高三數學一輪復習題型與戰(zhàn)法精準訓練(新高考專用)3.3.1導數的恒能成立問題、零點問題、不等式證明問題(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第三章導數3.3.1導數的恒能成立問題、零點問題、不等式證明問題（題型戰(zhàn)法）題型戰(zhàn)法一對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分類參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．4、問題：對任意，均存在，使得成立，可轉化為求參數的取值范圍。二對于利用導數研究零點問題的求解策略：1、研究函數零點問題，要通過數的計算(函數性質、特殊點的函數值等)和形的輔助，得出函數零點的可能情況；2、函數可變零點(函數中含有參數)性質的研究，要抓住函數在不同零點處函數值均為零，建立不同零點之間的關系，結合零點的存在性定理，把多元問題轉化為一元問題，再使用一元函數的方法進行研究．三對于利用導數證明不等式的求解策略：不含參的不等式證明過程：移項，構造新函數，求函數的最值。2、含n的不等式證明：觀察問題形式（或由前面的問題），得出所需構造的不等式，構造新函數，利用函數的最值證明所構造的不等式成立，從而證明原不等式成立。題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一利用導數處理恒成立問題典例1．設函數．(1)求的單調區(qū)間；(2)若對任意的，都有成立，求實數a的取值范圍．變式1-1．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．變式1-2．已知函數（是正常數）.（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；（2）若，，求的取值范圍；變式1-3．已知函數.（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）當時，證明：時，當恒成立.變式1-4．已知函數（1）求的極值點；（2）若對任意恒成立，求的取值范圍．題型戰(zhàn)法二利用導數處理能成立問題典例2．已知函數，當時，的極小值為，當時，有極大值．(1)求函數；(2)存在，使得成立，求實數的取值范圍．變式2-1．已知函數．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數的取值范圍．變式2-2．已知函數，設在點處的切線為（1）求直線的方程；（2）求證：除切點之外，函數的圖像在直線的下方；（3）若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍變式2-3．已知函數．（1）若在點處的切線斜率為．①求實數的值；②求的單調區(qū)間和極值．（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．變式2-4．已知函數.（1）當a=1時，求曲線在x=1處的切線方程；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）若存在，使得，求a的取值范圍.題型戰(zhàn)法三利用導數處理恒、能成立結合問題典例3．已知函數．(1)當時，求函數在區(qū)間上的最大值和最小值;(2)若對任意的，均存在，使得，求a的取值范圍．變式3-1．已知函數．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)設函數．若對任意，存在，使得成立，求實數a的取值范圍．變式3-2．已知函數(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值與函數的單調區(qū)間；(2)設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．變式3-3．已知函數，f'x為的導函數．(1)求的定義域和導函數；(2)當時，求函數的單調區(qū)間；(3)若對，都有成立，且存在，使成立，求實數a的取值范圍．變式3-4．已知函數，其中.(1)求的單調區(qū)間；(2)是否存在，使得對任意恒成立？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由.題型戰(zhàn)法四利用導數討論零點的個數典例4．已知函數.(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)當時，討論的零點個數.變式4-1．已知(1)當時，求的單調性；(2)討論的零點個數．變式4-2．已知函數.(1)討論的單調性；(2)設函數，試討論的零點個數.變式4-3．已知函數(1)求函數的單調區(qū)間.(2)若，求函數在區(qū)間上的零點個數.變式4-4．設函數.(1)若函數在定義域上單調遞減，求a的取值范圍；(2)當時，討論函數零點的個數.題型戰(zhàn)法五根據零點個數求參數典例5．已知，函數．(1)求函數的極值：(2)若函數無零點，求的取值范圍．變式5-1．已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若函數至多有兩個零點，求實數a的取值范圍.變式5-2．設函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若關于的方程有三個不等實根，求實數的取值范圍.