概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用第二版課后答案浙江大學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

第1章隨機變量及其概率

1,寫出下列試驗的樣本空間：

(1)連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄

投擲的次數(shù)。

(2)連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，

記錄投擲的次數(shù)。

(3)連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。

(4)拋一枚硬幣，若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T,則再拋一顆骰

子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。

解：(1)S={234,5,6,7}；(2)5={2,34,}；⑶S={“,777,7777,77777,}；

(4)S={”",H7\T1,72,73,74,75,76}。

2,設(shè)A,B是兩個事件,已知P(A)=0.25,P(B)=0.5,P(AB)=0.125,，求

P(AuB),P(AB\P(AB),P[(AoB)(AB)]。

解：P(Au5)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.625，

P(AB)=尸[(S—A)8]=P\B)-P(AB)=0.375，

P(A^)=1-P(AB)-0.875,

P[(Au8)(43)]=P[(AuB)(S-AB)]=P(AuR)-P[(AuB)(AB)]=0.625-P(AB)=0.5

3,在100,101,—,999這900個3位數(shù)中，任取一個3位數(shù)，求

不包含數(shù)字1個概率。

1

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

解：在100,101,―,999這900個3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)

的個數(shù)為8x9x9=648,所以所求得概率為

648

—=0.72

900

4,在僅由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體

三位數(shù)中，任取一個三位數(shù)。（1）求該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)

大于330的概率。

解：僅由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全

體三位數(shù)的個數(shù)有5x5x4=100個。（1）該數(shù)是奇數(shù)的可能個數(shù)為

4x4x3=48個，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為

48

—=0.48

100

（2）該數(shù)大于330的可能個數(shù)為2x4+5x4+5x4=48,所以該數(shù)大于

330的概率為

喘二°'8

5,袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列

事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。

（2）4只中至少有2只紅球。

（3）4只中沒有白球。

解：（1）所求概率為8.

安廣品

12

2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

（2）所求概率為C2c220167.

48C48~4-=495=165，

12

（3）所求概率為匕=竺_=工。

C4495165

12

6,一公司向M個銷售點分發(fā)張?zhí)嶝泦?，設(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給

每一銷售點是等可能的，每一銷售點得到的提貨單不限，求其中某一

特定的銷售點得到秋&<〃）張?zhí)嶝泦蔚母怕省?/p>

解：根據(jù)題意，張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給M個銷售點的總的可能分法

有種，某一特定的銷售點得至心（左?〃）張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ?/p>

種，所以某一特定的銷售點得到乂仁〃）張?zhí)嶝泦蔚母怕蕿?/p>

n

〃____________o

Mn

7,將3只球（1~3號）隨機地放入3只盒子（1~3號）中，一只盒子

裝一只球。若一只球裝入與球同號的盒子，稱為一個配對。

①求3只球至少有1只配對的概率。

0求沒有配對的概率。

解：根據(jù)題意，將3只球隨機地放入3只盒子的總的放法有3!=6

種：123,132,213,231,312,321；沒有1只配對的放法有2種:

312,231o至少有1只配對的放法當(dāng)然就有6-2=4種。所以

（2）沒有配對的概率為

63

①至少有1只配對的概率為1_[=*0

33

3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

8,(1)設(shè)P(4)=0.5,P(B)=0.3,P(4B)=0.1,，求P(4|B),P(B|4),尸(川8),

P(AB\AuB),P(A\AB)?

0袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到

白球，放回，并放入1只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。

連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。

解：(1)由題意可得P(AuB)=P(4)+P(B)-Q(AB)=0.7,所以

P(A\B)=P(<AB)_0.1_1，p(B|A)=P(AB)_0.1_1

-P(Br-0?3~3

P(A\AuB)=R4.uB)]=P(4)=5,

P(AuB)P(A^JB)7

P(AB\A<JB)-RAB(4JB)]=P(-B)=1,

P(AuB)P(AuB)~7

P(A\AB)=P[A(AB)]=P(AB)=U

P(AB)P(AB)

(2)設(shè)4(/=l,2,3,4)表示“第，次取到白球”這一事件，而取到紅球可

/

以用它的補來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球

可以表示為44171，它的概率為(根據(jù)乘法公式)

1234

P(AA7['A)=P(A)P(A\A)P(A\AA)P(A\AA7^)

