高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第03講平面向量的數(shù)乘運算(原卷版+解析)

第3講平面向量的數(shù)乘運算知識點1向量的數(shù)乘一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當(dāng)λ>0時，與a的方向相同；,當(dāng)λ<0時，與a的方向相反.))特別地，當(dāng)λ＝0時，λa＝0.，當(dāng)λ＝－1時，(－1)a＝－a.對于理解代數(shù)角度幾何角度是實數(shù)，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．對于長度來說，當(dāng)時，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長了倍；當(dāng)時，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．實數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運算，如，都無意義．知識點2向量數(shù)乘的運算律1、向量數(shù)乘的運算律實數(shù)與向量的積滿足下面的運算律：設(shè)、是實數(shù)，、是向量，則：結(jié)合律：；第一分配律：；第二分配律：．特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2、向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識點3向量共線定理向量與非零向量共線，則有且只有一個實數(shù)，使．注：定理中，向量a為非零向量，特別地，若，實數(shù)仍存在，但不唯一．知識點4三點共線向量表示的兩個結(jié)論結(jié)論1：如圖1，點A，B，C共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得.結(jié)論2：設(shè)是平面內(nèi)的任意一點，點A，B，C共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得.考點一向量的數(shù)乘運算解題方略：向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中也可以使用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．【例1】下列算式中，正確的個數(shù)為（）①；②；③.A． B． C． D．變式1：下列運算正確的個數(shù)是（）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3變式2：計算：（1）；（2）；（3）．【例2】已知，是實數(shù)，，是向量，則下列命題中正確的為（）①；②；③若，則；④若，則．A．①④ B．①② C．①③ D．③④變式1：給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②λ＝0（λ為實數(shù)），則λ必為零；③λ，μ為實數(shù)，若λ＝μ，則與共線.其中錯誤的命題的個數(shù)為（）A．0B．1C．2 D．3變式2：下列說法中，正確的是（）A．λ與的方向不是相同就是相反 B．若，共線，則＝λC．若||＝2||，則＝±2 D．若＝±2，則||＝2||變式3:下列等式中不正確的是（）A． B．C． D．【例3】已知是所在平面內(nèi)一點，為邊中點﹐且，那么（）A． B． C． D．變式1：已知平面上不共線的四點，若，則等于（）A． B． C．3 D．2考點二共線向量定理的應(yīng)用解題方略：利用向量共線定理證明三點共線若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則A，B，C三點共線．注：(1)使用向量共線基本定理的大前提是至少有一個向量是非零向量；(2)證明三點共線時，需說明共線的兩個向量有公共點．【例4】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【例5】設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．變式1：設(shè)兩個非零向量a與b不共線，若＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb，＝3(a－b)，則m為何值時，A，B，D三點共線？變式2：設(shè)兩個非零向量a與b不共線，試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb反向共線．變式3：設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．變式4：已知向量，且，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D變式5：設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（）A．P、A、C三點共線 B．P、A、B三點共線C．P、B、C三點共線 D．以上均不正確【例6】已知的三個頂點??及平面內(nèi)一點滿足，則與的面積比為（）A． B． C． D．變式1：設(shè)點在內(nèi)部，且有，點是邊的中點，設(shè)與的面積分別為，則（）A． B． C． D．考點三由已知向量表示未知向量解題方略：由已知向量來表示另外一些向量是向量解題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘等線性運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相似三角形的對應(yīng)邊成比例等把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.利用向量的線性運算【例7】已知O，A，B是同一平面內(nèi)的三個點，直線AB上有一點C滿足2eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))B.－eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))【例8】在△ABC中，＝c，＝b.若點D滿足＝2，則＝()A.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c變式1：設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))變式2：設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CD,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))變式3:在△ABC中，點D在邊AB上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))，設(shè)eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，則eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b變式4:(2023·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))利用三角形的相似【例9】在四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，則()A．eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up7(→)) B.eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→))C．eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up7(→)) D．eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))變式1：在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，則向量eq\o(BF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b【例10】在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為a，b，則＝()A.eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b B.eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b變式1：如圖所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，AD與BC相交于M，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b.則用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up7(→))＝________.根據(jù)向量線性運算求參數(shù)【例11】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)變式1：如圖，在直角梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))＝2eq\o(EC,\s\up7(→))，且eq\o(AE,\s\up7(→))＝req\o(AB,\s\up7(→))＋seq\o(AD,\s\up7(→))，則2r＋3s＝()A．1B.2C．3 D．4變式2：在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則實數(shù)λ＋μ＝________.【例12】在△ABC中，N是AC邊上一點且＝eq\f(1,2)，P是BN上一點，若＝m＋eq\f(2,9)，則實數(shù)m的值是________．【例13】在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq\o(AC,\s\up7(→))，則x的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))第四關(guān)第四關(guān)鞏固練習(xí)識梳理鞏固練習(xí)識梳理練習(xí)一向量的數(shù)乘運算1、等于（）A． B． C． D．2、化簡：（1）；（2）；（3）；（4）.3、若，，則___________，___________，___________.4、已知，則___________.5、已知，下面式子正確的是（）A．與同向 B．0·＝0C． D．若，則6、【多選】對于非零向量，下列說法正確的是（）A．的長度是的長度的2倍，且與方向相同B．的長度是的長度的，且與方向相反C．若，則等于零D．若，則是與同向的單位向量7、【多選】已知，，下列敘述正確的是（）A． B．與方向相同C．是單位向量 D．若，則練習(xí)二共線向量定理的應(yīng)用1、已知向量，，，則（）A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線2、（多選）已知向量，不共線，若，，且A，B，C三點共線，則關(guān)于實數(shù)，的值可以是（）A．2， B．?3，C．2， D．?3，3、設(shè)是兩個不共線的單位向量，若，，，且三點共線，則實數(shù)的值為__________．4、【多選】已知，則下列結(jié)論正確的是（）A．A，B，C，D四點共線 B．C，B，D三點共線C． D．練習(xí)三由已知向量表示未知向量1、如圖所示，在中，．若，，則（）A． B．C． D．2、在△ABC中，點D滿足，則（）A． B． C． D．3、設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，為的中點，則（）A． B． C． D．4、設(shè)，為所在平面內(nèi)兩點，，，則（）A． B．C． D．5、在中，，分別是邊，上的點，且，，若，，則（）A． B． C． D．6、我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，若，則（）A． B． C． D．7、在中，點D在CB的延長線上，且，則等于（）A．0 B． C． D．38、在中，，為邊上一點，與交于點，若，則（）A． B． C． D．29、如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．第3講平面向量的數(shù)乘運算知識點1向量的數(shù)乘一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當(dāng)λ>0時，與a的方向相同；,當(dāng)λ<0時，與a的方向相反.))特別地，當(dāng)λ＝0時，λa＝0.，當(dāng)λ＝－1時，(－1)a＝－a.對于理解代數(shù)角度幾何角度是實數(shù)，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．對于長度來說，當(dāng)時，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長了倍；當(dāng)時，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．實數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運算，如，都無意義．知識點2向量數(shù)乘的運算律1、向量數(shù)乘的運算律實數(shù)與向量的積滿足下面的運算律：設(shè)、是實數(shù)，、是向量，則：結(jié)合律：；第一分配律：；第二分配律：．特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2、向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識點3向量共線定理向量與非零向量共線，則有且只有一個實數(shù)，使．注：定理中，向量a為非零向量，特別地，若，實數(shù)仍存在，但不唯一．知識點4三點共線向量表示的兩個結(jié)論結(jié)論1：如圖1，點A，B，C共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得.結(jié)論2：設(shè)是平面內(nèi)的任意一點，點A，B，C共線的充要條件是存在唯一實數(shù)，使得.考點一向量的數(shù)乘運算解題方略：向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中也可以使用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．【例1】下列算式中，正確的個數(shù)為（）①；②；③.A． B． C． D．【解析】對于①，，①正確；對于②，，②正確；對于③，，③錯誤.故選：C.變式1：下列運算正確的個數(shù)是（）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【解析】①，由數(shù)乘運算知正確；②，由向量的運算律知正確；③，向量的加法，減法和數(shù)乘運算結(jié)果是向量，故錯誤.故選：C變式2：計算：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【例2】已知，是實數(shù)，，是向量，則下列命題中正確的為（）①；②；③若，則；④若，則．A．①④ B．①② C．①③ D．③④【解析】對于①：根據(jù)數(shù)乘向量的法則可得：，故①正確；對于②：根據(jù)數(shù)乘向量的法則可得：，故②正確；對于③：由可得，當(dāng)m＝0時也成立，所以不能推出，故③錯誤；對于④：由可得，當(dāng)，命題也成立，所以不能推出m＝n.故④錯誤；故選：B變式1：給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②λ＝0（λ為實數(shù)），則λ必為零；③λ，μ為實數(shù)，若λ＝μ，則與共線.其中錯誤的命題的個數(shù)為（）A．0B．1C．2 D．3【解析】①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點.②錯誤，當(dāng)＝0時，不論λ為何值，λ＝0.③錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，λ＝μ＝，此時，與可以是任意向量.故錯誤的命題有3個.