變式5-3．已知函數（）(1)求在處的切線方程；(2)當有3個零點時，求的取值范圍．變式5-4．已知函數在處取得極值.(1)求在上的最小值；(2)若函數有且只有一個零點，求b的取值范圍.題型戰(zhàn)法六利用導數證明一般不等式典例6．已知函數，，函數與函數的圖象在交點處有公共切線.（1）求、的值；（2）證明：.變式6-1．已知函數，．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．變式6-2．已知，，．(1)當時，求函數的極值；(2)當時，求證：．變式6-3．已知函數在處的極值為2，其中．（1）求，的值；（2）對任意的，證明恒有．變式6-4．已知函數．（1）若，求的極值；（2）證明：當時，．題型戰(zhàn)法七利用導數證明含n的不等式典例7．已知函數．(1)若函數在處取得極值，求實數的值，并求函數的極值；(2)①若當時，恒成立，求實數的取值范圍；②證明：當時，．變式7-1．已知函數.(1)討論的單調性；(2)若函數的最大值為，求證：.變式7-2．已知函數.(1)若在處的切線與直線平行，求的極值；(2)若函數的圖象恒在直線的下方.①求實數的取值范圍；②求證：對任意正整數，都有.變式7-3．已知函數，.(1)試討論f（x）的單調性；(2)若對任意，均有，求a的取值范圍；(3)求證:.變式7-4．已知函數.(1)試判斷函數在上單調性并證明你的結論；(2)若對于恒成立，求正整數的最大值；(3)求證：．第三章導數3.3.1導數的恒能成立問題、零點問題、不等式證明問題（題型戰(zhàn)法）題型戰(zhàn)法一對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分類參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．4、問題：對任意，均存在，使得成立，可轉化為求參數的取值范圍。二對于利用導數研究零點問題的求解策略：1、研究函數零點問題，要通過數的計算(函數性質、特殊點的函數值等)和形的輔助，得出函數零點的可能情況；2、函數可變零點(函數中含有參數)性質的研究，要抓住函數在不同零點處函數值均為零，建立不同零點之間的關系，結合零點的存在性定理，把多元問題轉化為一元問題，再使用一元函數的方法進行研究．三對于利用導數證明不等式的求解策略：不含參的不等式證明過程：移項，構造新函數，求函數的最值。2、含n的不等式證明：觀察問題形式（或由前面的問題），得出所需構造的不等式，構造新函數，利用函數的最值證明所構造的不等式成立，從而證明原不等式成立。題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一利用導數處理恒成立問題典例1．設函數．(1)求的單調區(qū)間；(2)若對任意的，都有成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）對函數進行求導，根據導數與0的關系即可得單調區(qū)間；（2）利用分離參數思想，求出的最小值即可得結果；(1)函數的定義域為由，得；由，得．∴的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為(2)由（1）可知在上單調遞減，在上單調遞增．所以∵對任意的，都有成立即對任意的，都有成立∴∴實數a的取值范圍為變式1-1．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調性；（2）由（1）所求的單調性，結合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調遞增，又，所以成立；若，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.變式1-2．已知函數（是正常數）.（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；（2）若，，求的取值范圍；【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減，的極大值是，無極小值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數的導函數，解關于導函數的不等式即可求出函數的單調區(qū)間；（2）依題意可得，設，利用導數研究函數的單調性，求出函數的最大值，即可得解；【詳解】解：（1）當時，，定義域為，，令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值是，無極小值.（2）因為，，即恒成立，即.設，可得，當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即.變式1-3．已知函數.（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）當時，證明：時，當恒成立.【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導數研究的單調性即可.（2）由分析法：只需證即可，構造，利用導數證明結論得證.【詳解】（1）函數的定義域為，當時，，∴，，∴當或時，，在，單調遞減，當時，，在單調遞增.故的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，.（2）要證，只需證，∵，，∴，設，則，∴在單調遞增，，∴，得證.變式1-4．