河北省滄州市七校聯盟2025屆高三數學上學期期中試題

PAGEPAGE15河北省滄州市七校聯盟2025屆高三數學上學期期中試題考生留意：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內容：高考全部內容（除雙曲線、拋物線外）．第I卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．復數的虛部是（）A． B． C． D．3．的綻開式中x的系數是（）A．90 B．80 C．70 D．604．若，，則的最小值為（）A．2 B．6 C．9 D．35．2024年10月1日是中秋節(jié)和國慶節(jié)雙節(jié)同慶，許多人外出旅行或回家探親，因此交通比較擁堵．某交通部門為了解從A城到B城實際通行所需時間，隨機抽取了n臺車輛進行統(tǒng)計，結果顯示這些車輛的通行時間（單位：分鐘）都在內，按通行時間分為，，，，五組，頻率分布直方圖如圖所示，其中通行時間在內的車輛有235臺，則通行時間在內的車輛臺數是（）A．450 B．325 C．470 D．5006．在矩形ABCD中，，，點E滿意，則（）A．21 B． C．-22 D．7．如圖，在三棱錐D-ABC中，，一平面截三棱錐D-ABC所得截面為平行四邊形EFGH．已知，，則異面直線EG和AC所成角的正弦值是（）A． B． C． D．8．定義在R上的函數的導函數為，若，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、選擇題；本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．已知等差數列的前n項和為，公差為d，且，，則（）A． B． C． D．10．已知函數，若將函數的圖象平移后能與函數的圖象完全重合，則下列說法正確的有（）A．函數的最小正周期為B．將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數圖象關于y軸對稱C．當時，函數的值域為D．當函數取得最值時，11．已知為奇函數，且，當時，，則（）A．的圖象關于對稱 B．的圖象關于對稱C． D．12．橢圓，，分別為左、右焦點，，分別為左、右頂點，P為橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓C的離心率可能為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．已知函數，則________．14．若，則________．15．若P為直線上一個動點，從點P引圓的兩條切線PM，PN（切點為M，N），則的最小值是________．16．在棱長為2的正方體，中，E，F分別為棱，的中點，點P在線段EF上，則三棱錐的體積為________．四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答．問題：在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，________．求的面積．注：假如選擇多個條件解答，按第一個解答計分．18．（12分）設數列的前n項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．19．（12分）某電商為了解消費者的下一部手機是否會選購某一品牌手機，隨機抽取了200位以前的客戶進行調查，得到如下數據：打算購買該品牌手機的男性有80人，不打算買該品牌手機的男性有40人，打算買該品牌手機的女性有40人．（1）完成下列2×2列聯表，并依據列聯表推斷是否有97.5%的把握認為這200位參加調查者是否打算購買該品牌手機與性別有關．打算買該品牌手機不打算買該品牌手機合計男性女性合計（2）該電商將這200個樣本中打算購買該品牌手機的被調查者依據性別分組，用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人賜予500元實惠券的嘉獎，另外3人賜予200元實惠券的嘉獎，求獲得500元實惠券與獲得200元實惠券的被調查者中都有女性的概率．附：，．0.500.250.050.0250.0100.4551.3213.8405.0246.63520．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，，二面角為60°，E為PD的中點．（1）證明：平面PAD．（2）求平面ADE與平面ABE所成銳二面角的余弦值．21．（12分）已知橢圓的離心率為，焦距為2．（1）求的標準方程．（2）過的右焦點F作相互垂直的兩條直線，（均不垂直于x軸），交于A，B兩點，交于C，D兩點．設線段AB，CD的中點分別為M，N，證明：直線MN過定點．22．（12分）已知函數．（1）若，求的極值；（2）若對隨意，恒成立，求整數m的最小值．滄州市七校聯盟高三年級2024~2025學年上學期期中考試數學試題參考答案1．B．2．C因為，所以復數z的虛部是．3．A，令，得，則的系數為．4．D因為，，所以．當且僅當時取等號，此時，解得．5．C因為，，，四組通行時間的頻率分別是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行時間在內的頻率是，通過的車輛臺數是．6．C分別以AB，AD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系（圖略），因為，，，所以，，故．7．AEFGH是平行四邊形，由線面平行的性質定理可得，，直線EG和AC所成角，即直線EG和EH所成角．因為，所以．因為，，所以，故．8．D令，則，所以在R上單調遞增．因為，所以不等式，可變形得，所以，解得．9．BD因為，所以．因為，，所以公差．10．ABD由題意得，．因為函數的圖象平移后能與函數的圖象完全重合，所以．因為，所以函數的最小正周期，故A正確．將的圖象向左平移個單位長度，得到曲線，其圖象關于y軸對稱，故B正確．當時，，，即的值域為，故C錯誤．令，解得，所以當取得最值時，，故D正確．11．BD為奇函數，，，同時說明的圖象關于對稱．，，即，可得，函數的周期為4，故．12．AC設，，，則，，，．因為恒成立，所以離心率．13．0，．14．，．，．15．如圖，由題可知圓C的圓心為，半徑．要使的長度最小，即要最小，則最小．因為，所以當最小時，最小因為，所以當最小時，最?。驗椋?，，則．16．2因為，平面，所以EF∥平面，所以無論點P在線段EF上什么位置，它到平面的距離不變．當點P是EF與的交點時，，則P到平面的距離是到平面距離的．因為到平面的距離為，所以P到平面的距離是，因為的面積，所以三棱錐的體積．17．解：若選①，由正弦定理，得，即，所以，因為，所以．因為，，，所以，所以．若選②，由正弦定理，得．因為，所以，所以，化簡得，所以．因為，所以．因為，，，所以，所以．若選③，由正弦定理，得．因為，所以，所以．因為，所以．因為，，所以，所以，所以．因為，，，所以，所以．18．解：（1）當時，，解得．因為，①所以當時，，②①-②得，，所以．故數列是首項為1，公比為2的等比數列，其通項公式為．（2）由題知，，所以，③，④③-④得，．所以．19．解：（1）由題意得2×2列聯表如下：打算買該品牌手機不打算買該品牌手機合計男性8040120女性404080合計12080200因為，所以有97.5%的把握認為這200位參加調查者是否打算購買該品牌手機與性別有關．（2）由題意可知，用分層抽樣的方法抽取的6人中，男性有人，女性有人．設“獲得500元實惠券者與獲得200元實惠券者都有女性”為事務A，則，即獲得500元實惠券與獲得200元實惠券的被調查者中都有女性的概率為．20．（1）證明：四邊形ABCD為正方形，．，，平面PCD．平面PCD，．二面角P-AD-B為60°，．，，為等邊三角形．為PD的中點，．，平面PAD．（2）解：過P作，垂足為O，易知O為CD的中點．平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，平面ABCD．設AB的中點為Q，連接OQ，則，平面PDC．以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．正方形ABCD的邊長為2，，，，，，，，，，平面PAD，為平面ADE的一個法向量．設是平面ABE的法向量，則，令，得．．平面ADE與平面ABE所成銳二面角的余弦值為．21．（1）解：因為離心率，，且，所以，，，故的標準方程為．（2）證明：由（1）知．設直線AB的方程為，，，聯立方程組，消去y得，則，，所以M的坐標為．因為，所以CD的斜率為．將M坐標中的k換為，可得N的坐標為．當時，設直線MN的斜率為，則，所以直線MN的方程為，即，則直線MN