新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-24.1.3.弧、弦、圓心角

24.1.3弧、弦、圓心角富順縣趙化中學(xué)鄭宗平2018.11.10課題新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十四章1.理解圓心角的概念，掌握?qǐng)A的中心對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)不變性.2.探索圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理并利用其解決相關(guān)問(wèn)題.（重點(diǎn)）4.經(jīng)歷探索知識(shí)過(guò)程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值和魅力，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)和探索精神.學(xué)習(xí)目標(biāo)：3.理解圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理中的“在同圓或等圓”條件的意義,(難點(diǎn)）4.經(jīng)歷探索知識(shí)過(guò)程，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值和魅力，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)和探索精神.目標(biāo)垂徑定理及其推論：①.過(guò)圓心；②.垂直于弦；③.平分弦；④.平分劣?。虎?平分優(yōu)弧.∵AB是直徑，AB⊥DC∵AB是直徑，AB平分弦CD（弦CD不是直徑）溫故知新遇弦作垂線(xiàn)，解答更方便！記住喲！知二推三！

上周我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了利用垂徑定理二等分沒(méi)有明確圓心標(biāo)記的月餅.過(guò)后2班有位同學(xué)問(wèn)我：老師，因?yàn)橛邪职?、媽媽和我，如果平均每人一份，怎樣三等分呢？今天我們就?lái)探討這個(gè)問(wèn)題.新課引入這是怎么三等分的呢？上周的二等分法.新課引入

所以圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形.1.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖形與原圖形重合嗎？由此你得到什么結(jié)論呢？圓心角的定義2.把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度呢？仍與原來(lái)的圓重合嗎？圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，具有旋轉(zhuǎn)不變性.觀察動(dòng)畫(huà)：定義觀察在⊙O中，這些角有什么共同特點(diǎn)？頂點(diǎn)在圓心上.圓心角的定義1.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角,叫圓心角，如∠AOB.2.圓心角∠AOB

所對(duì)的弧為.3.圓心角∠AOB所對(duì)的弦為AB.注意任意給圓心角，都會(huì)對(duì)應(yīng)出現(xiàn)三個(gè)量（時(shí)時(shí)想起）：圓心角弧弦定義（續(xù)）判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說(shuō)明理由.圓內(nèi)角圓周角(后面要學(xué)）圓外角圓心角圓內(nèi)角弦切角(以后將介紹)追蹤練習(xí)◆在同圓中探究在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，與，弦AB與弦CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的探究若∠AOB=∠COD，那么,AB=CD觀察：如圖，在等圓中，如果∠AOB＝∠CO′D，你發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系是否依然成立？為什么？在等圓中探究觀察：

通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)將兩個(gè)等圓變成同一個(gè)圓，我們發(fā)現(xiàn)：如果∠AOB=∠COD，那么，，弦AB=弦CD.仍然成立！關(guān)系探究

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．弧、弦與圓心角的關(guān)系定理及其推論∵

∠AOB=∠COD∴AB=CD,

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)圓心角相等，所對(duì)的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等．∵∴∠AOB=∠COD,AB=CD.∵

AB=CD∴∠AOB=∠COD，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧或兩條弦中，有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等.定理及推論

想一想：為什么圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理中要有“在同圓或等圓”前提條件？思考第一種情況：在同心圓⊙O中（見(jiàn)右圖）.第二種情況：在圓心不同而半徑不相等的⊙O和⊙O′兩個(gè)圓中有∠AOB=∠CO′D.很明顯的弦CD和弦AB雖然一個(gè)圓心角對(duì)的弦，但CD≠AB,同樣的.觀察動(dòng)畫(huà)：從平移可看出雖然∠AOB=∠CO′D,但CD≠AB,

.弦心距是指圓心到弦的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度.那么在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的弦的弦心距是否相等呢？等對(duì)等關(guān)系：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弦，兩段弧，兩弦所在的弦心距，只要有一組量相等，可以推出相應(yīng)的其余各組量也相等.拓展與歸納觀察動(dòng)畫(huà)：后面的練習(xí)將有一個(gè)“理論論證”

一.判斷題1.等弦所對(duì)的弧相等.

()2.等弧所對(duì)的弦相等.