已知函數（1）求的極值點；（2）若對任意恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）是的極小值點，無極大值點；（2）.【解析】【分析】（1）利用導數研究函數的極值點.（2）由題設知：在上恒成立，構造并應用導數研究單調性求最小值，即可求的范圍．【詳解】（1）由題設，，∴時，，單調遞減；時，，單調遞增減；∴是的極小值點，無極大值點.（2）由題設，對恒成立，即在上恒成立，令，則，∴時，，遞減；時，，遞增；∴，故.題型戰(zhàn)法二利用導數處理能成立問題典例2．已知函數，當時，的極小值為，當時，有極大值．(1)求函數；(2)存在，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）求導后，根據和，解得即可得解；（2）轉化為，再利用導數求出函數在上的最小值，然后解不等式可得結果.(1)∵，由，得且，解得，，又，∴，經檢驗，時，滿足題意,∴；(2)存在，使得，等價于，∵，當時，，當時，，∴在上遞減，在上遞增，又，，∴在上的最小值為，∴，解得或，所以的取值范圍是．變式2-1．已知函數．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；(2).【解析】【分析】（1）當時，，得出的定義域并對進行求導，利用導數研究函數的單調性，即可得出的單調區(qū)間；（2）將題意等價于在內有解，設，即在上，函數，對進行求導，令，得出，分類討論與區(qū)間的關系，并利用導數研究函數的單調和最小值，結合，從而得出實數的取值范圍.(1)解：當時，，可知的定義域為，則，可知當時，；當時，；所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.(2)解：由題可知，存在，使得成立，等價于在內有解，可設，即在上，函數，，令，即，解得：或（舍去），當，即時，，在上單調遞減，，得，又，所以；當時，即時，，在上單調遞增，，得，不合題意；當，即時，則在上單調遞減，在上單調遞增，，，，，即，不符合題意；綜上得，實數的取值范圍為.【點睛】思路點睛：本題考查利用導數研究函數的單調性，以及利用導數解決不等式成立的綜合問題：（1）利用導數解決單調區(qū)間問題，應先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區(qū)間易出錯；利用導數解決含有參數的單調性問題，要注意分類討論和化歸思想的應用；（2）利用導數解決不等式的綜合問題的一般步驟是：構造新函數，利用導數研究的單調區(qū)間和最值，再進行相應證明.變式2-2．已知函數，設在點處的切線為（1）求直線的方程；（2）求證：除切點之外，函數的圖像在直線的下方；（3）若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍【答案】（1）y＝x﹣1；（2）見詳解；（3）（﹣∞，1）.【解析】【分析】（1）求導得，由導數的幾何意義k切＝f′（1），進而可得答案．（2）設函數h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求導得h′（x），分析h（x）的單調性，最值，進而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，則除切點（1，0）之外，函數f（x）的圖象在直線的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．【詳解】（1），由導數的幾何意義k切＝f′（1）＝1，所以直線m的方程為y＝x﹣1．（2）證明：設函數h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，，函數定義域為（0，+∞），令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，p′（x）＝﹣﹣2x＜0，所以p（x）在（0，+∞）上單調遞減，又p（1）＝0，所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以h（x）≤h（1）＝0，所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，若除切點（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，所以除切點（1，0）之外，函數f（x）的圖象在直線的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，則若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，g′（x）＝＝，令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）?，令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，所以在（1，+∞）上，q（x）單調遞減，又q（1）＝0，所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）單調遞減，所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）單調遞減，又，所以a＜1，所以a的取值范圍為（﹣∞，1）．變式2-3．已知函數．（1）若在點處的切線斜率為．①求實數的值；②求的單調區(qū)間和極值．