12341213124123

二￡x工x工幻840=0.0408o

1112131220592

9,一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取

一只，做不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另

一只也是紅球的概率。

解：設(shè)“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件人，“另一只

4

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

也是紅球”記為事件8。則事件4的概率為

22c

P(4)=2x_x_+2x」=?(先紅后白，先白后紅，先紅后紅)

43436

所求概率為

21

尸向小迪=注L

17P(A)55

6

10,一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%的人

以為自己患癌癥，且確實患癌癥；有45%的人以為自己患癌癥，但實

際上未患癌癥；有10%的人以為自己未患癌癥，但確實患了癌癥；最

后40%的人以為自己未患癌癥，且確實未患癌癥。以a表示事件“一

病人以為自己患癌癥”，以B表示事件“病人確實患了癌癥”，求下列

概率。

(1)P(A),P(B);(2)P(B\A);(3)P(B|G；(4)P(A\B);(5)P(A\B)o

解(1)根據(jù)題意可得

P(A)=P(AB)+P(AB)=5%+45%=50%；

P(8)=尸(BA)+尸(BA)=5%+10%=15%；

(2)根據(jù)條件概率公式：P(B\A)=P(AB)_5%=0,1;

"W"50%

(3)P(B\A)=P[^)_10%=0.2：

P(7)-1-50%

(4)P(川￡)=尸(陽)_45%_9.

P(B)1-15%17,

(5)p(A\B)=p(AB)__1

P(B)~15%~3°n

5

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

11,在11張卡片上分別寫上engineering這11個字母，從中任意連抽

6張，求依次排列結(jié)果為ginger的概率。

解：根據(jù)題意，這11個字母中共有2個g,2個i,3個n,3個e,1

個r。從中任意連抽6張，由獨立性，第一次必須從這11張中抽出2

個g中的任意一張來，概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽

出2個i中的任意一張來，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取

的概率。最后要求的概率為

223131361.或者。1。

11109876332640924039240

ii

12,據(jù)統(tǒng)計，對于某一種疾病的兩種癥狀：癥狀A(yù)、癥狀B,有20%

的人只有癥狀A(yù),有30%的人只有癥狀B,有10%的人兩種癥狀都有，

其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機地選一人，求

(1)該人兩種癥狀都沒有的概率；

(2)該人至少有一種癥狀的概率；

(3)已知該人有癥狀B,求該人有兩種癥狀的概率。

解：(1)根據(jù)題意，有40%的人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀

都沒有的概率為1—20%-30%-10%=40%；

⑵至少有一種癥狀的概率為1—40%=60%;

⑶已知該人有癥狀B,表明該人屬于由只有癥狀B的30%人群或

者兩種癥狀都有的10%的人群，總的概率為30%+10%=40%,所以在

已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為1°%=1。

30%+10%4

6

概率論9?數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

13,一在線計算機系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨

機選擇的進(jìn)入訊號無誤差地被接受的概率。

通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額

10.40.9998

20.30.9999

30.10.9997

40.20.9996

解：設(shè)“訊號通過通訊線/進(jìn)入計算機系統(tǒng)”記為事件A(j=1,2,3,4)，

/

“進(jìn)入訊號被無誤差地接受”記為事件8。則根據(jù)全概率公式有

P(B)上P(A)P(B\A)=0.4x0.9998+0.3x0.9999+0.1x0.9997+0.2x0.9996

ii

=0.99978

14,一種用來檢驗50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗法，對于確

實患關(guān)節(jié)炎的病人有85%的給出了正確的結(jié)果；而對于已知未患關(guān)節(jié)

炎的人有4%會認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，

問一名被檢驗者經(jīng)檢驗，認(rèn)為他沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。

解：設(shè)“一名被檢驗者經(jīng)檢驗認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎”記為事件4，“一名

被檢驗者確實患有關(guān)節(jié)炎”汜為事件B。根據(jù)全概率公式有

P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(ATB)=10%x85%+90%x4%=12.1%，

所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為

P(B⑻=?—)_尸(8尸(小B)-85%)=17.06%

P(Z)1-P(/A)1-12.1%

即一名被檢驗者經(jīng)檢驗認(rèn)為沒有關(guān)節(jié)炎而實際卻有關(guān)節(jié)炎的概率為

17.06%.