()3.等弧所對(duì)的圓心角相等.()1.

如圖，AB是⊙O的直徑,

,∠COD=35°，∠AOE=

．75°4.圓心角不相等，所對(duì)的弦不相等.()5.弦相等，它所對(duì)的圓心角相等()二.填空題2.

如圖，⊙O的上,∠A=30°,∠B=

．75°追蹤練習(xí)3.填一填：

如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦．⑴.如果AB=CD，那么__________，

．⑵.如果，那么____________，

．⑶.如果∠AOB=∠COD，那么__________，________．⑷.如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE與OF相等嗎？為什么？AB=CDAB=CDAB=CD((∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CD((AB=CD((解：OE=OF.理由如下：追蹤練習(xí)（續(xù)）在綜合解答題中可以說(shuō)通過(guò)說(shuō)明思路的方式“直接”用拓展的“等對(duì)等關(guān)系定理”.4.回答：前面動(dòng)畫(huà)展示“三等分”月餅是怎樣分的？取120°的圓心角，等對(duì)等，三部分能完全重合.證明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.例1.(新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)84頁(yè)例3）如圖，在⊙O中，

.求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.

點(diǎn)評(píng)：

本題主要是抓住由“等弧→圓心角相等”；凡此類(lèi)題利用“等對(duì)等關(guān)系”進(jìn)行弧、圓心角、弦靈活轉(zhuǎn)化是破題的關(guān)鍵.∵典例1后面的例2、例3根據(jù)課堂時(shí)間情況選學(xué).例2.如圖，AB是半圓⊙O的直徑，點(diǎn)C、D分別為OA、OB的中點(diǎn)，分別過(guò)C、D作AB的垂線(xiàn)與半圓交于E、F兩點(diǎn).

求證：.典例2

分析:

本題要證明弧相等，可以找出弧所對(duì)應(yīng)的圓心角或弦相等來(lái)證得，我們連接半徑OE、OF、EA、EB即可解決問(wèn)題.

略證:連接半徑OE、OF和弦AE、BE.∵EC⊥OA,FD⊥OB,且點(diǎn)C、D分別為OA、OB的中點(diǎn)∴EA=EO,FO=EB∵EO=FO∴EA=FB∴點(diǎn)評(píng)：

本題是利用“等弦→等弧”來(lái)時(shí)使問(wèn)題獲得解決；本題也可以利用“圓心角相等→等弧”，殊途同歸.典例3例3.如圖，D、E分別是⊙O的半徑OA、OB的中點(diǎn)，在優(yōu)弧上一點(diǎn)取一點(diǎn)C，使連接CD、CE后滿(mǎn)足CD=CE.

求證：點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn).

分析:要證明點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)，就是要證明

;可以找出弧所對(duì)應(yīng)的圓心角相等來(lái)證得.我們可連接半徑OC后通過(guò)三角形全等來(lái)解決.

略證:連接半徑OC.∵D、E分別為OA、OB的中點(diǎn)∴∵OA=OB∴OD=OE∵CD=CE,OC=OC∴△OCD≌△OCE∴∠1=∠2∴即點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn).1.如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）A.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等B.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等C.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等D.以上說(shuō)法都不對(duì)4.弦長(zhǎng)等于半徑的弦所對(duì)的圓心角等于

.D60°鞏固練習(xí)2.AB、CD為⊙O的兩條直徑，弦DE∥AB,若∠DOE=40°,那么∠BOC=（）A.110°B.80°C.40°D.70°3.在⊙O中，劣弧滿(mǎn)足，則AB與2CD的大小關(guān)系為（）A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.以上都不對(duì)5.如圖，AB是半圓的直徑，OC⊥AB,D為劣弧CD的中點(diǎn)，連接OD,再連接AD交OC于點(diǎn)E，則∠AEO的度數(shù)為

.AB6.邊長(zhǎng)為6的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，則⊙O的半徑為

.67.5°7.如圖，已知AB、CD為⊙O的兩條弦，

求證:AB＝CD.輔助線(xiàn)提示見(jiàn)圖.輔助線(xiàn)提示見(jiàn)圖.輔助線(xiàn)提示見(jiàn)圖.鞏固練習(xí)(續(xù))7、8、9