故選；D變式2：下列說法中，正確的是（）A．λ與的方向不是相同就是相反 B．若，共線，則＝λC．若||＝2||，則＝±2 D．若＝±2，則||＝2||【解析】A.當(dāng)時，結(jié)論不成立；B.當(dāng)時，結(jié)論不成立；C.當(dāng)||＝2||，與2不一定共線；D.因為＝±2，所以||＝2||，故正確；故選：D變式3:下列等式中不正確的是（）A． B．C． D．【解析】，A正確；＝＝，B不正確．，C正確；，D正確.故選：B.【例3】已知是所在平面內(nèi)一點，為邊中點﹐且，那么（）A． B． C． D．【解析】為邊中點，∴，∵，∴，即.故選：B變式1：已知平面上不共線的四點，若，則等于（）A． B． C．3 D．2【解析】由，得，即，所以，即，故選：C.考點二共線向量定理的應(yīng)用解題方略：利用向量共線定理證明三點共線若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則A，B，C三點共線．注：(1)使用向量共線基本定理的大前提是至少有一個向量是非零向量；(2)證明三點共線時，需說明共線的兩個向量有公共點．【例4】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解析】對于①，，，故兩向量共線；對于②，，，故兩向量共線；對于③，，假設(shè)存在，因為，是不共線向量，故得到無解.故選：A.【例5】設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【解析】(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，∴，共線，又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.變式1：設(shè)兩個非零向量a與b不共線，若＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb，＝3(a－b)，則m為何值時，A，B，D三點共線？【解析】eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三點共線，則存在實數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故當(dāng)m＝7時，A，B，D三點共線．變式2：設(shè)兩個非零向量a與b不共線，試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb反向共線．【解析】因為ka＋b與a＋kb反向共線，所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故當(dāng)k＝－1時，兩向量反向共線．變式3：設(shè)，是兩個不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．【解析】因為，是兩個不共線的向量，且向量與向量共線，所以，即，所以，解得，故選：D變式4：已知向量，且，則一定共線的三點是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【解析】依題意，，所以共線，即三點共線，A正確.，則不共線、不共線，BD錯誤.，則不共線，C錯誤.故選：A變式5：設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（）A．P、A、C三點共線 B．P、A、B三點共線C．P、B、C三點共線 D．以上均不正確【解析】如圖，取AC中點D，則，∴，∴D和P重合，∴P，A，C三點共線．故選A．【例6】已知的三個頂點??及平面內(nèi)一點滿足，則與的面積比為（）A． B． C． D．【解析】因為，所以，即，所以點是邊上靠近點的三等分點，所以，因為的邊與的邊上的高相等，所以，故選：B變式1：設(shè)點在內(nèi)部，且有，點是邊的中點，設(shè)與的面積分別為，則（）A． B． C． D．【解析】由，所以設(shè)為的中點，由為的中點.則,所以,則三點共線，且,如圖.所以,則點到的距離是點到的距離的倍.所以故選：C考點三由已知向量表示未知向量解題方略：由已知向量來表示另外一些向量是向量解題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘等線性運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相似三角形的對應(yīng)邊成比例等把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.利用向量的線性運算【例7】已知O，A，B是同一平面內(nèi)的三個點，直線AB上有一點C滿足2eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))B.－eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))【解析】依題意，得eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋2(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))，故選A.【例8】在△ABC中，＝c，＝b.若點D滿足＝2，則＝()A.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c【解析】由題可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(b－c)，則＝＋＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c，故選D.變式1：設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))【解析】因為eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(CD,\s\up8(→))，所以eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up8(→)).故選A.變式2：設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CD,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))【解析】法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，由eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CD,\s\up7(→))可得，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CA,\s\up7(→))－4eq\o(AD,\s\up7(→))，即－eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))＝－4xeq\o(AB,\s\up7(→))－4yeq\o(AC,\s\up7(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＝－1，,－4y＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(3,4)，))即eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，故選B.法二：在△ABC中，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4eq\o(CD,\s\up7(→))，即－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,4)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，故選B.變式3:在△ABC中，點D在邊AB上，且eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))，設(shè)eq\o(CB,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，則eq\o(CD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b【解析】∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，故選B.