ABC中根據(jù)求解；（2）直接利用速度公式計(jì)算．(1)在△BCD中，，，，由正弦定理，得；在Rt△ABC中，（米）．(2)升旗速度（米/秒）．變式6-1．某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).A處有一棟大樓，某學(xué)生選，兩處作為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)