高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.6空間幾何體中垂直的判定與性質(zhì)(精練)(原卷版+解析)

7.6空間幾何體中垂直的判定和性質(zhì)【題型解讀】【題型一線面垂直的判定】1.(2023·陜西安康·高三期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.證明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.2.(2023·江蘇南通市高三模擬）在平行四邊形中過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，.連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.證明：直線平面.3.(2023·陜西高三模擬）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，證明：平面4.(2023·海原縣高三模擬）如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，證明：平面5.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于，），已知，，平面，四邊形為平行四邊形，求證：平面【題型二面面垂直的判定】1.(2023·全國高三模擬）如圖，正方形ABED的邊長為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．2.(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）在四棱錐中，底面是正方形，若，證明：平面平面3.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；4.(2023·全國高三模擬）已知正三角形的邊長為，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1），將沿折起到的位置（如圖2），且使與底面成角，連接，，求證：平面⊥平面【題型三線線垂直的判定】1.(2023·江西高三模擬）如圖，是邊長為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．證明：2.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：3．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，四邊形是菱形，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).證明：；【題型四垂直中的探究性問題】1.(2023·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).，）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由2.(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，分別為的中點(diǎn)，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.3.(2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在棱長為的正方體中，、分別為棱和的中點(diǎn)，交于，試在棱上找一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論；4.(2023·云南昆明市高三模擬）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且.①當(dāng)在上時(shí)，______；②點(diǎn)的軌跡的長度為______.7.6空間幾何體中垂直的判定和性質(zhì)【題型解讀】【題型一線面垂直的判定】1.(2023·陜西安康·高三期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.證明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.答案：(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF.∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴，.∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴，，∴，，∴四邊形DEFM為平行四邊形.∴，∵平面PDC，平面PDC.∴平面PDC.(2)∵四邊形ABCD為正方形，∴.又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.∵平面PAB，∴.連接AF，∵，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，∴.又，AD，平面DEF，∴PB⊥平面DEF.2.(2023·江蘇南通市高三模擬）在平行四邊形中過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，.連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.證明：直線平面.答案：證明見解析【解析】證明：圖1中，在中，所以.所以也是直角三角形，，在圖2中，所以平面.3.(2023·陜西高三模擬）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，證明：平面答案：證明見解析【解析】∵為的中點(diǎn)，∴，∵直三棱柱中，面面，面，面面，∴面，又面，即，由題設(shè)易知：，故，又，∴，則，又，∴平面.4.(2023·海原縣高三模擬）如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，證明：平面答案：證明見解析【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以平面，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，又，所以平面?.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于，），已知，，平面，四邊形為平行四邊形，求證：平面答案：證明見解析【解析】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面，所以．因?yàn)槭且詾橹睆降膱A上的圓周角，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面．【題型二面面垂直的判定】1.(2023·全國高三模擬）如圖，正方形ABED的邊長為1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直線CE與平面ABC所成角的正切值為．(1)若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC；(2)求證：平面BCD⊥平面ACD．答案：(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）如圖，連接AE，因F是正方形ABED對角線BD的中點(diǎn)，則F是AE的中點(diǎn)，而G是CE的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，則平面，即是與平面所成的角，有，解得，即有，則，即，而，則有平面，又平面，于是得，因，平面，則平面，平面，所以平面平面.2.(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）在四棱錐中，底面是正方形，若，證明：平面平面答案：證明見解析【解析】取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)椋势矫?，因?yàn)槠矫?，故平面平?3.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；答案：證明見解析【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.∵是棱的中點(diǎn)，為正三角形，∴.∵，∴平面.∵平面∴.又∵，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.又∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.4.(2023·全國高三模擬）已知正三角形的邊長為，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1），將沿折起到的位置（如圖2），且使與底面成角，連接，，求證：平面⊥平面答案：證明見解析【解析】折疊前，在圖1中，，，，由余弦定理可得，所以，，則，折疊后，在圖2中，對應(yīng)地有，，，平面，平面，因此，平面⊥平面；【題型三線線垂直的判定】1.(2023·江西高三模擬）如圖，是邊長為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．證明：答案：證明見解析；【解析】連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.2.(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：答案：證明見解析；【解析】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：答案：證明見解析【解析】由題意，在直三棱柱中，，不妨設(shè)，則，由余弦定理可得，因?yàn)椋傻?，又由是線段的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?在直角中，，因?yàn)槭蔷€段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，四邊形是菱形，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).證明：；答案：證明見解析【詳解】證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，在中，，，∴，在菱形中，由可知為等邊三角形，∴，又∵，，，∴，，∴.【題型四垂直中的探究性問題】1.(2023·山東·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).，）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由答案：存在點(diǎn)滿足題意，且，證明詳見解析【解析】存在點(diǎn)滿足題意，且.證明如下：取的中點(diǎn)為，連接.則，所以平面.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交線為，所以平面，所以.在平面內(nèi)，，，所以，從而可得.又因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?2.(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，分別為的中點(diǎn)，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.答案：(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,則四邊形是平行四邊形，所以.又平面平面，所以平面.因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平?(2)如圖，連接與,因?yàn)槠矫嫫矫?，所?若又平面，且，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?在矩形中，由，得,所以.又，所以,則，即.3.(2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在棱長為的正方體中，、分別為棱和的中點(diǎn)，交于，試在棱上找一點(diǎn)，使平面，并證明你的結(jié)論；答案：中點(diǎn)；見解析【解析】在棱上取中點(diǎn)，連、．平面，以．在正方形中，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，平?.(2023·云南昆明市高三