（2）若存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】（1）①；②減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數的導數，①根據題意得到，即可求得的值；②由①知，結合導數的符號，以及極值的概念與計算，即可求解；（2）設，根據存在，使得成立，得到成立，結合導數求得函數的單調性與最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數的定義域為，且，①因為在點處的切線斜率為，可得，解得.②由①得，令，即，解得；令，即，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數取得極小值，極小值為，無極大值，綜上可得，函數的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.（2）因為，由，即，即，設根據題意知存在，使得成立，即成立，由，可得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，函數取得最小值，最小值為，所以，即實數的取值范圍是.變式2-4．已知函數.（1）當a=1時，求曲線在x=1處的切線方程；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）若存在，使得，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）時，在單增；，在單增，在單減；（3）.【解析】【分析】（1）求出函數導數，將切線橫坐標代入得到斜率，再求出切點縱坐標，最后寫出切線方程；（2）求導后，通分，分兩種情況討論得到單調區(qū)間；（3）當時，代特值驗證即可，當時，函數最大值大于0，解出即可.【詳解】由題意，所以所以切線方程為：.（2），若，則，在單增；若，則時，，單增；時，，單減.（3）由（2），若，則，滿足題意；若，，則，綜上：.題型戰(zhàn)法三利用導數處理恒、能成立結合問題典例3．已知函數．(1)當時，求函數在區(qū)間上的最大值和最小值;(2)若對任意的，均存在，使得，求a的取值范圍．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2).【解析】【分析】（1）利用導數研究的區(qū)間單調性，進而確定端點值和極值，比較它們的大小，即可得最值；（2）將問題轉化為、上，利用二次函數性質及導數求函數最值，即可得結果.(1)由題設，則，所以在上，遞增，在上，遞減，則，極大值，綜上，最大值為，最小值為.(2)由在上，根據題意，只需即可，由且，當時，，此時遞增且值域為R，所以滿足題設；當時，上，遞增；上，遞減；所以，此時，可得，綜上，a的取值范圍.【點睛】關鍵點點睛：第二問，將問題轉化為、上求參數范圍.變式3-1．已知函數．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)設函數．若對任意，存在，使得成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)當時，函數的單調遞增區(qū)間為，函數的單調遞減區(qū)間為；(2).【解析】【分析】（1）首先對函數求導，根據的取值情況判斷的正負情況，進而得到的增減情況；（2）對任意，存在，使得成立，等價于，然后對進行討論，分別求函數的最值，進而得到結論.(1)因為，所以．當時，與的變化情況如表所示：0單調遞增單調遞減所以當時，函數的單調遞增區(qū)間為，函數的單調遞減區(qū)間為．(2)當時，，所以函數為偶函數．所以當時，函數的單調遞增區(qū)間為，，函數的單調遞減區(qū)間為，,所以函數的最大值為．設，則當時，．對任意，存在，使得成立，等價于．當時，函數在區(qū)間上的最大值為，不合題意．當時，函數在區(qū)間上的最大值為，則，解得或，所以．當時，函數在區(qū)間上的最大值為，則，解得，所以.綜上所述，的取值范圍是．變式3-2．已知函數(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值與函數的單調區(qū)間；(2)設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）求出，由得，再利用由、可得答案；（2）轉化為時，，容易求出，所以只須，，討論、可得答案.(1)，由得，，由得，由得，所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(2)若要命題成立，只須當時，，由可知當時，所以只須對來說，，（1）當時，在上有，∴這時，由得；（2）當時，，設，則，∴在遞減，，∴當時，，綜上所述，滿足題意的.【點睛】本題考查了對任意，均存在，使得，轉化為求參數的取值范圍的問題，考查了學生的思維能力、運算能力.變式3-3．已知函數，f'x為的導函數．(1)求的定義域和導函數；(2)當時，求函數的單調區(qū)間；(3)若對，都有成立，且存在，使成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)，(2)在單減，也單減，無增區(qū)間(3)【解析】【分析】（1）根據分母不等于0，對數的真數大于零即可求得函數的定義域，根據基本初等函數的求導公式及商的導數公式即可求出函數的導函數；（2）求出函數的導函數，再根據導函數的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導數求出函數的最小值即可求出的范圍，，，求出函數的值域，根據存在，使成立，則0在函數的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.