高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.7函數(shù)的圖象(精講)(原卷版+解析)

2.7函數(shù)的圖象【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a個(gè)單位),\s\do5(a<0，左移|a|個(gè)單位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b個(gè)單位),\s\do5(b<0，下移|b|個(gè)單位))y＝f(x)＋b.(2)伸縮變換：f(ωx)．y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的A倍),\s\do5(0<A<1，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的A倍))y＝Af(x)．(3)對(duì)稱變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do5(將y軸右邊的圖象翻折到左邊去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖),\s\do5(將x軸下方的圖象翻折到上方去))y＝|f(x)|.【題型精講】【題型一函數(shù)圖象的畫法】必備技巧圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象．(2)若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．例1(2023·濟(jì)南市歷城二中·月考）作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝|lg(x－1)|；(3)y＝x2－|x|－2.【題型精練】1．(2023·全國·高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)的圖像，作出下列函數(shù)的圖像：(1)；(2)；(3)；(4)．2．(2023·安徽·安慶市高三課時(shí)練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x＋3|.(3)y＝2－|x|；(4)y＝sin|x|.【題型二函數(shù)圖象的識(shí)別】必備技巧識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì)．如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷．(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷．(3)利用特殊函數(shù)值判斷．例2(2023·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．例3(2023·江蘇蘇州市·高三期末）在數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)中，常利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，也利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，下列函數(shù)的解析式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與所給圖象最契合的是（）A． B． C． D．例4(2023·天津高三三模）意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與她懷中的白貂形成對(duì)比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)”相關(guān).下列選項(xiàng)為“雙曲余弦函數(shù)”圖象的是（）A． B．C． D．【題型精練】1.(2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．2.(2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為(

)A． B．C． D．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長為2，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊AC，CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，記∠ADP＝x．函數(shù)f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，則y＝f（x）的圖象大致為（）A． B．C． D．【題型三利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)】例5(2023·河南·林州一中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為，無最小值C．的最大值為，最小值為1D．的最大值為3，最小值為-1例6(2023·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型精練】1.(2023·北京豐臺(tái)·一模）已知函數(shù)無最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．(2023·甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【題型四利用圖象解不等式】例7(2023·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．例8(2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型精練】1．(2023·北京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．2.（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【題型五利用圖象求參】例9(2023·安徽·巢湖市第一中學(xué)高三期中（理））已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_______________.【題型精練】1．(2023·山西·靈丘縣第一中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)若直線與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.(2023·山西臨汾·二模）已知函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是____________．2.7函數(shù)的圖象【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a個(gè)單位),\s\do5(a<0，左移|a|個(gè)單位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b個(gè)單位),\s\do5(b<0，下移|b|個(gè)單位))y＝f(x)＋b.(2)伸縮變換：f(ωx)．y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的A倍),\s\do5(0<A<1，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的A倍))y＝Af(x)．(3)對(duì)稱變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do5(將y軸右邊的圖象翻折到左邊去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖),\s\do5(將x軸下方的圖象翻折到上方去))y＝|f(x)|.【題型精講】【題型一函數(shù)圖象的畫法】必備技巧圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象．(2)若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．例1(2023·濟(jì)南市歷城二中·月考）作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝|lg(x－1)|；(3)y＝x2－|x|－2.【解析】(1)將y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖①所示．(2)首先作出y＝lgx的圖象，然后將其向右平移1個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖象，如圖②所示(實(shí)線部分)．(3)y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，其圖象如圖③所示．【題型精練】1．(2023·全國·高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)的圖像，作出下列函數(shù)的圖像：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】(1)作出函數(shù)關(guān)于縱軸對(duì)稱的圖像，連同函數(shù)的圖像，就是該函數(shù)的圖像，如下圖所示：(2)把函數(shù)的圖像中縱軸下面的部分，做關(guān)于橫軸對(duì)稱，擦掉縱軸下面的部分，函數(shù)圖像如下圖所示：(3)作出函數(shù)關(guān)于縱軸對(duì)稱的圖像，連同函數(shù)的圖像一起向右平移一個(gè)單位即可，如下圖所示：(4)把函數(shù)的圖像中縱軸下面的部分，做關(guān)于橫軸對(duì)稱，擦掉縱軸下面的部分，然后再向右平移一個(gè)單位，如下圖所示：2．(2023·安徽·安慶市高三課時(shí)練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x＋3|.(3)y＝2－|x|；(4)y＝sin|x|.【解析】(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)的圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到，如圖①所示．(2)先用描點(diǎn)法作出函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象，再把x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，x軸上方的圖象不變，如圖②實(shí)線部分所示．(3)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖①實(shí)線部分．圖①圖②(4)當(dāng)x≥0時(shí)，y＝sin|x|與y＝sinx的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其圖象如圖②.【題型二函數(shù)圖象的識(shí)別】必備技巧識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì)．如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷．(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷．(3)利用特殊函數(shù)值判斷．例2(2023·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．答案：D【解析】由于，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)樗詾槠婧瘮?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A，B因?yàn)椋?，所以排除C故選：D例3(2023·江蘇蘇州市·高三期末）在數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)中，常利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，也利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，下列函數(shù)的解析式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與所給圖象最契合的是（）A． B． C． D．答案：B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，與題中函數(shù)圖象不符；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，由，可得；由，可得或.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為，與題中函數(shù)圖象相符；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，與題中函數(shù)圖象不符；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，可得，該函數(shù)的定義域?yàn)?，與題中函數(shù)圖象不符.故選：B.例4(2023·天津高三三模）意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與她懷中的白貂形成對(duì)比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)”相關(guān).下列選項(xiàng)為“雙曲余弦函數(shù)”圖象的是（）A． B．C． D．答案：C【解析】令，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng).由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)的最小值為，排除AD選項(xiàng).故選：C.【題型精練】1.(2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，排除A，B.，所以排除C.故選：D.2.(2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為(