7

概率論9?數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

15,計算機中心有三臺打字機A,B,C,程序交與各打字機打字的概率依

次為0.6,0.3,0.1,打字機發(fā)生故障的概率依次為0.01,0.05,0.04o

已知一程序因打字機發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打

字的概率分別為多少？

解：設(shè)“程序因打字機發(fā)生故障而被破壞"記為事件"，"程序在A,B,C

三臺打字機上打字”分別記為事件/V,N,No則根據(jù)全概率公式有

123

P(M)￡P(guān)(N)P(M\N)=0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.04=0.025，

ii

根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為

P(NIM)=0.6x0.0102人

1P(M)0.025

P(N|M)二尸(「)尸(乂I%)_0.3x0.05_of。,

2P(M)0.025

P(N|M)=尸(&)尸(％&)_0.及0.04_09

3P(M)0.025

16,在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。

又設(shè)全部不可信的訊息中只有0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部

可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信

訊息的概率。

解：設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件A，”一訊息是可信

的”記為事件8。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為

P(BIA)=P(AB)=P(B)P(4|B)=95%X1=99.9947%

P(A)尸(8)尸(川8)+尸(B)P(4|B)95%x1+5%x0.1%

8

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

17,將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H"，'第一

次得H”，“兩次得同一面"o試驗證A和B,B和C,C和A分別相

互獨立(兩兩獨立)，但A,B,C不是相互獨立。

解：根據(jù)題意，求出以下概率為

P(A)=P(B)，P(C)=LLLLL

222222

P(AB)=1xJ-1*R8C)=RC4)='J1，尸(陽⑦二、】」

224224224

所以有

P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)。

即表明A和B,B和C,C和A兩兩獨立。但是

P(ABC)半P(A)P(B)P(C)

所以A,B,C不是相互獨立。

18,設(shè)A,B,C三個運動員自離球門25碼處踢進(jìn)球的概率依次為0.5,

0.7,0.6,設(shè)A,B,C各在離球門25碼處踢一球，設(shè)各人進(jìn)球與否相互

獨立，求(1)恰有一人進(jìn)球的概率；(2)恰有二人進(jìn)球的概率；(3)

至少有一人進(jìn)球的概率。

解：設(shè)“A,B,C進(jìn)球”分別記為事件N(/=1,2,3)。

7

①設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為p,則

1

p=P{NNN}+P{NNN}+P0NN)

1I23!23I23

=P(N)P(N)P(N)+P(N)P(N)P(N)+P(N)P(N)P(N)(由獨立性)

12323123

=0.5x0.3x0.4+0.5x0.7x0.4+0.5x0.3x0.6

=0.29

9

概率論9?數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

0設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為p,則

2

p=P{NN17}+P{/TNN}+P{NN-N}

2123123123

=P(N)P(N)P(N)+P(N)P(N)P(N)+P(N)PCN)P(N)(由獨立性)

123123123

=0.5x0.7x0.4+0.5x0.7x0.6+0.5x0.3x0.6

=0.44

0設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為p,則

3

p=1—P{ZNAT}=1-P(AT)P(Ar)P(N)=1-0.5x0,3x0.4=0.94o

3123123

19,有一危重病人，僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的

A-RH+血才能得救。設(shè)化驗一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的

血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗血型的設(shè)備，且供

血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨立。求病人

能得救的概率。

解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗血型4次，也就是說最遲可以第4個

人才驗出是A-RH+型血。問題轉(zhuǎn)化為最遲第4個人才驗出是A-RH+

型血的概率是多少？因為

第一次就檢驗出該型血的概率為0.4；

第二次才檢驗出該型血的溉率為0.6x0.4=0.24；

第三次才檢驗出該型血的概率為0.62x0.4=0.144；

第四次才檢驗出該型血的概率為0.63x0.4=0.0864；

所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

10

概率論9?數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

20,一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。

如圖設(shè)有5個獨立工作的元件1,2,3,4,5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式

連接，設(shè)元件的可靠性均為p,試求系統(tǒng)的可靠性。

解：設(shè)“元件j能夠正常工作”記為事件4（/=1,2,3,4,5）o

/

那么系統(tǒng)的可靠性為

P[(AA)<J(A)U(AA)}=P(AA)+P(A)+P(AA)

-P(AAA)-P(AAAA)-P(AAA)+P(AAAAA)

123124534512345

=P(A)P(A)+P(A)+P(A)P(A)-P(A)P(A)P(A)-P(A)P(A)P(A)P(A)

123451231245

-P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)

345：2345

=jC2+p+p2-p—pi-pa+ps

=P+2P2-2p3-p4+p5

21,用一種檢驗法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有

雜質(zhì)檢驗結(jié)果為含有的概率為0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為不含

有的概率為0.9,據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)