變式4:(2023·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))【解析】作出示意圖如圖所示．eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)).故選A.利用三角形的相似【例9】在四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，則()A．eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up7(→)) B.eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→))C．eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up7(→)) D．eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))【解析】在四邊形ABCD中，因為eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形，如圖所示．由已知得eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(EB,\s\up7(→))，由題意知△DEF∽△BEA，則eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)×eq\f(eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)),2)＝eq\f(eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)),3)，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)),3)＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→)).變式1：在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，則向量eq\o(BF,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b【解析】如圖，因為點E為CD的中點，CD∥AB，所以eq\f(BF,EF)＝eq\f(AB,EC)＝2，所以eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b，故選C.【例10】在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記，分別為a，b，則＝()A.eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b B.eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b【解析】如圖，過點F作BC的平行線交DE于G，則G是DE的中點，且＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴＝eq\f(1,4)，則△AHD∽△FHG，從而＝eq\f(1,4)，∴＝eq\f(4,5)，＝＋＝b＋eq\f(1,2)a，∴＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b，故選B.變式1：如圖所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，AD與BC相交于M，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b.則用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up7(→))＝________.【解析】因為A，M，D三點共線，所以eq\o(OM,\s\up7(→))＝λ1eq\o(OD,\s\up7(→))＋(1－λ1)eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)λ1b＋(1－λ1)a，①因為C，M，B三點共線，所以eq\o(OM,\s\up7(→))＝λ2eq\o(OB,\s\up7(→))＋(1－λ2)eq\o(OC,\s\up7(→))＝λ2b＋(eq\f(1－λ2,4))a，②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ1＝λ2，,1－λ1＝\f(1－λ2,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(6,7)，,λ2＝\f(3,7).))故eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.根據(jù)向量線性運算求參數(shù)【例11】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【解析】由題意易得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，則2eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up7(→)).故λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).故選D變式1：如圖，在直角梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))＝2eq\o(EC,\s\up7(→))，且eq\o(AE,\s\up7(→))＝req\o(AB,\s\up7(→))＋seq\o(AD,\s\up7(→))，則2r＋3s＝()A．1B.2C．3 D．4【解析】根據(jù)圖形，由題意可得eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→)).因為eq\o(AE,\s\up7(→))＝req\o(AB,\s\up7(→))＋seq\o(AD,\s\up7(→))，所以r＝eq\f(1,2)，s＝eq\f(2,3)，則2r＋3s＝1＋2＝3.故選C變式2：在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，則實數(shù)λ＋μ＝________.【解析】如圖，∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))，①eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DN,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))，②由①②得eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→))，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→))，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(2,3)，λ＋μ＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)【例12】在△ABC中，N是AC邊上一點且＝eq\f(1,2)，P是BN上一點，若＝m＋eq\f(2,9)，則實數(shù)m的值是________．【解析】如圖，因為＝eq\f(1,2)，所以＝eq\f(1,3)，所以＝m＋eq\f(2,9)＝m＋eq\f(2,3).因為B，P，N三點共線，所以m＋eq\f(2,3)＝1，則m＝eq\f(1,3).【例13】在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq\o(AC,\s\up7(→))，則x的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【解析】設(shè)eq\o(CO,\s\up7(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up7(→)