高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.8函數(shù)零點(diǎn)的6大題型(精講)(原卷版+解析)

2.8函數(shù)零點(diǎn)的6大題型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．【題型精講】【題型一求函數(shù)的零點(diǎn)】必備技巧探究函數(shù)零點(diǎn)的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn)．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．例1(2023·歷城二中高三月考)求函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)；例2(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)__________.【題型精練】1.(2023·上海高三期末）已知函數(shù)，則該函數(shù)的零點(diǎn)是_________.2.(2023·北京高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是_______.【題型二求函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間】必備技巧確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．例3(2023·黑龍江·雙鴨山一中高三期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．例4(2023·北京清華附中高三月考）函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（）A． B． C． D．【題型精練】1.(2023·新疆高三三模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）．A． B． C． D．2.(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A． B． C． D．【題型三求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】必備技巧判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．例5(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7例6(2023·山東煙臺(tái)市·高三二模）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【題型精練】1．(2023·福建省永泰縣第一中學(xué)月考）已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42.(2023·江西高三?？迹┮阎瘮?shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7C．8 D．93.(2023·重慶九龍坡·高三期末）若函數(shù)滿足，且時(shí)，，已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.【題型四復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)】方法技巧復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)確定復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題：關(guān)于復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，先換元解套，令t＝g(x)，則y＝f(t)，再作出y＝f(t)與t＝g(x)的圖像．由y＝f(t)的圖象觀察有幾個(gè)t的值滿足條件，結(jié)合t的值觀察t＝g(x)的圖象，求出每一個(gè)t被幾個(gè)x對(duì)應(yīng)，將x的個(gè)數(shù)匯總后即為y＝f(g(x))的根的個(gè)數(shù)，即“從外到內(nèi)”．此法稱為雙圖象法(換元法＋數(shù)形結(jié)合)．例7(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6例8(2023·山東濟(jì)南高三二模）已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,eq\f(1,2)f(x－2)，x>2，))則關(guān)于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為()A．B．C．D．【題型精練】1.(2023·山東青島高三二模）已知f(x)＝則函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．2．(2023·浙江省高三二模）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))，則下列關(guān)于函數(shù)y＝f(f(x))＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正確的是()A．當(dāng)a>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)a>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．無(wú)論a為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)D．無(wú)論a為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)【題型五已知函數(shù)零點(diǎn)求參】例9(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例10(2023·河南高三月考）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．例11(2023·北京高三期末）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．1C．2D．3【題型精練】1.（多選）(2023·江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．32.(2023·全國(guó)高三模擬）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.3.已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))若方程g(f(x))－a＝0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【題型六函數(shù)零點(diǎn)間的運(yùn)算】例12(2023·貴州貴陽(yáng)市高三期末）函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8例13(2023·安徽蚌埠·高三期末）已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，若，，，則的值為（

）A．0 B．2 C．－1 D．－2【題型精練】1.(2023·福建高三二模）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)__________.2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log3x|，0<x≤3，,\f(1,3)x2－\f(10,3)x＋8，x>3，))若方程f(x)＝m(m∈R)有四個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，x4，且滿足x1<x2<x3<x4，則eq\f(x3－3x4－3,x1x2)的取值范圍是()A．(0，4]B．(0，3)C．(3，4]D．(1，3)2.8函數(shù)零點(diǎn)的6大題型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．【題型精講】【題型一求函數(shù)的零點(diǎn)】必備技巧探究函數(shù)零點(diǎn)的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn)．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．例1(2023·歷城二中高三月考)求函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)；【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍)；當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)為－3和e2.例2(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)__________.答案：【解析】x≤0時(shí)，，，由，可得或，或；時(shí)，，，由，可得或，或；函數(shù)的所有零點(diǎn)為，，，，所以所有零點(diǎn)的和為故答案為：．【題型精練】1.(2023·上海高三期末）已知函數(shù)，則該函數(shù)的零點(diǎn)是_________.答案：【解析】函數(shù)的零點(diǎn)即為相應(yīng)方程的根，所以要求函數(shù)的零點(diǎn)，即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，又，所以舍去，＝0，又，可得x，所以函數(shù)的零點(diǎn)為．故答案為：．2.(2023·北京高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是_______.答案：【解析】解：，即，，因?yàn)?，所以，?duì)兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)得，，故答案為：【題型二求函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間】必備技巧確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．例3(2023·黑龍江·雙鴨山一中高三期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】,由對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，，，，，因?yàn)樵趦?nèi)是遞增，故，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)判斷定理知，的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選：B．例4(2023·北京清華附中高三月考）函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意得為連續(xù)函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，，所以零點(diǎn)一定位于區(qū)間.故選：C【題型精練】1.(2023·新疆高三三模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）．A． B． C． D．答案：D【解析】函數(shù)為上的增函數(shù)，由，，可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為．故選：D.2.(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在上連續(xù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，，，因此，函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.【題型三求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)】必備技巧判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．例5(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：D【解析】當(dāng)時(shí)，，則；以此類推，當(dāng)時(shí)，；…；在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的部分圖象如圖所示.