新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專題10 數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)（解析版）

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 5題型三：插入新數(shù)混合 7二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 11一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差例題1．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足：SKIPIF1<0(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，使這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在三項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由SKIPIF1<0①得SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0②①-②得SKIPIF1<0，①中令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，與題設(shè)矛盾SKIPIF1<0不存在這樣的三項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.例題2．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．(2)SKIPIF1<0是不是數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)？若是，它是SKIPIF1<0的第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的第8項(xiàng)．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0．由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0．（2）數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)依次是數(shù)列SKIPIF1<0的第1，5，9，13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的第8項(xiàng)．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0和其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入m個(gè)數(shù)，使得這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0的正整數(shù)m的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)6【詳解】（1）依題意，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0；（2）由題意可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，不難發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0，故滿足題意的m的最小值為6.例題4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高?？计谀┮阎缺葦?shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入n個(gè)數(shù)，使這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0對(duì)一切SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式相減可得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，代入①可得SKIPIF1<0，所以等比數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；（2）由已知在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入n個(gè)數(shù)，組成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)n為奇函數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．例題5．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0及數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，使得這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)依次組成公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，兩式相減，可得SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，使得這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)依次組成公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中抽取部分項(xiàng)（按原來(lái)的順序）構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為SKIPIF1<0，再在數(shù)列SKIPIF1<0插入適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使它們一起能構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中第SKIPIF1<0項(xiàng)前（不含SKIPIF1<0）插入的項(xiàng)的和最小為（

）A．30 B．91 C．273 D．820【答案】C【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0是以1為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0中前6項(xiàng)分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)，3、27、243不是數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)，且SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0中第7項(xiàng)前（不含SKIPIF1<0）插入的項(xiàng)的和最小為SKIPIF1<0.故選：C.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.【答案】27【詳解】依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例題3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，在a，b之間插入SKIPIF1<0個(gè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，使得這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則有結(jié)論SKIPIF1<0成立．若SKIPIF1<0，在a，b之間插入SKIPIF1<0個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，使得這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則有相應(yīng)的結(jié)論成立．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）回答下面兩個(gè)問題(1)在等差數(shù)列中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求a1與Sn．(2)在2與64中間插入4個(gè)數(shù)使它們成等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；（2）設(shè)此等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0例題5．（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)計(jì)算SKIPIF1<0，猜想數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，使這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在3項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明見解析(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由題意，SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0.下面我們證明SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴對(duì)任意正整數(shù)SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0.（2）由題意及（1）得，SKIPIF1<0在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.假設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0中存在3項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0成等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，∴在數(shù)列SKIPIF1<0中不存在3項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.題型三：插入新數(shù)混合例題1．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中插入SKIPIF1<0個(gè)相同的數(shù)SKIPIF1<0，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前100項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，遞推得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，故SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0和插入的SKIPIF1<0個(gè)數(shù)SKIPIF1<0構(gòu)成一組數(shù)，則前SKIPIF1<0組共有SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，令SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的前100項(xiàng)中包含前12組數(shù)和第13組數(shù)的前10個(gè)，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例題2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；(2)數(shù)列SKIPIF1<0依次為：SKIPIF1<0，規(guī)律是在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中間插入SKIPIF1<0項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，所以SKIPIF1<0；（2）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此數(shù)列SKIPIF1<0的前100項(xiàng)中含有SKIPIF1<0的前13項(xiàng)，含有SKIPIF1<0中的前87項(xiàng)，所求和為SKIPIF1<0.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)），且滿足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項(xiàng)；數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)試確定SKIPIF1<0的值，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(3)當(dāng)SKIPIF1<0為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，試求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)2226【詳解】（1）由題意，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0（常數(shù)）知此時(shí)數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.（3）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)2，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)2，……則SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)，由SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例題4．（2023·全國(guó)·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列SKIPIF1<0的任意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0項(xiàng)之間，都插入SKIPIF1<0個(gè)相同的數(shù)SKIPIF1<0，組成數(shù)列SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為首項(xiàng)為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也滿足該關(guān)系，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；（2）數(shù)列SKIPIF1<0中在SKIPIF1<0之前共有SKIPIF1<0項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，對(duì)任意正整數(shù)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩項(xiàng)中插入SKIPIF1<0，由此得到一個(gè)新數(shù)列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前40項(xiàng)和.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1809【詳解】（1）由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，也滿足上式.故SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0前40項(xiàng)中有34項(xiàng)來(lái)自SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前18項(xiàng)的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．76【答案】C【詳解】在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，所以共有SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.2．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，保持?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0項(xiàng)之間，都插入SKIPIF1<0個(gè)相同的數(shù)SKIPIF1<0，組成數(shù)列SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【詳解】插入SKIPIF1<0組共SKIPIF1<0個(gè)，∵SKIPIF1<0，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個(gè)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0的前13項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選：C．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記在黨的二十大報(bào)告中提出：堅(jiān)持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范大學(xué)學(xué)生會(huì)為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教．原計(jì)劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時(shí)決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0的任意相鄰兩項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列SKIPIF1<0．按新數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記SKIPIF1<0為派遣了70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則SKIPIF1<0的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【詳解】∵數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵在任意相鄰兩項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個(gè)3，∴其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入2個(gè)3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入4個(gè)3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入8個(gè)3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入16個(gè)3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入32個(gè)3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入64個(gè)3，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的前70項(xiàng)含有SKIPIF1<0前6項(xiàng)和64個(gè)3，故SKIPIF1<0．故選：A.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）通過(guò)以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【詳解】解：設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)第SKIPIF1<0次拓展后的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，則經(jīng)過(guò)第SKIPIF1<0次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，是以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則經(jīng)過(guò)11次拓展后在SKIPIF1<0與6之間增加的數(shù)為SKIPIF1<0，所以經(jīng)過(guò)11次拓展后6所在的位置為第SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.二、多選題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）十二平均律是我國(guó)明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的．明萬(wàn)歷十二年（公元1584年）．他寫成《律學(xué)新說(shuō)》，提出了十二平均律的理論．十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為SKIPIF1<0，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為SKIPIF1<0，則依此規(guī)則，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．插入的第8個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0B．插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的SKIPIF1<0倍C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，故B正確；SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故C正確；而SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤.故選：BC．三、填空題6．（2023春·高二校考課時(shí)練習(xí)）在1和17之間插入n個(gè)數(shù)，使這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這n個(gè)數(shù)中第一個(gè)為a，第n個(gè)為b，當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時(shí)，SKIPIF1<0.【答案】7【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故答案為：77．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0的任意相鄰兩項(xiàng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列SKIPIF1<0，記新數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．【答案】370【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入2個(gè)4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入4個(gè)4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入8個(gè)4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入16個(gè)4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間插入32個(gè)4，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0的前60項(xiàng)含有SKIPIF1<0的前5項(xiàng)和55個(gè)4，故SKIPIF1<0.故答案為：370.四、解答題8．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，使這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0是等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0的公比為3，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②：SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.9．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，使這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在3項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由題意，SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立，即對(duì)任意正整數(shù)SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0.（2）由題意及（1）得，SKIPIF1<0，在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.假設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0中存在3項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，所以在數(shù)列SKIPIF1<0中不存在3項(xiàng)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)保持SKIPIF1<0中各項(xiàng)先后順序不變，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值（用數(shù)字作答）．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0