高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.2函數(shù)的單調(diào)性和最值、值域(精講)(原卷版+解析)

2.2函數(shù)的單調(diào)性和最值、值域【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同調(diào)增；異調(diào)減）對(duì)于函數(shù)和，如果當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上和在區(qū)間上同時(shí)具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．2．函數(shù)的最值前提一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值【題型精講】【題型一函數(shù)單調(diào)性判斷】必備技巧確定函數(shù)單調(diào)性的五種方法(1)定義法：利用定義判斷．(2)導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．(5)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性．例1(2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)（）在上的單調(diào)性.例2(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．遞增區(qū)間是 B．遞減區(qū)間是C．遞增區(qū)間是 D．遞增區(qū)間是例3(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例4(2023·九龍坡區(qū)·重慶市育才中學(xué)高三月考）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為例5(2023·天津靜海區(qū)月考）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為___________【題型精練】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）lg．判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的增區(qū)間是A． B． C． D．【題型二函數(shù)單調(diào)性比較大小】例6(2023·遼寧朝陽·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，都有，記，則（

）A． B． C． D．例7（1）(2023·江蘇淮安市·高三二模）已知函數(shù)，設(shè)，，，則（） B． C． D．（2）(2023·四川資陽市月考）設(shè)曲線在處切線的斜率為，則（）A．B．C．D．【題型精練】1．(2023·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．2.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)滿足，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【題型三函數(shù)單調(diào)性解不等式】例8(2023·四川綿陽·高一期末）若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．例9(2023·安徽安慶市·高三二模）設(shè)函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·陜西陜西·一模）已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2.(2023·山東濰坊市·高三三模）設(shè)函數(shù)則不等式的解集為________．【題型四函數(shù)單調(diào)性求參】例10(2023·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．例11(2023·黑龍江高三月考）如果函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。【題型精練】1．(2023·天津河西·高三期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型五函數(shù)的最值、值域】方法技巧函數(shù)值域的求法主要有以下幾種(1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0,及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域.（2）配方法：對(duì)于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析.（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）.(8)單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法.（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域.因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法.例12(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．例13(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．例14(2023·湖南高三三模）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．例15(2023·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．例16(2023·全國高三專題練習(xí)）求的值域【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．3.(2023·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)?)A．[－,] B．[－,0]C．[0,1] D．[0,]4.(2023·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.2.2函數(shù)的單調(diào)性和最值、值域【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同調(diào)增；異調(diào)減）對(duì)于函數(shù)和，如果當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上和在區(qū)間上同時(shí)具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．2．函數(shù)的最值前提一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值【題型精講】【題型一函數(shù)單調(diào)性判斷】必備技巧確定函數(shù)單調(diào)性的五種方法(1)定義法：利用定義判斷．(2)導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．(5)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性．例1(2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)（）在上的單調(diào)性.答案：答案見解析【解析】任取、，且，，則：，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.例2(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．遞增區(qū)間是 B．遞減區(qū)間是C．遞增區(qū)間是 D．遞增區(qū)間是答案：D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是和．故選：D．例3(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令，解得，令，則，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)遞增，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C例4(2023·九龍坡區(qū)·重慶市育才中學(xué)高三月考）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為答案：【解析】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，反比例函數(shù)在上也是增函數(shù)，所以在定義域上單調(diào)遞增；又是由向左平移兩個(gè)單位得到，所以的單調(diào)增區(qū)間為.例5(2023·天津靜海區(qū)月考）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為___________答案：【解析】,當(dāng),即時(shí)原函數(shù)為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：【題型精練】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）lg．判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；【解析】由題意，，解得故f（x）的定義域?yàn)椋?，4）令，，由于在（0，4）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此在（0，4）單調(diào)遞減，又在（0，4）單調(diào)遞減，故f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)0＜x1＜x2＜4，則：，∵0＜x1＜x2＜4，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，4﹣x1＞4﹣x2＞0，，∴，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】令，．由，得．因?yàn)楹瘮?shù)是關(guān)于的遞減函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．故選：C.3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的增區(qū)間是A． B． C． D．答案：C【解析】由二次函數(shù)的圖象可知在上是增函數(shù)故選：C【題型二函數(shù)單調(diào)性比較大小】例6(2023·遼寧朝陽·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，都有，記，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】依題意，，，，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)是R上的偶函數(shù)，即，顯然有，因此得：，所以.故選：B例7（1）(2023·江蘇淮安市·高三二模）已知函數(shù)，設(shè)，，，則（） B． C． D．（2）(2023·四川資陽市月考）設(shè)曲線在處切線的斜率為，則（）A．B．C．D．答案：（1）C（2）B【解析】（1），，∴，由函數(shù)解析式知：，即，又在上單調(diào)遞增，∴.故選：C.（2），依題意可得.因?yàn)?，，所以，從?故選：B.【題型精練】1．(2023·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)椋衷谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減且，又在上單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，即，，即，，即，所以，所以；故選：D2.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)滿足，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．答案：C【解析】由可得，∴，∴，即.由此可知函數(shù)在上單調(diào)遞增.而由換底公式可得，，，∵，∴，于是，又∵，∴，故，，的大小關(guān)系是.故選：C.【題型三函數(shù)單調(diào)性解不等式】例8(2023·四川綿陽·高一期末）若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因?yàn)椋液瘮?shù)的定義域?yàn)?，故函?shù)為定義域上的偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，則有，解得.故選：C例9(2023·安徽安慶市·高三二模）設(shè)函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)是奇函數(shù)，并由解析式可知函數(shù)是增函數(shù)原不等式可化為，∴，解得，∴的取值范圍是．故選：A．【題型精練】1．(2023·陜西陜西·一模）已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：C，當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，解得.故選：C2.(2023·山東濰坊市·高三三模）設(shè)函數(shù)則不等式的解集為________．答案：【解析】由函數(shù)解析式知在R上單調(diào)遞增，且，則，由單調(diào)性知，解得故答案為：【題型四函數(shù)單調(diào)性求參】例10(2023·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．答案：B【解析】因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，即故選：B例11(2023·黑龍江高三月考）如果函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。答案：【解析】解：當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則需滿足且對(duì)稱軸為，解得：，即，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是：.【題型精練】1．(2023·天津河西·高三期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C【解析】f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，則，故k≤﹣2，故選：C．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意可知，在上為減函數(shù)，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，且有，所以，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【題型五函數(shù)的最值、值域】方法技巧函數(shù)值域的求法主要有以下幾種(1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0,及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域.（2）配方法：對(duì)于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析.（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）.(8)單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法.（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域.因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法.例12(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．答案：B【解析】令，則且又因?yàn)椋?，所以，即函?shù)的值域?yàn)椋蔬x：B.例13(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．答案：C【解析】令，，令，則，原函數(shù)化為，該函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.例14(2023·湖南高三三