由圖可知，與的圖象有7個(gè)不同的交點(diǎn)故選：D例6(2023·山東煙臺(tái)市·高三二模）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D【解析】要求方程根的個(gè)數(shù)，即為求與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由題設(shè)知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個(gè)交點(diǎn)，又由在上是偶函數(shù)，∴在y軸左側(cè)也有3個(gè)交點(diǎn)，故一共有6個(gè)交點(diǎn).故選：D.【題型精練】1．(2023·福建省永泰縣第一中學(xué)月考）已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解，即，即與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，在同一平面直角坐?biāo)系畫出函數(shù)圖象如下所示：由函數(shù)圖象可知與有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)又2個(gè)零點(diǎn)故選：B2.(2023·江西高三模考）已知函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7C．8 D．9答案：B【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)與的圖像.由圖可知，函數(shù)與在和內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)，所以在上有2個(gè)零點(diǎn).由當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)周期性的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，上有2個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí)，上有2個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí)，上有1個(gè)零點(diǎn),所以在上有7零點(diǎn)個(gè)數(shù)故選：B．3.(2023·重慶九龍坡·高三期末）若函數(shù)滿足，且時(shí)，，已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.答案：10【解析】因?yàn)椋?，所以函?shù)是以2為周期的周期函數(shù)，令，則，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像，如圖所示，由圖可知函數(shù)有10個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)有10個(gè).故答案為：10.【題型四復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)】方法技巧復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)確定復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題：關(guān)于復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，先換元解套，令t＝g(x)，則y＝f(t)，再作出y＝f(t)與t＝g(x)的圖像．由y＝f(t)的圖象觀察有幾個(gè)t的值滿足條件，結(jié)合t的值觀察t＝g(x)的圖象，求出每一個(gè)t被幾個(gè)x對(duì)應(yīng)，將x的個(gè)數(shù)匯總后即為y＝f(g(x))的根的個(gè)數(shù)，即“從外到內(nèi)”．此法稱為雙圖象法(換元法＋數(shù)形結(jié)合)．例7(2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D【解析】令，則方程化為，解得或，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，方程的根的個(gè)數(shù)為6．故選：D.例8(2023·山東濟(jì)南高三二模）已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,eq\f(1,2)f(x－2)，x>2，))則關(guān)于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為()A．B．C．D．答案：B【解析】已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝eq\f(1,2)，f2(x)＝－eq\f(1,3)，只需統(tǒng)計(jì)y＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,3)與y＝f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．由奇函數(shù)可先做出x>0的圖像，x>2時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)，則x∈(2，4]的圖像只需將x∈(0，2]的圖像縱坐標(biāo)縮為一半即可．正半軸圖像完成后可再利用奇函數(shù)的性質(zhì)作出負(fù)半軸圖像．通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得共有7個(gè)交點(diǎn)．在作圖的過(guò)程中，注意確定分段函數(shù)的邊界點(diǎn)屬于哪一段區(qū)間．【題型精練】1.(2023·山東青島高三二模）已知f(x)＝則函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案：5【解析】令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，則f(x)＝0或f(x)＝eq\f(3,2)．函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示：由圖可得，f(x)＝0有2個(gè)根，f(x)＝eq\f(3,2)有3個(gè)根，故函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5．2．(2023·浙江省高三二模）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))，則下列關(guān)于函數(shù)y＝f(f(x))＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷正確的是()A．當(dāng)a>0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)a>0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C．無(wú)論a為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)D．無(wú)論a為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)答案：A【解析】所求函數(shù)的零點(diǎn)，即方程f(f(x))＝－1的解的個(gè)數(shù)，令t＝f(x)，先作出y＝f(t)的圖像，直線y＝ax＋1為過(guò)定點(diǎn)(0，1)的一條直線，但需要對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行分類討論．當(dāng)a>0時(shí)，如圖1所示，先拆外層可得t1＝－eq\f(2,a)＜0，t2＝eq\f(1,2)，如圖2所示，而t1有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的x，t2也有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的，共計(jì)4個(gè)；當(dāng)a<0時(shí)，如圖3所示，先拆外層可得t＝eq\f(1,2)，如圖4所示，t＝eq\f(1,2)只有一個(gè)滿足的x，所以共1個(gè)零點(diǎn)．結(jié)合選項(xiàng)，可判斷出A正確．【題型五已知函數(shù)零點(diǎn)求參】例9(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵和在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，∴只需即可，即，解得.故選：D.例10(2023·河南高三月考）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：D【解析】畫出的函數(shù)圖象，設(shè)，該直線恒過(guò)點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，可知若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則且直線與曲線，，有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，實(shí)數(shù)滿足，解得，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.例11(2023·北京高三期末）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．1C．2D．3答案：C【解析】作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0))的圖象(圖略)，令f(x)＝t，關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0等價(jià)于t2－at＋1＝0，因?yàn)閠1·t2＝1，所以t1，t2同號(hào)，只有t1，t2同正時(shí)，方程才有根，假設(shè)t1＜t2，則0＜t1＜1，t2＞1，此時(shí)關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有5個(gè)不同的根，只有t1＝t2＝1，關(guān)于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3個(gè)不同的根，此時(shí)a＝2，故選C．【題型精練】1.（多選）(2023·江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：BC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，得，解得,故選：BC2.(2023·全國(guó)高三模擬）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.答案：【解析】方程.畫出與的函數(shù)圖象如圖所示：因?yàn)橹本€過(guò)，聯(lián)立得，由，得.又過(guò)與兩點(diǎn)的直線的斜率，由圖知：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，為函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界點(diǎn)，此時(shí)，由圖可知，若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：3.已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))若方程g(f(x))－a＝0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))【解析】令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y＝g(t)(t＜1)與y＝a的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)y＝g(t)(t＜1)的圖象如圖，由圖象可知，當(dāng)1≤a＜eq\f(5,4)時(shí)，函數(shù)y＝g(t)(t＜1)與y＝a有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))．【題型六函數(shù)零點(diǎn)間的運(yùn)算】例12(2023·貴州貴陽(yáng)市高三期末）函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8答案：D【解析】，令，則，則函數(shù)的零點(diǎn)就是和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得和的函數(shù)圖象都關(guān)于對(duì)稱，則交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象可知，和在有8個(gè)交點(diǎn)，即有8個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，故所有零點(diǎn)的和為.故選：D.例13(2023·安徽蚌埠·高