的概率分別為0.4,0.6o今獨立地對一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗，結(jié)果是

2次檢驗認(rèn)為含有雜質(zhì)，而一次檢驗認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含

有雜質(zhì)的概率。（注：本題較難，靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式）

解：設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件4,“對一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗，

結(jié)果是2次檢驗認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗認(rèn)為不含有雜質(zhì)”記為事

件8。則要求的概率為尸（48），根據(jù)Bayes公式可得

P(A)P(B\Aj+P(^P(B\A)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件C，根據(jù)題意有P(A)=0.4,而

且P(C|A)=0.8，P(C|Z)=0.9，所以

P(B|A)=C2XO.82X(1-0.8)=0.384；P(萬TA)=Cax(1一0.9)2x0.9=0.027

33

故，

P(A)P(B|A)=0.4x0.384=0J536=0,9046

I—P(A)P(B|A)-t-P(A)P(B|A)~0.4x0.384+0.6x0.027-0.1698

(第1章習(xí)題解答完畢)

第2章陵機變量及其分布

1.設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機地選人來驗血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人

為止，以Y記進(jìn)行驗血的次數(shù)，求丫的分布律。

解：顯然，丫是一個離散型的隨機變量，丫取左表明第左個人是A型血而前左一1個人都不是A型血，因

此有

P{Y=k\=0.4x(1-0.4)*-i=0.4x0.6*-1,(—=1,2,3,)

上式就是隨機變量丫的分布律(這是一個幾何分布)。

2,水自A處流至B處有3個閥門1,2,3,閥門聯(lián)接方式如圖所示。當(dāng)信號發(fā)出時各閥門以0.8的概率打

開，以X表示當(dāng)信號發(fā)出時水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。設(shè)各閥門的工作相互獨立。

解：X只能取值0,1,2。設(shè)以&0=12,3)記第，?個閥門沒有打開這一事件。則

P{X=O}=P{A(AuA)}=P{(AA)D(AA)}

1231213

=P{AA}+P{AA}-P{AAA}=P(A)P(A)+P(A)P(A)-P(A)P(A)P(A)

12131231213123

=(1-0.8)2+(1-0.8)2-(1-0.8)3=0.072,

類似有P{X=2]=P{A(AA)}=P(AAA)=0.83=0.512,

123123

P{X=1}=1-P{X=0}-P{X=2}=0.416，綜上所述,可得分布律為

X012

P{X=k}0.0720.5120.416

3,據(jù)信有20%的美國人沒有任何健康保險，現(xiàn)任意抽查15個美

國人，以X表示15個人中無任何健康保險的人數(shù)(設(shè)各人是

12

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

否有健康保險相互獨立工問X服從什么分布？寫出分布律。并求下列情況下無任何健康保險的概率：(1)

恰有3人(2)至少有2人(3)不少于1人且不多于3人(4)多于5人。

解：根據(jù)題意，隨機變量X服從二項分布B(15,0.2),分布律為

P(X=k)=CkX0.2AxO.8i5-ii,Z=0,1,2,15

150

P(X=3)=C3x0.23x0.812=0.2501,

(1)15

⑶P(X>2)=1-P(X=1)-P(X=0)=0.8329:

o)尸(14XV3)=尸(X=1)+P(X=2)iP(X=3)=0.6129；

(4)P(X>5)=1-P(X=5)-P(X=4)-P(X=3)-P(X=2)

-P(X=1)-P(X=0)=0.0611

4,設(shè)有一由九個元件組成的系統(tǒng)，記為這一系統(tǒng)的運行方式是當(dāng)且僅當(dāng)〃個元件中至少有

女（0<〃<〃）個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一3/5[G]系統(tǒng)，它由相互獨立的元件組成，設(shè)

每個元件的可靠性均為0.9,求這一系統(tǒng)的可靠性。

解：對于3/5[G]系統(tǒng)，當(dāng)至少有3個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X

服從二項分布B（5,0.9）,所以系統(tǒng)正常工作的概率為

￡p（X=k）=￡ckx09X0.15-A=0.99144

5

k=3k=3

5,某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為0.001,現(xiàn)

取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。（設(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨立）

解：根據(jù)題意，次品數(shù)X服從：項分布B（8000.0.001）,所以

P（X<7）=P（X<6）=^6Ck0.00kx0.9998ooo-*

8000

*=0

V（8000x0.001Re-soooxo.ooi_V8Ae-8=0.3134

"------------耳------------=（查表得）。

A=0*=0

6,（1）設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某港口城市的油船的只數(shù)X~K（1°）,求「{X>15}