)A． B．C． D．答案：B【解析】對(duì)于A，，故為偶函數(shù)，圖象應(yīng)該關(guān)于y軸對(duì)稱，與已知圖象不符；對(duì)于C，也為偶函數(shù)，故排除AC；對(duì)于D，，與已知圖象不符，故排除D．對(duì)于B，，故f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，f(0)=0，均與已知圖象符合，故B正確．故選：B．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長為2，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊AC，CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，記∠ADP＝x．函數(shù)f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，則y＝f（x）的圖象大致為（）A． B．C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．在區(qū)間（0，）上，P在邊AC上，|PB|＞|PA|，則f（x）＞0，排除C；在區(qū)間（，π）上，P在邊BC上，|PB|＜|PA|，則f（x）＜0，排除B，又由當(dāng)x1+x2＝π時(shí)，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，排除D，故選：A【題型三利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)】例5(2023·河南·林州一中高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為，無最小值C．的最大值為，最小值為1D．的最大值為3，最小值為-1答案：B【解析】，由與，解得；解得；所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)?，所以，所以的圖象如下圖所示：由圖象，可知最大值為，無最小值，故選：B．例6(2023·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A【解析】令,畫出與的圖象,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),向右平移,不再符合條件,故故選：A【題型精練】1.(2023·北京豐臺(tái)·一模）已知函數(shù)無最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】對(duì)于函數(shù)，可得，由，得或，由，得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在時(shí)有極大值2，在時(shí)有極小值，作出函數(shù)與直線的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有最小值.故選：D.2．(2023·甘肅省武威第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且答案：C【解析】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于方程至多兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為和，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0?2?3?4，由于關(guān)于x的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則關(guān)于u的二次方程的一根為，則，則方程的另一根為，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為4，則，解得.所以且.故選：C.【題型四利用圖象解不等式】例7(2023·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】作出函數(shù)與的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知，此時(shí)解得；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)與的圖象，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，結(jié)合圖象知此時(shí).所以不等式的解集為.故選：C例8(2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】不等式的解集為,等價(jià)于在上恒成立.當(dāng)時(shí),此時(shí)在上單調(diào)遞增,當(dāng)則當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞減.當(dāng)與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,所以,解得,,此時(shí)切線方程為,該切線與軸的交點(diǎn)為,同理可得當(dāng)與相切時(shí),切線與軸的交點(diǎn)為,又因?yàn)榕c軸的交點(diǎn)為要使在上恒成立,則點(diǎn)在之間移動(dòng)即可.故,解得故選:D【題型精練】1．(202