(1)解：的定義域為，；(2)解：當時，，恒成立，所以在和上遞減；(3)解：若對，都有成立，即，即，令，，則，對于函數，，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以，當時，，所以，所以，故恒成立，在為減函數，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域為，因為存在，使成立，所以，，所以，綜上，．【點睛】本題考查了函數的定義域及導數的四則運算，考查了利用導數求函數的單調區(qū)間，考查了不等式恒成立問題，考查了計算能力及數據分析能力，對不等式恒成立合理變形轉化為求最值是解題關鍵.變式3-4．已知函數，其中.(1)求的單調區(qū)間；(2)是否存在，使得對任意恒成立？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）求導，，分，，由，求解；（2）將，對任意恒成立，轉化為對任意恒成立，令（），用導數法求其最小值即可.(1)解：因為，，所以當時，恒成立，所以在上單調遞增，當時，時，，在上單調遞增，時，，在上單調遞減，綜上所述：當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；(2)由已知得，對任意恒成立，即為對任意恒成立，即對任意恒成立，令（），則，當時，，所以在上單調遞增，，即，矛盾，故舍去；當，由，得，由，得，所以在上單調遞減，單調遞增，所以（），所以（）恒成立，令，則，當，即時，單調遞增，當，即時，單調遞減，所以，因為，所以，又，，所以不存在整數使得成立，綜上所述，不存在滿足條件的整數題型戰(zhàn)法四利用導數討論零點的個數典例4．已知函數.(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)當時，討論的零點個數.【答案】(1)單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為(2)答案見解析【解析】【分析】（1）求得導數，結合上，導數的符號，即可求解函數的單調區(qū)間；（2）求得，分、，兩種情況討論，求得函數的單調性，結合零點的存在定理，得到結論.(1)解：當時，函數，可得.當在區(qū)間上變化時，，f（x）的變化如下表：x00+0-f（x）極小值1極大值-1所以的單調增區(qū)間為；的單調減區(qū)間為.(2)解：由題意，函數，可得當時，在上恒成立，所以時，，所以在上單調遞增.又因為，所以f（x）在上有0個零點.當時，令，可得.由可知存在唯一的使得，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，因為，，，①當，即時，在上有0個零點.②當，即時，在上有1個零點.綜上可得，當時，有2個零點；當時，有0個零點.變式4-1．已知(1)當時，求的單調性；(2)討論的零點個數．【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增；(2)當，0個零點；當或，1個零點；，2個零點【解析】【分析】（1）求出函數的導函數，可得，令，利用導數說明的單調性，即可求出的單調區(qū)間；（2）依題意可得，令，則問題轉化為，，當時顯然不成立，當時，參變分離可得，令，，求出函數的導函數，即可得到函數的單調性，從而得到函數的圖象，數形結合即可得解；(1)解：因為，，所以，令，，所以在單增，且，當時，當時，所以當時，當時，所以在單調遞減，在單調遞增(2)解：因為令，易知在上單調遞增，且，故的零點轉化為即，當時無解，當時，令，，，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞增，所以的大致圖象如下：①當即時，與沒有交點，故函數有0個零點；②當或即或時，與有個交點，故函數有1個零點；③當即時，與有個交點，故函數有2個零點；綜上：當時，0個零點；當或時，1個零點；時，2個零點；變式4-2．已知函數.(1)討論的單調性；(2)設函數，試討論的零點個數.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】【分析】（1）對求導得，分、討論得的單調性；（2）由題意得的解析式，求導，分當、、、討論，結合零點存在定理可得答案.(1)由題意得的定義域為.，由，得，①若，則，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減.②若，則，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.(2)，定義域為，，①當時，，在上單調遞增，易知，取，則，又，所以根據零點存在定理知，在上有唯一零點.②當時，由，得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值，且，令，解得.則當時，在上有唯一零點；當時，，在上沒有零點；當時，，且，因為，，所以由零點存在定理知，在上有唯一零點，在上有唯一零點.綜上，當或時，的零點個數為1；當時，的零點個數為0；當時，的零點個數為2.【點睛】本題求零點問題關鍵是利用導數判斷出在處有最小值并判斷的正負，利用函數零點存在性定理說明存在零點個數，考查了學生分析問題、解決問題的能力.