（2）已知隨機變量x~n（入），且有P（X>0}=0.5,求p（x^2}

解：(I)P{X>15}=1-P{X<15}=1-0.9513=0.0487：

13

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

(2)根據(jù)尸{X>0}=1-P{X=0}=1-入=0.5,得到人=In2.用以

P{X>2}=1-P{X=0}-P{X=l)=l-0.5-Xe-X=(l-ln2)/2?0.1534°

7,一電話公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)X~兀（2，）（設(shè)各人收到訊息與否相互獨

立）。（1）求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個訊息員未收到訊息的概率。（2）求在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員恰

有4人未收到訊息的概率。（3）寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。

解：在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個訊息員收到訊息的次數(shù)X~兀（2）。

(1)P{X=0}=6-2^0.1353.

②設(shè)在給定的一?分鐘內(nèi)5個訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則Y~B（5,0.1353）,所以

尸{y=4}=C40.13534x（1-0.1353）=0.00145

5。

③每個人收到的訊息次數(shù)相同的概絲為

2ke-2V

8,一教授當(dāng)下課鈴打響時，他還不結(jié)束講解。他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響

fte0<x<1<）

至結(jié)束講解的時間。設(shè)x的概率密度為/W=j0其他，（1）確定左；（2）求P{X一百；

112

（3）求PqWXK-）:（4）w>

解：⑴根據(jù)l=ff（x）心」辰2〃k

得到k=3；

3,

P[X<^}=

(2)2尸小卜亓

r7

111/2

=

P{1<X<1)=.3"公=⑸"W64

(3)

41/4

2f212丫19

(4)P{X>-}=hxdx=\-[^)=22.

32/3

f0.003x20<x<10

9,設(shè)隨機變量x的概率密度為/（x）=10其他，求t的方程72+2XZ+5X-4=0

有實根的概率。

14

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

解:方程f2+2Xf+5X—4=0有實根表明△=4X2—4(5X—4)N0,即X2-5X+4N0,

從而要求X24或者X<1。因為

110

P{X<1}=JO.OO3x2^t=O.OOl.P{X>4}=10.003x2^=0.936

04

所以方程有實根的概率為0.001+0.936=0.937.

10,設(shè)產(chǎn)品的壽命X(以周計)服從瑞利分布，其概率密度為

，/、">-.2200x>0

/W=1100

0其他

(1)求壽命不到一周的概率：

(2)求壽命超過一年的概率：

(3)已知它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率。

解.(1)P{X<1}=J-^—e-x2i2^dx=1-e-i/2oo?0.00498.

解.100?

0

P{X>52)=才___e-x2/2oodx=e-2io4/200=0.000001

⑵Too:

52

e-x2/2oodx

(3)P(X>26|X>20)=P{X>26}=e-276/2ooa0.25158

1P{X>20}

干xe-*/200dr

J100

20

IL設(shè)實驗室的溫度X(以C計)為隨機變量，其概率密度為

P(4-X2)-1<X<2

一卡0其他

⑴某種化學(xué)反應(yīng)在溫度X>1時才能發(fā)生，求在實驗室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的概率。

⑵在10個不同的實驗室中，各實驗室中這種化學(xué)反應(yīng)是否會發(fā)生時相互獨立的，以Y表示10個實

驗室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實驗室的個數(shù)，求Y的分布律。

(3)求尸{Y=2}.P{XN2}.

解：(1)P{X>1}二’—(4-%2)〃攵=_2—；

927

?

5

<2)根據(jù)題意丫~8(10,另，所以其分布律為

15

概率論V數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

P(y=jt)=ax|_Ixf_|',Z=0,1,2,10

127J127J

p(y=2)=。=0.2998

(3)

10

P(Y>2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=0.5778

12,(1)設(shè)隨機變量Y的概率密度為

0.2-1<^<o

/(y)=jo.2+Cy0<y<l

o其他

試確定常數(shù)c,求分布函數(shù)產(chǎn)(y),并求片OMy4O5}.P|y>o.5|y>o.i1

(2)設(shè)隨機變量x的概率密度為

fl/80<x<2

/(x)=<x/S2<x<4

0其他

求分布函數(shù)尸(X),林PUKXW3).P{X>l|X<3b

⑴根據(jù)1=于小"+卜0-2+Cy)辦=。-4+:得到c=12.