變式4-3．已知函數(1)求函數的單調區(qū)間.(2)若，求函數在區(qū)間上的零點個數.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】【分析】(1)根據求導公式和運算法則求出，利用導數分別研究當、時函數的單調性，即可得出函數的單調區(qū)間；(2)由(1)，利用分類討論的思想方法和導數研究函數當、時的單調性，根據零點的存在性定理即可得出結果.(1)由題意，得當時，恒成立，所以在R上單調遞增.當時，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為R，無單調遞減區(qū)間，當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；(2)由（1）可知當時，在上恒成立，所以在上單調遞增.因為，所以由零點存在性定理知，函數在上有1個零點，當時，若，則，若，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，可得，①當時，，此時在上有1個零點②當時，因為當時，所以此時在上有2個零點③當時，，此時在上無零點.綜上，當或時，在上有1個零點，當時在上有2個零點，當時在上無零點.變式4-4．設函數.(1)若函數在定義域上單調遞減，求a的取值范圍；(2)當時，討論函數零點的個數.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）由條件可知在（0，+∞）上恒成立，參變分離后，轉化為求函數的最值，即可求實數的取值范圍；（2），參變分離后，，利用導數判斷函數的性質和圖象，轉化為和的交點個數.(1)由題意，函數g（x）的定義域為（0，+∞）.∵g（x）在（0，+∞）上單調遞減，∴在（0，+∞）上恒成立，.即當，恒成立，∴，∵當，，當且僅當x=1時取等號.∴當時，∴.∴a的取值范圍為（-∞，2](2)顯然不是f（x）的零點，∴f（x）=，令，且則（x）=，..，，∴h（x）在（0，）單調遞減，在（，1），（1，+∞）單調遞增，∴在（0，1）時，h（x）有極小值；在（1，+∞）時，..∴h（x）的圖象如圖：∴時，f（x）零點個數為0；，f（x）零點個數為1；時，f（x）零點個數為2，..題型戰(zhàn)法五根據零點個數求參數典例5．已知，函數．(1)求函數的極值：(2)若函數無零點，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【解析】【分析】（1）求導后，根據的正負可得的單調性，由極值定義可求得結果；（2）根據單調性可知，則只需，解不等式即可.(1)由題意得：定義域為，；令，解得：，則當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，的極小值為，無極大值.(2)由（1）知：的極小值即為的最小值，即；若無零點，則，即，，解得：，則的取值范圍為.變式5-1．已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若函數至多有兩個零點，求實數a的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，，減區(qū)間為；(2)﹒【解析】【分析】(1)求f(x)的導數，根據導數的正負判斷f(x)單調性即可；(2)，根據(1)問f(x)單調性作出f(x)近似圖像，問題轉為為函數y＝－a與函數y＝f(x)圖像至多有兩個交點.(1)依題意：，故當時，，當時，，當時，，∴的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為；(2)令，得.∵，，結合f(x)單調性，作出f(x)圖像：∴至多有兩個零點可轉化為與至多有兩個交點.結合圖像可知，或，即實數a的取值范圍為.變式5-2．設函數.(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若關于的方程有三個不等實根，求實數的取值范圍.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為(2)【解析】【分析】（1）求出導函數，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由（1）中所得函數的單調性，得極值，可結合函數的圖象得其與直線三個交點時的的范圍．(1)由已知可得：，令，即，解得，，所以當或時，，當時，.所以的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為.(2)由（1）可知的圖象的大致走勢及走向，如圖所示，又，，所以當時，直線與函數的圖象有三個不同的交點，方程有三個不等實根.變式5-3．已知函數（）(1)求在處的切線方程；(2)當有3個零點時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求解即可.（2）首先利用導數求出函數的極值，根據題意得到，再解不等式組即可.(1)，切點為.，，所以切線方程為：.(2)，令，解得，.，，為增函數，，，為減函數，，，為增函數，所以的極大值為，極小值為.因為有個零點時，所以，解得.變式5-4．已知函數在處取得極值.