-30-10

0y<-\

Jo.2dy

-1<y<0

F(y)=If(y)dy=.j0.2辦+1(0.2+1.2y)d)'

-000<y<1

f0.2dy+1(0.2+l.2y)dy

y>l

‘-10

0y<-i

0.2(y+1)-1<j<0

0.6『+0.2y+0.2

0<y<1

1”1

p(o<y<o.5}=P{y<o.5}-P{y<0}=P(O.5)-F(O)=0.45-0.2=0.25：

16

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

P[1>0.5}_1-P{y<0.5}_1--(0.5)1-0.45

?{y>o.5|r>o.i}=0.7106

p(y>0.1}i-P{y<o.i)i-F(O.I)1-0.226

ffP.x<0(

Jdxf0x<0

a80<X<2

F(x)=ff(x}dx

0fx/80<x<2

=J\x=.

1g公+X2/162<x<4

-00%公2<x<4〕

1°

\x11x>4

dxi

1

產(chǎn)>8x>4

0

P{1<x<3}=F(3)-F(1)=9716-1/8=7/16:

P{<1X<3}F(3)-F(l)

P[X>1|X<3}=7/90

P(X<3)尸(3)

13,在集合人=[1,2,3產(chǎn)?.,1!}中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一次取到的數(shù)，以Y

表示第二次取到的數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當(dāng)n=3時X和Y的聯(lián)合分布律。

解：根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n(n-l),因此

1

P[X=i,Y=j}=-~“打，且1口八〃)

n(n-1)

1

當(dāng)n取3時，P{X=i,Y=j]=z，(iwJ,且1),表格形式為

123

i01/61/6

21/601/6

31/61/60

14,設(shè)一加油站有兩套用來加油的設(shè)備，設(shè)備A是加油站的工作人員操作的，設(shè)備B是有顧客自己操作的。

A,B均有兩個加油管，隨機取一時刻，A,B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X,Y,它們的聯(lián)合分布律為

012

00.100.080.06

10.040.200.14

20.020.060.30

⑴求px=i,y=i}.P{x<i,y<i)：

⑵求至少有一根軟管在使用的概率：

⑶求P{X=Y}.p{x+y=2}.

解：(i)由表直接可得P{X=i,y=i}=02

17

概率論9?數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

「{XWl,y<1}=0,1+0.08+0.04+0.2=0.42

(2)至少有一根軟管在使用的概率為

P[X+Y>1}=1-P{X=0,y=0(=1-0.1=0.9

(3)P[X=Y]=P{X=y=0)+P{X=Y=\}+P{X=Y=2]=0.1+02m3=0.6

P{X+Y=2}=P{X=0,Y=2}+P{X=l,r=1}+P{X=2,r=0}=0.28

15.設(shè)隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為

fC?-（2x+4川，x>0,y>0

f。,y）=〈

I0，其他

試確定常數(shù)c,并求P{X>2}.P\X>Y}.P[X^Y<\].

解：根據(jù)JJf（x，y）必由=1,可用

x>0.)什

1=JJf(xty)dxdy=

"g-

x>0.y>00000

所以c=8

J)f(x,y)dxdy=ffe-(2x+4y)dy=fe-ixdx\

P{X>2]=

dx82

e-2x

y)dxdy=T\^e-(2x^y)dy=f為Jqt、由2

P{X>Y}=^e-2x(l-e-4x)dx=

3

x>y0I)00o

JJ/(X,y)dxdy=J中e-(2.r+4y)dy=[2e-2ife

P[X+Y<1}=X-4ydy=(1-e-2)2

公J8公J4

16,設(shè)隨機變量（X,Y）在山曲線）'=12,），=12/2,1=1所圍成的區(qū)域6均勻分布。

（1）求（X,Y）的概率密度；

（2）求邊緣概率密度

fvM,f（y）a

解：（1）根據(jù)題意，（X,Y）的概率密度/（乂＞）必定是一常數(shù)，故由

,得到6,(x,y)€G

1=JJf（xty）dxdy=Jdrff（x,丫必=f（x,y）f（x,y）="

o0，其他

G0x2/2

18

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用習(xí)題解答

⑵fJ=32右修<1

XN2/2

0,其他

0<y<0.5

0<j<0.5

0.5<y<1=<6(1-0),0.5<y<1

I°.其他

其彳也

18,設(shè)x，y是兩個隨機變量，它們的聯(lián)合概