(1)求在上的最小值；(2)若函數有且只有一個零點，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先求出函數的導函數，依題意可得，即可求出參數的值，即可求出函數解析式，從而求出函數的單調區(qū)間，再求出區(qū)間端點的函數值，即可求出函數的最小值；（2）依題意有唯一解，即函數與只有1個交點，由（1）可得函數的單調性與極值，結合函數圖象即可求出參數的取值范圍；(1)解：因為，所以，在處取得極值，，即解得，，所以，所以當或時，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，又，在上的最小值為.(2)解：由（1）知，，若函數有且只有一個零點，則方程有唯一解，即有唯一解，由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，又，函數圖象如下所示：或，得或，即b的取值范圍為.題型戰(zhàn)法六利用導數證明一般不等式典例6．已知函數，，函數與函數的圖象在交點處有公共切線.（1）求、的值；（2）證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由為函數與函數圖象的交點，所以有，又在交點處有公共切線，根據導數的幾何意義有，聯(lián)立即可求解.（2）構造函數，利用導數判斷單調性并根據單調性求出最大值，求得即可證明.【詳解】解：（1），，由題意得解得，；（2）證明：令，則，令，得，令，得，所以在上為增函數，在上為減函數，所以，所以，即.變式6-1．已知函數，．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據切點和斜率求得切線方程.（2）構造函數，利用導數判斷的單調性，從而證得不等式成立.(1)，，，故曲線在點處的切線方程為.即．(2)設，則．由（1）知，又，所以，所以在上單調遞增，故，所以，，．變式6-2．已知，，．(1)當時，求函數的極值；(2)當時，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）分類討論求解函數的極值即可.（2）首先將題意轉化為．令，即證：，再構造函數，求其最小值即可證明.(1)，當時，，即在上單調遞減，故函數不存在極值；當時，令，得，x+0-增函數極大值減函數故，無極小值.綜上，當時，函數不存在極值；當時，函數有極大值，，不存在極小值．(2)顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設，則，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，即，所以，從而有．故，即．變式6-3．已知函數在處的極值為2，其中．（1）求，的值；（2）對任意的，證明恒有．【答案】（1）；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）先對函數求導，然后結合極值存在條件即可求解.（2）由于，要證不等式成立，轉化為求解在時的最值，結合導數分析函數性質即可求解.【詳解】（1），由題意可得，解得.（2），令，，則，令，則恒成立，所以在上單調遞減且，所以時，，所以，即證.變式6-4．已知函數．（1）若，求的極值；（2）證明：當時，．【答案】（1）極大值為，沒有極小值；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）求出函數的導函數，分析函數的單調性，即可得到函數的極值；（2）構造函數，證明函數在時恒成立.【詳解】（1）,當時,；當時,當變化時,的變化情況如下表：單調遞增單調遞減因此,當時,有極大值,并且極大值為，沒有極小值.（2）令函數,由（1）知在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.又故在存在唯一零點.設為,則當時,；當時,,所以在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減又，所以，當時,.故.題型戰(zhàn)法七利用導數證明含n的不等式典例7．已知函數．(1)若函數在處取得極值，求實數的值，并求函數的極值；(2)①若當時，恒成立，求實數的取值范圍；②證明：當時，．【答案】(1)；極大值為，極小值為(2)①；②證明見解析【解析】【分析】（1）求導后，利用可求得的值，進而得到，由導函數正負可確定單調性，由極值定義可求得結果；（2）①當和時，由導數可知在上單調遞增，知，滿足題意；當時，可知在上單調遞減，可知，不合題意；由此可得的取值范圍；②由①可得，令，可得，采用裂項相消法可取得不等式右側的前項和，由此可得結論.(1)，又在處取得極值，，解得：，，則，當時，；當時，；在，上單調遞增；在上單調遞減，的極大值為；極小值為；綜上所述：；極大值為，極小值為.(2)①，令，則；（i）.當，即時，恒成立，，則在上單調遞增，又，恒成立，滿足題意；（ii）.當，即或時，令，解得：，；當時，，在上恒成立，則在上單調遞增，又，恒成立，滿足題意；當時，，又，，；當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，則當時，，不合題意；綜上所述：實數的取值范圍為.②由①知：當時，在上恒成立，即；令，則，；，，即當時，.變式7-1．已知函數.(1)討論的單調性；(2)若函數的最大值為，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）求導之后，按和分類討論即可（2）利用（1）的結論，先求得，從而得到不等式，再賦值累加，求和之后放縮即可證明(1)的定義域為當時，在上恒